Section 8.5 Probability
一些數學上機率相關的定義(p.568到p.572):
Definition 1. 給定一個連續隨機變數(continuous random variable)X，一個可積分函數f : R → R 被稱
為X的機率密度函數(probability density function)若且為若f 滿足:
(1) f (x) ≥ 0
R∞
(2) −∞ f (x)dx = 1
有了機率密度函數 f ，發生 a ≤ X ≤ b 的機率 P (a ≤ X ≤ b) =
Rb
a
f (x)dx
Definition 2. 給定一個機率密度函數(probability density function)f ，f 的期望值(mean)µ 定義為µ =
R∞
xf (x)dx
−∞
Definition 3. 一個連續隨機變數(continuous random variable)X，如果它的機率密度函數(probability
density function)f (x) =
√1 e
σ 2π
−(x−µ)2
2σ 2
，這種機率分佈模型就被稱做常態分佈(normal distribution)。
(σ 是 X 的標準差(standard deviation)，µ 是 X 的期望值(mean))
EX.3
f (x) = 30x2 (1 − x)2 for 0 ≤ x ≤ 1，f (x) = 0 for other x。
(a) 驗證 Definition1 裡的兩個條件就行了。首先條件(1) f (x) ≥ 0這件事是顯然的。接著計算
R1
30x2 (1 − x)2 dx = 1，滿足條件(2)，所以f 是一個機率密度函數。
0
(b) 跟據 Definition1，P (X ≤ 31 ) =
R1
3
−∞
f (x)dx =
R 1/3
0
30x2 (1 − x)2 dx =
17
81
EX.7
spinner(此圖為參考用，並非題目所描述的 spinner):
(http://mopupduty.com/wp-content/uploads/2008/11/example-spinner.gif)
1
R∞
−∞
f (x)dx =
(a) 這個 f (x) 在 0 ≤ x ≤ 10 機率都相等，所以滿足題目裡所提及的”fair”，接著檢查f (x)是否滿
R∞
R∞
足Definition1裡的條件。條件(1)是顯然的。條件(2)要計算 −∞ f (x)dx，不過 −∞ f (x)dx很顯然就
是= 0.1 × 10 = 1，因此條件(2)也滿足。
(b) 這 個 轉 盤 顯 示 每 一 個 介 於0到10之 間 實 數 的 機 率 皆 相 等 ， 所 以 我 們 會 期 望 我 們 轉 到 的 數 字 剛 好
是0和10中間那個值:5。
R 10
檢查:mean= 0 xf (x)dx =
0.1
(102
2
− 02 ) = 5
EX.8
f (x) =
x
30
x
for 0 ≤ x ≤ 6，f (x) = − 20
+
1
2
for 6 ≤ x ≤ 10
R∞
R∞
(a) 檢查 Definition1 的條件:條件(1)是顯然的。條件(2)要計算 −∞ f (x)dx，不過 −∞ f (x)dx很顯然就是
R∞
第8題附圖那個三角形的面積，所以 −∞ f (x)dx = 21 × 10 × 0.2 = 1，因此條件(2)也滿足。
R∞
R 10
(b) (i) P (x < 3) = 1 − P (x ≥ 3) = 1 − 3 f (x)dx = 1 − 3 f (x)dx = 1 − (1 −
R8
(ii) P (3 ≤ X ≤ 8) = 3 f (x)dx = 1 − 0.1×3
− 0.1×2
= 34
2
2
(c) mean=
1
)dx
2
=
R∞
xf (x)dx =
−∞
R 10
0
xf (x)dx =
R6
0
xf (x)dx +
R 10
6
xf (x)dx =
R6
0
0.1×3
)
2
=
x
)dx +
x( 30
3
20
R 10
6
x
x(− 20
+
16
3
EX.12
X 為常態分布，期望值 µ = 69(inch)，標準差 σ = 2.8(inch)
−(x−69)2
R 73 1
√
(a) P (65 ≤ X ≤ 73) = 65 2.8 2π e 2×2.82 dx ≈ 0.847 (這個積分無法寫出該函數的反導函數，這個值是
用計算機算出來的。)
(b) 1英呎(feet)=12英吋(inch)，所以6(feet)=72(inch)。所以所求= P (X > 72) = 1 − P (X ≤ 72) =
−(x−69)2
R 72
1
2×2.82 dx ≈ 1 − 0.858 = 0.142(這個積分無法寫出該函數的反導函數，這個值是用計
1 − −∞ 2.8√
e
2π
算機算出來的。計算機積分範圍下限一般無法到負無窮大，所以在算的時候積分範圍下限可以代入一個
負很大的數字，例如-100或-1000之類的。)因此大約有 14.2% 的男性成人身高超過6英呎。
EX.13
X 為常態分布，期望值 µ = 4.3(kg)，標準差σ = 1.9(kg)
−(x−4.3)2
R∞ 1
2×1.92 dx ≈ 0.356(計算機積分範圍上限一般無法到無窮大，所以在算的
所求= P (X ≥ 5) = 5 1.9√
e
2π
時候積分範圍上限可以代入一個很大的數字，例如100或1000之類的。)所以約有 35.6% 的家庭一週丟掉至
少5公斤的紙。
2
Appendix
這節有些題目會需要用到數值積分，以下是幾個可以協助計算數值積分的線上積分器的網址:
http://www.zweigmedia.com/RealWorld/integral/integral.html
http://www.numberempire.com/definiteintegralcalculator.php
http://people.hofstra.edu/stefan waner/realWorld/integral/integral.html
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