Cap´itulo 2
(Bis)
Razonamientos y Acertijos en la Lógica
Proposicional
Índice del Capítulo
2.1. Razonamientos Lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Análisis y Resolución
56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Modus Tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Modus Ponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Invalidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.2. Resolución de Acertijos Lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.2.1. ¡Check list! para Acertijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.3. La Isla de Pícaros y Caballeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.3.1. ¿Cómo actuar en la isla? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.3.2. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.3.3. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.3.4. Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.3.5. Problema 4: más de una solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.3.6. Problema 5: hablar con varios habitantes
. . . . . . . . . . . . . . .
66
2.4. La Dama y El Tigre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.5. ¿ Dónde está el millón? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.6.1. Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.6.2. Juegos y Acertijos Lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.7. Ejercicios Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
55
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
56
n este capítulo trabajaremos sobre cómo usar la lógica proposicional para modelar y resolver
razonamientos y juegos lógicos.
E
2.1. Razonamientos Lógicos
El razonamiento es un tipo especial de pensamiento en el que se realizan inferencias, o
sea en el que se realizan conclusiones que derivan de premisas. Pero los oscuros caminos por
los cuales la mente llega a sus conclusiones durante los procesos reales de razonamiento, no
son en absoluto de la incumbencia del lógico. A la lógica, sólo le interesa la corrección del
proceso, una vez terminado. Su problema es siempre el siguiente: la conclusión a la que se
ha llegado ¿deriva de las premisas usadas o afirmadas?. Si las premisas brindan adecuados
fundamentos para aceptar la conclusión, si afirmar que las premisas son verdaderas garantías de
que la conclusión también será verdadera, entonces el razonamiento es correcto. De lo contrario
es incorrecto.
La distinción entre el razonamiento correcto y el incorrecto es el problema central de la
lógica. Los métodos y las técnicas de la lógica han sido desarrollados esencialmente con el propósito de aclarar esta distinción. La lógica se interesa por todos los razonamientos sin tomar en
cuenta su contenido. Es decir, la lógica nos permitirá la manipulación sintáctica de expresiones
más generales que las expresiones aritméticas que ya hemos mencionado.
La inferencia es un proceso por el cual se llega a una proposición y se la afirma sobre la
base de otra u otras proposiciones aceptadas como punto de partida del proceso. Al lógico no le
interesa el proceso de inferencia, sino las proposiciones que constituyen los puntos inicial y final
de este proceso, así como las relaciones existentes entre ellas. Aunque el proceso de inferencia
no concierne a los lógicos, para cada inferencia posible hay un razonamiento correspondiente y
son esos razonamientos los que caen en el ámbito de la lógica. En este sentido tomaremos como
definición de razonamiento a la siguiente:
(2.1)
Definición. Un razonamiento es cualquier grupo de proposiciones tal que de una de
ellas se afirma que deriva de las otras, las cuales son consideradas como elementos de
juicio a favor de la verdad de la primera.
La palabra “razonamiento” se usa a menudo para indicar el proceso mismo, pero en lógica
tiene el sentido técnico recién explicado. Al describir esta estructura se emplean comúnmente
los términos premisa y conclusión. La conclusión de un razonamiento es la proposición que se
afirma sobre la base de las otras proposiciones del mismo, y a la vez estas proposiciones de las
que se afirma que brindan los elementos de juicio o las razones para aceptar la conclusión son
las premisas del razonamiento. Una forma usual de presentar a un razonamiento es enunciando
las premisas, una debajo de la otra, y luego, tras trazar una línea indicar la conclusión del mismo.
En forma general:
§Versión 2015.1
2.1. Razonamientos L´ogicos
57
p0
..
.
pn
q
donde p0 , p1 , . . . , pn son las premisas y q es la conclusión, y la línea horizontal separa las premisas de la conclusión, y se traduce a la expresión “ por tanto”. Veamos un ejemplo concreto:
p0 : Si todo hombre es infalible entonces no hay error en la ciencia.
p1 : Hay error en al ciencia.
q : No todo hombre es infalible.
donde la proposición: “No todo hombre es infalible ” es la conclusión, y las restantes premisas:
“Si todo hombre es infalible entonces no hay error en la ciencia ” y “Hay error en la ciencia”
son las premisas.
Debemos observar que premisa y conclusión son términos relativos; la misma proposición
puede ser premisa en un razonamiento y conclusión en otro. Por ejemplo:
p0 : Todo lo que está predeterminado es necesario.
p1 : Todo suceso está predeterminado.
q : Todo suceso es necesario.
Aquí, la proposición “Todo suceso es necesario ” es la conclusión, y las otras dos son premisas. Pero la proposición “Todo suceso está predeterminado ” es la conclusión del siguiente
razonamiento:
p0 : Todo suceso causado por otros sucesos está predeterminado.
p1 : Todo suceso está causado por otro suceso.
q : Todo suceso está predeterminado.
Tomada aisladamente ninguna proposición es una premisa o una conclusión. Es una premisa
cuando aparece como supuesto de un razonamiento. Es una conclusión sólo cuando aparece en
un razonamiento en el que se afirma que se desprende de las proposiciones afirmadas en ese
razonamiento.
En algunos razonamientos, como los dos anteriores, las premisas se enuncian primero y la
conclusión al final. Pero no todos los razonamientos presentan ese orden, como por ejemplo, si
este estuviera enunciado en forma de prosa, como se muestra a continuación:
En una democracia, los pobres tienen más poder que los ricos, porque son más,
y la voluntad de la mayoría es suprema.
llevándolo al formato anterior resultaría:
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
58
p0 : Los pobres son mayoría respecto a los ricos.
p1 : La voluntad de la mayoría es suprema.
q : En una democracia los pobres tienen más poder que los ricos.
dado que la proposición que se distingue y se deriva del resto es: “En una democracia los
pobres tienen más poder que los ricos”, y las restantes proposiciones: “Los pobres son mayoría
respecto a los ricos”, y “La voluntad de la mayoría es suprema” son las premisas.
2.1.1. Análisis y Resolución
Ahora estamos en condiciones de analizar la validez de algunas formas de razonamiento.
Hemos dicho anteriormente que en un razonamiento válido, si las premisas son verdaderas la
conclusión también debe serlo. Una forma de analizar un razonamiento entonces, es traducir
éste a expresiones booleanas y analizar el caso en que cada una estas expresiones es verdadera.
Tomaremos como definición de un razonamiento válido a la siguiente:
(2.2)
Definición.
Supongamos un razonamiento en donde p0 , p1 , . . . , pn son las premisas y q es la conclusión, es decir:
p0
..
.
pn
q
éste se considerará válido si siempre que p0 , p1 , . . .,pn sean verdaderas entonces también lo es q. Dadas las tablas de verdad de la conjunción y de la implicación, esto ocurre
si y sólo si la siguiente expresión es una tautología
RAZ : p0 ∧ p1 ∧ . . . ∧ pn ⇒ q
(2.1)
Buscaremos entonces traducir nuestros razonamientos simbólicamente, separando las premisas de la conclusión, para luego asociarles expresión lógica ??, y tras calcular la tabla de
verdad asociada a la misma, determinar la validez o invalidez del razonamiento, a partir de,
respectivamente, conseguir una tautología o no en la misma.
A continuación analizaremos dos formas tradicionales de razonamientos de la lógica clásica.
Modus Tollens
Por ejemplo en el razonamiento
Si tuviera pelo sería feliz
No soy feliz
No tengo pelo
§Versión 2015.1
2.1. Razonamientos L´ogicos
59
si llamamos:
p : Tengo pelo
q : Soy feliz
podemos traducirlo como
p⇒q
¬q
¬p
Se puede ahora comprobar la validez del razonamiento construyendo la tabla de verdad
asociada:
q
p
true true
true false
false true
false false
p ⇒ q ¬q (p ⇒ q) ∧ ¬q ¬p
true false
false
false
false true
false
false
true false
false
true
true
true
true
true
(p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬p
true
true
true
true
Esta forma de razonamiento tiene un nombre en la literatura clásica sobre lógica: modus
tollens
Modus Ponens
Veamos ahora otro razonamiento capilar:
Si tuviera pelo sería feliz
Tengo pelo
Soy feliz
si lo traducimos a su forma simbólica como lo hicimos anteriormente
p⇒q
p
q
y construimos la tabla de verdad correspondiente, observamos también que en este caso se trata
de una tautología:
p
q
true true
true false
false true
false false
p⇒q
true
false
true
true
(p ⇒ q) ∧ p
true
false
false
false
(p ⇒ q) ∧ p ⇒ q
true
true
true
true
Esta forma de razonamiento tiene un nombre en la literatura clásica sobre lógica: modus
ponens
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
60
Invalidez
Veamos ahora un ejemplo más de razonamiento capilar:
Si tuviera pelo sería feliz
No tengo pelo
No soy feliz
si lo traducimos a su forma simbólica como lo hicimos anteriormente
p⇒q
¬p
¬q
y construimos la tabla de verdad correspondiente, observamos que no es una tautología:
q
p
true true
true false
false true
false false
p ⇒ q ¬p (p ⇒ q) ∧ ¬p
true false
false
false false
false
true
true
true
true
true
true
¬q
false
true
false
true
(p ⇒ q) ∧ ¬p ⇒ ¬q
true
true
false
true
Más aún, mirando la tabla de verdad es posible saber cuándo las premisas son verdaderas y
la conclusión es falsa. En este caso, esto ocurre cuando p es falsa y q es verdadera, es decir
cuando tenemos un pelado feliz. Nuestra conclusión respecto al razonamiento, es que el mismo
es inválido, y la tabla de verdad es la muestra de nuestra afirmación.
Si bien este método para analizar razonamientos es efectivo para razonamientos con pocas
variables booleanas, a medida que la cantidad de variables crece, el tamaño de las tablas de
verdad crece de manera exponencial (hay 2n filas en una tabla de verdad con n variables booleanas). En las secciones siguientes veremos métodos alternativos para determinar la validez de
razonamientos y de expresiones booleanas en general, los cuales a veces resultan más cortos
que las tablas de verdad.
2.2. Resolución de Acertijos Lógicos
En esta sección, al igual que en la anterior, usaremos la lógica proposicional como herramienta para resolver problemas. En este caso puntual, juegos y acertijos lógicos.
Para cada acertijo y juego lógico que resolvamos, utilizaremos el siguiente check-list para
estructurar su solución, dado que a diferencia de los razonamientos, la información y los datos
sobre los que sustentaremos nuestra conclusión suelen estar implícitos, o dispersos en todo el
enunciado, y parte de la resolución de un acertijo, será distinguir la información importante del
problema.
§Versión 2015.1
2.3. La Isla de P´icaros y Caballeros
61
2.2.1. ¡Check list! para Acertijos
1. Identificar qué es lo que debo responder.
2. Dividir en dos partes al problema: modelado y resolución.
Modelado
a) Definir las variables proposicionales.
b) Identificar y modelar lógicamente las condiciones y relaciones del problema.
(S 1 ) : < EB1 >
(S 2 ) : < EB2 >
...,
(S n ) : < EBn >
c) Escribir el modelo lógico del acertijo que consiste en la conjunción de los supuestos.
ACER : S 1 ∧ S 2 ∧ S 3 ∧ . . . ∧ S n .
Resolución
a) Construir la tabla de verdad para la expresión booleana ACER.
b) Buscar dar una respuesta al problema mediante el análisis de la tabla.
• La columna final nos da la respuesta de los casos donde se cumplen todas las
condiciones, valores true en la misma.
• Las columnas de las variables, es decir, las columnas iniciales, nos da el valor
para dar respuesta a las preguntas del problema.
Las partes más difíciles en la resolución de estos problemas, y sobre las que debemos prestar
especial atención son:
• Modelar formalmente las condiciones del problema.
• Construcción parcial de las tablas de verdad.
• Lectura y análisis la tabla de verdad para dar una respuesta al problema.
Sobre cada una de estas partes trabajaremos especialmente hasta el final de este capítulo. A
continuación, mostraremos como proceder en cada caso, utilizando una serie ejemplos sobre
acertijos clásicos, cuya resolución podremos alcanzarla mediante la lógica proposicional.
2.3. La Isla de Pícaros y Caballeros
Haremos ahora una visita a la isla de los caballeros y los pícaros. Esta isla está habitada
solamente por estos dos tipos de personas: los caballeros tienen la particularidad de que sólo
dicen la verdad, mientras que los pícaros siempre mienten. En la isla los habitantes siempre
dialogan con los visitantes, y entre ellos también, buscando resolver o desafiar a los primeros
en la búsqueda de que tipo de persona son.
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
62
2.3.1. ¿Cómo actuar en la isla?
Hemos aprendido a modelizar con expresiones booleanas proposiciones del lenguaje natural,
veamos qué utilidad podemos darle a este conocimiento en la isla.
Cuando nos encontramos con un habitante A nos interesa saber si es un caballero o no. Modelaremos esta condición una variable booleana de la siguiente forma:
a: A es un caballero
Ahora bien, cualquier afirmación de A puede ser verdadera o falsa. Por ende, lo que nos dice
A puede representarse con una expresión booleana, a la cual llamaremos como E.
Tenemos dos casos:
1. Si A es un caballero entonces E es cierta, lógicamente a ⇒ E,
2. Si A es un pícaro entonces E es falsa, lógicamente ¬a ⇒ ¬E.
Haciendo la conjunción de ambos razonamientos, puesto que son las dos posibilidades sobre
los dichos de A, llegamos la expresión
(a ⇒ E) ∧ (¬a ⇒ ¬E)
la cuál es equivalente a
a≡E
Por lo tanto, el valor de verdad de la proposición a, coincide con el valor de verdad de la
afirmación realizada por el habitante A. Utilizaremos esta relación para modelar lo que nos
afirme cada habitante.
A continuación mostraremos una serie de ejemplos donde ilustraremos la resolución de este
tipo de acertijos.
2.3.2. Problema 1
(2.3)
Problema. Tenemos dos personas, A y B habitantes de la isla. A hace la siguiente
afirmación: “Al menos uno de nosotros es pícaro”. ¿Qué son A y B?
Utilizaremos el checklist de acertijos para resolver este problema.
• Modelo:
1. Variables Proposicionales: definimos las variables booleanas que representen afirmaciones atómicas.
a: “A es un caballero”
b: “B es un caballero”
§Versión 2015.1
(por lo tanto con ¬a estamos modelando que “A es pícaro” )
(por lo tanto con ¬b estamos modelando que “B es pícaro” )
2.3. La Isla de P´icaros y Caballeros
63
2. Condiciones y relaciones del problema Veamos que dicen los habitantes. En este
apartado modelamos el acertijo con expresiones booleanas.
A dice “Al menos uno de nosotros es pícaro”.
esto puede traducirse como:
a
≡
¬a
∨
¬b
(A dice la verdad)
(A es pícaro)
(B es pícaro)
3. Modelo Lógico
ACER:
a
≡
¬a
∨ ¬b
• Resolución:
1. Confeccionamos la tabla de verdad para responder a las incógnitas de nuestro acertijo ¿Qué es A?, y ¿Qué es B?:
1)
2)
3)
4)
a
t
t
f
f
b
t
f
t
f
¬a
f
f
t
t
¬b
f
t
f
t
¬a ∨ ¬b
f
t
t
t
a ≡¬a ∨ ¬b
f
t
f
f
2. Análisis y respuesta
Observamos la última columna de nuestra tabla para ACER y nos quedamos con
las filas para las cuales ACER es verdadera, es decir, es true. Estos son los casos
que “tienen sentido” la expresión lógica ACER, es decir, en los cuáles el modelo
planteado es consistente con las reglas dadas. Por ende, dichas filas se corresponden
con asignaciones de valores de verdad para las variables del problema, de las cuáles
podemos extraer información para nuestra respuesta. De tener más de una fila con
última columna en true, nos quedamos con la información que se repite en todas las
filas (veremos un ejemplo en el problema cuatro).
Buscamos las filas verdaderas para nuestro problema, y en este caso solamente la fila
2) es cierta . Por tanto, el estado S = {(a, t), (b, f )} nos da la respuesta del problema.
La interpretación es la siguiente:
∗ A es un caballero, puesto que (a, t)
∗ B es pícaro, puesto que (b, f )
2.3.3. Problema 2
(2.4)
Problema. Tenemos dos habitantes, A y B. A dice “Soy un pícaro pero B no lo es”¿Que
son A y B?.
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
64
Utilizaremos el checklist para la resolución de este problema.
• Modelo
1. Variables Proposicionales:
a: “A es un caballero”
b: “B es un caballero”
2. Condiciones y relaciones del problema
A dice “Soy un pícaro pero B no lo es”.
a
≡
¬a
∧
(A dice la verdad)
(A es pícaro)
3. Modelo Lógico
(ACER):
a
a
t
t
f
f
¬a
f
f
t
t
≡
b
(B es un caballero)
¬a
∧
b
• Resolución
1. Tabla de Verdad
1)
2)
3)
4)
b
t
f
t
f
¬a ∧ b
f
f
t
f
a ≡¬a ∧ b
f
f
f
t
2. Análisis y respuesta
En este caso, el estado S = {(a, f ); (b, f )}, nos da la respuesta del problema. La
interpretación sobre el mismo es la siguiente:
∗ A es pícaro, puesto que (a, f )
∗ B es pícaro, puesto que (b, f )
2.3.4. Problema 3
(2.5)
Problema. Supongamos que se nos acerca un habitante A y nos dice “Si soy un caballero entonces me comeré mi sombrero”, podemos inferir el tipo de persona que es
A?
• Modelo
1. Variables
a: A es un caballero
s: A se comerá su sombrero
§Versión 2015.1
2.3. La Isla de P´icaros y Caballeros
65
2. Condiciones y Relaciones
A dice que “Si soy un caballero entonces me comeré mi sombrero”.
lo cual traducimos como:
a≡a⇒s
3. Modelo Lógico
ACER:
a
≡
a⇒ s
• Resolución
1. Tabla de Verdad de ACER
a
t
t
f
f
s a⇒s
t
t
f
f
t
t
f
t
a≡a⇒s
t
f
f
f
2. Análisis y respuesta:
Buscamos las filas verdaderas para nuestro problema, y en este caso solamente la fila
(1) es cierta . Por tanto, el estado S = {(a, t), (s, t)} nos da la respuesta del problema.
La interpretación es la siguiente:
∗ A es un caballero, puesto que (a, t)
∗ A se come el sombrero puesto que (s, t)
2.3.5. Problema 4: más de una solución
(2.6)
Problema. En la isla de los pícaros y los caballeros, A dice “O bien soy un pícaro, o
bien B es un caballero, pero no ambos a la vez”. ¿Qué son A y B?
• Modelo:
1. Variables
a: “A es un caballero”
b: “B es un caballero”
2. Condiciones y Relaciones
A dice que “O bien soy un pícaro, o bien B es un caballero, pero no ambos a la vez”.
lo cual traducimos como:
a ≡ (¬a 6. b)
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
66
3. Modelo Lógico
ACER:
a
≡
¬a . b
• Resolución
1. Tabla de Verdad de ACER
a
t
t
f
f
b ¬a ¬a 6. b
t
f
t
f f
f
t
t
f
f
t
t
a ≡ (¬a 6. b)
t
f
t
f
2. Análisis y Respuesta
Buscamos las filas verdaderas para nuestro problema, y en este caso resultan ser las
filas (1) y (3). Por tanto, el estado S 1 = {(a, t), (b, t)} y S 2 = {(a, f ), (b, t)} nos da la
respuesta del problema. Como existen dos soluciones posibles, debemos observar las
columnas de las variables y determinar una conclusión allí para nuestro problema.
En las variables nos encontramos con:
∗ a toma distintos valores en estas filas, por lo tanto no podemos asegurar nada
sobre su veracidad.
∗ b siempre es verdadera, por lo tanto podemos asegurar que b es cierta.
Concluímos entonces que B es un caballero y no podemos asegurar nada de A.
2.3.6. Problema 5: hablar con varios habitantes
En este ejemplo hablamos con varios habitantes a la vez, y mostraremos a continuación
como resolver problemas esta situación. Emplearemos el checklist de acertijos para formular la
respuesta.
(2.7)
Problema. Alberto, Bernardo y Carlos son habitantes de la isla, y los mismos se encuentran reunidos en un bar dialogando entre ellos. Cada uno afirma lo siguiente:
- Alberto dice: “Bernardo y Carlos son pícaros ”.
- Bernardo dice: “No soy un pícaro”.
- Carlos dice: “Bernardo es un pícaro”.
¿Qué podemos asegurar sobre Alberto, Bernardo y Carlos?
• Modelado
§Versión 2015.1
2.3. La Isla de P´icaros y Caballeros
67
1. Variables
a: “Alberto es un caballero”
b: “Bernardo es un caballero”
c: “Carlos es un caballero”
2. Condiciones y Relaciones
Como en este caso, cada uno de los habitantes habla, tendremos una expresión lógica
para cada caso:
∗ Alberto dice: “Bernardo y Carlos son pícaros ”
(S 1 ) a ≡ ¬b ∧ ¬c
∗ Bernardo dice: “No soy un pícaro”.
(S 2 ) b ≡ ¬(¬b)
∗ Carlos dice: “Bernardo es un pícaro”.
(S 3 ) c ≡ ¬b
3. Modelo Lógico
Para finalizar el modelo, debemos considerar la conjunción de todo lo que sabemos,
(S 1 ), (S 2 ), y (S 3 ), puesto que estas tres expresiones deben ser verdaderas simultáneamente. Obteniendo asi:
(a ≡ ¬b ∧ ¬c) ∧ (b ≡ ¬¬b) ∧ (c ≡ ¬b)
ACER:
• Resolución
1. Tabla de verdad de ACER
a b
t t
t t
t f
t f
f t
f t
f f
f f
c
t
f
t
f
t
f
t
f
¬b ¬c
f
f
f
t
t
f
t
t
f
f
f
t
t
f
t
t
¬b ∧ ¬c a ≡ ¬b ∧ ¬c b ≡ ¬¬b c ≡ ¬b
f
f
t
f
f
f
t
t
f
f
t
t
t
t
t
f
f
t
t
f
f
t
t
t
f
t
t
t
t
f
t
f
ACER
f
f
f
f
f
t
t
f
2. Análisis y Respuesta
Buscamos las filas verdaderas para nuestro problema, y en este caso resultan ser las
filas (6) y (7). Por lo tanto, los estados {(a, f ) , (b, t) , (c, f )} y {(a, f ) , (b, f ) , (c, t)}
nos dan una respuesta del problema. Como existe mas de una solución posible, observaremos el comportamiento de las variables del problema para determinar a partir
de las mismas la solución al acertijo. Obtenemos así que a es falsa en ambos estados,
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
68
y que sólo uno entre b y c puede ser cierto, por lo tanto, diremos que estos últimos
son de tipos opuestos. Así, resulta que Alberto es pícaro, y Bernardo y Carlos son
de tipos opuestos.
§Versión 2015.1
2.4. La Dama y El Tigre
69
2.4. La Dama y El Tigre
El problema de la Dama y el Tigre tiene la siguiente presentación:
En un reino muy lejano, el Rey decide liberar a uno de sus prisioneros, pero
antes este deberá superar una prueba. El prisionero tendrá que elegir entre dos habitaciones para lograr su libertad. Las posibilidades son: que se encuentre con un
Tigre o que se encuentre con una Dama. Si elige la habitación de la Dama, entonces se casará con ella y será libre inmediatamente, pero y si elige la habitación del
Tigre deberá luchar primero con el animal, si sobrevive será libre, y sino morirá en
el intento.
El Rey, que no era una mala personal, decide brindarle una ayuda, y coloca en
cada puerta un cartel con una leyenda para que el prisionero utilice en el momento
de la decisión:
Hab. A: Hay una Dama en la habitación A y un Tigre en la Habitación B.
Hab. B: Hay una Dama en una habitación y un Tigre en la otra.
El Rey a su vez le dice al prisionero:
-
“Exactamente uno de estos carteles es verdadero”.
Y agrega,
-
“En cada habitación hay una Dama, o un Tigre pero no ambos a la vez.
Si en las dos habitaciones hay Damas la suerte es tuya; y si en las dos
habitaciones hay Tigres, la suerte es mía”.
Así, si el prisionero es lo suficientemente inteligente, y puede razonar lógicamente, entonces salvará su vida y tendrá una linda mujer con la que comenzar de
nuevo. ¿Qué puerta deberá escoger?
Comencemos con la resolución de este acertijo, siguiendo los lineamientos del checklist.
• Modelo
1. Variables
t1 :
t2 :
d1 :
d2 :
c1 :
c2 :
“Hay un Tigre en al habitación A”.
“Hay un Tigre en al habitación B”.
“Hay una Dama en al habitación A”.
“Hay una Dama en al habitación B”.
“El cartel de la habitación A es verdadero”.
“El cartel de la habitación B es verdadero”.
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
70
2. Condiciones y Relaciones
Lo que nos dice el Rey,
∗ “Exactamente uno de estos carteles es verdadero”.
(S 1 ) c1 . c2
∗ “En cada habitación hay una Dama, o un Tigre pero no ambos a la vez”
(S 2 ) (d1 . t1 ) ∧ (d2 . t2 )
Lo que nos dicen los carteles,
∗ Primer cartel: “Hay una Dama en la habitación A y un Tigre en la habitación
B.”
(S 3 ) c1 ≡ d1 ∧ t2
∗ Segundo cartel: “Hay una Dama en una habitación y un Tigre en la otra.”
(S 4 ) c2 ≡ ((d1 ∧ t2 ) . (t1 ∧ d2 ))
3. Modelo Lógico
ACER : (c1 . c2 ) ∧ (d1 . t1 ) ∧ (d2 . t2 ) ∧ (c1 ≡ d1 ∧ t2 ) ∧ (c2 ≡ (d1 ∧ t2 . t1 ∧ d2 ))
Nos queda construir la tabla de verdad para dar una respuesta a nuestro problema; pero si
contamos la cantidad de variables que empleamos para modelar el acertijo, –seis variables–,
deberíamos confeccionar una tabla con 64 (26 ) filas, lo cual si bien es posible, no es deseable
destinar tanto tiempo a esta tarea. Vamos a usar un poco nuestra inteligencia, y veamos si podemos reducir la confección de la misma, empleando como restricciones sobre la cantidad de
estados a evaluar, la condiciones mismas del problema. En este caso, los estados que descartemos, serán aquellos en los que sabemos que la expresión ACER resulta falsa.
Las primeras restricciones, S 1 y S 2 nos imponen cierta combinación de valores para las
variables del problema:
S 1 ∧ S 2 : (c1 . c2 ) ∧ (d1 . t1 ) ∧ (d2 . t2 )
donde,
(c1 . c2 ) es verdadera en los siguientes estados:
c1
t
f
(d1 . t1 ) es verdadera en los siguientes estados:
§Versión 2015.1
c2
f
t
S1
t
t
2.4. La Dama y El Tigre
71
d1
t
f
(d1 . t1 )
t
t
t1
f
t
(d2 . t2 ) es verdadera en los siguientes estados:
d2
t
f
(d2 . t2 )
t
t
t2
f
t
Por lo tanto, si combinamos los valores de estos estados en los que cada subexpresión es cierta,
podemos concluir que la expresión S 1 ∧ S 2 es verdadera para los estados:
c1
t
t
t
t
f
f
f
f
c2
f
f
f
f
t
t
t
t
d1
t
t
f
f
t
t
f
f
t1
f
f
t
t
f
f
t
t
d2
t
f
t
f
t
f
t
f
t2
f
t
f
t
f
t
f
t
S1 ∧ S2
t
t
t
t
t
t
t
t
y en las restantes combinaciones posibles (64 − 8 = 56) la expresión S 1 ∧ S 2 resulta falsa, y por
ende, ACER también será falsa. Por consiguiente, utilizaremos estos ocho estados que hacen a
S 1 ∧ S 2 verdadera, y evaluaremos S 3 ∧ S 4 en los mismos:
S 3 ∧ S 4 : (c1 ≡ d1 ∧ t2 ) ∧ (c2 ≡ (d1 ∧ t2 . t1 ∧ d2 ))
en los mismos, determinando así los estados verdaderos para ACER.
• Resolución
1. Construcción parcial de la tabla de verdad para ACER
Confeccionamos sólo la tabla de S 3 ∧ S 4 para los estados en los cuales S 1 ∧ S 2
resulta verdadera:
c1
t
t
t
t
f
f
f
f
c2
f
f
f
f
t
t
t
t
d1
t
t
f
f
t
t
f
f
t1
f
f
t
t
f
f
t
t
d2
t
f
t
f
t
f
t
f
t2
f
t
f
t
f
t
f
t
d1 ∧ t 2
f
t
f
f
f
t
f
f
c1 ≡ d1 ∧ t2
f
t
f
f
t
f
t
t
...
...
...
...
...
...
...
...
...
S3 ∧ S4
f
f
f
f
f
f
t
f
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
72
2. Análisis y Respuesta
Dado que el modelo lógico ACER resulta verdadero en el siguiente estado:
{(c1 , f ), (c2, t), (d1, f ), (t1, t), (d2 , t), (t2, f )}
podemos concluir que el prisionero debería elegir la puerta B que es donde se encuentra la Dama para conseguir rápidamente su libertad.
En esta solución hemos utilizado la técnica de reducción de tabla de verdad, empleando
como restricción sobre la expresión original, una subexpresión de la mismas, “podando” de esta
forma la cantidad de estados necesarios en la evaluación de la expresión booleana completa
del acertijo, consiguiendo de igual forma una solución al problema, pero en una evaluación de
estados más reducida que en el caso original. Se debe tener cuidado, en este tipo de ejercicios
donde nos interesa achicar la tabla de verdad, puesto que como explicábamos anteriormente,
sólo necesitamos los resultados para los cuáles la última columna de la tabla es true, y por ende,
los razonamientos que hemos expuesto no deben trasladarse a otros ejercicios que no fueran
planteados en términos de acertijos.
2.5. ¿ Dónde está el millón?
Veamos otro acertijo, ahora buscaremos un millón de pesos detrás de una puerta para hacernos ricos.
El siguiente es un juego lógico, donde existen tres puertas, un participante, y un
animador. Detrás de una de las puertas se ha escondido un millón de pesos, y las
restantes puertas estan vacías. Cada una de las puertas tiene un cartel que servirá
de ayuda para el participante. El participante deberá entonces hacer uso de su inteligencia y la lógica para determinar así detrás de qué puerta se encuentra el dinero,
y conseguir con ello llevárselo. El animador dará comienzo al juego, colgando los
carteles, y si cree necesario, también le indicará alguna ayuda adicional.
El animador inicia el juego, y cuelga de las tres puertas, los siguientes mensajes:
Primera Puerta:
Segunda Puerta:
Tercera Puerta:
Esta acá.
No esta acá.
No esta en la primera puerta.
El animador, le dice a su vez al participante que: “A lo sumo uno de los carteles es
verdadero”. ¿Detrás de qué puerta esta el millón?.
Utilizaremos el checklist para acertijos para dar una respuesta a este problema.
§Versión 2015.1
2.5. ¿ D´onde est´a el mill´on?
73
• Modelo
1. Variables
En este problema, nos ayudará contar con dos grupos de variables asociadas a los
dos hechos que necesitamos involucrar en el modelo, los cuales reponden a las preguntas: ¿dónde está el millón? y ¿qué puerta dice la verdad?. Así definimos:
pi : El millon está en la puerta i; con i:=1,2,3.
qi : La puerta i dice la verdad; con i:=1,2,3.
2. Condiciones y Relaciones
Formalizamos lógicamente los que nos indican los carteles de cada una de las puertas:
∗ De la puerta 1: “Esta acá.”
(S 1 ) q1 ≡ p1
∗ De la puerta 2: “No esta acá.”
(S 2 ) q2 ≡ ¬p2
∗ De la puerta 3: “No esta en la primera puerta.”
(S 3 ) q3 ≡ ¬p1
Además, sabemos que el millón está en exactamente una puerta. Esto podemos modelarlo recordando que la fórmula
(F 1 )
p1 ≡ p2 ≡ p3
es verdadera cuando un número par entre p1 , p2 y p3 son falsas. Siendo 0 y 2 los
únicos pares entre 0 y 3, tenemos que (F 1 ) es verdadera cuando 1 o 3 entre p1 , p2 y
p3 son verdaderas. Por eso, si eliminamos la posibilidad de que las 3 variables sean
verdaderas simultáneamente, tenemos que la expresión (S 4 ) representa el resultado
deseado:
(S 4 )
(p1 ≡ p2 ≡ p3 ) ∧ ¬(p1 ∧ p2 ∧ p3 )
Por último, sabemos que a lo sumo uno de los carteles es verdadero, o lo que es lo
mismo qué exactamente uno o ningún cartel dice la verdad. Siguiendo un razonamiento similar al ítem anterior, observamos que la expresión (S 4 ) la cual tomamos
como referencia, y sólo debemos cambiar las variables p por las q, agregando la posibilidad de que ningún cartel sea verdadero. Esto nos lleva a la siguiente fórmula:
(S 5 )
((q1 ≡ q2 ≡ q3 ) ∧ ¬(q1 ∧ q2 ∧ q3 )) ∨ (¬q1 ∧ ¬q2 ∧ ¬q3 )
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
74
3. Modelo Lógico
Para finalizar el modelo, debemos considerar la conjunción de todo lo que sabemos,
obteniendo así:
(ACER)
(S 1 ) ∧ (S 2 ) ∧ (S 3 ) ∧ (S 4 ) ∧ (S 5 )
Lo cual resulta:
(ACER) (q1 ≡ p1 ) ∧ (q2 ≡ ¬p2 ) ∧ (q3 ≡ ¬p1 ) ∧ (p1 ≡ p2 ≡ p3 ) ∧ ¬(p1 ∧ p2 ∧ p3 )∧
(((q1 ≡ q2 ≡ q3 ) ∧ ¬(q1 ∧ q2 ∧ q3 )) ∨ (¬q1 ∧ ¬q2 ∧ ¬q3 )).
• Resolución
En nuestro modelo, al tener 6 variables, la tabla completa tendrá 64 entradas (o sea, 26 ),
y por esta razón es conveniente hacer un análisis previo para evaluar la posibilidad de
reducir este número.
Analicemos la fórmula del modelo (ACER). Sabemos que cada una de las subexpresiones
(S 1 ), (S 2 ), (S 3 ), (S 4 ) y (S 5 ) debe ser true para encontrar una respuesta a nuestro problema.
En particular, enfoquémonos en los estados que hacen verdadera a las expresiones (S 4 ) y
(S 5 ). Veamos cada una de ellas por separado.
- Para (S 4 ) (p1 ≡ p2 ≡ p3 ) ∧ ¬(p1 ∧ p2 ∧ p3 ), tenemos que las únicas entradas de la
tabla que pueden hacerla verdadera son las siguientes:
p1
t
f
f
p2
f
t
f
p3
f
f
t
(S 4 )
t
t
t
- Análogamente, en (S 5 ) ((q1 ≡ q2 ≡ q3 ) ∧ ¬(q1 ∧ q2 ∧ q3 )) ∨ (¬q1 ∧ ¬q2 ∧ ¬q3 ), las
únicas entradas de la tabla que resultan en true son:
q1
t
f
f
f
q2
f
t
f
f
q3
f
f
t
f
(S 5 )
t
t
t
t
Por lo tanto, conseguimos reducir la asignación de variables que pueden originar true
en la última columna. Para el grupo de las p tenemos 3 posibilidades y para el de las
q contamos con 4. En base a esto, para la confección de la tabla final, sólo debemos
combinar los resultados de ambas asignaciones, y así lograremos una tabla de 3 × 4 = 12
entradas, significativamente menor a la tabla completa. Los estados para los cuales S 4 ∧S 5
resulta verdadera son:
§Versión 2015.1
2.6. Ejercicios
75
p1
t
f
f
t
f
f
t
f
f
t
f
f
p2
f
t
f
f
t
f
f
t
f
f
t
f
p3
f
f
t
f
f
t
f
f
t
f
f
t
q1
t
t
t
f
f
f
f
f
f
f
f
f
q2
f
f
f
t
t
t
f
f
f
f
f
f
q3
f
f
f
f
f
f
t
t
t
f
f
f
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
S4 ∧ S5
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Nos resta entonces, evaluar las expresión S 1 ∧ S 2 ∧ S 3 en esta combinación, para así dar
respuesta a nuestro problema. Recordemos que, las restantes combinaciones: 64−12 = 52
hacen que S 4 ∧ S 5 sea falsa, y por ende, también lo será ACER.
Abajo presentamos el resultado final, dejando como ejercicio para el lector el cálculo de
los resultados intermedios.
1. Construcción parcial de la tabla de verdad para ACER
p1
t
f
f
t
f
f
t
f
f
t
f
f
p2
f
t
f
f
t
f
f
t
f
f
t
f
p3
f
f
t
f
f
t
f
f
t
f
f
t
q1
t
t
t
f
f
f
f
f
f
f
f
f
q2
f
f
f
t
t
t
f
f
f
f
f
f
q3
f
f
f
f
f
f
t
t
t
f
f
f
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
S1 ∧ S2 ∧ S3
f
f
f
f
f
f
f
t
f
f
f
f
2. Análisis y Resolución
El único estado para el cuál el problema se satisface es el siguiente:
{(p1 , f alse), (p2, true), (p3, f alse), (q1, f alse), (q2, f alse), (q3, f alse)}
con lo cuál podemos concluir que el millón se encuentra detrás de la segunda puerta.
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
76
2.6. Ejercicios
2.6.1. Razonamientos
2.1
Traducir los siguientes razonamientos presentados en lenguaje natural a expresiones booleanas y analizar su validez
a) Si el presidente entiende las protestas de la gente entonces si quiere ser reelegido cambiará su política. El presidente quiere ser reelegido. Luego, si el presidente entiende
las protestas de la gente, entonces cambiará su política.
b) Si el presidente entiende las protestas de la gente entonces si quiere ser reelegido cambiará su política. El presidente cambiará su política. Luego, si el presidente entiende
las protestas de la gente, entonces quiere ser reelegido.
c) Si el gobernador quiere mejorar su imagen, o bien mejora su política social o bien
gasta más en publicidad. El gobernador no mejora su política social. Luego, si el
gobernador quiere mejorar su imagen, entonces gastará más en publicidad.
d) Si el gobernador quiere mejorar su imagen, o bien mejora su política social o bien gasta más en publicidad. El gobernador mejoró su política social. Luego, si el gobernador
quiere mejorar su imagen, entonces no gastará más en publicidad.
e) Si la ciudadanía romana hubiera sido una garantía de los derechos civiles, los romanos
habrían gozado de libertad religiosa. Si los romanos hubieran gozado de libertad religiosa, entonces no se habría perseguido a los primeros cristianos. Pero los primeros
cristianos fueron perseguidos. Por consiguiente, la ciudadanía romana no puede haber
sido una garantía de los derechos civiles.
f)
Si la descripción bíblica de la cosmogonía es estrictamente correcta, el Sol no fue
creado hasta el cuarto día. Y si el Sol no fue creado hasta el cuarto día, no puede haber
sido la causa de la sucesión del día y la noche durante los tres primeros días. Pero o
bien la Biblia usa la palabra día en un sentido diferente al aceptado corrientemente en
la actualidad, o bien el Sol debe haber sido la causa de la sucesión del día y la noche
durante los tres primeros días. De esto se desprende que, o bien la descripción bíblica
de la cosmogonía no es estrictamente correcta, o bien la palabra día es usada en la
Biblia en un sentido diferente al aceptado corrientemente en la actualidad.
g) Se está a favor de la pena de muerte por miedo al delito o por deseo de venganza.
Aquellos que saben que la pena de muerte no disminuye el delito, no están en favor
de la pena de muerte por miedo al delito. Por lo tanto aquellos que están a favor de la
pena de muerte, no saben que ésta no disminuye el delito o tienen deseo de venganza.
2.6.2. Juegos y Acertijos Lógicos
2.2
Los siguientes acertijos lógicos suceden en la isla de Pícaros y Caballeros, donde los
Pícaros siempres mienten y los Caballeros siempre dicen la verdad, y sólo viven estos
§Versión 2015.1
2.6. Ejercicios
77
habitantes. Resuelva formalmente los siguientes acertijos planteando a) el modelo lógico
del problema, b) justificando mediante una tabla de verdad la conclusión arribada que
responde la pregunta indicada.
a) En la isla de los pícaros y los caballeros, A dice ”O bien soy un pícaro o bien B es un
caballero”. ¿Qué son A y B?
b) Alberto, Bernardo y Carlos son caballeros o pícaros.
- Alberto dice: “Bernardo y Carlos son pícaros”.
- Bernardo dice: “No soy un pícaro”.
- Carlos dice: “Bernardo es un pícaro”.
¿Cuántos son pícaros?
c) Dos personas se dicen del mismo tipo si son ambas caballeros o ambas pícaros. Tenemos tres personas, A, B y C, y sabemos que:
- A dice: “B es un pícaro”.
- B dice: “A y C son del mismo tipo”.
¿Qué es C?
d) Beto, Cacho y Dan tres habitantes de la isla, se encuentran sentados conversando.
- Cacho dice: “Hay un caballero entre nosotros”.
- Dan contesta: “Estás mintiendo”.
¿Qué se puede decir acerca de la caballerosidad o picardía de los tres?.
Sugerencia: Tener presente para modelar el problema que la frase de Cacho indica
que al menos uno de ellos tiene que ser un caballero.
e) Tres habitantes de la isla Beto, Cacho, y Dan, se encuentran en el club de la isla y
surge entre ellos la siguiente discusión:
- Beto dice: “Los tres somos pícaros”.
- Cacho dice: “ Exactamente uno de los tres es un caballero”.
¿Qué son Beto, Cacho y Dan?
Sugerencia: Puede describirse el hecho de que uno o tres entre ellos es un caballero
mediante la expresión b ≡ c ≡ d, ya que esta expresión es verdadera cuando el
número de operandos falsos es par.
2.3
Resolver formalmente los siguientes acertijos lógicos, dando para cada uno de ellos el
modelo del problema y la solución o soluciones que se obtienen a las preguntas planteadas,
justificando la mismas mediante la confección de la tabla de verdad correspondiente.
a) Detrás de una de tres puertas hay un millón de dólares.
• La primer puerta tiene un cartel que dice: “Está Acá”.
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
78
• La segunda puerta tiene un cartel que dice: “No está Acá”.
• La tercera puerta tiene un cartel que dice: “No está en la primera puerta”.
Si se sabe que a lo sumo uno de los carteles es verdadero, ¿Detrás de qué puerta está
el millón?
b) Utilizando el mismo planteo que el ítem anterior, pero ahora los carteles en las puertas
dicen:
• En la primer puerta: “No está en la segunda puerta”.
• En la segunda puerta: “No está acá”.
• En la tercer puerta: “Está acá”.
Esta vez, se sabe que hay al menos un cartel falso, y al menos un cartel verdadero.
Encontrar en que puerta esta el millón.
c) Alberto, Bernardo y Carlos son tres políticos que tienen que votar por una ley. Todos
votan.
• Si Alberto vota que sí, entonces Bernardo y Carlos votan igual entre ellos.
• Si Bernardo vota que sí, entonces Alberto vota lo contrario de Carlos.
• Si Carlos vota que no, entonces Alberto y Bernardo votan igual entre ellos.
¿Se puede saber el voto de los tres? ¿Se puede saber el voto de alguno de los tres?
¿De quién o quiénes?
2.4
Los siguientes acertijos corresponden al problema de La Dama y El Tigre. En cada uno de
ellos proponemos un leyenda para las puertas, y una ayuda del Rey para que el prisionero
pueda resolver el acertijo.
a)
Hab. A: Al menos una de estas habitaciones tiene una Dama.
Hab. B: El Tigre esta en la otra puerta.
El Rey le dice al prisionero: “Los siguientes carteles son ambos verdaderos o ambos
falsos”. Y agrega, “En cada habitación hay una Dama, o un Tigre pero no ambos a
la vez. Si en las dos habitaciones hubieran Damas la suerte es tuya; y si en las dos
habitaciones hubiesen Tigres, la suerte es mía”.
¿Qué puerta debería elegir el prisionero?
b)
Hab. A: Un Tigre esta en esta habitación, o una Dama esta en la otra habitación.
Hab. B: Una Dama esta en la otra puerta.
El Rey le dice al prisionero: “Los siguientes carteles son ambos verdaderos o ambos
falsos”. Y agrega, “En cada habitación hay una Dama, o un Tigre pero no ambos a
la vez. Si en las dos habitaciones hubieran Damas la suerte es tuya; y si en las dos
habitaciones hubiesen Tigres, la suerte es mía”.
¿Qué puerta debería elegir el prisionero?
§Versión 2015.1
2.7. Ejercicios Complementarios
79
2.7. Ejercicios Complementarios
2.5
Determine la validez de los siguientes razonamientos planteando el modelo y construyendo la tabla de verdad correspondiente. En el caso que no sea válido, muestre cual es la
asignación de valores de verdad que prueba su invalidez.
1) B ganará o C se retirará del torneo, si A se retira del torneo. B no ganará el torneo.
Por consiguiente, si A se retira del torneo entonces C se retirará también.
2) Si las leyes son buenas y su cumplimiento es estricto, disminuiría el delito. Si el
cumplimiento estricto de la Ley hace disminuir el delito, entonces nuestro problema
es de carácter práctico. Las leyes son buenas. Luego, nuestro problema es de carácter
práctico.
3) La propiedad es valiosa ó la compañía no hubiera ofrecido comprarla. O bien las
apariencias no son dignas de confianza o la propiedad no es valiosa. La compañía
ofreció comprar la propiedad. Luego, las apariencias no son dignas de confianza.
4) Si hay una obstrucción en la línea o la señal luminosa es roja, el tren se detendrá
antes de llegar al puente. El tren no se detiene antes de llegar al puente. Luego, no hay
obstrucción en la línea.
5) No hay un problema cardiaco y el corazón no late bien, si y solo si hay un problema
cardiaco o el corazón late bien.
6) Si los razonamientos tienen una estructura, entonces una misma proposición puede ser
premisa o conclusión. Una proposición es premisa. Por lo tanto, si los razonamientos
tienen una estructura, una proposición no es conclusión.
7) Si la conclusión de un razonamiento es falsa, entonces el razonamiento no es válido o
por lo menos una de las premisas es falsa. La conclusión de un razonamiento es falsa.
Por consiguiente el razonamiento no es válido o por lo menos una de las premisas es
falsa.
8) Si este es un ejercicio lógico, la unidad de control es el corazón del sistema. Las
computadoras más grandes son las más capaces o este es un ejercicio lógico. Las
computadoras más grandes no son las más capaces. Luego. la unidad de control es el
corazón del sistema.
2.6
Resolver formalmente los siguientes acertijos planteando el modelo lógico asociado al
mismo y justificando su respuesta mediante la construcción de la tabla de verdad asociada.
a) Un Rey tenía exactamente dos hijos varones. Un día un hechicero secuestró a ambos,
y les dijo que le dijeran quién era el primogénito. El hijo llamado Alberto dijo: “Yo
soy el primogénito”. El hijo llamado Bernardo dijo: “Yo soy el segundo hijo”. Si se
sabe que al menos uno de ellos mintió. ¿Quién fue?. Se puede determinar ¿quién es el
hijo primogénito?.
§Versión 2015.1
2. (Bis)
Razonamientos y Acertijos en la L´ogica Proposicional
80
b) Una pareja deja a sus cuatro chicos, Alberto, Beatriz, Carlos y Diana, con una niñera.
Le aclaran que uno de ellos siempre dice la verdad, pero que los otros tres siempre
mienten. Le dicen quien dice siempre la verdad, pero la niñera no presta atención y se
olvida. Mientras prepara la comida, escucha que se rompe un vaso.
-
Alberto dice: “Beatriz lo hizo”.
Beatriz dice: “Diana lo hizo”.
Carlos dice: “Yo no lo hice”.
Diana dice: “Beatriz mintió cuando dijo que yo lo hice”.
¿Quién es el culpable?
2.7
Los siguientes acertijos lógicos suceden en la isla de Pícaros y Caballeros, donde los
Pícaros siempres mienten y los Caballeros siempre dicen la verdad, y sólo viven estos
habitantes. Resuelva formalmente los siguientes acertijos planteando: a) el modelo lógico
del problema, b) justificando mediante una tabla de verdad la conclusión arribada que
responde la pregunta indicada.
a) Alguien pregunta a B: “¿Es usted un caballero?”, B responde “Si soy un caballero, me
comeré el sombrero”. Probar que B deberá comerse el sombrero.
b) El habitante B dice del habitante C:“Si C es un caballero, yo soy un pícaro”. ¿Qué son
B y C?
c) Se rumorea que hay oro enterrado en la isla. Usted pregunta a B si hay oro en la isla.
B responde: “Hay oro en la isla si y sólo si yo soy un caballero”. ¿Puede determinarse
si B es un caballero o un pícaro?. ¿Puede determinarse si hay oro en la isla?
d) Dos personas se dicen del mismo tipo si son ambas caballeros o ambas pícaros. Tenemos tres personas, B, C y D. B dice: “C es un pícaro” y C dice: “B y D son del mismo
tipo”. ¿Qué es D?
e) B realiza por separado las siguientes afirmaciones: “Amo a María” y “Si amo a María
entonces amo a Yolanda”. ¿Qué es B?
§Versión 2015.1
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