Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras Facultad de Ciencias Naturales Departamento de Matem´aticas San Juan, Puerto Rico ´ MATE 4081: Algebra Abstracta Soluci´ on Asignaci´ on 9. 1. Construya un cuerpo con 1331 elementos. Soluci´on: Considere el polinomio f (x) = x3 + 7x + 1 en Z11 . Como deg(f (x)) = 3, entonces f (x) es irreducible si y solo si f (x) no tiene ceros en Z11 . Ahora, note que f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) f (6) f (7) f (8) f (9) f (10) ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ 1 9 1 5 5 7 6 8 8 1 4 mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11. Concluimos que f (x) es irreducible sober Z11 y por lo tanto, Z11 [x]/(f (x)) = {[ax2 + bx + c] | a, b, c ∈ Z11 } con [x3 ] = [4x + 10] es un cuerpo con 113 = 1331 elementos. 2. Haga lo siguiente: (a) Demuestre que (x3 + x + 6) es un ideal maximal en Z7 [x]. ´ Soluci´on: Verifique que x3 + x + 6 nunca es cero m´odulo 7. Esto implica 3 3 que x + x + 6 es irreducible sobre Z7 y por lo tanto (x + x + 6) es un ideal maximal en Z7 [x]. (b) Por (a), sabemos que Z7 [x]/(x3 + x + 6) es un cuerpo. Haga lo siguiente, i. Multiplique [2x + 1] con [x2 + x + 2]. Soluci´on: Tr´atelo. El resultado es [3x2 + 3x + 4]. 1 ii. Encuentre el inverso multiplicativo de [x2 + x + 1]. Soluci´on: Tr´atelo. El resultado es [x2 ]. 3. Suponga que E es un dominio Euclideano. Demuestre que E es un Dominio de Ideales Principales (PID). 4. Demuestre que f (x) = x4 + 1 es reducible en Z3 [x]. Soluci´on: Observe que f (x) nunca es cero m´odulo 3, por lo tanto, si este polinomio es reducible, entonces f (x) es el producto de dos polinomios de grado 2. Como f (x) es m´onico, entonces podemos asumir que es el producto de polinomios m´onicos. Supongamos que x4 + 1 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd. Por lo tanto, tenemos que conseguir a, b, c, d ∈ Z3 tal que a+c b + ac + d ad + bc bd ≡ ≡ ≡ ≡ 0 mod 3 0 mod 3 0 mod 3 1 mod 3. Suponga que a ≡ 0, entonces la primera congruencia implica que c ≡ 0. Observe tambi´en que la tercera congruencia desaparece y que la segunda y la cuarta se convierten en b + d ≡ 0 mod 3 bd ≡ 1 mod 3. Ahora, b ≡ −d mod 3 y por lo tanto, la u ´ltima congruencia se convierte en −d2 ≡ 1 mod 3, la cual es equivalente a d2 ≡ 2 mod 3. Ahora, el lector puede verificar que esta u ´ltima congruencia no se satisface y por lo tanto llegamos a una contradicci´on. Por lo tanto, a 6≡ 0 mod 3. Suponga ahora que a ≡ 1 mod 3. La primera congruencia implica que c ≡ 2 mod 3. M´as a´ un, la segunda, tercera y cuarta congruencia se convierten en 2 + b + d ≡ 0 mod 3 2b + d ≡ 0 mod 3 bd ≡ 1 mod 3. 2 Ahora, la u ´ltima congruencia implica que tanto b como d no son congruentes a 0. Si b ≡ 1 mod 3, entonces la u ´ltima congruencia implica que d ≡ 1 mod 3, pero luego, sustituyendo estos valores en la congruencia 2 + b + d ≡ 0 mod 3 obtenemos 1 ≡ 0 mod 3 (ni en Yabucoa). Por lo tanto, b 6≡ 1 mod 3. Suponga que b ≡ 2 mod 3, entonces la u ´ltima congruencia implica que d ≡ 2 mod 3. Observe ahora que todas las congruencias se satisfacen. Concluimos que a ≡ 1 mod 3, b ≡ 2 mod 3, c ≡ 2 mod 3 y d ≡ 2 mod 3. En arroz y habichuelas, x4 + 1 = (x2 + x + 2)(x2 + 2x + 2). Los siguientes ejercicios dependen del Criterio de Eisenstein, el cual estamos pr´ oximos a aprender. 5. Si p es primo, entonces demuestre que 1+x+x2+· · ·+xp−1 es irreducible en Q[x]. Demostraci´on: Estoy cansado. Tengo sue˜ no. 6. Suponga que α ∈ C es tal que α2 + α + 2 = 0. Considere el conjunto F = {a + bα | a, b ∈ Q}. Demuestre que F es un cuerpo demostrando que F es isomorfo a un cuerpo de la forma Q[x]/(p(x)). Demostraci´on: El sue˜ no realmente no se me quiere quitar. 3