Technische Universit¨at Berlin – Institut f¨ ur Theoretische Physik 13. Mai 2015 Prof. Dr. Tobias Brandes Dr. Javier Cerrillo, Dr. Torben Winzer, Samuel Brem BSc, Henrik Kowalski BSc, Sina B¨ohling, Jonas Rezacek ¨ 5. Ubungsblatt – Mathematische Methoden der Physik SS 2015 Abgabe: Fr. 29.05.2015 bis 12:00 Uhr, Briefkasten ER-Geb¨ aude Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden ausf¨ uhrliche Kommentare zum Vorgehen erwartet. Daf¨ ur gibt es auch Punkte! Die Abgabe soll in Dreiergruppen erfolgen. Aufgabe 11 (4 Punkte): Partielle Differentialgleichungen L¨osen Sie die partielle Differentialgleichung ∂u ∂u =4 , ∂x ∂y (1) mit der Randbedingung u(0, y) = 7e−2y + 4e−y . Aufgabe 12 (4 Punkte): Fourier-Reihen 1. (4 Punkte) Entwickeln Sie f (x) = x2 f¨ ur 0 < x < 2π in eine Fourier-Reihe, wenn die Periode 2π ist. 2. (2 Bonzuspunkte) Zeigen Sie mit dem Ergebniss von Aufgabe 12.1, zeigen Sie, dass 1 1 π2 1 + + + · · · = . 12 22 32 6 (2) gilt. Hinweis: Beachten Sie die Dirichletsche Bedingung. Aufgabe 13 (8 Punkte): Parsevalsche Gleichung 1. (4 Punkte) Beweisen Sie die Parsevalsche Gleichung f¨ ur die Fourier-Reihen 2L-periodischer, integrierbarer Funktionen f auf [−L, L]: (3) 1 L ZL ∞ |f (x)|2 dx = a20 X 2 + (an + b2n ). 2 n=1 −L 2. (4 Punkte) Schreiben Sie die Parsevalsche Gleichung auf, die zur geraden Erg¨anzung der periodischen Funktion f (x) = x f¨ ur 0 < x < 2 geh¨ort (die gesamte Periode ist 4). 3. (2 Bonuspunkte) Berechnen Sie die Summe ∞ P n=1 1 . n4 Bitte R¨ uckseite beachten!−→ 1 ¨ 5. Ubung MM SS 2015 Aufgabe 14 (4 Punkte): Partielle Differentialgleichungen L¨osen Sie die Diffusionsgleichung ∂ 2 u(t, x) ∂u(t, x) , =D ∂t ∂x2 (4) mit der Anfangsbedingung u(0, x) = 10 und die Randbedingungen u(t, 0) = 0 u(t, 3) = 0. Hinweis: Benutzen Sie eine Fourier-Sinus-Reihe der Anfangsbedingung. Vorlesung: • Donnerstags 08–10 Uhr im EW 201 ¨ Ubungen: Mo Mo Di Di Do Fr 10–12 14–16 12–14 16–18 16–18 10–12 Uhr Uhr Uhr Uhr Uhr Uhr EW EW EW EW EW EW 731, 114, 229, 114, 731 731 EW EW EW EW 229 229 733 229 Scheinkriterien: • ¨ Mindestens 50% der Ubungspunkte • Bestandene Klausur • Regelm¨aßige und aktive Teilnahme in den Tutorien Sprechzeiten: Prof. Dr. Tobias Brandes Dr. Javier Cerrillo Dr. Torben Winzer Sina B¨ohling Samuel Brem Henrik Kowalski Jonas Rezacek EW EW EW EW EW EW EW 744 705 703 060 060 060 060 Mo Mi Mi Mi Do Mo Di 13-14 11-12 16-17 09-10 15-16 16-17 14-15 Uhr Uhr Uhr Uhr Uhr Uhr Uhr [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] Hinweise: ¨ Die Ubungsbl¨ atter werden bis Freitag 12 Uhr im Briefkasten des ER-Geb¨audes abgegeben. Weitere Informationen k¨ onnen auf der Vorlesungshomepage des Instituts f¨ ur Theoretische Physik gefunden werden. 2