"Fedina Doska" @ Chair of Math. Analysis, SPb. State University

°®¤®«¦¥¨¥ (3)
¥¸¥¨¥, ¯°¨¢®¤¨¬®¥ ¨¦¥, ¨±¯®«¼§³¥² °¥§³«¼² ² § ¤ ·¨ II.1. ª ª ª ª ¦¤®¥
±¥¯ ° ¡¥«¼®¥ ¡ µ®¢® ¯°®±²° ±²¢® ¨§®¬¥²°¨·® ¥ª®²®°®¬³ ¯®¤¯°®±²° ±²¢³
¢ C [0; 1]; ²® ¬ ¤®±² ²®·® ° ±±¬®²°¥²¼ ²®«¼ª® ¡ §¨±»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ ¢
½²®¬ ®¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ C [0; 1]: ®¥·® ¦¥, C [0; 1] ¥±²¼ ¥±·¥²®¥ ¬®¦¥±²¢®, ¨ ¢ ¥¬ µ®¤¨²±¿ ¥±·¥²®¥ ·¨±«® ¡ §¨±»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¥©;
®¤ ª®, ¬» ¬®¦¥¬ ®£° ¨·¨²¼±¿ ° ±±¬®²°¥¨¥¬ ¡ §¨±»µ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¥©
«¨¸¼ ®¤®© ´¨ª±¨°®¢ ®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨, ¯«®²®© ¢ C [0; 1]; ¢ ±¨«³ ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬» ® ¢®§¬³¹¥¨¿µ ¡ §¨±®¢.
(xn ) | ¡ §¨± ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ¢ ¥ª®²®°®¬ ¡ µ®X: ³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ("n ) ¯®«®¦¨²¥«¼»µ ·¨±¥«, ·²® ¥±«¨ yn 2 X ¨ kxn
yn k < "n ¤«¿ ª ¦¤®£® n = 1; 2; : : :; ²® (yn )
¥±²¼ ¡ §¨± ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼, ½ª¢¨¢ «¥² ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ (xn ):
°¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® (zn ) | ¥ª®²®° ¿ ´¨ª±¨°®¢ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼
¥³«¥¢»µ ¢¥ª²®°®¢ ¯°®±²° ±²¢ C [0; 1]; ¯«®² ¿ ¢ C [0; 1]: § § ¤ · II.1 ¨ II.2.1
¤ · II.2.1. ³±²¼
¢®¬ ¯°®±²° ±²¢¥
¢»²¥ª ¥², ·²® ¢±¿ª ¿ ¡ §¨± ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ½ª¢¨¢ «¥² ¡ §¨±®© ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ (zn ) (®¤ ª®, ± ¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ (zn );
ª®¥·® ¦¥, ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬). °¥¤¯®«®¦¨¬, ®¤ ª®, ·²® ³ ± ¨¬¥¥²±¿ ¥ª®²®° ¿ ¤°³£ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ (zei ); ª®²®° ¿ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬®©, ¢
¥ª®²®°®¬ «¨¥©®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ ( ¯°¨¬¥°, zei ¬®¦¥² ¡»²¼ i-¬ ®°²®¬ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ ¢±¥µ ±ª «¿°® § ·»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¥©), ¨ ®¯°¥¤¥«¨¬ ®°¬³ jjj jjj «¨¥©®© ®¡®«®·ª¥ span (zei ) ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:
n
X
i=1
e i z i
= sup
m
X
6m6n i=1
1
i zi :
³±²¼ (Z; jjj jjj) ®¡®§ · ¥² ¯®¯®«¥¨¥ ½²®© «¨¥©®© ®¡®«®·ª¨ ¯® ®°¬¥ jjj jjj:
½²®¬ ±«³· ¥, ¥²°³¤® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® (zei ) ®¡° §³¥² ¡ §¨± ¢ Z ± ¡ §¨±®© ¯®±²®¿®©, ° ¢®© ¥¤¨¨¶¥. °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¨¬¥¥²±¿ ¥ª®²®° ¿ ¡ §¨± ¿
¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ (znk ) ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ (zn ) C [0; 1] ¨ ¯³±²¼ ¡³¤¥² ¡ §¨±®© ¯®±²®¿®© ¤«¿ (znk ): ®£¤ ¤«¿ «¾¡®£® ª®¥·®£® ¡®° (i )ni=1 ±ª «¿°®¢
n
X
i=1
i
i zn 6
n
X
i=1
e i i z n
1
6
n
X
i=1
i
i zn ;
² ª ·²® (zeni ) ½ª¢¨¢ «¥² (zni ): ª¨¬ ®¡° §®¬, (zen ) ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© "³¨¢¥°± «¼³¾ ¡ §¨±³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼". ¤ ª®, ¥² ¨ª ª®© ¯°¨·¨» ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® § ¬ª³² ¿ «¨¥© ¿ ®¡®«®·ª span (zeni ) ¤®¯®«¿¥¬ ¢ Z; ¯®½²®¬³ ¯°®±²° ±²¢® Z ¥ °¥¸ ¥² § ¤ ·¨ II.2.
®±²°³ª¶¨¿ ¥µ²¬ ¤®¯®«¿¥¬® ³¨¢¥°± «¼®£® ¯°®±²° ±²¢ U ¨±¯®«¼§³¥²
¬®¤¨´¨¶¨°®¢ ³¾ ¢¥°±¨¾ ¯°®±²° ±²¢ Z:
³±²¼ C | ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¨µ ª®¥·»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¥©
²³° «¼»µ ·¨±¥«. «¿ c = (i1 < i2 < < ik ) 2 C ¯®«®¦¨¬ l(c) = ik (¯®±«¥¤¨©
½«¥¬¥² c). ¬ ¡³¤¥² ³¤®¡¥¥ ¯®²®¬ ³¯®°¿¤®·¨²¼ ¨±ª®¬»© ³¨¢¥°± «¼»© ¡ §¨±
¢ U ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ±·¥²®£® ¬®¦¥±²¢ C ¢¬¥±²® ¨±¯®«¼§®¢ ¨¿ ²³° «¼»µ ·¨±¥« N (®, ¥±²¥±²¢¥®, ¯®§¦¥ ¬» ¤®«¦» ¡³¤¥¬ ¢¢¥±²¨ ±¥ª¢¥¶¨ «¼»© ¯®°¿¤®ª
¢ ¯®±²°®¥®¬ "¡ §¨±¥", ·²®¡» ¯°¥¢° ²¨²¼ ¥£® ¢ ±²®¿¹³¾ ¡ §¨±³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼1 )
² ª, ¯³±²¼ (e(c))c2C ¥±²¼ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ ¢ ¥ª®²®°®¬ «¨¥©®¬
¯°®±²° ±²¢¥. » ±¥©· ± ¯®±²°®¨¬ ®°¬³ jj span (e(c))c2C ¨ ®¯°¥¤¥«¨¬ ¯°®±²° ±²¢® U ª ª ¯®¯®«¥¨¥ ½²®£® ¯°®±²° ±²¢ . °®±²° ±²¢® U ¡³¤¥² ®¡« ¤ ²¼
²¥¬ ±¢®©±²¢®¬, ·²® ¥±«¨ 1 6 n1 < n2 < : : : | ª ª ¿{«¨¡® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼
²³° «¼»µ ·¨±¥«, ²® e(n1 ); e(n1 ; n2 ); e(n1 ; n2 ; n3 ); : : : | ¡ §¨± ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ¢ U; ½ª¢¨¢ «¥² ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ (zni ) ¢ Z; ¨ ¥±²¥±²¢¥»© «¨¥©»©
¯°®¥ª²®° ¨§ U span (e(n1 ); e(n1 ; n2 ); e(n1 ; n2 ; n3 ); : : : ) ¥¯°¥°»¢¥. ³±²¼ D ®¡®§ · ¥² ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ª®¥·»µ ¡®°®¢ (c1 ; c2 ; : : :; ck ) ¨§ C ² ª¨µ, ·²® ci | · «¼»© ª³±®ª ci+1 ¨ ¤«¨ ci ° ¢ i (1 6 i 6 k ): ¨¯¨·»© ½«¥¬¥² D ¨¬¥¥²
¢¨¤ f(i1 ); (i1 ; i2 ); : : :; (i1 ; i2 ; : : :; ik )g; £¤¥ 1 6 i1 < i2 < < ik | ª®¥·»© ¡®°
²³° «¼»µ ·¨±¥«. ¥¯¥°¼ ®¯°¥¤¥«¨¬ ®°¬³ j j span (e(c))c2C ; ¯®« £ ¿
X
ce(c
)
=
k
X
sup i=1
i e ( i ) c zl c
: (c1 ; c2 ; : : :; ck ) 2 D
:
§ ¯®±²°®¥¨¿P¿±®, ·²® ¥±«¨
1 6 i1 < i2 < : : : ¨ cj = (i1 ; i2 ; : : :; ij )g ¤«¿
P
1 6 j < 1; ²® jjj j zeij jjj = j j e(cj )j ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¢ ¯®¯®«¥¨¨ U ®°¬¨°®¢ ®£® ¯°®±²° ±²¢ (span (e(c)); j j) ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ (e(cj )) ¥±²¼ ¡ §¨± ¿
¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼, ½ª¢¨¢ «¥² ¿ (zeij ): «¥¥, «¥£ª® ² ª¦¥ ³¢¨¤¥²¼ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ j j; ·²® ¤«¿ ª ¦¤®£® ª®¥·®£® ¯®¤¬®¦¥±²¢ L C ² ª®£®, ·²® L \ (cj ) = ;;
X
)
j e(cj 6
X
j e(cj ) +
X
c2L
ce(c):
²® ®§ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¯°®¥ª²®° ¥¤¨¨·®© ®°¬» ¨§ U span (e(cj )) ±
¿¤°®¬ span fe(c) : c 2 C; c 2
= (cj )1
j =1 g:
ª ®²¬¥· «®±¼ ¢»¸¥, ¬ ¥®¡µ®¤¨¬® ³¯®°¿¤®·¨²¼ ¬®¦¥±²¢® (e(c))c2C ; ¯°¥¢° ²¨¢ ¥£® ¢ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«±¿ ¡ §¨±. ²® ¤®¢®«¼® ¯°®±²®: ¤® «¨¸¼ ¢§¿²¼ «¾¡®¥ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ·®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ' ¨§ C N ; ¤«¿
1 §¨±»
¡ µ®¢»µ ¯°®±²° ±²¢, ª®²®°»¥ ¥ § ¢¨±¿ ®² ¯®°¿¤ª ¥£® ·«¥®¢, ².¥. ª®²®°»¥
®±² ¾²±¿ ¡ §¨± ¬¨ ¯°¨ «¾¡®¬ ¯®°¿¤ª¥ ¨µ ½«¥¬¥²®¢, §»¢ ¾²±¿ ¡¥§³±«®¢»¬¨ ¡ §¨± ¬¨; ² ª¨¥
¡ §¨±» ±³¹¥±²¢³¾² ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ¯°®±²° ±²¢ Lp [0; 1] ¯°¨ 1 < p < 1: ¤°³£®© ±²®°®», ¢ ¯°®±²° ±²¢ µ C [0; 1] ¨ L1 [0; 1] ¬®£® ¡ §¨±®¢, ® ¥² ¨ ®¤®£® ¡¥§³±«®¢®£®. ¥ª²®°»¥ ¯®¤°®¡®±²¨
¬®¦® ©²¨ ¢ ¬®®°£ ´¨¨ [ ].
2
ª®²®°®£® '(c1 ) < '(c2 ); ¥±«¨ c1 | · «¼»© ±¥£¬¥² c2 ; ¨ ° ±±¬®²°¥²¼ (e(c)) ª ª
e(' 1 (1)); e(' 1(2)); e(' 1(3)); : : : : ¥²°³¤® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ±ª «¿°®¢ (i )
¨ ¢±¥µ ²³° «¼»µ n < m
n
X
i=1
i e('
1
(i
))
*
6
m
X
i=1
*
i e('
1
(i
))
: *

[³°¡] ³°¡ ª¨ ., ¡¹ ¿ ²®¯®«®£¨¿: ±®¢»¥ ±²°³ª²³°», ³ª , ®±ª¢ , 1968. 272 ±.
[³°²] ³° ²®¢±ª¨© ., ®¯®«®£¨¿, ²®¬ 2, ¨°, ®±ª¢ , 1969. 624 ±.
[LiTs] J.Lindenstrauss and L.Tzafriri, On the complemented subspaces problem, Israel J. Math. 9
(1971), 263{269, M R43#2474.
[¾] ¾±²¥°¨ª .., ®¡®«¥¢ .., ° ²ª¨© ª³°± ´³ª¶¨® «¼®£® «¨§ , »±¸. ª®« ,
®±ª¢ , 1982. 271 ±.
[Pel1] A.Pelczynski, Projectons in certain Banach spaces, Studia Math. 19 (1960), 209{228.
[Pel2] A.Pelczynski, Universal bases, Studia Math. (1969), no. 32, 247{268.
[Sch] G.Schechtman, On Pelczynski's paper "Universal bases", Israel J. Math. 22 (1975), 181{194.
[Rose] H.P.Rosenthal, On factors of C [0; 1] with non-separable dual, Israel J. Math. 13 (1972), 361{
378.
[LeSt] D.R.Lewis, C.Stegall, Banach spaces whose duals are isomorphic to l1 ( ), J. Functional Analysis 12 (1973), 177{187, M R49#7731.
[ ] ¸¨ .., ª¿ .., °²®£® «¼»¥ °¿¤», ³ª , ®±ª¢ , 1984. 496 ±.
ª²{¥²¥°¡³°£±ª¨© £®±³¤ °±²¢¥»© ³¨¢¥°±¨²¥²,
¬ ²¥¬ ²¨ª®{¬¥µ ¨·¥±ª¨© ´ ª³«¼²¥²
E-mail address : [email protected] (¤«¿ ¢®¯°®±®¢)
3