“ˆ‚…‘€‹œ›… Ž‘’€‘’‚€
"Fedina Doska" @ Chair of Math. Analysis, SPb. State University
€€•€
ˆ
„ŽŽ‹Ÿ…ŒŽ‘’œ
°®¤®«¦¥­¨¥ (3)
¥¸¥­¨¥, ¯°¨¢®¤¨¬®¥ ­¨¦¥, ¨±¯®«¼§³¥² °¥§³«¼² ² § ¤ ·¨ II.1. ’ ª ª ª ª ¦¤®¥
±¥¯ ° ¡¥«¼­®¥ ¡ ­ µ®¢® ¯°®±²° ­±²¢® ¨§®¬¥²°¨·­® ­¥ª®²®°®¬³ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢³
¢ C [0; 1]; ²® ­ ¬ ¤®±² ²®·­® ° ±±¬®²°¥²¼ ²®«¼ª® ¡ §¨±­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢
½²®¬ ®¤­®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ C [0; 1]: Š®­¥·­® ¦¥, C [0; 1] ¥±²¼ ­¥±·¥²­®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ¨ ¢ ­¥¬ ­ µ®¤¨²±¿ ­¥±·¥²­®¥ ·¨±«® ¡ §¨±­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©;
®¤­ ª®, ¬» ¬®¦¥¬ ®£° ­¨·¨²¼±¿ ° ±±¬®²°¥­¨¥¬ ¡ §¨±­»µ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©
«¨¸¼ ®¤­®© ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ¯«®²­®© ¢ C [0; 1]; ¢ ±¨«³ ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬» ® ¢®§¬³¹¥­¨¿µ ¡ §¨±®¢.
(xn ) | ¡ §¨±­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ¡ ­ µ®X: ‘³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ("n ) ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ ·¨±¥«, ·²® ¥±«¨ yn 2 X ¨ kxn
yn k < "n ¤«¿ ª ¦¤®£® n = 1; 2; : : :; ²® (yn )
¥±²¼ ¡ §¨±­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ½ª¢¨¢ «¥­²­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (xn ):
°¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® (zn ) | ­¥ª®²®° ¿ ´¨ª±¨°®¢ ­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼
­¥­³«¥¢»µ ¢¥ª²®°®¢ ¯°®±²° ­±²¢ C [0; 1]; ¯«®²­ ¿ ¢ C [0; 1]: ˆ§ § ¤ · II.1 ¨ II.2.1
‡ ¤ · II.2.1. ³±²¼
¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥
¢»²¥ª ¥², ·²® ¢±¿ª ¿ ¡ §¨±­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ½ª¢¨¢ «¥­²­ ¡ §¨±­®© ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (zn ) (®¤­ ª®, ± ¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ (zn );
ª®­¥·­® ¦¥, ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬). °¥¤¯®«®¦¨¬, ®¤­ ª®, ·²® ³ ­ ± ¨¬¥¥²±¿ ­¥ª®²®° ¿ ¤°³£ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ (zei ); ª®²®° ¿ ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬®©, ¢
­¥ª®²®°®¬ «¨­¥©­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ (­ ¯°¨¬¥°, zei ¬®¦¥² ¡»²¼ i-¬ ®°²®¬ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¢±¥µ ±ª «¿°­® §­ ·­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©), ¨ ®¯°¥¤¥«¨¬ ­®°¬³ jjj jjj ­ «¨­¥©­®© ®¡®«®·ª¥ span (zei ) ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:
n
X
i=1
e i z i
= sup
m
X
6m6n i=1
1
i zi :
³±²¼ (Z; jjj jjj) ®¡®§­ · ¥² ¯®¯®«­¥­¨¥ ½²®© «¨­¥©­®© ®¡®«®·ª¨ ¯® ­®°¬¥ jjj jjj:
‚ ½²®¬ ±«³· ¥, ­¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® (zei ) ®¡° §³¥² ¡ §¨± ¢ Z ± ¡ §¨±­®© ¯®±²®¿­­®©, ° ¢­®© ¥¤¨­¨¶¥. °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¨¬¥¥²±¿ ­¥ª®²®° ¿ ¡ §¨±­ ¿
¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ (znk ) ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (zn ) C [0; 1] ¨ ¯³±²¼ ¡³¤¥² ¡ §¨±­®© ¯®±²®¿­­®© ¤«¿ (znk ): ’®£¤ ¤«¿ «¾¡®£® ª®­¥·­®£® ­ ¡®° (i )ni=1 ±ª «¿°®¢
n
X
i=1
i
i zn 6
n
X
i=1
e i i z n
1
6
n
X
i=1
i
i zn ;
² ª ·²® (zeni ) ½ª¢¨¢ «¥­²­ (zni ): ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, (zen ) ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© "³­¨¢¥°± «¼­³¾ ¡ §¨±­³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼". Ž¤­ ª®, ­¥² ­¨ª ª®© ¯°¨·¨­» ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® § ¬ª­³² ¿ «¨­¥©­ ¿ ®¡®«®·ª span (zeni ) ¤®¯®«­¿¥¬ ¢ Z; ¯®½²®¬³ ¯°®±²° ­±²¢® Z ­¥ °¥¸ ¥² § ¤ ·¨ II.2.
Š®­±²°³ª¶¨¿ ˜¥µ²¬ ­ ¤®¯®«­¿¥¬® ³­¨¢¥°± «¼­®£® ¯°®±²° ­±²¢ U ¨±¯®«¼§³¥²
¬®¤¨´¨¶¨°®¢ ­­³¾ ¢¥°±¨¾ ¯°®±²° ­±²¢ Z:
³±²¼ C | ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¨µ ª®­¥·­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©
­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«. „«¿ c = (i1 < i2 < < ik ) 2 C ¯®«®¦¨¬ l(c) = ik (¯®±«¥¤­¨©
½«¥¬¥­² c).  ¬ ¡³¤¥² ³¤®¡­¥¥ ¯®²®¬ ³¯®°¿¤®·¨²¼ ¨±ª®¬»© ³­¨¢¥°± «¼­»© ¡ §¨±
¢ U ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ±·¥²­®£® ¬­®¦¥±²¢ C ¢¬¥±²® ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« N (­®, ¥±²¥±²¢¥­­®, ¯®§¦¥ ¬» ¤®«¦­» ¡³¤¥¬ ¢¢¥±²¨ ±¥ª¢¥­¶¨ «¼­»© ¯®°¿¤®ª
¢ ¯®±²°®¥­­®¬ "¡ §¨±¥", ·²®¡» ¯°¥¢° ²¨²¼ ¥£® ¢ ­ ±²®¿¹³¾ ¡ §¨±­³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼1 )
ˆ² ª, ¯³±²¼ (e(c))c2C ¥±²¼ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ ¢ ­¥ª®²®°®¬ «¨­¥©­®¬
¯°®±²° ­±²¢¥. Œ» ±¥©· ± ¯®±²°®¨¬ ­®°¬³ jj ­ span (e(c))c2C ¨ ®¯°¥¤¥«¨¬ ¯°®±²° ­±²¢® U ª ª ¯®¯®«­¥­¨¥ ½²®£® ¯°®±²° ­±²¢ . °®±²° ­±²¢® U ¡³¤¥² ®¡« ¤ ²¼
²¥¬ ±¢®©±²¢®¬, ·²® ¥±«¨ 1 6 n1 < n2 < : : : | ª ª ¿{«¨¡® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼
­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«, ²® e(n1 ); e(n1 ; n2 ); e(n1 ; n2 ; n3 ); : : : | ¡ §¨±­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ U; ½ª¢¨¢ «¥­²­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (zni ) ¢ Z; ¨ ¥±²¥±²¢¥­­»© «¨­¥©­»©
¯°®¥ª²®° ¨§ U ­ span (e(n1 ); e(n1 ; n2 ); e(n1 ; n2 ; n3 ); : : : ) ­¥¯°¥°»¢¥­. ³±²¼ D ®¡®§­ · ¥² ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ª®­¥·­»µ ­ ¡®°®¢ (c1 ; c2 ; : : :; ck ) ¨§ C ² ª¨µ, ·²® ci | ­ · «¼­»© ª³±®ª ci+1 ¨ ¤«¨­ ci ° ¢­ i (1 6 i 6 k ): ’¨¯¨·­»© ½«¥¬¥­² D ¨¬¥¥²
¢¨¤ f(i1 ); (i1 ; i2 ); : : :; (i1 ; i2 ; : : :; ik )g; £¤¥ 1 6 i1 < i2 < < ik | ª®­¥·­»© ­ ¡®°
­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«. ’¥¯¥°¼ ®¯°¥¤¥«¨¬ ­®°¬³ j j ­ span (e(c))c2C ; ¯®« £ ¿
X
ce(c
)
=
k
X
sup i=1
i e ( i ) c zl c
: (c1 ; c2 ; : : :; ck ) 2 D
:
ˆ§ ¯®±²°®¥­¨¿P¿±­®, ·²® ¥±«¨
1 6 i1 < i2 < : : : ¨ cj = (i1 ; i2 ; : : :; ij )g ¤«¿
P
1 6 j < 1; ²® jjj j zeij jjj = j j e(cj )j ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢ ¯®¯®«­¥­¨¨ U ­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¯°®±²° ­±²¢ (span (e(c)); j j) ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ (e(cj )) ¥±²¼ ¡ §¨±­ ¿
¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ½ª¢¨¢ «¥­²­ ¿ (zeij ): „ «¥¥, «¥£ª® ² ª¦¥ ³¢¨¤¥²¼ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ j j; ·²® ¤«¿ ª ¦¤®£® ª®­¥·­®£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢ L C ² ª®£®, ·²® L \ (cj ) = ;;
X
)
j e(cj 6
X
j e(cj ) +
X
c2L
ce(c):
²® ®§­ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¯°®¥ª²®° ¥¤¨­¨·­®© ­®°¬» ¨§ U ­ span (e(cj )) ±
¿¤°®¬ span fe(c) : c 2 C; c 2
= (cj )1
j =1 g:
Š ª ®²¬¥· «®±¼ ¢»¸¥, ­ ¬ ­¥®¡µ®¤¨¬® ³¯®°¿¤®·¨²¼ ¬­®¦¥±²¢® (e(c))c2C ; ¯°¥¢° ²¨¢ ¥£® ¢ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«±¿ ¡ §¨±. ²® ¤®¢®«¼­® ¯°®±²®: ­ ¤® «¨¸¼ ¢§¿²¼ «¾¡®¥ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' ¨§ C ­ N ; ¤«¿
1  §¨±»
¡ ­ µ®¢»µ ¯°®±²° ­±²¢, ª®²®°»¥ ­¥ § ¢¨±¿ ®² ¯®°¿¤ª ¥£® ·«¥­®¢, ².¥. ª®²®°»¥
®±² ¾²±¿ ¡ §¨± ¬¨ ¯°¨ «¾¡®¬ ¯®°¿¤ª¥ ¨µ ½«¥¬¥­²®¢, ­ §»¢ ¾²±¿ ¡¥§³±«®¢­»¬¨ ¡ §¨± ¬¨; ² ª¨¥
¡ §¨±» ±³¹¥±²¢³¾² ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ¯°®±²° ­±²¢ Lp [0; 1] ¯°¨ 1 < p < 1: ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¢ ¯°®±²° ­±²¢ µ C [0; 1] ¨ L1 [0; 1] ¬­®£® ¡ §¨±®¢, ­® ­¥² ­¨ ®¤­®£® ¡¥§³±«®¢­®£®. ¥ª²®°»¥ ¯®¤°®¡­®±²¨
¬®¦­® ­ ©²¨ ¢ ¬®­®°£ ´¨¨ [Š ‘ ].
2
ª®²®°®£® '(c1 ) < '(c2 ); ¥±«¨ c1 | ­ · «¼­»© ±¥£¬¥­² c2 ; ¨ ° ±±¬®²°¥²¼ (e(c)) ª ª
e(' 1 (1)); e(' 1(2)); e(' 1(3)); : : : : ¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ±ª «¿°®¢ (i )
¨ ¢±¥µ ­ ²³° «¼­»µ n < m
n
X
i=1
i e('
1
(i
))
*
6
m
X
i=1
*
i e('
1
(i
))
: *
–ˆ’ˆŽ‚€€Ÿ ‹ˆ’…€’“€
[³°¡] ³°¡ ª¨ ., Ž¡¹ ¿ ²®¯®«®£¨¿: Ž±­®¢­»¥ ±²°³ª²³°»,  ³ª , Œ®±ª¢ , 1968. 272 ±.
[Š³°²] Š³° ²®¢±ª¨© Š., ’®¯®«®£¨¿, ²®¬ 2, Œ¨°, Œ®±ª¢ , 1969. 624 ±.
[LiTs] J.Lindenstrauss and L.Tzafriri, On the complemented subspaces problem, Israel J. Math. 9
(1971), 263{269, M R43#2474.
[‹¾‘] ‹¾±²¥°­¨ª ‹.€., ‘®¡®«¥¢ ‚.ˆ., Š° ²ª¨© ª³°± ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ­ «¨§ , ‚»±¸. ˜ª®« ,
Œ®±ª¢ , 1982. 271 ±.
[Pel1] A.Pelczynski, Projectons in certain Banach spaces, Studia Math. 19 (1960), 209{228.
[Pel2] A.Pelczynski, Universal bases, Studia Math. (1969), no. 32, 247{268.
[Sch] G.Schechtman, On Pelczynski's paper "Universal bases", Israel J. Math. 22 (1975), 181{194.
[Rose] H.P.Rosenthal, On factors of C [0; 1] with non-separable dual, Israel J. Math. 13 (1972), 361{
378.
[LeSt] D.R.Lewis, C.Stegall, Banach spaces whose duals are isomorphic to l1 ( ), J. Functional Analysis 12 (1973), 177{187, M R49#7731.
[Š ‘ ] Š ¸¨­ .‘., ‘ ª¿­ €.€., Ž°²®£®­ «¼­»¥ °¿¤»,  ³ª , Œ®±ª¢ , 1984. 496 ±.
‘ ­ª²{¥²¥°¡³°£±ª¨© £®±³¤ °±²¢¥­­»© ³­¨¢¥°±¨²¥²,
¬ ²¥¬ ²¨ª®{¬¥µ ­¨·¥±ª¨© ´ ª³«¼²¥²
E-mail address : [email protected] (¤«¿ ¢®¯°®±®¢)
3