Vorspannung – Spannkraftverluste

Vorspannung – Spannkraftverluste
Spannkraftverluste
In den vorangehenden Folien wurde von einer konstanten Kraft P im Spannstahl
ausgegangen. Dies trifft jedoch nur näherungsweise zu.
Die beim Vorspannen am aktiven Ende aufgebrachte Kraft wird durch Spannkraftverluste
reduziert, wobei folgende Effekte zu beachten sind:
•
Reibungsverluste
Reduktion der Kraft im Spannglied durch Reibungskräfte zwischen Spannglied und
Hüllrohr beim Aufbringen der Vorspannung
•
Langzeitverluste
Reduktion der Kraft im Spannglied durch die zeitabhängige Verkürzung des Betons infolge
Schwinden und Kriechen sowie durch den Spannungsabfalls im Spannstahl infolge
Relaxation
NB: Wird nur ein Kabel gespannt, wird die elastische Verkürzung des Betons beim Aufbringen der
Vorspannung durch einen entsprechend grösseren Spannweg kompensiert.
Werden im gleichen Bauteil resp. Querschnitt mehrere Spannglieder nacheinander gespannt, so resultieren
in den zuerst vorgespannten Kabeln zusätzliche Verluste infolge der elastischen Verkürzung des Betons
beim Vorspannen der später gespannten Kabel. Diese Verluste können bei Bedarf durch eine geeignete
Wahl des Spannvorgangs (Spannstufen) reduziert werden.
29.03.2015
ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton II
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Reibungsverluste
Bei Kabelumlenkungen entsteht zwischen dem Hüllrohr und dem Spannkabel infolge des Anpressdruckes
eine Reibungskraft. Sie hat zur Folge, dass die Spannkraft entlang des Spannglieds ausgehend vom
Maximalwert bei der spannbaren Verankerung kontinuierlich abnimmt.
ds
rdĳ
6FV
P d M u ds
3ÂȝÂdĳ
6FH
dP P P d M 0
P
o
u ds
o
dP
P d M
P
§ P ·
ln ¨
¸ P M
P
© max ¹
P+dP
Randbedingung P M 0 XÂds
P x
r
dĳ
29.03.2015
0
Pmax o
P dM
Pmax e PMx | Pmax (1 P M x )
Dabei bezeichnet ĳx die aufintegrierten planmässigen
Umlenkungen des Spannglieds vom aktiven Ende bis zur
Stelle x.
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Reibungsverluste
Bei Kabelumlenkungen entsteht zwischen dem Hüllrohr und dem Spannkabel infolge des Anpressdruckes
eine Reibungskraft. Sie hat zur Folge, dass die Spannkraft entlang des Spannglieds ausgehend vom
Maximalwert bei der spannbaren Verankerung kontinuierlich abnimmt.
Kabelhalter
Zusätzlich zu den planmässigen Umlenkungen entstehen ungewollte Umlenkungen ǻĳ [mrad/m] des
Hüllrohrs infolge Girlandenwirkung zwischen den Kabelhaltern.
P x
Pmax e
P M x 'M x Die Werte ȝ und ǻĳ sind vom gewählten Spannsystem abhängig und können der technischen
Dokumentation entnommen werden. Typische Werte sind:
P
0.2
'M 5 mrad
P
0.14
'M 7 mrad
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m
m
für Stahlhüllrohre
für Kunststoffhüllrohre
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Reibungsverluste – Beispiel
VSL 6-19 Y1770, Stahlhüllrohr
Rechteckquerschnitt b x h
f = 0.6 m
P
0.2
1.75 x 1.5 m
'M 5 mrad
m
16.0 m
Das Spannglied wird einseitig auf Vp,max
Âfpk
Die Spannkraft am aktiven Ende beträgt Pmax
Â 1327 MPa gespannt.
ApÂVp,max Â 3783 kN
Ep
2f
l/2
tan E p
29.03.2015
2f
l
2
l/2
1.2
8
0.15 o E p
x
[m]
ĳx
[mrad]
ȝÂ(ĳx+ǻĳÂx)
[mrad]
P
[kN]
0
0
0
3783
8
149
37.8
3643
16
298
75.6
3508
149 mrad
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Reibungsverluste – Beispiel
Ermittlung des Spannwegs:
P [kN]
3783
x
[m]
P
[kN]
0
3783
8
16
ǻl
[m]
Hm
P
[‰]
Ap E p
3643
3508
x [m]
'l p
H m 'l [mm]
8
6.68
53.4
8
6.43
51.5
3643
3508
6'l p
53.4 51.5 104.9 mm
Bei Messung der Relativverschiebung zwischen Spannglied und Beton muss die elastische
Betonstauchung addiert werden:
Hcm
P
EA
Spannweg:
29.03.2015
3643 103
30 1750 1500
lp
0.046 ‰
o 'lc
0.7 mm
104.9 0.7 105.6 mm
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Verankerungsschlupf
Beim Ablassen des Öldrucks in der Spannpresse verkeilen sich die Litzen. Dabei ergibt sich ein
Verankerungsschlupf (Klemmeneinzug) von etwa ǻ 6 mm (siehe technische Dokumentation). Dies bewirkt
eine Umkehr der Relativverschiebungen und damit der Reibung in der Nähe der Spannverankerung.
Pmax
P [kN]
Vor dem Verkeilen
ǻP
l1
Nach dem Verkeilen
x [m]
l1
Unter der Annahme, dass P(x) ungefähr linear verläuft, folgt ausserdem:
Auflösen der zwei Gleichungen für die Unbekannte l1 und ǻP:
'P
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2 E p Ap
dP
'
dx
l1
ǻP
ǻ
' l1 H m
l1
§ dP ·
¨
¸ l1
© dx ¹
'P
2
'P 1

E p Ap 2
E p Ap '
dP
dx
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Verankerungsschlupf - Beispiel
P [kN]
3800
3783
l1
195000 2850 6
3783 3508
16
'P
2 l1
Vor dem Verkeilen
3643
3600
3544
3508
479
3508 3400
Nach dem Verkeilen
3304
2
3783 3508
13.93 478.8 kN
16
3783 3508
16 13.93 3544 kN
16
Die maximale Vorspannkraft nach dem Verkeilen
entspricht einer Spannung im Spannstahl von
3200
13.93
3544
1244 MPa 0.7 f pk
2.85
3000
4
29.03.2015
dP
dx
13.93 m
8
12
16
x [m]
was gem. SIA 262, 4.1.5.2 gerade noch zulässig
ist.
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Langzeitverluste (siehe auch Stahlbeton I)
Schwinden des Betons
Vc
Volumenkontraktion ohne
Lasteinwirkung
Hc
keine Lasteinwirkung
(Darstellung für freie = unbehinderte
Verformungen o keine Zwängungen)
Kriechen des Betons
Volumenkontraktion durch
Schwinden
t
Vc
t
Hc
Spannung konstant
Zunahme der Verformungen
unter konstanter Spannung
Kriechverformung
Anfangsverformung
t
t
Relaxation des Spannstahls
Vp
Anfangsspannung
Spannungsabfall durch
Relaxation
Abfall der Spannungen unter
konstanter Dehnung
Hp
t
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Dehnung konstant
t
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Langzeitverluste – Beispiel
VSL 6-19 Y1770, Stahlhüllrohr
3544
P [kN]
3508
3500
3400
16.0 m
3300
Rechteckquerschnitt b x h
x [m]
3304
1.75 x 1.5 m
13.93 16
Mittlere Vorspannkraft zu Beginn der Langzeiteinflüsse:
13.93
Pi
3544 3304
3544 3508
2.07
2
2
16
- Relaxation (SIA 262, 3.3.2.7):
'V pr
2.2% V pi
SIA 262 Fig. 8 (Verlust nach 1000 h)
'V prf
29.03.2015
3437 kN
0.022 1206
V pi
3437
1206 MPa
2.85
0.68 f pk
26.5 MPa
SIA 262 3.3.2.7.1 (Abschätzung des Endwertes)
3 'V pr
3 26.5 79.6 MPa
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Langzeitverluste – Beispiel
- Schwinden (SIA 262, 3.1.2.7):
Bezogene Bauteildicke
h0
Beiwert
Hcd ,f
Trockenschwindmass
Hcd
2 Ac
U
2 1750 1500
2 1750 1500 0.32 ‰
fck
E t ts Hcd ,f
Autogenes Schwindmass H ca
0.07 ‰
Hcs
Hcd Hca
Totales Schwindmass
808 mm
0.7 0.32 ‰
0.22 ‰
30 MPa, RH
75%
SIA 262, 3.1.2.7.7 – 3.1.2.7.8
SIA 262, Fig. 4
0.22 0.07
0.29 ‰
SIA 262, 3.1.2.7.6
- Kriechen (SIA 262, 3.1.2.6):
MRH
1.5
E t0 0.5
E t t0 1.0
M MRH E fc E t0 E t t0 1.5 2.7 0.5 1.0
Hcc
29.03.2015
M H c ,el
M
Pi
Ec Ac
2.03
3437
33.6 1500 1750
E fc
2.7
2.03
0.079 ‰
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SIA 262 Fig. 2 + Tab. 4
SIA 262, 3.1.2.6.2
SIA 262, 3.1.2.6.1
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Vorspannung – Spannkraftverluste
Langzeitverluste – Beispiel
- Totaler Spannkraftverlust infolge Langzeiteffekte:
'V pf
'V prf Hcs Hcc E p
79.6 0.29 0.08 195 151.8 MPa
Kriechen
Relaxation
Schwinden
- Verbleibende Spannung im Spannstahl nach Abzug der Langzeiteffekte:
V pf
V pi 'V pf
1206 151.8 1054.2 MPa 0.87 V pi
Für Abschätzungen darf mit 15% Spannkraftverlusten gerechnet werden.
NB: Die Verluste werden etwas überschätzt, da die Kriechverkürzungen mit der initialen Vorspannkraft
ermittelt werden. Tatsächlich nimmt die Spannkraft durch Schwinden, Kriechen und Relaxation ab, so dass
etwas kleinere Kriechverformungen resultieren. Der Einfluss ist aber in der Regel vernachlässigbar.
Für «genauere» Abschätzungen kann die Berechnung iteriert werden (Ermittlung der Verluste mit dem
Mittelwert der Spannungen über die Zeit aus der ersten Näherung):
V pi V pf
V pm |
29.03.2015
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Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene
M [kNm]
I
II
III
y
cr
dec
Schlaff bewehrt, N = 0
Schlaff bewehrt, N < 0
z
vorgespannt
F [mrad/m]
v
v
z
dec
cr
y
Spannungsverteilung im
Beton während Belastung
fctm
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Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene
170 mm
30 mm
500 mm
Bruttoquerschnitt
Ac
bh
Eine 200 mm dicke Platte weist Monolitzen
Ø 15.7 mm der Festigkeitsklasse Y1770 im
Abstand von 500 mm auf. Die auf die Mittelebene
der Platte bezogenen Exzentrizität der Litzen
beträgt e = 70 mm. Sie werden auf Vp0 = 0.7fpk
vorgespannt. Beton und Spannstahl werden als
linear elastisch mit Ec = 30 GPa und Ep = 200 GPa
vorausgesetzt. Langzeitverluste werden nicht
betrachtet.
Nettoquerschnitt
An
Ac Ap
Ideeller Querschnitt
Ai
Ac Ap n 1
Die Vorspannkraft wirkt auf den Nettoquerschnitt. Nach dem Injizieren herrscht starrer Verbund, somit sind
dann streng genommen ideelle Querschnittswerte zu verwenden. In guter Näherung kann auch konsequent
mit Brutto-Querschnittswerten gerechnet werden.
29.03.2015
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Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene:
v
Vorspannen
an
]n
100 mm
70 mm
30 mm
en
]n
500 mm
en
in
1000 2003
150
100 200 0.12 70.12
12
0.5
Vorspannkraft:
pv
a p 0.7 f pk
4
665.2 106 mm
2
150
199700 mm
m
0.5
150
170
1000 200 100 0.5
99.9 mm
199700
1000 200 170 99.9 70.1 mm
m
300 0.7 1770 371.7 kN
m
i
4
666.7 106 mm
b
m
p0
pv en
m
26.1 kNm/m Randspannungen:
v
pv pv en
°Vc ,sup °½
®
¾
v
a
in
n
¯°Vc ,inf ¿°
° zn ,sup ½°
371.7 371.7 70.1 99.9 ½ 2.05 ½
®
®
¾ ¾ ®
¾ MPa
3
100.1
5.78
z
199.7
665.2
10

¯
¿ ¯
¿
¯° n ,inf ¿°
NB: Da beim Vorspannen Last aktiviert wird, tritt dieser Zustand i.A. nur theoretisch ein (Kontrolle, ob der
Querschnitt wie angenommen ungerissen ist, in Kombination mit aktivierter Last).
29.03.2015
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Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene:
v
Vorspannen
Randdehnungen:
2.05
°Hc ,sup v ½°
®
v ¾
H
¯° c ,inf ¿°
Vc
Ec
0.068 ½
®
¾‰
0.193
¯
¿
Fv
H cp 0
Krümmung:
F
Fv
0.068
H p0
Hinf Hsup
h
0.193 0.068
0.2
-5.78
Vc
v
-0.193
H
'H
v
1.305 mrad/m
Betonstauchung auf Höhe des Spannglieds:
Hcp 0
0.068 0.17 1.301
0.154‰
Dehnung des Spannstahls nach dem Vorspannen:
H p0
29.03.2015
V p0
Ep
1239
200
6.195‰
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Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene:
v
Vorspannen
Die Dehnungsdifferenz 'H Hp Hcp zwischen Beton und Spannstahl bleibt nach dem Injizieren konstant:
Hp [‰]
'H
Vp
1
1
Injektion
H p0
V p 0 Hcp 0 E p
V p0
Dekompression
auf Höhe des
Spannglieds
Hcp 0
H cp 0
Hcp [‰]
H cp 0
'H
H p Hcp
H p 0 Hcp 0
Hcp
6.195 0.154 6.349‰
'H
NB: Entscheidend ist die Grösse von 'H Hp Hcp zum Zeitpunkt der Injektion; oft wirkt dabei ein Teil der
ständigen Einwirkungen (durch die Vorspannung aktiviert) o 'H in der Regel etwas kleiner (aber
unwesentlich, da ohnehin | Hcp |<< Hp)
29.03.2015
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Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene: ungerissen elastisches Verhalten
Im ungerissenen Zustand gelten ideelle Querschnittswerte
ai
]i
100 mm
70 mm
30 mm
ei
9i
500 mm
ei
ii
1000 2003
§ 200 · 150
100 200 0.62 ¨
1¸
69.42
12
© 30
¹ 0.5
§ 200 · 150
1¸
1000 200 ¨
30
©
¹ 0.5
2
201700 mm
m
§ 200 · 150
1¸
170
1000 200 100 ¨
© 30
¹ 0.5
100.6 mm
201700
170 100.6 69.4 mm
4
674.9 106 mm
m
i
b
4
666.7 106 mm
m
Die Spannungen im Beton und im Spannstahl infolge eines Moments m [kNm/m] folgen aus
'Vc
29.03.2015
m zi
ii
'V p
m ei E p

ii
Ec
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Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene:
!
Fv 'F z 0
'F z
mz
Ec ii
o mz
o
'F z
Hinf Hsup
v
Fv
-1.89
-0.063
h
Vc ,sup v Vc ,inf v
ii
h
2.05 5.78 674.9
200
26.4 100.6 674.9
'Vc ,inf z
26.4 99.4
674.9
29.03.2015
Zentrische Vorspannung
v
'Vc ,sup z
'V p z
z
H cp
26.4 kNm/m
Vc
Vc ,sup z
2.05 3.94
o
Vc ,inf z
5.78 3.89
o
Vpz
3.89 MPa
26.4 69.4 200

18.10 MPa
674.9
30
H
z
3.94 MPa o
Hpz
z
'H
z
1.89 MPa
1.89 MPa
1239 18.1 1257 MPa
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18
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene:
'Vc ,inf
o
dec
mdec zi ,inf
!
ii
mdec
Vc ,inf v
zi ,inf
ii
dec
Dekompression
-3.79
Vc ,inf v
-0.126
380
5.78
674.9 39.2 kNm/m
99.4
F dec
H cp
Vc
'Vc ,sup dec
39.2 100.6 674.9
'Vc ,inf dec
39.2 99.4
674.9
'V p dec
F dec
29.03.2015
5.78 MPa
39.2 69.4 200

674.9
30
Hc ,inf Hc ,sup
h
5.84 MPa o Vc ,sup dec
0.126
0.2
26.8 MPa
o Vc ,inf dec
o Vp dec
H
dec
2.05 5.84
H p dec
dec
'H
dec
3.79 MPa
5.78 5.78 0 MPa
1239 26.8 1266 MPa
0.632 mrad/m
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Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene:
dec
Dekompression (Näherung)
NB. Näherung für Abschätzungen:
Dekompression auf Höhe des Spannglieds
381
o Grösse der Spannkraft bekannt ('HEp)
o Lage der Druckresultierenden bekannt
(oberer Kernpunkt des QS oberh. Spannglied)
Hcp
Vc
dec , p
H p dec , p
0
H
dec , p
'H
'H
dec , p
'H
H p dec , p
1
1
Injektion
Hcp 0
H p0
o mdec , p
Dekompression
auf Höhe des
Spannglieds
'H
H p 0 Hcp 0
'H E p Ap
6.349‰ o V p dec , p
'H E p
1270 MPa
2
(200 30) 1.270 300 0.113 43.0 kNm/m
3
siehe Folie 16
29.03.2015
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20
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene:
'Vc ,inf
o
cr
mcr zi ,inf
!
f ct Vc ,inf v
ii
mcr
f ct Vc ,inf
zi ,inf
-11.1
cr
Reissen
-6.83
-0.228
Nach Rissbildung
v
ii
Fcr
3 5.78
674.9 59.6 kNm/m
99.4
'Vc ,sup cr
'Vc ,inf cr
'V p cr
Fcr
29.03.2015
59.6 100.6 8.88 MPa
674.9
59.6 99.4
8.78 MPa
674.9
59.6 69.4 200

40.9 MPa
674.9
30
Hc ,inf Hc ,sup
h
H p cr
H cp cr
Vc
o Vc ,sup dec
o Vc ,inf cr
o Vp cr
0.1 0.228
1.638 mrad/m
0.2
cr
'H
0.1
3.0
H
cr
2.05 8.88 6.83 MPa
5.78 8.78 3 MPa
1239 40.9 1280 MPa
o 1366 MPa
Nach Rissbildung
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21
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene: ungerissen elastisches Verhalten
Zusammenfassung ungerissenes Verhalten
v
z
dec
cr
m [kNm/m]
410
80
I
372
cr
39.2
z
26.4
F [mrad/m]
0
3
29.03.2015
384
59.6
dec
v
377
380
-
Rotieren der Dehnungsebene mit steigendem Moment
-
Leichte Zunahme der Spannung im Spannglied wegen
starrem Verbund (Vp0 1239 MPa, Vp,cr 1280 MPa)
-
Starke Zunahme des Hebelarms der inneren Kräfte
(«Druckkraft im Beton wandert nach oben»)
-
Negative Krümmung bei (v): Durchbiegungen nach
oben
-
Lastausgleich bei (z): keine Krümmungen, keine
Durchbiegungen
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22
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene: gerissen elastisches Verhalten
Annahme: Beton linear elastisch, Zugspannungen im Beton vernachlässigt
Hc
c
C
F
d
m
HcEc
h
T
ap V p
C
1
Ec H c c
2
6FH : T
29.03.2015
ap H p Ep
C
a p E p Hcp 'H 1
Ec c F c
2
o F
cp
'H E p
T
'H
Hc
ap
H
Hp
Hcp
z
m
V
F
a p E p F d c 'H c2
Ec F
2
a p E p 'H
c2
Ec a p E p d c 2
Für bekanntes resp. angenommenes c kann
die Krümmung F aus 6FH bestimmt werden,
daraus resultieren die übrigen Unbekannten
Hc, Hcp, T, Vp, z d c/3 und m.
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23
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene: gerissen elastisches Verhalten
Annahme: Beton linear elastisch, Zugspannungen im Beton vernachlässigt
c
[m]
F
[mrad/m]
Hc
[‰]
Hcp
[‰]
T
[kN]
Vp
[MPa]
z
[mm]
m
[kNm/m]
200
0.632
0.127
-0.019
379.8
1266
103.3
39.2
Dekompression
170
0.879
0.149
0
380.9
1270
113.3
43.2
c
…
…
…
…
…
…
…
…
60
8.037
0.482
0.884
434.0
1447
150
65.1
53.3
10.716
0.571
1.251
456.0
1520
152.2
69.4
T
ap
c F
F
gewählt
29.03.2015
a p E p 'H
2
c
Ec a p E p d c 2
d
Fliessbeginn
y
T z
c2
F Ec
2
F d c
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d
c
3
24
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene: Zusammenfassung
m [kNm/m]
80
y
I
69.4
u
59.6
cr
v
z
dec
cr
410
39.2
dec
26.4
z
y
377
380
372
F [mrad/m]
0
v
456
384
-
15
Nichtlineares Verhalten nach der Dekompression trotz des vorausgesetzten linearen SpannungsDehnungsverhaltens von Beton und Spannstahl
-
Punktweise Ermittlung nach (y) bis zum Bruch mit nichtlinearem V-H-Diagramm von Beton und
Spannstahl möglich
-
Theoretische Zugversteifung zwischen (cr) und (y) von untergeordneter Bedeutung
29.03.2015
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25
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten auf Querschnittsebene: Zusammenfassung
m [kNm/m]
v
z
dec
80
5
y
69.4
1
372
cr
39.2
dec
y
410
26.4
z
380
377
59.6
cr
384
456
0.2
1
0
v
350
-
p [kN/m]
400
450
500
Linearer Verlauf der Kraft im Spannstahl mit sehr geringer Zunahme bis zur Dekompression,
anschliessend nichtlinearer Verlauf mit deutlich stärkerem Spannkraftzuwachs
(o bei Ermüdungsbeanspruchung ist oft eine volle Vorspannung für ständige Einwirkungen +
Ermüdungslasten, oder einen grossen Teil davon, sinnvoll)
29.03.2015
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26
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken
q
y
x
x
y
h/2
f
f
h/2-f
z
l/2
l/2
e( x )
4 fx
l x l2
z
b/2
b/2
Ein einfacher Balken mit rechteckigem Querschnitt und parabolisch geführtem Spannglied wird nach dem
Vorspannen einer sukzessiv steigenden Belastung q unterzogen.
Unter Vernachlässigung der schlaffen Bewehrung soll der Spannungszustand in jedem Querschnitt x
ermittelt werden.
Es wird von linear elastischem Verhalten von Beton und Spannstahl ausgegangen. Zugspannungen im
Beton werden vernachlässigt.
29.03.2015
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27
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken
q
y
x
x
y
h/2
f
f
h/2-f
z
l/2
l/2
Ac
qx
l x 2
Betonspannungen: V x ,c x, z 29.03.2015
z
4 fx
l x l2
b/2
b/2
Bruttoquerschnittswerte:
M(x)
M ( x)
e( x )
bh
o ic
P M x P e x
z
Ac
Ic
2
P
Ac
Ic
Ic
Ac
h2
12
bh3
12
(Trägheitsradius)
§ e z · qx l x z
¨1 2 ¸ 2Ic
ic ¹
©
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28
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Vorspannen auf P0 (M
Hc ,sup
x
P
Ec Ac
F
M
P0
e
Hcp 0
z
'H
H p Hcp
Hp
Hc
P0
P
0
E p Ap Ec Ac
§
e2 ·
¨ 1 12 2 ¸
h ¹
©
P0
E p Ap
'H
P0
P
0
E p Ap E p Ap
29.03.2015
e·
§
¨1 6 ¸
h¹
©
(z
h
)
2
§
e2 ·
¨ 1 12 2 ¸
h ¹
©
(z
e)
P0
Ec Ac
e·
§
¨1 6 ¸
h¹
©
(z
h
)
2
P0
E p Ap
ª
§
e2 ·º
«1 U p n p ¨ 1 12 2 ¸ »
h ¹¼
©
¬
P0
Ec Ac
Hcp 0
P
0
Ec Ac
Hc ,inf
§
e2 ·
¨ 1 12 2 ¸ U p n p
h ¹
©
np
Die Dehnungsdifferenz ǻH
0)
Ep
Ec
Up
Ap
Ac
ǻH(x) bleibt nach dem Injizieren konstant.
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29
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: komprimierter Zustand (M < Mdec)
x
P
Ec Ac
F
M
P
e
Hp
Hcp
z
Hc
F
Mc
Ec I c
o ...
P
E p Ap
'H
'H
H p Hcp o Hcp
Hcp
o P
P0 P
Fe
Ec Ac
P
o
Fe
Ec Ac
M Pe
P
M Pe
o
e
Ec I c
Ec Ac
Ec I c
H p 'H
!
P
'H
E p Ap
P
'H
E p Ap
M
§ 1 U pn p h2 ·
e ¨1
2 ¸
¨
¸
n
e
U
12
p
p
©
¹
Initiale Vorspannkraft
Zuwachs der Kraft im Spannglied infolge Krümmung aus M
29.03.2015
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30
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Dekompression (M
Mdec)
H cp
x
M
P
e
P
Ec Ac
F
z
29.03.2015
h
P
P
Ac
P0 M
1 U p np
!
P
'H
E p Ap
M Pe
Ec I c
F
P
Ac
6
§ 6e ·
¨1 ¸ M dec
h ¹
h Ac
©
!
0
§
h2 ·
e ¨1
2 ¸
¨
¸
U
n
e
12
p p
©
¹
P
Fe
Ec Ac
'H
Hc
§ 6e · M h
V c , x x, z
¨1 ¸ dec
2
h ¹
2Ic
©
h·
§
o M dec P ¨ e ¸
6¹
©
und mit
Hp
Hcp
P
E p Ap
folgt
M dec
...
h·
§
P0 ¨ e ¸ h 2 U p n p h 2 12e 2 6¹
©
h 2 U p n p h 2 2eh ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton II
31
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: dekomprimierter Zustand (M Mdec)
HcEc
C
x
c
h/2
F
M
P
e
z
Ap E p Hcp 'H Ap E p H p
C
1
b c Ec H c
2
29.03.2015
h
ec
2
'H
Hc
T
6FH : C
Hp
Hcp
M
z
HpEp
h
c
e
2
3
T
V
F
§
§
e2 · ·
§h
·
Ap E p F ¨ e c ¸ P0 ¨1 U p n p ¨1 12 2 ¸ ¸
h ¹¹
©2
¹
©
©
bc 2
Ec F
2
§
§
e2 · ·
P0 ¨1 U p n p ¨1 12 2 ¸ ¸
h ¹¹
©
©
T o F
bc 2
§h
·
Ec Ap E p ¨ e c ¸
2
©2
¹
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32
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: dekomprimierter Zustand (M Mdec)
C
x
h/2
z
M
M
P
6FH : C
T o F
e
§
§
e2 · ·
P0 ¨1 U p n p ¨1 12 2 ¸ ¸
h ¹¹
©
©
bc 2
§h
·
Ec Ap E p ¨ e c ¸
2
©2
¹
T
z
F
Für einen gegebenen Querschnitt x mit gegebenen
Lasten g q kann die Gleichung für F durch Annahme
von c und sukzessiver Verbesserung iterativ gelöst
werden.
C
b
c Ec H c
2
z
h
c
e
2
3
M
bc 2
Ec F
2
c verbessern bis
M M(gq)
c schätzen
C, z berechnen
M berechnen
M vergleichen mit M(gq)
nächster Querschnitt x
Cz
29.03.2015
F berechnen
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33
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Beispiel
gq
y
y
x
x
0.5 m
0.4 m
0.5 m
z
z
10 m
10 m
0.4 m
10 kN/m, Nutzlast q
6 kN/m
•
Eigenlast g0k
•
Parabolisch geführtes Spannglied 6-7 mit 7 Litzen Ø0.6’’ Y1770 (Ap
•
Pfeilhöhe f
•
Quasi-konstante initiale Vorspannkraft P0
•
Beton C40/50, fck
np
29.03.2015
Ep
Ec
1050 mm2, Es
195 GPa)
0.4 m
195
36.6
40 MPa, fcd
5.33
Up
ÂApÂfpk
24 MPa, fcm
Ap
Ac
1050
4000
1115 kN (Verluste vernachlässigt)
48 MPa, Ecm
36.6 GPa, Ac
0.4 m2
0.26 %
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34
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Beispiel
Tabellenrechnung für g + q
x
[m]
M
[kNm]
e
[mm]
Mdec
[kNm]
c
[mm]
F
[mrad/m]
P
[kN]
e'
[mm]
M
[mrad]
w
[mm]
0
0
0
186
1000
0
1115
0
-2.18
0
2
288
144
349
1000
0.104
1122
-113
-2.08
4.3
4
512
256
480
917
0.185
1137
-194
-1.79
8.2
6
672
336
576
764
0.271
1156
-245
-1.33
11.3
8
768
384
636
686
0.340
1172
-271
-0.71
13.4
10
800
400
656
663
0.366
1178
-279
0
14.1
M dec
16 kN/m:
h·
§
P0 ¨ e ¸ h 2 U p n p h 2 12e 2 6¹
©
h 2 U p n p h 2 2eh c
29.03.2015
C
M d M dec
h
®
¯iterieren M ! M dec
F
M Pe
P
M Pe
M d M dec
°
® Ec I c
°iterieren M ! M
dec
¯
ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton II
|e'|
M
e
T
35
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Beispiel
Tabellenrechnung für g + q
16 kN/m:
x
[m]
M
[kNm]
e
[mm]
Mdec
[kNm]
c
[mm]
F
[mrad/m]
P
[kN]
e'
[mm]
M
[mrad]
w
[mm]
0
0
0
186
1000
0
1115
0
-2.18
0
2
288
144
349
1000
0.104
1122
-113
-2.08
4.3
4
512
256
480
917
0.185
1137
-194
-1.79
8.2
6
672
336
576
764
0.271
1156
-245
-1.33
11.3
8
768
384
636
686
0.340
1172
-271
-0.71
13.4
10
800
400
656
663
0.366
1178
-279
0
14.1
•
Die Verdrehungen M und Durchbiegungen w können aus Integration der Krümmungen unter
Verwendung geeigneter Randbedingungen ermittelt werden.
•
Für x > 10 m resultieren dieselben Werte (Symmetrie)
29.03.2015
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36
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Beispiel
Vorspannen:
0.366 mrad/m
F
P0 f
Ec I c
1.115 0.4
0.4
36.6
12
Fm
wm
³ M F dx
20 m
M
l
4
Dekompression in Feldmitte:
g qdec l 2
8
M dec o qdec
M dec
5 20
0.366 20
12 4
1·
§
1115 ¨ 0.4 ¸ 12 0.0026 5.33 12 12 0.42 6¹
©
12 0.0026 5.33 12 2 0.4 1
15.2 mm
655.8 kNm
8 655.8
10 3.1 kN/m
202
655.8
1157 kN
§ 1 0.0026 5.33
12 ·
0.4 ¨1
¸
0.0026 5.33 12 0.42 ¹
©
Pm
1115 wm
5 20
0.158 20 6.6 mm
12 4
29.03.2015
0.366 mrad/m
Fm
0.6558 1.157 0.4
0.4
36.6
12
0.158 mrad/m
N.B. Die Veränderung von P zwischen 1115 kN
(Auflager) und 1157 kN wurde vernachlässigt.
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37
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Beispiel
gq [kN/m]
30
gq 26kN/m
25
20
Fliessbeginn
gq 16kN/m
(Vp
15
fp0.1k)
10
Dekompression
-20
20
40
60
80
100
120
140
w [mm]
Vorspannen
29.03.2015
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38
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Beispiel
10.00 m
gq
1178
Hc
16 kN/m
-0.243
V
-8.9
0.221 m
e'
x
0.679 m
e
1178
0.100 m
1122
0.123
160
29.03.2015
ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton II
39
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Beispiel
10.00 m
gq
Hc
26 kN/m
-0.849
V
-31.1
0.086 m
komprimiert
1596
dekomprimiert
e'
x
0.814 m
e
1596
0.100 m
1520
2.459
260
V [MPa]
fcm 48 MPa (C40/50)
N.B.: Die Druckspannung von 31.1 MPa unter
charakteristischen Einwirkungen ist eher
hoch und die Annahme eines linear
elastischen Verhaltens des Betons damit
streng genommen nicht zutreffend und nur
als Näherung zulässig:
31 MPa
H [‰]
1
29.03.2015
ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton II
2
3
40
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Beispiel
Biegewiderstand
C
0.85x/2
MRd
dp
MRd
z
0.85 x
Ap f pd
b f cd
1050 1320
400 24
144.4 mm
P
T
z
M Rd
Md
F
0.85 x ·
0.1444 ·
§
§
Ap f pd ¨ d p ¸ 1050 1.32 ¨ 0.9 ¸ 1147 kNm
2 ¹
2 ¹
©
©
J
G
g JQ q l 2
!
8
§
¨ J G g J Q q u
©
8 M Rd
l2
M Rd
o qadm
§ 8 M Rd
· 1
J

g
G
¨
¸
2
© l
¹ JQ
§ 8 1147
· 1

1.35
10
¨
¸
2
© 20
¹ 1.5
6.3 kN/m
·
22.9 kN/m ¸
¹
NB: Biegewiderstand wurde auf der vorhergehenden Folie überschätzt (Druckspannungen > fcd, daher
kleinere Druckzonenhöhe = grösserer Hebelarm der inneren Kräfte)
29.03.2015
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41
Vorspannung – Biegetragverhalten
Biegetragverhalten einfacher Balken: Beispiel
Querkraftwiderstand (stellvertretend am Schnitt bei x
gq
4m)
26 kN/m
M
M
e'
V
832
V
260
1286
156
e
4m
1286
M
V
260 4 26 4
2
2
P e e '
dM
dx
dP
§ de de ' ·
e e ' P ¨ ¸
dx
© dx dx ¹
z
832 kNm
Anteil Schubfeld
zwischen
Gurtkräften
260 26 4 156 kN
de 4 f
4 400

20000 8000 l
x
2
dx l 2
200002
de '
... 20.3 mrad
dx
48 mrad
Anteil der
geneigten
Gurtkräfte
de
1286 0.048 61.7 kN
dx
de '
P
1286 0.0203 26.1 kN
dx
P
Aus Vergleich benachbarter Querschnitte der Tabellenrechnung für 26 kN/m
Vc
29.03.2015
§ de de ' ·
Vd P ¨ ¸ 156 61.7 26.1 68.2 kN
dx
dx
©
¹
Ein wesentlicher Teil der Querkraft wird durch die
geneigten Zug- resp. Druckgurtkräfte abgetragen!
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42

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