GI 3 – H Grundkurs Infinitesimalrechnung, Aufgabe 3 – Hinweise zur Lösung 1. a) Definitionslücken sind dort, wo das Nennerpolynom den Wert 0 annimmt. Du musst also zeigen, dass die quadratische Gleichung x² – 2x + 2 = 0 keine Lösung in IR hat. Den Grenzwert für x®±¥ erkennst du aus dem Grad des Zähler- und des Nennerpolynoms. Nullstellen sind dort, wo das Zählerpolynom den Wert 0 (und die Funktion keine Definitionslücke) hat. b) Für das Monotonieverhalten brauchst du die 1. Ableitung. Die berechnest du mit der Quotientenregel. Das Vorzeichen von f ¢ (und damit das Monotonieverhalten von f) kann sich nur dort ändern, wo f ¢ eine Nullstelle hat. Dies sind wieder mal die Nullstellen des Zählerpolynoms, jetzt von f ¢. Mit der quadratischen Gleichung hast du’s diesmal leicht, denn im Kontrollergebnis ist dieses Polynom bereits faktorisiert. Um zu ermitteln, ob sich das Vorzeichen von f ¢ an diesen Stellen tatsächlich ändert, und wo es positiv bzw. negativ ist, kannst du dir das Vorzeichen des Zählerpolynoms von f ¢ überlegen (das Nennerpolynom ist immer positiv!) oder einfach den Wert von f ¢ für je einen x-Wert links von, rechts von und zwischen den Nullstellen von f ¢ ausrechnen. Wo der Graph von f vom streng monotonen Fallen zum streng monotonen Steigen übergeht, ist ein Tiefpunkt, im umgekehrten Falle ein Hochpunkt. Weil nach den Punkten gefragt ist (und nicht nur nach den x-Werten), musst du noch der Wert von f an den entsprechenden Stellen zu berechnen. ~ c) Den Funktionsterm von f erhältst du, wenn du im Funktionsterm von f den Term (x + 1)  4x  ~ an der Stelle von x einsetzt und das dann vereinfachst.  Ergebnis: f ( x) = .  x ² + 1  ~ ~ Nun prüfst du nach, ob f ( − x) = − f ( x) ist. ~ Der Graph von f ist geht aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung hervor (welche? – Täusch dich nicht über die Richtung!). Daraus ergibt sich die Punktsymmetrie (zu welchem Punkt?) des Graphen von f. d) Wenn du die angegebenen Werte berechnet hast, kennst du auch die Lage der dazu symmetrischen Punkte. Mit der Nullstelle und dem Grenzverhalten aus 1a) und dem Tiefund Hochpunkt aus 1b) kannst Du den Funktionsgraph jetzt zeichnen. 2. a) Hier wird f auf einen Bereich beschränkt wird, wo der Graph streng monoton ist! Den Graph der Umkehrfunktion g erhältst du aus dem entsprechenden Teil des Graphen von f durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten (Winkelhalbierende einzeichnen!). Werte- und Definitionsbereich werden dabei vertauscht. (Du hast hoffentlich gemerkt, dass nirgends verlangt wird, dass du den Funktionsterm von g angibst!) b) Einsetzen von − 2 in den Term von f ergibt (nach Kürzen) im Nenner zunächst 2 + 2 . ( ) ( ) Du musst „den Nenner rational machen“, also den Bruch mit 2 − 2 erweitern (damit sich im Nenner die 3. binomische Formel anwenden lässt.) Für die „Begründung“ musst du noch merken, dass der Punkt S auf der Winkelhalbierenden liegt! 3. a) Leite F mit Hilfe der Kettenregel ab und überzeuge dich, dass die Funktion f damit rauskommt. b) Wegen der Symmetrie reicht es, wenn du das Flächenstück zwischen der Winkelhalbierenden, dem Graphen von f und der y-Achse ausrechnest. Die Integrationsgrenzen sind − 2 und 0. Unterm Integral steht die Differenz aus den begrenzenden Funktionen, hier aus y = x (für die Winkelhalbierende) und y = f(x). Seite 1 von 1