GRAVITAATIOKENTTI EN TASAPAI NOKOHTA: Tehtäviä
RATKAISU
L.
Maan ia Auringon vetovoiman yhtäsuuruus
Kuinka kauas Maasta avaruusluotain on vietävä, jotta Auringon jaa Maan vetovoimat tasapainottaisivat
toisensa eli avaruusalukseen vaikuttavat Maan ja Auringon vetovoimat olisivat yhtä suuria?
(Tarvittavat tehtävän lähtöarvot ovat taulukossa).
(V: 2,6-7ff km:n etiiisyydellö Moostol.
Huom!
Tasapainokohta Maan ja Auringon yhdysjanalla on Maan ja Auringon välissä ja myös Maan toisella puolella
Maan ja Auringon yhdysjanalla (Vrt. Kuva: Maan ja Kuun gravitaatiokentän tasapotentiaalikohdat).
ti
i
-.j-*^''*
--
I
i
I
,
t/i (
i
I
r-
i
1.. ...- I
I
l
1
_a_*-
..
I
I raR,?o
I
I
r-
!
"T-
--
Ft.frtl
i
1_
raart
I
I
l-- "' '-- I
i
i
j
|.
.,.a
i
i
.''r"..---'-I
I
I
-i----E
i
I
I
!
-i
-
-'
----
I
i
;l
i
I
I
rrnH (.'- å nx {- x')
mH rl -- 2 frnrx + -rX
I
I
I
I
i
i-.
I
hx
a
,?f
t1 )"'
I
I
(
RfrnrX
|ffinr'X
e\
Er fr,
,&x + c s
tlt
rl
ttl
tri
q
H fnnrr
t-I
iii
llt
irt
r---
ili
t!t
=
r* 5
o
*-i -
..T- - --
-r-'
I
I
I
-r -'-I
\
X=
a Amnr
t F'rr;t- 4 ((hn- r'0rl) (frnr)
2 (fro- t*n )
1
:
i
1
!
I
I
X
= *"åfrnY J q*1 r*o 4 (*^ - *n) frnr,
2 (*^- rn*)
=
-<r
4r'f n§ +
Tfrnr J
nH (*n-*")]
2 (m^-mn)
X = 'Å frnr lrfu
ffå t'- fn, (*n- rnn)
^g (m^'ma)
rnnr J r{n§ + fny (n^- rnl
v -
,/\-
{YA- YYt y1
SttotT€r^an/ AFvoT:
Mrl
. §,e7r.t{r4,
f= H g, 6- to'rn
I
rn TA,
Xt 2,G'lo
-/
/.
frA= t,?8q . ,ån&- -,
i
l
{*
.
(nÅoLs.tio (uil)
i ]"-2i6:]d
^i l y,m r--\
,§
,"rr
'aoi-
/
L
\
H,,1^ f .|Lr-dN 1^ t<At,lA
;I
o) lr e^LLÅ
_(.3t,,EvvlI
r : '-- .:.'r. '--1 *\
-
Vt 2r6. lof krn.'M erätr tyvprtdii tiirtarsrit
I I I _l
__1"
___t___l__
*L
_
r_ _l
Itllrll
i
5
GRAVITAATIOKENTTI EN TASAPAI NOKOHTA: Tehtäviä
RATKAISU
2. Maan ia Kuun vetovoiman yhtäsuuruus
Avaruusalus on Maan ja Kuun välissä. Missä kohdassa siihen kohdistuva Maan ja Kuuun yhdessä
aiheuttama gravitaatiovoima on nolla? (Tarvittavat tehtävän lähtöarvot ovat taulukossa).
(V:
3,5.1G km:n etoisyydellö Maostdl.
Huom!
Tasapainokohta Maan ja Auringon yhdysjanalla on Maan ja Auringon välissä ja myös Maan toisella puolella
Maan ja Auringon yhdysjanalla (Vrt. Kuva: Maan ja Kuun gravitaatiokentän tasapotentiaalikohdat).
6
t:
t
i§
I
iF.il:{ .}ii
i.rl./Ftiiiiiill
l-- '§
M
i i*fi
I
Iii
AV,sRUV T ÅLUFJ€,V
x
r
Årr,r
rn
Iii i
-i
ltl
T1
':
;
AfJA
rä ltYvt H,
RVUJ Å r-V l( J € N 6
3g* ,ao km = 7,8rq.logm
(fl^^/v Ja K\ruM I((JtctHAAPAt
€T,ltJYYS)
5t ? 14.
+
(t't,t,rv nŧ
(<vvN Yt Å'.
e,+vtT*ATro vo r fl AT Y HrV
----t
-tt-E
F
t-
' H^^
v
(noM
rlÅ
a
I
I
I
4
'::'
7,318'ld^L,
G
E
I
l
I
I
KUU
rr,lii
'i,l
.5
I
---i---i
f
^
__J__
:itl
fro(h
:Ym
?ry
:1
t
rn
t,
lK
lR
+I
rl
l
I
l
-'-'1-"-
--f-
I
l-
I
:
i I i i i
fno
H
: .ii
ri
1
i -+-- i
ruV
:i
o_f^/t
N t:
i
i
"'
rl
.
ti
-1.- -._....,,-r_,_.,
..
-/
--i
I
I
it
i
(xl
I
I
-1-t
,[
I
I
i
!
*ts-*-*
ii
r
_-i*l_-,
rl
ll
li
ll
it
li
ll
._L_..--_
ii
L
I
I
I
I
!
-t
8
er'{0
-l___
--l ---,_-
m
13348-tf^kt
t'
iii,ji,i
sl
TOrJ/fV: 3.^Jr6€fv vurÅeöru
@
LLA (n^
BAT kA t(uK,a Å!r^
€o-
Y HT* uö
srÄ f'rl tÅ
M(r-r)'=
Yl (
aL
!'
te
eq)
-
^D^^N
ft-txr
r'- erx + x,) =
rnxe
2
eMrX -n- Mx {F mxe = o
( t'l '- r,l ) *' - 2l4rx + l''l rl .§ o
ylr'-
t,-----\-
\*-*..f-"-r
b
a,
X=
G
l-"-i
{-
+;6
4oc
r-
/"2
A
d, A,
X=
eYlr f
X = Tf'tr
.A\,/
h,
.2t1
t
rt
'
f
aN')'-
f1- rn) Mr r
2 (t-I-n )
4 n^r'
- 4 Hr'
'11
-m)
å (n-m)
2r
/Yå
A (rl\
-
fr, )
14
(n-
rn)
iii
tt
ili
iri
F-.'--.
f-
--i
i
ir
llt
I-ttl -l-----i
lti
rlt
tlt
Iii
l------- r
;li
itt
ill
irl
* 'f
til
tti
tlt
r--'-r-_
lti
I
1
yt
-m)
::ii.;
ti
_-l--t
.5 IJoil 7€:ii. 7'4'lN ' AR
Lr
tl
i1 lc,,
.
Å,r-/
tr1 ;- 1,31a't{'k'1
»++-lrf- m
f'
1
riri'iiii='
' M,
-- '
= ' §,'zqE:,[
''
'
xi t
:I..-:lI-
I
l
:;i:;i:i.r..-.
i I
.:
I
i
I
I
{-#t
i---.-r--,
,
I
I
-rI
I
I
!
I
I
1-.
.:-.... i .. .i ..-,
.-i
1«wrtnqkaM^,
I I ]' t, )./', I
:,lit(,i:
,i.lilir
jlir:ii.
;
i
iiiiiiii -. -l--t- T I
..,_l_-_.-... !
,
'./
- lI .--..-i.--.
I
o
'
I
;
i
. j-...-.....-,,-i-*.
i---t-
i
I
,U, ilLqt'. io'r*
ililiil:,r ru*^Hrr^ i
;iiiiiii
!t,l
ittt
tt
l'-----l
I
i
I
11
lirlriil
illl
1-
t;
rt;'
,l\'
iirli{ll
riiilit
ti
:i-,;l'i
:lti,,ll
'r'--- .- I -
-
I
;-
- -'."1-.----' . i-'----i--
--- l- -
riiiiiil
lrlrll!i
rr!lilrl
liii'i'
,ilr;;i
ipilil"i
'i:iliii
i:iiiiii
litt
l -. ,-l--,-. I -.,--!
,ii'.i,:
:l:,
iiiliiii
iii;ilii
I:|i
,i,iiiii
l
.1.
I
,,i-.
II
_
ll
_i_
,--1, _,
266
Groviloliono! i nteraclion
Fflgrare ln-22 Resuhant Eravitatironal
Iiekl ot' sereral rnasses.
Figure M"23 l-iries of force and
equipotenlial surfarcs of tht
grauitatlona! field oi a point rnass.
thar their clensin'is proportionill 1s the slrcnol} ol the lield. Figurc 11.23 tlepicts
the ficl6 abour rr single mass: the lines oll.orcc are radial. Figure 11.24 slioivs thc
fields about tw'o unequal masscs. namel-r-, the Earth altd the I\'loon Thc lines arc
not radral. and at point ,4 the tield strengih is zero'
\
\
\r
t
i
I
I
l.lerrth
I
Jl
tt
It
r
I
gravitatiomal iield
Figure X1"24 Lines of force and equipotentian surfaces o[ the resul(ant
the resultant gnavitationa| field is zero' {After W
at
C
Uloon.
the
and
Earth
by
the
eräå**O
sunfaces'
T. Scarrt, A»r..1. ,pfilrs. 33, ?n2 t1965)") The drawimg contaims only a feri+'limes and
Marcelo Alonso & Edward J. Finn: Physics, Addison-Wesley, 1992, p.266.
Ir
rl

Eeorpa.r