EJERCICIOS RESUELTOS DE DOMINIOS, GRÁFICAS Y

CÁLCULO I – FCEIA – UNR – COMISIÓN 220 2015
EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES, DOMINIOS, IMÁGENES Y
TRANSFORMACIONES
Ej 1: a)Halle el dominio, grafique e indique el rango o conjunto imagen de la función f
indicada abajo.
 x

f ( x ) = − x 2
1/ x

SOLUCIÓN
si − 1 ≤ x ≤ 3
si − 3 < x < −1
si
x ≤ −3
Vemos que la función consta de un trozo de hipérbola, luego un trozo de parábola (con
la concavidad hacia abajo, puesto que el coeficiente del término cuadrático es negativo),
y finalmente un trozo de la función valor absoluto con su característica forma de V.
Dominio : ( −∞;3)
Imagen : (-9;3)
b) Grafique g(x)= 2sen2x a partir de la gráfica de y = senx , e indique dominio, rango y
período de g.
Para graficar sen2x se toma la gráfica de senx y se la comprime horizontalmente contra
el eje y en un factor de 2. Así, cada período queda reducido a la mitad: en vez de ser 2π
pasa a ser π.
Luego, al multiplicarse toda la función por 2, se ensancha verticalmente en un factor de
2. De esa manera, la función resultante queda de período π, y su dominio es R, siendo
su imagen el intervalo [–2; 2].
Abajo se puede apreciar la gráfica de las tres funciones.
Ej 2: Halle el dominio de las siguientes funciones:
a) f(x)=
x +1
x −1 − 2
b) g(x)= 2 x − 1 + 3 − x
c) h(x)= log 2 ( 2 x + 1 − 4)
a) El denominador no puede ser 0. Veremos dónde se hace 0 y descartaremos esos
puntos.
x − 1 − 2 = 0 ⇒ x − 1 = 2 ⇒ x − 1 = 2 ∨ x − 1 = −2 ⇒ x = 3 ∨ x = −1
Por lo tanto:
Dom f = R − {− 1;3}
b) La función es suma de otras dos. Por lo tanto hay que hallar los respectivos dominios
e intersectarlos. Las expresiones dentro de las raíces tienen que ser mayores o iguales a
cero.
g1 ( x) = 2 x − 1
g 2 ( x) = 3 − x
1 1 

Domg1 = {x / 2 x − 1 ≥ 0} = {x / 2 x ≥ 1} =  x / x ≥  =  ; ∞ 
2 2 

Domg2 = {x / 3 − x ≥ 0} = {x / 3 ≥ x} = {x / x ≤ 3} = (− ∞;3]
1 
Domg = Domg1 ∩ Domg2 =  ;3
2 
c) La expresión de adentro de la raíz debe ser mayor o igual a cero. Pero sabemos que la
función logaritmo, cuando es de base mayor que 1, es creciente y pasa por 0 cuando el
argumento (esto es, la expresión a la cual le aplicamos el logaritmo) es 1. Por lo tanto:
log 2 ( 2 x + 1 − 4) ≥ 0 ⇔ 2 x + 1 − 4 ≥ 1 ⇔ 2 x + 1 ≥ 5 ⇒ 2 x + 1 ≥ 5 ∨ 2 x + 1 ≤ −5
Si 2 x + 1 ≥ 5 ⇒ 2 x ≥ 4 ⇒ x ≥ 2 ⇒ x ∈ [2; ∞)
Si 2 x + 1 ≤ −5 ⇒ 2 x ≤ −6 ⇒ x ≤ −3 ⇒ x ∈ (−∞;−3]
Luego Domh = (−∞;−3] ∪ [2; ∞)
Recordemos que en matemática la conjunción “o” implica una unión, y la conjunción
“y” una intersección.
Ej 3: a)Dibuje la función cuya ley se explicita abajo.
2 − x − 1 , 0 ≤ x ≤ 2

f ( x) =  2 − 12 x,
2≤ x≤6
 x − 7,
6≤ x≤7

SOLUCIÓN
Se trata de una función seccionalmente definida. La primera de las leyes es una
transformación (por corrimientos y reflexión) de la función valor absoluto. Empezamos
dibujando la función valor absoluto, |x|:
Ahora graficamos |x – 1|; como estamos restando un positivo a la variable, la función se
corre en 1 hacia la derecha:
Lo próximo es dibujar –|x – 1|.
Como aplicamos el signo – a toda
la función, se produce una
reflexión vertical alrededor del eje
x:
Finalmente, graficamos 2 –|x – 1|;
como estamos agregándole 2 a la
anterior función que graficamos,
esta sube 2 unidades para arriba:
Como nuestra función f(x) viene representada por 2 –|x – 1| en 0 ≤ x ≤ 2, el trozo que
nos interesa de esta última ley es:
Las otras dos leyes de f son segmentos de rectas, puesto que son funciones lineales. Para
trazar un segmento de recta basta con los puntos inicial y final.
La ley 2 –½x vale para 2 ≤ x ≤ 6; los puntos extremos son (2; 1) y (6; –1).
La ley x – 7 vale para 6 ≤ x ≤ 7; los puntos extremos son (6; –1) y (7; 0).
Así, nuestra función f queda de la siguiente manera:
f(x) = 2 –|x – 1| en 0 ≤ x ≤ 2
f(x) = 2 –½x en 2 ≤ x ≤ 6
f(x) = x – 7 en 6 ≤ x ≤ 7
b) A partir de ese dibujo, y por transformaciones, trace la gráfica de f(2x), –f(–x),
f(x + 2).
SOLUCIÓN
Ya graficamos f(x).
Para las otras funciones, aplicamos transformaciones.
f(2x) comprime la gráfica horizontalmente (contra el eje y) en un factor de 2, y
por lo tanto su gráfica se situará entre 0 y 3,5.
–f(–x) refleja la gráfica respecto al eje y primero (por el signo – que afecta a la
variable) y respecto al eje x después (por el signo – que afecta a toda la función).
f(x + 2), finalmente, corre la gráfica 2 unidades a la izquierda.
Las gráficas quedan, así:
Ej 4: Dadas las funciones f ( x) = x +
1
x +1
y g ( x) =
, encuentre las funciones f o g y
x
x+2
g o f y sus dominios.
SOLUCIÓN
( f o g )( x) = g ( x) +
Dom f = R − {0}
1
x +1
1
x +1 x + 2
=
+
=
+
g ( x) x + 2 x + 1 x + 2 x + 1
x+2
Domg = R − {− 2}
Dom f o g = {x / x ∈ Domg ∧ g ( x) ∈ Dom f }
g(x) pertenece al dominio de f si g(x) ≠ 0
g ( x) ≠ 0 ⇒
x +1
≠ 0 ⇒ x ≠ −1
x+2




Dom f o g =  x / x ∈ Domg ∧ g ( x) ∈ Dom f  = R − {− 2;−1}
24
3 14
4244
3
 14
⇒ x ≠ −2
⇒ x ≠ −1

Ahora trabajamos con la otra composición:
1
x2 + x + 1
+1
x2 + x + 1
(g o f )( x) = f ( x) + 1 = 1x + 2 x
= 2
f ( x) + 2 x + + 2 x + 2 x + 1 x + 2 x + 1
x
x
Dom f = R − {0}
x+
Domg = R − {− 2}
Domg o f = {x / x ∈ Dom f ∧ f ( x) ∈ Domg }
f(x) pertenece al dominio de g si f(x) ≠ –2
1
x2 + 1
≠ −2 ⇒
≠ −2 ⇒ x 2 + 1 ≠ −2 x ⇒
x
x
2
2
x + 2 x + 1 ≠ 0 ⇒ ( x + 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ −1
f ( x) ≠ −2 ⇒ x +




Dom f o g =  x / x ∈ Dom f ∧ f ( x) ∈ Domg  = R − {− 1;0}
24
3 14
4244
3
 14
⇒ x ≠ −0
⇒ x ≠ −1

Resumiendo:
( f o g )( x) = (x + 1)(x + 2)
Dom f o g = R − {− 2;−1}
(g o f )( x) =
x2 + x + 1
x2 + 2x + 1
Dom f o g = R − {− 1;0}

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