恋の微分積分ロドリゲス出版 !1 禁断の手法 • さまざまな限界をやぶって、人は愛の地平を築きあげてきた • ときに後退しつつ、のろいにかかりながら、すこしでもましなほうこうにいけるよう、人はななめ前を向いてはなしをすすめていく。 !2 どのようなことにつかわれているのか？ • 微分法は速度や加速度の計算、曲線の接線の傾きの計算、最適化問題の計算などに使われている。 • 積分法は、面積、体積、曲線の長さ、重心、仕事、圧力などの計算につかわれている。 !3 微分積分すると、何が起こるのか？ • たとえば • 移動した距離を時間で微分すると速度が得られる • 速度を時間で微分すると加速度が得られる • 逆に、加速度を時間で積分すると速度が • 速度を時間で積分すると移動距離が得られる。 • 互いに互いの演算を補う関係なのがわかる !4 自動車のスピードメーターに例えてみる • スピードメーターが今の速度を割り出すのに使っているのが距離と時間の微分 • 時速40キロで三十分走った場合の距離を求めるのが速度と時間の積分 • メーターのあがり具合をメモしておき、速度の変化から加速度を割り出すのが速度と時間の微分 !5 微分する、とはどういうことか？ • 微分とはある関数のある時点の微分係数（変化率）differential coefficientをもとめることをいう !6 微分係数を知り導関数を知る •導関数derivativeとは関数のある時点での任意の微分係数（変化率）を知ることができる関数である •微分においてはこの微分係数（変化率）と導関数（変化率がわかる関数）の導き出しが重要となる !7 積分する(integrate)、とはどういうことか？ • 積分(integral)とはある関数の原始関数primitive を求めることをいう • 原始関数とは、ある関数を導関数とみたとき、その導関数がみちびきだす関数のことをいう • つまり !8 微分（きみ）と積分（ぼく）は逆演算の関係にある • 逆演算はたしざんとひきざんの関係と同じ • 微分によってもとめられた導関数は、積分によってもとの関数にもどるし、積分によって原始関数になった関数は、微分によってもとの関数にもどる !9 きみはぼくの逆演算 • 微分と積分の関係性については、近代まで知られていなかった • もともとは関係の無いとおもっていた計算上の手続きに関連をもたせることができるようになり、計算が楽になった（特に積分） !10 愛のリテラシー係数 !11 係数coefficientの大切 • 係数とはここではものごとの対応関係をあらわすたいせつな数字である !12 係数は数字だ • 係数はものの対応関係をあらわすため具体的な数字のかたちをとる !13 係数の大事 • 数式にとって係数は、ネジや骨子、かすがいのように、ものごとの関係をあらわすのに不可欠な数字となる !14 係数と定数 • 場合によっては、係数と定数の意味は限りなく近くなり、似た役割を担う場面も多い !15 係数は、力だ • 係数、定数は、物理では物事の力をあらわす大切な数字なんだ。 • そうして、力学にはさまざまな比例係数、定数がある。力学にはさまざまな比例係数、定数がある。 !16 さまざまな係数、定数 •摩擦係数、万有引力定数、反発係数など、あらかじめ決められた数がたくさん •係数や定数といった具体的な数値が、物理学などの学問の要となってささえている !17 多項式と係数、と変数 • 式を項からなる多項式とかんがえる。このとき文字で表される不確定な項についた数字の部分を係数と呼ぶ。逆に不確定な項部分を変数と呼ぶ • 係数は確定しているので、不確定な項どうしの対応関係をあわらしているとかんがえられる !18 比例と係数 • ある数字に対応した別の数字の動きを比例と呼ぶ。対応を数字であらわすときもその数字を係数とよぶ。 • 比例をグラフで表した場合、比例係数がグラフの傾きをあらわす !19 関数も変数と係数からなる • 関数も変数と係数からなる式である。 • 導関数も、変数と係数からなる式である。 !20 極限での愛微分積分に至るある道のり !21 • 微分積分は、 • 曲線の下の面積、量を求める方法 • 動きを瞬間的に捉える方法 • を考えてきた先人の成果の上に成り立っている。 • それは、極限を考える歴史でもある。 !22 まっすぐな定規を用いて、円を真四角に変えよ • 円積問題（えんせきもんだい）とは「与えられた長さの半径を持つ円に対し、その円と同じ面積の正方形を作図することができるか」という古代から伝わる話題である。 !23 円積問題、古代人の方法（ méthode des anciens） • アンティポンは、円の周りに多角形を内接させ、それから外接させ、最後に多角形の面積を計算することで、円周率の値の上限と下限を求めた。 !24 ソクラテスの思い出 • アンティポンは円に或る多角形,おそらく正 3 角形か正方形を内接させる.そして弧の 2 等分によって,辺数が 2 倍の多角形,つまり正 6 角形か正 8 角形を得る.このように続けていくと,その各辺が次第に小さくなるため,究極的には円周と一致する一つの多角形が得られるだろう,と彼は信じていたのである. • そうなれば,どんな多角形に対しても,それと面積の等しい正方形は作図できるし,一方、得られた多角形は円に等しいとみなされるのだから,円もまた正方化されると,彼は結論したわけである. （クセノポン：ソクラテスの思い出） !25 とりつくし法 • 取り尽くし法（英: method of exhaustion、羅: methodus exaustionibus）は、与えられた図形の面積や体積を求める手法の1つで、その図形に内接する一連の多角形を描き、それらの面積を元の図形に収斂させる方法である。この方法はアンティポンが起源だが、彼がどこまで明確に理解していたのかは不明である。 !26 とりつくし法 •取り尽くし法には一般に背理法の一種を必要とする。これは、ある領域の面積を第2の領域の面積と比較することによって求めることに相当し、それを「取り尽くす」ことで真の面積に恣意的(わざと)に近づけていく。 •取り尽くし法は微分積分の先駆けと言える。 !27 背理法：ひとつになれない •ある判断を否定し、それと矛盾をなす判断を真とすれば、それから不条理な結論が導き出されることを明らかにすることによって、原判断が真であることを示す証明法。帰 (きびゅう) 法。間接還元法。間接証明。→直接証明 !28 ぼく（アキレス）ときみ（亀） • あるときアキレスと亀が徒競走をした。亀は足が遅いので、アキレスよりもいくらか進んだ地点から出発した。 !29 ぼく（アキレス）ときみ（亀） • スタート後、アキレスが亀の出発地点に達した時には、亀はアキレスが達するまでの時間分だけ先に進んでいる。 • アキレスが今度は次の亀のいた場所に達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進んでいる。 !30 ぼく（アキレス）はきみ（亀）に追いつけない • 結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。 • リクツではそうなのか？でも、現実は違うだろう？そうでないとしたら、なぜか？ !31 パラドックスとの戦い •古代ギリシアの哲学者ゼノンは、アキレスと亀の話にあるようなパラドックスの例を示している。 •微分積分、特に極限と無限級数を使えば、それらのパラドックスを解決することができる。 !32 ゼノンの誤りは「無限に加算しつづけた数は無限である」と解釈した点にある • アキレスと亀の問題は『計算をいくらでも続けられる』ことから『いつまでたっても追いつけない』という結論を導いている箇所に飛躍があった • 実際は、無限に数字を加算した場合でも、答えが有限である場合はあることが近世以降に明らかとなった。 !33 微分積分が生まれ、愛はうまれるニュートン、ライプニッツ !34 ニュートンとライプニッツふたりはライバル • デカルトから始まる近代的な数学、代数と変数、関数の整備によって、数学は近代的な表現を手に入れた。 • その次世代の数学体系をうけて、微分積分の近代化を現代に橋渡したのがニュートンとライプニッツである !35 ニュートン、 • ニュートンは、積の微分法則、連鎖律、高階微分の記法、テイラー級数、解析関数といった近未来の概念を独特の記法で導入し、それらを数理物理学の問題を解くのに使った。 !36 ライプニッツ、 •ライプニッツはライプニッツ則と連鎖律を規定した。また、微分の記号としてdxおよびdy を，積分の記号として∫を用い、次の世代へと橋渡しをした。 !37 ニュートンとライプニッツふたりはともだち • ふたりの共通点 • 微分と積分の法則の理解（互いに逆演算の関係であること • 二次および高次の導関数（導関数の導関数の導関数のもとめかた、その法則、とか） • 多項式級数の近似（多項式展開） !38 アルゴリズム(計算法)の時代 • それでは、あとに残されたものは、これらの事実をひとつの体系に統合することだけだったのだろうか。いや統合のためには、なによりも決定的なこと、この無限小解析の総体を認識し把握するためのアルゴリズム(計算法)が必要であった。 (森毅、すうがくのれきしより) • ニュートンとライプニッツがもたらした時代、それはアルゴリズム(計算法)の時代でもあった !39 • ニュートン・ラフソン法 • オイラー法 • ラグランジュ補間 • ガウスの消去法 • ホーナー法 • 多くの計算法が、目的や用途に応じて分類、細分化していく。 !40 恋のアルゴリズム微積方程式から解析学へ !41 数値解析と科学の時代 • アルゴリズム(計算法)の整備は、数値解析の時代を呼んだ。 • 解析学とともに物理方程式(微分方程式)も進歩していく。 • コンピュータの発展もあり、数値解析は前進を続ける。 !42 微分方程式 • 物理学の基礎方程式は微分方程式であるニュートンの運動方程式マクスウェルの方程式ナヴィエ・ストークス方程式アインシュタイン方程式シュレディンガー方程式ハイゼンベルクの運動方程式クライン-ゴルドン方程式ディラック方程式 !43 方程式と解(こたえ) • これまで私たちは、多項式（係数と項）→関数（係数と変数）→方程式（関数と解）とその論を拡大してきた。 • 方程式は、ある事柄についての答えを定める !44 方程式と解(こたえ) • ひとたび方程式と名がつけば、それは解と関係がある • 微分方程式も同じで、どんなに複雑になろうと、方程式が持つ性質を、微分方程式も持つ !45 方程式と解(こたえ) • 方程式のもっとも典型的なかたちは未知数とよばれる項をふくんだ等式である。 • 様々な式が等式によって結ばれて行く • 式が結ばれ、条件を狭めることで方程式は解をもつ !46 バビロニアと方程式 • 古代バビロニア人は、今日一次方程式や二次方程式、不定一次方程式を使って解くような問題を計算するための公式を開発した。 • 同時代（紀元前1千年紀）のエジプトやギリシアや中国では、そのような問題は幾何学的に解かれていた。。 !47 デカルトと方程式 • 1637年のルネ・デカルトの『幾何学 (La Géométrie)』は解析幾何学の先駆けであり、近代的な代数的記法を導入したものである。 !48 ニュートンと方程式 • 数値解析の分野において、ニュートン法（ニュートンほう、Newton's method）またはニュートン・ラフソン法（Newton-Raphson method）とは、方程式系を数値計算によって解くための反復法による求根アルゴリズムの1つである。対象とする方程式系に対する条件は、領域における微分可能性と2次微分に関する符号だけであり、線型性などは特に要求しない。収束の速さも2次収束なので古くから数値計算で使用されていた。 !49 求根(Root-finding)アルゴリズム • 求根アルゴリズムは、与えられた関数fについて、f(x) = 0を満たす値xを得るための数値解法、もしくはアルゴリズムである。 • f(x) − g(x) = 0の求根は、方程式 f(x) = g(x)を解くことと同値である。ここで、xを方程式の未知数と呼ぶ。逆に、任意の方程式は標準形f(x) = 0を取りうるので、方程式の求解は関数の求根と同値である。 • 数値的な求根アルゴリズムでは反復法を用いて、根となる極限（いわゆる極値）に収束する（と期待される）数列を生成する。 !50 方程式とアルゴリズム(計算法) • アルゴリズム(計算法)は方程式をわかりやすい形に置き換えて、解をもとめやすくする。答えは近似値であることが多い • 近似値をもとめるため、変換、線形性や連続性などの性質をみきわめ、最小の努力で、最大限もつともらしい答えを紡いでいく !51 数値解析と近似 • 数値解析は、コンピュータの発明以前から多くの国々で行われていた。 • 線型補間は2000年以上前から行われている。 • ニュートン法、ラグランジュ補間、ガウスの消去法、オイラー法などの名称からも分かるように、歴史上の偉大な数学者の多くは数値解析に夢中だった。 !52 数値解析と近似 • 計算を手で行うため、方程式と数表を掲載した分厚い書籍が生み出された。例えば、関数の小数点以下16桁まで計算された数表を使って、与えられた方程式にその値を代入し、関数の正確な近似値を得ることができた。 !53 数値解析と近似 • この分野での正統的な業績として、 Abramowitz と Stegun が編集したNISTの書籍などを挙げることができる。これは1000ページを超えるもので、典型的な方程式や関数の数表を多数集めている。 • 今は計算はコンピュータがあるため、アルゴリズム(計算法)だけが人間の手元に残っている !54 常微分方程式と偏微分方程式 !55 多変数関数の世界 • 一対一の対応に対し、多変数関数では複数の変数に対して値がひとつ決まる • 複数の変数によって、ひとつの値が定められる。 !56 偏微分方程式多変数関数の微分 • 複数の変数を扱う場合に、微分方程式は. 偏微分方程式と呼ばれ、ラウンドディーがつかわれる !57 多重積分多変数関数の積分 !58 変数分離と積分 • 変数分離（へんすうぶんり、separation of variables）は、常微分方程式や偏微分方程式を解くための手法。方程式を変形することにより、2つあるいはそれ以上の変数が式の右辺・左辺に分かれるようにすること。 • 両辺の積分を実行すれば、微分方程式の解が求まる。変数分離は実際のところ、導関数 dy /dx を分数とみなして分母を払うのと同じことである。そうすることによって解くのがもっと簡単になる。 !59 微分方程式の解法 • 置換積分法の公式 • そのほかの解法としては斉次方程式の解を利用して解く定数変化法やグリーン関数を用いた解法、差分方程式を用いた解法、ラプラス変換や逆ラプラス変換を用いた解法など様々な解法が知られている。 !60 ラプラス変換 • ラプラス変換によりある種の微分・積分は積などの代数的な演算に置き換わるため、制御工学などにおいて時間の（とくに超越的な）関数を別の（おもに代数的な）関数に変換することにより、計算の見通しをたてるための便法として用いられる。 !61 三つの運動方程式 • 古典力学の運動方程式には、３つの表現形式があります。 • ニュートン、ラグランジュ、ハミルトン。 • ニュートンのものが一番の基本で、最もシンプルです。 • 後の２つは解析力学と呼ばれる分野に登場します。 • !62 超越関数 • 超越関数（ちょうえつかんすう、英: Transcendental Function）とは、係数が多項式であるような多項式で表せない関数である。より正確に言えば、1変数の関数が超越的であるのは、その変数について代数的独立性がある場合である。 !63 グリーン関数による解法 • グリーン関数 (Green's function) とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるグリーン関数法に現れる関数である。 !64 数値解析と解 • 微分方程式の多くは、実際のところ殆どのものが解を求めるのが困難であり、よく知られている関数の組合せでは記述できないものが多い。 • 従って、解析的な解法に加えて、計算機を利用した数値計算による解の探索が重要視される。常微分方程式にはオイラー法やルンゲ＝クッタ法、偏微分方程式には有限要素法などを利用し、近似値をもとめる。 !65 ルンゲクッタ法による近似 • ルンゲ＝クッタ法（Runge-Kutta method）とは、数値解析において常微分方程式の近似解を求める一連の方法である。 !66 オイラー法による近似オイラー法（ーほう）(Euler's Method) とは、1 階常微分方程式の数値解法の一つ。 !67 離散化（discretization）と近似 • 微分方程式を数値的に解くには、有限長のデータでなければならず、定義域が連続であっても、有限個の点を選んで値を計算する。 • 連続問題を近似的に離散問題に変換して解く、この変換過程を「離散化（discretization）」という !68 連続(アナログ)から離散(デジタル)へ • 極限が整備されつつ、さまざまな近似手法が確立されていく • 無限連続したある事象を、有限個にしてとりだし、離散化する !69 多項式展開と近似 • 数学において、多項式の展開（てんかい、expand）とは、複数の多項式の積をひとつの多項式で表すことをいう。これは、因数分解と逆の操作である。 • 展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、冪級数に対するものに自然に拡張される。 • 多くの場合多項式展開によって計算は単純になる。 !70 テイラー展開による近似テイラー展開（テイラーてんかい: Taylor expansion）とは、無限回微分可能な関数 f(x) から、テイラー級数（テイラーきゅうすう、Taylor series）と呼ばれる、負冪の項を持たない冪級数を得ることを言う。多項式展開で近似化することで、計算が単純になる。 !71 偏微分方程式を解く • 偏微分方程式を解くには、まず方程式を離散化し、有限次元の部分空間で計算を行う。 • そのような計算手法として、有限要素法、差分法、特に工学分野で使われる有限体積法などを挙げることができる。 • これらの手法によって、問題を代数方程式の求根に還元することができる。 !72 有限差分法による近似 • 関数のいくつかの点における値の差を用いて、その関数の微分係数（変化率）を近似することを差分近似という • このことを“ 微分係数を差分商で置き換える ”と表現する.またこの近似法を有限差分法(finite difference method)とよぶ !73 FEM(有限要素法)による近似 • 有限要素法（ゆうげんようそほう、英語: Finite Element Method、FEM）は数値解析手法の一つ。解析的に解くことが難しい微分方程式の近似解を数値的に得る方法の一つである。方程式が定義された領域を小領域（要素）に分割し、各小領域における方程式を補間関数で近似する。 !74 有限体積法による近似 • 1960年代にLos Alamos研究所において開発された。この方法は、有限差分法と有限要素法の両方の特徴を合わせ持つ手法と言える。 • 解析領域をセル（cell）と呼ばれる小領域に分割し、セルの格子点を中心とする領域であるコントロールボリューム（control volume）あるいは検査領域を定義する。そして、有限要素法と同様にその離散化には重み付き残差法を適用する。ただし有限体積法では、コントロールボリュームごとに、重み関数を１として重み付き残差式を離散化する。 !75 なまえのきまり • たいがい • 「法」「変換」とつけば数値解析アルゴリズム • 「係数」「定数」とつけば物理係数 • 「展開」とつけば多項式展開アルゴリズム • 「方程式」とつけば微分方程式 !76 直接解法と反復解法 • 直接解法は、問題の解を有限個のステップで計算する。 • 反復解法は、ある初期予測値から開始して、反復的に計算を行って徐々に解に収束させていく。数値線型代数の大規模な問題には、反復解法が一般に必要とされる。 !77 線形性と行列 • 微分方程式が線型である場合は線型代数学の範疇で解を探すことができる !78 線形性とはなにか？ !79 線形性による答えのもとめかたのちがい • 線型方程式を解く手法については研究が進んでいる。標準的な直接解法としては何らかの行列分解を使うものがあり、ガウスの消去法、LU分解、対称行列やエルミート行列に関するコレスキー分解、非正方行列に関するQR分解がある。反復解法としては、ヤコビ法、ガウス＝ザイデル法、SOR法、共役勾配法があり、大規模な方程式系でよく使われる。 • 非線型方程式には求根アルゴリズムが用いられる（根とは、関数がゼロとなる変数の値を意味する）。関数が可微分で導関数が分かっている場合には、ニュートン法が利用されることが多い。他にも線型化などの手法がある。 !80 解の存在をたしかめる • 特別な情况がない場合、常微分方程式の解は一意的であることがしられている。。ただし、上の例でも見た通り、一般に常微分方程式はある点での解の値とそのまわりの点での解の値を関係づける方程式なので、まず最初の一点の値を与えることをしないと、解が構成できないことが分かる。よって、解を厳密な意味で一意的に定めるにはその解に対する初期値も定める必要がある。 !81 リプシッツ（Lipschitz）連続 • 微分方程式の理論では、リプシッツ連続はピカール-リンデレフの定理の中心となる条件であり、初期値問題に対して解の存在と一意性を保証する。 !82 極限とはなんだ !83 イプシロン-デルタ論法誤と差の論法 • ε-δ 論法とは、解析学において、無限小や無限大を用いず、有限な大きさの実数を値にとる変数 ε(誤) や δ(差) などを用いて極限を扱う方法である。 !84 数値解析からシミュレーションの時代へ !85 不気味の谷 • ロボット工学者の森政弘・東京工業大学名誉教授が 1970年に提唱した。森政弘は、人間のロボットに対する感情的反応について、ロボットがその外観や動作において、より人間らしく作られるようになるにつれ、より好感的、共感的になっていくが、ある時点で突然強い嫌悪感に変わると予想した。人間の外観や動作と見分けがつかなくなると再びより強い好感に転じ、人間と同じような親近感を覚えるようになると考えた。 !86 !87 • 極限をもとめたり近似値をもとめたりしながら • ひとはある真理に近づこうとした • 誤差や精度といったものが、十分に理にかなうあたりになったころ • 数学の近代化は終わり、科学の時代がきた • 数式と自由に恋をし、愛でることのできる時代がきた • この文章はそのいりぐちにあり、ひとが、めいめい自由に恋愛することの後押しをする !88 おわり !89 この文書について • これは数学や計算方法の入門書ではない • その前段で、訳語やターミノロジーの整理をすこし行い • 計算方式そのものが表現の歴史を持つ（表出史）とかんがえたときに • 編める文章はどんなものか、ありていの情報をよせあつめて作られた、いわば一つの恋のうたである !90 !91 番外編というか順番未定学校の微分積分 !92 学校の微分 • ある関数の平均変化率から極限をさぐり微分係数（極限下の変化率）を割り出す、割り出した微分係数から導関数をつくりある関数のある地点での変化率を知る !93 学校の積分 !94 学校の微分方程式 !95 コンピュータの微分 • コンピュータ上の計算は離散化と近似が前提であり、誤差を常に意識する必要がある !96 逆二乗の法則 • 最初に発見された逆2乗の法則は、ヨハネス・ケプラーが発見した、光の減衰の法則である。ケプラーは「光の強さが光源からの距離の2乗に反比例する」ことを証明した。 • ここでは、逆二乗という比例係数が登場する !97 逆二乗の法則 • エドモンド・ハレーが1684年の夏にケンブリッジ大学を訪問したのだが、そこで「惑星が距離の二乗に反比例する力で太陽に引き寄せられると仮定した場合、惑星が描く曲線はどのようなものであろうか？」とニュートンに質問した。この質問に対してニュートンは「楕円だろう」と即答した。 !98 放射能と逆二乗 •距離を倍数で考えてみる •「距離の逆2乗に比例する」という意味は、例えば「距離が2倍になれば線量は 2^2で4分の1、距離が3倍になれば3^2で9分の１、4倍になれば16分の１・・・」になるということです。 •つまり、50ｃｍが60ｃｍになった場合、距離は60/50＝1.2倍になったということですから、線量は1.2＾2＝1.44分の１になるということになります。 •距離が何倍になったかを考え、その数字を2乗したもので割れば答えが出ます。 !99 連鎖律チェインルールと結合法則 • 微分法において連鎖律（れんさりつ、英: chain rule）とは、複数の関数が合成された合成関数を微分するとき、その導関数がそれぞれの導関数の積で与えられるという関係式のこと。積分法においては、置換積分に対応する !100 カヴァリエリ（Cavalieri）の原理 • ２つの平面図形を、平行な直線で切ったときの切り口の長さがいつも等しければ、２つの図形の面積は等しい。 !101 数学的基盤 リテラシー、インフラ •微積分の定式化の研究により、カヴァリエーリの微分と、有限差分法が組み合わされるようになる。 •この統合を行ったのがジョン・ウォリス、アイザック・バロー、ジェームズ・グレゴリーであり、1675 年ごろ微分積分学の基本定理の第2定理を証明した。 !102 微分積分の第二定理 微分と積分の逆演算の関係性 • 微分して積分すると、高々定数の差を除いてもとの関数が現われること !103 ニュートン • ニュートンは微分積分の手法を使い、天体の軌道、回転流体の表面の形、地球の偏平率、サイクロイド曲線上をすべる錘の動きなど、様々な問題について『自然哲学の数学的諸原理』の中で論じた。 !104