4 Filter - Hochschule Landshut

Prof. Dr. T. Wolf
Hochschule Landshut
Schaltungstechnik
Studiengang Elektro- und Informationstechnik
4 Filter
4.1 Tiefpass-Filtercharakteristiken
Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters
Ein ideales Tiefpassfilter überträgt Signale mit Frequenzen unterhalb einer
Durchlassfrequenz fc unverändert und blockiert Signale mit Frequenzen oberhalb
einer Sperrfrequenz fs vollständig. Ein solches Filter ist prinzipiell nicht realisierbar,
sondern kann nur mehr oder weniger gut angenähert werden.
An den Amplitudengang ( = Betrag der Verstärkung in dB (20log(Ua/Ue))) eines
realen Tiefpassfilters können von der jeweiligen Anwendung abhängige
Anforderungen gestellt werden. Es ist üblich, diese Anforderungen nicht für die
Verstärkung, sondern für den Kehrwert, die sog. Dämpfung Ue/Ua zu formulieren und
in einem Toleranzschema graphisch darzustellen:
Ue/UadB
amindB
verbotener
Bereich
verbotener
Bereich
a0dB+3
amaxdB
a0dB
fc fg
fs
f
Das Toleranzschema wird durch folgende fünf Größen beschrieben:
a0dB:
Dämpfung in dB für f  0
fc:
Grenze des Durchlassbereiches
amaxdB:
maximale Dämpfung in dB bei fc
fs:
Grenze des Sperrbereiches
amindB:
Mindestdämpfung in dB bei fs
(bei Verstärkung ist a0dB negativ!)
Diese fünf Größen definieren zwei "verbotene" Bereiche, in denen die
Dämpfungskurve nicht verlaufen darf. Außerhalb dieser Bereiche kann der
Dämpfungsverlauf nach weiteren Kriterien optimiert werden.
Die Grenzfrequenz fg eines realen TP-Filters ist definiert als die Frequenz, bei der die
Dämpfung um 3dB gegenüber a0dB zugenommen hat. Die Grenzfrequenz wird
durch das Toleranzschema alleine nicht festgelegt, sondern ergibt sich aus dem
Toleranzschema erst nach Wahl der Filtercharakteristik.
4-1
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Die Übertragungsfunktion eines realisierbaren Tiefpassfilters hat die allgemeine
Form:

Ua
1  1~
s  2~
s 2  ...  m ~
sm
mn
G    V0 
1  1~
s   2~
s 2  ...   n ~
sn
Ue
f
j
~
s
j
fg
g
~
s ist die normierte komplexe Frequenz:
Die Frequenz f wird dabei auf die Grenzfrequenz fg normiert, bei der die Amplitude
der Übertragungsfunktion um 3dB gegenüber ihrem Wert bei f = 0 abgenommen hat.
V0 ist die Verstärkung für f = 0. Es gilt:
V0  10
a 0
dB
20
Diese Übertragungsfunktion hat die Eigenschaft, dass bei hohen Frequenzen im
s m und im Nenner der Term mit ~
Zähler der Term mit ~
s n dominiert. Deshalb nimmt
die Dämpfung eines solchen Tiefpasses bei hohen Frequenzen mit
(n-m)20dB/Dekade zu, d.h. die Ausgangsamplitude nimmt bei konstanter Eingangs(n-m)
ab, wenn die Frequenz um einen Faktor 10 steigt.
amplitude um einen Faktor 10
Die Ordnung n ist damit der entscheidende Parameter, der zur Erfüllung des
Toleranzschemas geeignet gewählt werden muss. Je größer n ist, um so steiler steigt
die Dämpfung an und um so leichter ist das Toleranzschema zu erfüllen.
Andererseits nimmt auch der schaltungstechnische Aufwand proportional zur
Ordnung n zu, so dass in der Praxis n nicht größer als notwendig gewählt wird.
Das Verhalten eines Filters im Zeitbereich wird durch sein Einschwingverhalten auf
einen Rechtecksprung am Eingang charakterisiert. Da der Rechtecksprung aus
Sinusschwingungen besteht, deren Frequenzen alle Vielfachen der Grundfrequenz
durchlaufen und die hohen Frequenzen vom Tiefpass weggedämft werden, ist der
Anstieg des Ausgangssignals nicht mehr senkrecht, sondern wird durch die Steigung
der gerade noch durchgelassenen Sinusschwingung mit der Frequenz fg bestimmt.
Deshalb beträgt die Anstiegszeit tr bei allen Tiefpassfiltern näherungsweise:
tr  1/3fg.
Aber auch die durchgelassenen Sinusschwingungen benötigen eine gewisse Zeit für
das Durchlaufen des Filters, die sog. Gruppenlaufzeit:
g  
dG
d
Da die Laufzeit der einzelnen Sinusschwingungen unterschiedlich ist, passen sie am
Ausgang nicht mehr genau zusammen und es ergibt sich ein Einschwingverhalten
auf das Rechteckplateau (s. Tietze/Schenk Abb. 14.3 und Abb. 14.13).
Die reellen Koeffizienten i und i der allgemeinen Tiefpass-Übertragungsfunktion
können dazu benutzt werden, um zusätzlich zum Toleranzschema weitere
Eigenschaften der Übertragungsfunktion zu optimieren.
In der Literatur werden für die verschiedenen Filtercharakteristiken statt der
Koeffizienten i und i üblicherweise die Koeffizienten ai und bi bzw. die normierten
Polfrequenzen fpi/fg und die Polgüten qi der faktorisierten Übertragungsfunktion
tabelliert:
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
1  az1~s     1  azi~s  bzi~s 2
U
G   a  V01    V0h
1  an1~s     1  ank ~s  bnk ~s 2
Ue





 
f
1 fg ~  fg
1  g ~
s     1 
s
 fp   qzi fp
 fp

 
 zi
z1
zi
2
 ~2 
 s




 V01    V0h
2




f
1 fg ~  fg  ~2 
1  g ~
s     1 
s
s 
 fp   qnk fp
 fp 


 
 nk 
n1
nk

Diese Faktorisierung des Zähler- und Nennerpolynoms in lineare und quadratische
Faktoren ist bei reellen Koeffizienten immer eindeutig möglich. Die Faktorisierung der
Konstante V0 kann willkürlich gewählt werden. Ein Koeffizientenvergleich zwischen
den beiden faktorisierten Formen liefert folgende Umrechnungsformeln:
f pi
fg
f pi
fg

1
ai

bei linearen Faktoren
1
qi 
bi
bi
bei quadratischen Faktoren
ai
Bei den drei wichtigsten Filtercharakteristiken (Butterworth-, Tschebyscheff- und
Besselfilter) ist m  0, Cauer-Filter besitzen ein Zählerpolynom mit m  0:
Butterworth-Charakteristik
Die Butterworth-Charakteristik ist auf einen möglichst flachen Verlauf des
Amplitudengangs im Durchlassbereich optimiert (s. Tietze/Schenk, Abb. 14.6).
Der Amplitudengang hat bei der Butterworth-Charakteristik eine sehr einfache
nichtfaktorisierte Form:
Ua

Ue
f 
1  
f 
 g
 V0
asymptotisches Verhalten: U a  


V0
Ue
2n
 V0

f  fg
für
 fg
 
 f




n
f  fg
für
Für die Koeffizienten ai und bi der faktorisierten Form lassen sich geschlossene Ausdrücke angeben. Man kann sie jedoch auch aus entsprechenden Tabellen entnehmen (s. Praktikum bzw. Tietze/Schenk Abb. 14.14).
Die Polfrequenzen aller Faktoren sind gleich der Grenzfrequenz fg (alle bi = 1). Da
die Polfrequenz in der komplexen Ebene den Abstand des Poles zum Ursprung
angibt, liegen alle Pole bei Butterworth-Filtern auf einem Kreis mit Radius fg.
Filterordnung n und Grenzfrequenz fg können bei Butterworth-Filtern rechnerisch
a

a

0.1a
0.1a
log 10
 1 10
1
ermittelt werden:
n' 

min dB
0 dB

max dB
2  logfs fc 
0 dB

Durch das Aufrunden der Filterordnung auf die nächste ganze Zahl n entsteht ein
Spielraum für die Lage der Grenzfrequenz fg:
f g min 
fc
 0.1 amax dB  a0 dB  1

10 



f g max 
1
2n
Bei gleichmäßiger Verteilung des Spielraumes:
4-3
fs
 0.1 amin dB  a0 dB  1

10 



1
2n
f g  f g min  fg max
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Tschebyscheff-Charakteristik
Die Tschebyscheff-Charakteristik ist auf ein möglichst scharfes Abknicken des
Amplitudengangs bei fc unter Inkaufnahme einer bestimmten Welligkeit im Durchlassbereich optimiert (s. T/S: Abb. 14.9). Das Abknicken erfolgt um so steiler, je größer
die Welligkeit im Durchlassbereich ist (s. Tietze/Schenk: Abb. 14.10).
Die Koeffizienten ai und bi werden Tabellen entnommen (s. T/S: Abb. 14.14).
Die Polfrequenzen sind hier nicht mehr gleich fg, sondern kleiner (bi>1). Sie liegen
deshalb in der komplexen Ebene auf einer zur imaginären Achse gestauchten Ellipse
Das Einschwingverhalten im Zeitbereich ist noch ungünstiger als bei ButterworthFiltern, weil die Gruppenlaufzeit in der Nähe der Grenzfrequenz stark überhöht ist.
Bessel-Charakteristik
Die Bessel-Charakteristik ist auf einen möglichst flachen Verlauf der Gruppenlaufzeit
optimiert. Daraus ergibt sich ein möglichst steiler Anstieg der Sprungantwort im
Zeitbereich ohne Überschwingen (s. Tietze/Schenk, Tab. 14.12).
Der Amplitudenverlauf im Frequenzbereich ist runder als bei Butterworth-Filtern (s.
Tietze/Schenk, Abb. 14.2).
Die Koeffizienten ai und bi werden Tabellen entnommen (s. T/S: Abb. 14.14).
Die Polfrequenzen sind hier ebenfalls nicht mehr gleich der Grenzfrequenz, sondern
größer (bi<1). Die Pole liegen in der komplexen Ebene auf einer von der imaginären
Achse weggedehnten Ellipse.
Filterordnung und Grenzfrequenz können bei Tschebyscheff- und Bessel-Filtern nur
grafisch anhand des normierten Amplitudenganges ermittelt werden.
Vergleich der verschiedenen Filtercharakteristiken bei einem Tiefpass
Amplitudengang
Gruppenlaufzeit
Sprungantwort
(Tietze/Sch. Abb. 14.2)
(T./S. Abb. 14.13)
(T./S. Abb. 14.3)
Butterworth
optimal flacher Verlauf
im Durchlassbereich,
scharfes Abknicken in
den Sperrbereich
Anstieg der Gruppenlaufzeit bei der
Grenzfrequenz
beträchtliches
Überschwingen,
das mit der Ordnung zunimmt
Tschebyscheff
konstante Welligkeit im
Durchlassbereich,
schärfstes Abknicken in
den Sperrbereich
starke Schwankungen der
Gruppenlaufzeit
über der Frequenz
noch stärkeres
Überschwingen
als bei Butterworth
Bessel
flacher Verlauf im
Durchlassbereich, weicherer Übergang in den
Sperrbereich als bei
Butterworth
optimal flacher
Verlauf der
Gruppenlaufzeit
über der Frequenz
kaum Überschwingen, optimales Rechteckübertragungsverhalten
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4.2 Weitere Filtertypen
Neben Tiefpassfiltern sind auch andere Filtertypen möglich: Hochpass
Bandpass
Bandsperre
Allpass
Für diese Filtertypen gilt ebenso wie für Tiefpassfilter, dass sie nicht ideal realisiert
werden können. Auch bei ihnen entscheidet im wesentlichen die Filterordnung über
die Einhaltung eines vorgegebenen Toleranzschemas.
Die Faktorisierung ist ebenso möglich wie bei Tiefpässen.
Auch die Filtercharakteristik im Durchlassbereich kann wie bei Tiefpässen
unterschiedlich optimiert werden.
Um die Berechnung der entsprechenden Koeffizienten zu vereinfachen, geht man
von der faktorisierten Übertragungsfunktion eines Tiefpasses aus und führt eine
Frequenztransformation aus.
4.2.1 Hochpass
Die Übertragungsfunktion eines Hochpasses der Ordnung n mit einer bestimmten
Charakteristik ergibt sich aus der Übertragungsfunktion eines Tiefpasses der
Ordnung n mit der gleichen Charakteristik durch folgende Transformation:
1
GHP (~
s )  GTP ( ~ )
s
Diese Transformation entspricht einer vertikalen Spiegelung des Bodediagrammes
~
an der Geraden f  1, d.h. f = fg:
0
GTP
GdB
GHP
-20
-40
-2
10
-1
1
10
10 f/fg 102
Beispiele:
GTP 
GTP
V0i

1  ai~
s
V0i

1 a ~
s b~
s2
i
i
1 ~
s
V0i
ai


1
1
1  ai ~ 1   ~
s
s
ai
V0i 
GHP

GHP
1 2
V0i   ~
s
V0i
bi


1
1
a
1 2
1  ai ~  bi ~ 2 1  i  ~
s  ~
s
s
s
bi
bi
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4.2.2 Bandpass
Die Übertragungsfunktion eines Bandpasses der Ordnung 2n mit einer bestimmten
Charakteristik ergibt sich aus der Übertragungsfunktion eines Tiefpasses der
Ordnung n mit der gleichen Charakteristik durch folgende Transformation:
 1 
1 
GHP (~
s )  GTP  ~   ~
s  ~  
s 
 f 
Die Grenzfrequenz fg des Tiefpasses wird die Mittenfrequenz fm des Bandpasses, auf
die alle Frequenzen normiert sind.
f
~ ~ ~ f
~ 1
 f  fo  fu  o  u ist die normierte Bandbreite des Bandpasses, wobei fo  ~ gilt.
fm fm
fu
2
~
 ~f 
f
~
 fo,u  1 

 2 
2


Diese Transformation entspricht einer Abbildung der Tiefpasscharakteristik aus dem
~
~ ~ ~
Bereich 0  f  1 des Bodediagrammes in den Durchlassbereich fu  f  fo eines
~ ~
Bandpasses. Der Sperrbereich wird in den Bereich f  fo abgebildet und in den
~ ~
Bereich f  fu gespiegelt:
0
GTP
GdB
-20
GBP
-40
-2
10
-1
1
10
10 f/fg 102
Beispiel:
GTP 
V0i
1  ai~
s

GBP 
V0i
1 
1
1  ai ~   ~
s  ~
s
f 
4-6
~
f ~
V0i 
s
ai

~
 f ~ ~2
1
s s
ai
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4.2.3 Bandsperre
Die Übertragungsfunktion einer Bandsperre der Ordnung 2n mit einer bestimmten
Charakteristik ergibt sich aus der Übertragungsfunktion eines Tiefpasses der
Ordnung n mit der gleichen Charakteristik durch folgende Transformation:
 ~ 
 f 

GBS (~
s )  GTP 
1
~
s~
s

Die Grenzfrequenz fg des Tiefpasses wird die Mittenfrequenz fm der Bandsperre, auf
die alle Frequenzen normiert sind.
f
~ ~ ~ f
~ 1
 f  fo  fu  o  u ist die normierte Bandbreite der Bandsperre, wobei fo  ~ gilt.
fm fm
fu
2
~
 ~f 
f
~
 fo,u  1 

 2 
2


Diese Transformation entspricht einer Abbildung der Tiefpasscharakteristik aus dem
~
~ ~
Bereich 0  f  1 des Bodediagrammes in den Durchlassbereich 0  f  fu und
~ ~
gespiegelt in den Bereich fo  f   einer Bandsperre. Der Sperrbereich wird in den
~ ~ ~
Bereich fu  f  fo abgebildet:
0
GTP
GdB
-20
GBS
-40
-2
10
-1
10 f/fg 102
1
10
Beispiel:
GTP 
V0i
1  ai~
s

GBS


V0i  ~
s2  1


~ 
~
~
f
f  ~
s 1  ai   f  ~
s~
s2
1  ai
1  ai ~2
1
s 1
~
s~
s
V0i
V0i
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4.2.4 Allpass
Der Amplitudengang eines Allpasses hat die Eigenschaft G AP  V0 . Ein Allpass
bewirkt also nur Phasenänderungen. Diese Eigenschaft kann allgemein dadurch
erreicht werden, dass der Zähler des Frequenzgangs das konjugiert Komplexe des
Nenners ist, also in faktorisierter Form:


Ua
1  a1~
s     1  am ~
s  bm ~
s2
~
G AP ( s )    V0 
1  a1~s     1  am~s  bm~s 2
Ue




Da ein Allpass im allgemeinen als Verzögerungsglied benutzt wird, ist man an einem
möglichst flachen Verlauf der Gruppenlaufzeit interessiert. Deshalb werden meist die
Koeffizienten der Bessel-Charakteristik verwendet.
Die Normierungsfrequenz f0 wird so gewählt, dass die Gruppenlaufzeit auf 1/2 des
Wertes bei niedrigen Frequenzen abgesunken ist.
Für die Gruppenlaufzeit gilt: g  
dG
1 dG
1 dG



 ~

0 d
d
2f0 d
0
~)  a ,
~ so dass
Für kleine Frequenzen ist die Phase eines jeden Faktors arctan(ai 
i
1
 a i beiträgt. Da jeder Faktor zweimal
jeder Faktor zur Gruppenlaufzeit
2f0
vorkommt, ergibt sich für die Verzögerungszeit bei tiefen Frequenzen:
g 
1
  ai
f0 i
Die gewünschte Verzögerungszeit bestimmt die Ordnung des Allpasses.
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4.3 Filter-Schaltungen
4.3.1 Übersicht
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4.3.2 Passive RC- und LC-Filterschaltungen
Zur Dimensionierung der Schaltungen berechnet man den Frequenzgang wie üblich
mit komplexer Wechselstromrechnung und ersetzt im Ergebnis j durch 2f g  ~
s
(TP/HP) bzw. durch 2f  ~
s (BP/BS) bzw. durch 2f  ~
s (Allpass). Durch einen
0
m
Koeffizientenvergleich mit der (transformierten) Übertragungsfunktion in Kap. 4.1 und
Kap. 4.2 können die Werte der Bauelemente ermittelt werden.
RC-Tiefpass 1. Ordnung:
R
Ua
1
1

 G
Ue 1  jRC
1  2f gRC~
s
Dimensionierung: R  C 
ai
2f g
Ue
Ua
R
Ua
V0i  1
RC-Hochpass 1. Ordnung:
C
2fgRC~
s
Ua
jRC
 G

Ue 1  jRC
1  2f gRC~
s
Dimensionierung: R  C 
C
1
2f g a i
Ue
V0i  1
RC-Allpass 1. Ordnung:
Ua 1  jRC
1  2f0RC~
s

 G
~
Ue 1  jRC
1  2f0RCs
Dimensionierung: R  C 
ai
2f0
R
Ue
V0i  1
C
LC-Tiefpass 2. Ordnung:
R
Ua
1

Ue 1  jRC   j2 LC
 G
C
Ua
Ue
R
L
C
Ua
1
2
~
1  2f gRCs  2f g  LC~
s2
Dimensionierung: L  C 
bi
2f 
2
g
RC 
ai
2f g
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V0i  1
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LC-Hochpass 2. Ordnung:
R
 j LC
Ua

Ue 1  jRC   j2 LC
C
2
Ue
2f  LC~s
 G
1  2f RC~
s  2f  LC~
s
2
L
Ua
R
Ua
2
g
2
g
2
g
Dimensionierung: L  C 
1
2f 
2
g
 bi
RC 
ai
2fg  bi
V0i  1
LC-Bandpass 2. Ordnung:
L
Ua
jRC

Ue 1  jRC   j2 LC
 G
C
Ue
2fmRC~
s
2
1  2fmRC~
s  2fm  LC~
s2
Dimensionierung: L  C 
1
2fm 2
RC 
~
f
2fm a i
V0i  1
R
LC-Bandsperre 2. Ordnung:
C
Ua
1   j LC

Ue 1  jRC   j2 LC
2
Ue
Ua
L
1  2fm  LC~
s2
2
1  2f RC~
s  2f  LC~
s2
2
 G
m
m
Dimensionierung: L  C 
1
2fm 2
~
ai   f
RC 
2fm
V0i  1
LC-Allpass 2. Ordnung:
Ua 1  jRC   j LC

Ue 1  jRC   j2 LC
L
2
 G
R
2
1  2f0RC~
s  2f0  LC~
s2
2
1  2f RC~
s  2f  LC~
s2
0
Dimensionierung: L  C 
Ue
2f0 
2
C
L
0
bi
Ua
R
RC 
ai
2f0
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V0i  1
C
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4.3.3 Aktive RC-Filter
Passive Filterschaltungen haben zwei Nachteile:
 Wegen des endlichen Ein- und Ausgangswiderstandes beeinflussen sich bei einer
Kettenschaltung die einzelnen Teilfilter, so dass eine einfache Realisierung des
faktorisierten Gesamtfilters nur mit Fehlern möglich ist. Dieses Problem lässt sich
jedoch durch die Berücksichtigung der Beeinflussung mit Hilfe von
Dimensionierungssoftware lösen.
 Die Induktivitäten werden bei niedrigen Frequenzen unhandlich groß und sind mit
großen Verlusten behaftet.
Beide Problem können mit RC-OPV-Schaltungen gelöst werden. Allerdings haben
auch diese Schaltungen einen Nachteil:
 Da die Verstärkung des OPV mit zunehmender Frequenz abnimmt, ist der
nutzbare Frequenzbereich auf niedrige Frequenzen beschränkt und zwar um so
mehr je höher die Polgüte der Filter ist
R
Aktiver RC-Tiefpass 1. Ordnung:
R2
R
1 2
Ua
R1
R1

 G
Ue 1  jRC
1  2f gRC~
s
1
Dimensionierung: R  C 
ai
2f g
Ue
R2
 V0i  1
R1
Grenzfrequenz des Verstärkers: fgcL 
R2
Ua
R1
R1
 fT
R1  R 2
Aktiver RC-Hochpass 1. Ordnung:
C
 R2 
1 
  jRC
Ua  R1 

Ue
1  jRC
Ue
 R2 
1 
  2f gRC~
s
R1 

 G
1  2f gRC~
s
Dimensionierung: R  C 
C
R
R2
Ua
R1
1
2f g a i
Grenzfrequenz des Verstärkers:
R2
 V0i  1
R1
fgcL 
R1
 fT
R1  R 2
4-12
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Studiengang Elektro- und Informationstechnik
Aktiver RC-Tiefpass 1. Ordnung (invertierend):
C
R

R1
R
  U0 mit U0  konst.
Ua 
 Ue  1 
1  jRC
R
1

R

R
R1
 G
1  2fgRC~
s

Dimensionierung: R  C 
R1
Ue
Ua
U0
ai
2f g
R
  V0i
R1
Grenzfrequenz des Verstärkers: fgcL 
R1
 fT
R1  R
Dimensionierung von U0: s. Kap. 3
Aktiver RC-Hochpass 1. Ordnung (invertierend):
R2
R2
 jRC
Ua  R
 Ue  U0
1  jRC
C

Ue
R2
 2fgRC~
s
G R
1  2fgRC~
s

Dimensionierung: R  C 
R
Ua
U0
R2
  V0i
R
1
2f g a i
opt
Grenzfrequenz des Verstärkers: Für maximale Grenzfrequenz fgcL
müssen R, R2
und
C
zusätzlich
die
beim
Differentiator
beschriebene Bedingung erfüllen.
Aktiver RC-Allpass 1. Ordnung:
Ua 1  jRC
1  2f0RC~
s
 G

~
Ue 1  jRC
1  2f0RC s
Dimensionierung: R  C 
ai
2f0
Grenzfrequenz des Verstärkers:
R1
R1
V0i  1
fgcL 
Ue
fT
2
4-13
Ua
R
C
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Aktives Filter mit Einfach-Mitkopplung (Sallen-Key-Filter)
Y4
Y1
Y3
(-1)R
Y2
Ue
Y5
Ua
R
G
Ua
  Y1  Y 3

Ue Y 5  Y 1  Y 2  Y 3  Y 4   Y 3  Y 1  Y 2  1     Y 4 
Je nach Belegung der Admittanzen mit Widerständen oder Kapazitäten ist dies der
Frequenzgang eines Tiefpasses, Hochpasses oder Bandpasses 2. Ordnung:
Filtertyp
Schaltung
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
1
R1
1
R2
1
R3
jC 4
jC5
jC1
1
R2
jC3
1
R4
1
R5
1
R1
jC 2
jC3
1
R4
1
R5
C4
R1
R3
Tiefpass
(-1)R
R2
Ue
C5
Ua
R
R4
C1
Hochpass
C3
(-1)R
R2
Ue
R5
Ua
R
R4
C3
R1
Bandpass
(-1)R
Ue
C2
R5
Ua
R
Dimensionierung für Tiefpass mit   1 siehe Praktikumsunterlagen.
4-14
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Aktives Filter mit Mehrfach-Gegenkopplung
Y4
Y1
Ue
Y5
Y3
Y2
Ua
U0
Y  Y 5   Y1  Y 2  Y 3  Y 4   Y 3  U
 Y1  Y 3
Ua 
 Ue  3
0
Y 5  Y1  Y 2  Y 3  Y 4   Y 3  Y 4
Y 5  Y1  Y 2  Y 3  Y 4   Y 3  Y 4
2
Je nach Belegung der Admittanzen mit Widerständen oder Kapazitäten ist dies der
Frequenzgang eines Tiefpasses, Hochpasses oder Bandpasses 2. Ordnung:
Filtertyp
Schaltung
R3
Tiefpass
Ue
C2
Hochpass
Ue
Y5
1
R1
jC 2
1
R3
1
R4
jC5
jC1
1
R2
jC3
jC 4
1
R5
1
R1
1
R2
jC3
jC 4
1
R5
R5
R2
Ua
U0
C4
Ue
Y4
C3
R1
Bandpass
Y3
Ua
U0
C4
C1
Y2
C5
R4
R1
Y1
R5
C3
R2
Ua
U0
Dimensionierung eines Tiefpasses mit Mehrfach-Gegenkopplung:
Wähle C2 und C5 mit
 R3 
bi
ai fgC2  K

C 2 4  b i  1  V0i

2
C5
ai
R4 

ai  K
4f g C 5

K  1 1

4  C 5  b i  1  V0i
C2  ai
R1 

2
R4
 V0i
U0 ist eine Konstantspannung zur Signalverschiebung bei Single-supply-OPVs.
4-15
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4.3.4 Integrierte RC-Universalfilter
Man kann auch ein Universalfilter realisieren, indem man zwei Integratoren und ein
bzw. zwei Addierer zusammenschaltet. Eine solche Schaltung kann gleichzeitig
einen quadratischen Faktor für alle vier Filtertypen realisieren und an vier Ausgängen
zur Verfügung stellen.
Universalfilter mit invertierenden Integratoren
R1
R1
R1
R3
R2
R4
- 
Ue
UBS
UHP
- 
UBP
UTP
Die Übertragungsfunktionen zwischen dem Eingang und den vier Ausgängen erhält
man aus folgenden Beziehungen durch Eliminieren von jeweils drei Ausgängen:
UBS  UBP 
UBP  
R1
 Ue
R2
1
 UHP
j
UHP  
R3
R
 UTP  3  UBS
R1
R4
UTP  
1
 UBP
j
2
2
UTP
Ue
R1
R1
R2 R4
R2  R4
 G TP 

R
R
R
R
2
2
1  1  j  1   j 
1  1  g   ~
s  1  g    ~
s2
R4
R3
R4
R3
UHP
Ue
R1  R 3
R1  R 3
R2  R4
R2 R4

 GHP 
R
R
1 R3
1
1 1 R3
1
1
1 3 


1 3 
~


2
2 ~2
R 4 j R1  j 
R 4 g  s R1  g  s
UBP
Ue
R1
R1

 m   ~
s

 j
R2 R4
R2 R4
 GBP 

R
R
R1
R1
2
2
1  1  m   ~
s  1  m   ~
1
s2
 j 
  j 
R4
R3
R3
R4
2
2
4-16
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Hochschule Landshut
UBS
Ue
Schaltungstechnik
Studiengang Elektro- und Informationstechnik

R  R
R1  R1
2
2
s 2 
 1  1  1  m   ~
 1 
  j  
R2  R3
R2  R3

 G 

BS
R
R
R1
R1
2
2
1  1  m   ~
s  1  m   ~
1
s2
 j 
  j 
R4
R3
R4
R3

Die Dimensionierung wird besonders einfach, wenn man  
1
1
bzw.  
2fm
2f g
wählt. Ein Widerstand ist wählbar, z.B. R1. Die übrigen Widerstände erhält man durch
Koeffizientenvergleich:
Tiefpass:
Hochpass:
Bandpass/Bandsperre:
R 3  R1 bi
R 4  R 1 ai
R 2  R1  ai V0i
R 3  R1  bi
R 4  R 1  b i ai
R 2  R1  ai V0i
R 3  R1
~
R 4  R 1  ai  f
R 2  R1 V0i
Solche Schaltungen sind integriert erhältlich und werden nur noch mit Widerständen
beschaltet.
Beispiele: MAX274/275 von Maxim
UAF42 von Burr Brown
AF100-Serie von National Semiconductor
LTC1562 von Linear Technology
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Universalfilter mit nichtinvertierenden SC-Integratoren ("Biquad")
In Switched-Capacitor-Technik sind nicht-invertierende Integratoren einfach realisierbar. Deshalb wird meist folgende Universalfilter-Schaltung verwendet:
R1
R4
R3
R2
 
Ue
UHP
 
UBP
UTP
UTP
Ue
R1
R
 1
R2
R2
 G TP 

R
R
R
R
2
2
1  1  j  1   j 
1  1  g   ~
s  1  g    ~
s2
R4
R3
R4
R3
UHP
Ue
R3
R
 3
R2
R2

 GHP 
R
R
1 R3
1
1 1 R3
1
1
1 3 


1 3 
~


2
2 ~2
R 4 j R1  j 
R 4 g  s R1  g  s
UBP
Ue
R1
R
 j
 1  m   ~
s
R2
R2
 GBP 

R1
R1
R
R
2
2
1
 j 
  j 
1  1  m   ~
s  1  m   ~
s2
R4
R3
R4
R3



Die Dimensionierung wird besonders einfach, wenn man  
1
1
bzw.  
2f g
2fm
wählt. Ein Widerstand ist wählbar, z.B. R1. Die übrigen Widerstände erhält man durch
Koeffizientenvergleich:
Tiefpass:
Hochpass:
Bandpass:
R 3  R1 bi
R 4  R 1 ai
R 3  R1  bi
R 4  R 1  b i ai
R 3  R1
~
R 4  R 1  ai  f
R 2  R1 V0i
R 2  R1  bi V0i
R 2  R1  ai
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V
0i

~
 f
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4.4 Ablauf einer Filterdimensionierung
 Toleranzschema für gewünschten Filtertyp (TP, HP,BP,BS) aufstellen.
 Toleranzschema evtl. symmetrisch machen (bei BP bzw. BS).
 Filtercharakteristik (Butterworth, Tschebyscheff, Bessel) festlegen nach besprochenen Kriterien (Amplitudengang, Gruppenlaufzeit, Sprungantwort).
 Ordnung n, Grenzfrequenz fg (bei TP, HP) bzw. Mittenfrequenz fm und Bandbreite
f (bei BP, BS) berechnen (Butterworth) bzw. grafisch ermitteln.
 Koeffizienten ai, bi der faktorisierten Nennerpolynome aus Tabellen entnehmen.
 Bei HP, BP und BS Koeffizienten ai’, bi’ der transformierten Polynome bestimmen.
Bei BP und BS ist eine numerische Zerlegung der entstehenden Polynome 4.
Grades erforderlich.
 Schaltungen für die einzelnen Faktoren aussuchen (Kriterien: Frequenzbereich,
Polgüte).
 Übertragungsfunktionen der Schaltungen mit komplexer Wechselstromrechnung
bestimmen.
 Koeffizientenvergleich mit den transformierten Polynomfaktoren durchführen und
Werte der Bauelemente berechnen (Dieser Schritt ist in der Literatur weitgehend
schematisiert (s. Praktikumsunterlagen). Wegen Toleranzen: Kapazitäten
vorgeben, Widerstände berechnen).
 Schaltungen der Einzelfaktoren hintereinander schalten; dabei beachten:
 Ausgangswiderstand jeder Teilschaltung muss klein gegenüber dem
Eingangswiderstand der Folgeschaltung sein (evtl. Bufferverstärker
zwischenschalten).
 Auch Eingang und Ausgang müssen gepuffert werden, wenn die Signalquelle nicht niederohmig genug oder die Last hochohmig genug ist.
 Wegen der Gefahr der Übersteuerung ist i. a. eine Anordnung der Teilfilter
nach steigender Polgüte (zunehmendes Überschwingen) günstig.
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