Cálculo II Tarea 6: Problemas de Física y Ecuaciones Diferenciales. 1. Enuncia: a) El principio de Galileo. b) La ley de gravitación. c) La segunda ley de Newton. 2. El peso de un cuerpo en la tierra está dado por la fórmula P = mg Explica qué signi…ca g y cómo se calcula a partir de la ley de gravitación. 3. Un cuerpo se lanza verticalmente con una velocidad de 10km por hora desde una altura de 10 metros respecto al piso. a) Encuentra la función x(t) que nos da la distancia del cuerpo al piso. b) Encuentra la altura máxima que el cuerpo alcanza. c) Encuentra el tiempo que tarda en llegar al piso y la velocidad que lleva en el momento de impactar el piso. 4. Demuestra que el alcance máximo de una bala lanzada por un ri‡e se obtiene si el ri‡e forma un ángulo de 4 radianes respecto al piso. 5. Si una bala se dispara con un ri‡e a un ángulo de velocidad de 300km por hora. 4 radianes, con una a) Calcula la altura máxima alcanzada durante su movimiento. b) Calcula el tiempo que ocupa durante su recorrido. c) Calcula el alcance obtenido. En los ejercicios 1 al 5 desprecia la fuerza de fricción con el aire y asume que g = 9:8 sm2 : 6. Explica qué es una ecuación diferencial de primer orden, de segundo orden y da 2 ejemplos de cada una. 7. Pruebe que si f es continua sobre un intervalo @, x0 2 @ y si y0 es un número cualquiera, entonces hay una solución única sobre @ de la ecuación diferencial y0 = f que satisface y(x0 ) = y0 , y que la solución es: Z x y(x) = y0 + f x0 1 8. Encuentre TODAS las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) x_ = x b) x_ = kx c) x_ + 2x = 3 d) x_ = 1 e) x_ = acost f) x_ = 1 t g) x_ = t 5x 2 9. Encuentra la familia de soluciones de la ecuación diferencial dx 1 = dt t y exhibe una solución particular que cumpla la condición inicial x(e) = 2. 10. Se sabe que la tasa a la que una cantidad de cierto elemento radiactivo se desintegra es proporcional a la cantidad del elemento presente. La constante de proporcionalidad depende sólo del elemento radiactivo considerado. a) Modele la desintegración radiactiva usando la notación: t: tiempo r(t): cantidad del elemento presente en el tiempo t. : tasa de desintegración b) Si la cantidad del elemento radiactivo en el tiempo t0 es igual a r0 . Determinar la solución al problema con esas condiciones iniciales c) Demostrar que el tiempo que tiene que transcurrir para que la cantidad del elemento radiactivo se reduzca a la mitad es independiente de la cantidad que se tiene incicialmente del elemento radioactivo. Este tiempo es llamado la vida media del elemento radioactivo y es entonces característico del elemento químico. 11. Una taza de chocolate caliente está inicialmente a 170 F y se deja en un cuarto que tiene una temperatura ambiente de 70 F . Suponga que inicialmente (en el tiempo t = 0) el chocolate se enfría a razón de 20 F por minuto. a) Suponga que es aplicable la ley de Newton sobre el enfriamento: La razón de enfriamiento es proporcional a la diferencia entre la temperatura en curso y la temperatura ambiente. Escriba un problema de valor inicial que modele la temperatura del chocolate caliente. b) ¿Cuanto tiempo le toma al chocolate caliente enfriarse a una temperatura de 100 F ? 2