FYSA241 kev¨ at 2014 Harjoitus 3, ratkaise teht¨av¨at 5.2.2014 menness¨a. 1. Systeemist¨ a, jonka l¨ amp¨ otila on 300 K, siirret¨a¨an 10−6 J l¨amp¨o¨a toiseen systeemiin, jonka l¨amp¨ otila on 299 K; oletetaan, ett¨a systeemien l¨amp¨okapasiteetit ovat niin suuret, etteiv¨ at niiden l¨ amp¨ otilat muutu prosessissa. (a) Paljonko systeemien entropiat muuttuvat? (b) Miten monikertaiseksi saavutettavien tilojen lukum¨aa¨r¨a kasvaa? 2. Yksiulotteisen paramagneetin mallina on N + 1 spinin ketju; kukin spin voi olla yl¨os tai alas. Spinit vuorovaikuttavat vain l¨ahinaapurinsa kanssa siten, ett¨a vuorovaikutusenergia on E = nε, kun ketjussa on n spin-yl¨os ↔ spin-alas rajapintaa (domain walls). (a) Kuinka monta tapaa on tehd¨ a n rajapintaa? (b) Laske paramagneetin entropia ja osoita, ett¨a paramagneetin energia riippuu l¨amp¨otilasta kaavan Nε E = ε/(k T ) B e +1 mukaan. 3. Samaa yksiatomista ideaalikaasua on lokeroissa A ja B. Kaasut ovat samassa paineessa ja termisesti eristetyin¨ a, lokerossa A on l¨amp¨otila TA ja NA atomia, lokerossa B on l¨ amp¨ otilassa TB NB = NA /2 atomia. Lokerot saatetaan termiseen tasapainoon pit¨ am¨ all¨ a paine vakiona. Laske kokonaisentropian muutos ja osoita, ettei se voi olla negatiivinen. 4. Exponentiaalinen hiukkasten jakautuminen energiatiloille (kuten Boltzmann/Gibbs/MaxwellBoltzmann jakaumissa) perustuu yksinkertaiseen huomioon: tilojen miehitykset vaikuttavat todenn¨ ak¨ oisyyksiin tuloina, kun taas energia lasketaan summana. Jos oletetaan, ett¨ a kunkin tilan miehitys riippuu vain sen energiasta, saadaan logaritminen riippuvuus ja k¨ a¨ ant¨ aen eksponentiaalinen riippuvuus. Oletetaan, ett¨ a eristetyll¨ a systeemill¨ a (siis mikrokanonisella) on E, V ja N vakioita ja kysyt¨ a¨ an, miten hiukkaset sijoittuvat energiatiloille termodynaamisessa tasapainossa. T¨ ah¨ an tarvitaan jokin sis¨ ainen dynamiikka, jossa hiukkaset hyppiv¨at tilalta toiselle niin, ett¨ a E pysyy vakiona. K¨ aytet¨ a¨an seuraavaa kuviteltua dynamiikkaa, ja annetaan sen ajaa systeemi tasapainotilaan: Jos yksi hiukkanen siirtyy tilasta i (energia εi ) tilaan k (energia εk ) ja energia laskee ∆E verran, niin kokonaisenergian E pit¨ amiseksi vakiona siirret¨a¨an toinen hiukkanen tilasta j tilaan l energian ∆E verran korkeampaan energiaan. Aikayksik¨ossa n¨ait¨a siirtymi¨a tapahtuu R(ij → kl) = Ni Nj T (ij → kl) , kappaletta, miss¨ a T (ij → kl) on siirtym¨atodenn¨ak¨oisyys. Laske aluksi, paljonko tilasta i siirtyy hiukkasia pois aikayksik¨ oss¨ a (Ri (out)) ja paljonko sis¨a¨an (Ri (in)). Tasapainossa Ri (out) = Ri (in) ja saadaan yht¨ al¨ o kahden summan v¨alille. Oletetaan seuraavaksi, ett¨a siirtymiss¨ a aika voidaan k¨ a¨ ant¨ a¨ a, T (ij → kl) = T (kl → ij). Seuraavaksi k¨aytet¨a¨an ns. detailed balance ehtoa: riitt¨ av¨ a ehto sille, ett¨a kaksi samanlaista summaa ovat P∞samat on, ett¨ a summien termit ovat parittain samat, eli esim. f (n) = g(n), ∀n ⇒ n=1 f (n) = P∞ g(n). Jos kunkin tilan i miehitys N riippuu vain energiasta ε , osoita ett¨a Ni = i i n=1 αe−βεi , miss¨ a α ja β ovat vakioita. Vakio β liittyy l¨amp¨otilaan: eristetyss¨a systeemiss¨a asetetaan vakio E ja systeemin dynamiikka ajaa sen tasapaino T :hen. Keskustelu: (i) Miten dynamiikka vaikuttaa tulokseen Ni ? (ii) Ent¨a jos T (ij → kl) 6= T (kl → ij)? (iii) Miten k¨ ay ergodisuushypoteesin: toimiiko kuviteltu dynamiikka jos diskreetit energiatilat εi eiv¨ at ole tasav¨alein? FYSA241 spring 2014 Exercise 3, solve the problems before the discussion on Wed Feb. 5th 2014. 1. We transfer 10−6 J heat from a system at temperature 300 K to another at 299 K, assuming the heat capacities of the systems are so large, that temperatures remain constant in the process. (a) How much did the entropies change? (b) By what factor did the number of accessible states increase? 2. A model of a one-dimensional paramagnet is a chain of N + 1 spins; each spin can be up or down. The spins interact with their nearest neighbours so, that the interaction energy is E = nε in a chain with n spin-up ↔ spin-down domain walls. (a) How many ways there are to set up n domain walls? (b) Compute the entropy and show, that the energy of the model paramagnet depends on temperature via Nε . E = ε/(k T ) B e +1 3. Containers A and B hold the same monoatomic ideal gas. The pressures are equal and in container A there are NA atoms at temperature TA , in B there are NB = NA /2 atoms at temperature TB . Next we put the contained in thermal contact at constant pressure. Calculate the total entropy and show that it can’t be negative. 4. Exponential distribution of particles on energy states (as in Boltzmann/Gibbs/MaxwellBoltzmann distribution) arises from very simple considerations. The basic notion is that occupations of states enter in probabilities as products, while energies are added up. Assuming each occupation depends only on the energy of the state, this gives rise to a logarithmic dependence, and, in reverse, to an exponential dependence. Let’s assume we have an isolated system (i.e. microcanonical) with constant E, V and N , and we ask how do particles occupy the energy states. For that we need some internal dynamics, where particles jump between energy states and keep E constant. Let’s use the following, fictitious, dynamics and drive the system to equilibrium: If a particle moves from state i (energy εi ) to state k (energy εk ) reducing the total energy by ∆E, there will be, in order to keep the energy constant, another particle moving from state j to state l increasing the energy by the same amount ∆E. The transfer rate is R(ij → kl) = Ni Nj T (ij → kl) , where T (ij → kl) is the transfer probability. First, write down the transfer rate for moves out of a state i (Ri (out)) and into the state (Ri (in)). In equilibrium Ri (out) = Ri (in), which equates two sums. for two sums. Next assume that the transfers are symmetric in time reversal, T (ij → kl) = T (kl → ij). Next use the so-called detailed balance condition: A sufficient condition thatP two similar sums P∞are equal is that all terms ∞ are pair-wise equal, e.g., f (n) = g(n), ∀n ⇒ n=1 f (n) = n=1 g(n). If the occupation Ni of state i depends only on the energy of the state εi , show that Ni = αe−βεi , where α and β are constants. The constant β is related to temperature: For an isolated system, one fixes a constant E, and the dynamics drives the system to an equilibrium T . Discussion: (i) how does the choice of dynamics affect the result Ni ? (ii) What if T (ij → kl) 6= T (kl → ij)? (iii) What about the ergodicity hypothesis: does the fictitious dynamics apply for unevenly spaced discrete energy levels εi ?
© Copyright 2025 ExpyDoc
