312_2011 年大学入試センター試験問題数学Ⅰ・数学Ａ 2011 大学入試センター試験問題数学Ⅰ・数学Ａ（60 分）（全問必答）第１問（配点 20）〔1〕 a  3 2 2 , 1 ア a 1 エ b ab  b a b  2  3 とすると  イ  ウオカキ  クケである．このとき，不等式 2abx  a 2  b 2 を満たす x の値の範囲はコサ  シス x セ  ソとなる．－1－タ http://www.geocities.jp/ikemath 〔2〕実数 a，b に関する条件 p，q を次のように定める． p： (a  b) 2  (a  2b) 2  5 q： a  b  1 または a  2b  2 (1) 次の0～3のうち，命題「q ⇒ p」に対する反例になっているのはチ 0 a 0, b0 2 a  0 , b 1 (2) 命題「p ⇒ q」の対偶は「ツツ , 0 2 4 6 (3) 1 a 1, b  0 3 a 1, b 1 ⇒ テ」である．テに当てはまるものを，次の0～7のうちから一つずつ選べ． a  b  1 かつ a  2b  2 a  b  1 または a  2b  2 a  b )1 かつ a  2b ) 2 a  b )1 または a  2b ) 2 1 3 5 7 (a  b) 2  (a  2b) 2  5 (a  b) 2  (a  2b) 2 ( 5 (a  b) 2  (a  2b) 2  5 (a  b) 2  (a  2b) 2 )5 p は q であるためのト．トに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つ選べ． 0 1 2 3 必要十分条件である必要条件であるが，十分条件でない十分条件であるが，必要条件でない必要条件でも十分条件でもない－2－である． 312_2011 年大学入試センター試験問題数学Ⅰ・数学Ａ第２問（配点 25） a，b，c を定数とし， a ' 0 , b' 0 とする．x の 2 次関数 y  ax 2  bx  c ･･････････① 2 のグラフを G とする．G が y  3 x  12bx のグラフと同じ軸をもつときアイ a ･･････････② ウとなる．さらに，G が点 (1 , 2b  1) を通るときエ c b ･･････････③ オが成り立つ．以下，②，③のとき，2 次関数①とそのグラフ G を考える． (1) G と x 軸が異なる 2 点で交わるような b の値の範囲はカキ b ケ , クコ b である．さらに，G と x 軸の正の部分が異なる 2 点で交わるような b の値の範囲はサシ b スセである． (2) b  0 とする． 0 ( x ( b における 2 次関数①の最小値が  1 であるとき， b  4 x )b における 2 次関数①の最大値が 3 であるとき， b  b ソタ向にテ，b  チツチツソタである．一方，である．のときの①のグラフをそれぞれ G1 , G2 とする． G1 を x 軸方，y 軸方向にトだけ平行移動すれば， G2 と一致する．－3－ http://www.geocities.jp/ikemath 第３問（配点 30）点 O を中心とする円 O の円周上に 4 点 A，B，C，D がこの順にある．四角形 ABCD の辺の長さは，それぞれ AB＝ 7 ，BC＝ 2 7 ，CD＝ 3 ，DA＝ 2 3 であるとする． (1) ∠ABC＝  ，AC＝x とおくと，△ABC に着目して x 2  アイ  28cos  となる．また，△ACD に着目して x 2  15  ウエ cos  となる．よって， cos   オカ , x キクであり，円 O の半径はケである．また，四角形 ABCD の面積はコ (2) サである．点 A における円 O の接線と点 D における円 O の接線の交点を E とすると， ∠OAE＝シス  である．また，線分 OE と辺 AD の交点を F とすると， ∠AFE＝セソ  であり， OF･OE＝タである．さらに，辺 AD の延長と線分 OC の延長の交点を G とする．点 E から直線 OG に垂線を下ろし，直線 OG との交点を H とする． 4 点 E，G，チは同一円周上にある．チに当てはまるものを次の0～4から一つずつ選べ． 0 C，F 1 H，D 2 H，F したがって OH･OG＝ツである．－4－ 3 H，A 4 O，A 312_2011 年大学入試センター試験問題数学Ⅰ・数学Ａ第４問（配点 25） 1 個のさいころを投げるとき，4 以下の目が出る確率 p はウが出る確率 q はエアイであり，5 以上の目である．以下では，1 個のさいころを 8 回繰り返して投げる． (1) 8 回の中で 4 以下の目がちょうど 3 回出る確率はオカ p 3q 5 である．第 1 回目に 4 以下の目が出て，さらに次の 7 回の中で 4 以下の目がちょうど 2 回出る確率はキク p 3 q 5 である．第 1 回目に 5 以上の目が出て，さらに次の 7 回の中で 4 以下の目がちょうど 3 回出る確率はケコ p q である． 3 5 (2) 次の0～7のうちオカに等しいものはとシ 0 4 サとシである．ただし，サは解答の順序を問わない． 7 C 2  7 C3 7 C 4  7 C5 1 5 8 C1  8 C2 8 C6  8 C7 2 6 7 C 2  7 C3 7 C 4  7 C5 3 8 C1  8 C2 7 8 C6  8 C7 (3) 得点を次のように定める． 8 回の中で 4 以下の目がちょうど 3 回出た場合， n  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 について，第 n 回目に初めて 4 以下の目が出たとき，得点は n 点とする．また，4 以下の目が出た回数がちょうど 3 回とならなかったときは，得点を 0 点とする．このとき，得点が 6 点となる確率は p ソタ p ス q セス q セである．また，得点の期待値は－5－であり，得点が 3 点となる確率はチツテトナニである．