ロジスティック方程式 フェルフルスト (Pierre-François Verhulst、1804 年∼1849 年) は人口増 加の仕方を説明する数理モデルとして次の方程式 (このような方程式を 微分方程式という) を提案した： N ( ) dN N = γN 1 − dt µ N=µ (γ, µ > 0 : 定数) N = N(t) : 時間 t における人口 N = N(t) t ロジスティック方程式の例 １ 当たりの大腸菌の個体数︵単位 cm 6 3 5 4 マッケンドリックと ケサバ・パイによる 37◦ C に保たれた ペプトンスープ中の大腸菌の増殖 3 2 1 万個︶ 100 0 1 2 3 4 5 6 7 時間 22.3 分刻み 8 ロジスティック方程式の例 600 500 酵母菌の個体数 400 カールソンによる酵母菌の成長 300 200 100 10 時間 20 30 ロジスティック方程式の例 22500 20000 17500 人口︵万人︶ 15000 12500 アメリカの人口の推移 10000 7500 5000 2500 1790 1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 年代 ロジスティック方程式に当てはまらない例 ヨツモンマメゾウムシの個体数の変動 (内田俊郎、1941 年∼) 個 体 数 世代 ロジスティック方程式から漸化式へ (差分化) ∆t > 0 を固定して、関数 N = N(t) の飛び飛 N びの値を取る: Nn = N(n∆t) (n ∈ N) ( ) N n∆t + ∆t − N(n∆t) dN ⇝ dt ∆t N = N(t) N5 ( ) dN N = γN 1 − dt µ ⇝ an+1 = ran (1 − an ) ) ( γ∆t Nn an = µ(1 + γ∆t) N4 N3 N1 N2 ∆t ∆t ∆t ∆t t
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