Chapitre 5
Calcul diff´
erentiel
5.1
Questions
5A
Soit f, g : R → R et p, q > 0.
vrai
faux
Si f (h) = o(h), alors f (h) = O(h).
vrai
faux
Si f (h) = O(h), alors f (h) = o(h).
vrai
faux
Si f (h) = O(hp ), alors f (h) = O(hq ) pour tout q ≥ p.
vrai
faux
Si p < q, f (h) = o(hp ) et g(h) = O(hq ), alors f (h) + g(h) = o(hp ).
vrai
faux
Si f (h) = o(hp ) et g(h) = O(hq ), alors f (h)g(h) = o(hp+q ).
vrai
faux
vrai
faux
Si f est d´erivable `a gauche et `a droite en a ∈ R, alors f est d´erivable en a.
vrai
faux
Si f est d´erivable sur I ⊂ R, alors f 0 est continue sur I.
vrai
faux
Si f est d´erivable en a avec f 0 (a) > 0, alors f est croissante sur un voisinage de a.
vrai
faux
Si f ∈ C n (R) et g ∈ C m (R) alors f + g ∈ C min{n,m} (R).
vrai
faux
Si f est d´erivable sur R, alors g(x) =
vrai
faux
Si f (x) = x + ex , alors (f −1 )0 (1) = 1 + 1e .
vrai
faux
Si f (x) = x2 − 2x, alors (f ◦ f )0 (1) = 0.
Si f est d´erivable en a ∈ R, alors il existe δ > 0 tel que
f est continue sur ]a − δ, a + δ[.
63
p
f 2 (x) est d´erivable sur R.
´
CHAPITRE 5. CALCUL DIFFERENTIEL
64
5B
Soit f une fonction continue sur [a, b], et d´erivable sur ]a, b[.
vrai
faux
Si f 0 (x) ≥ 0 pour tout x ∈]a, b[, alors f est croissante sur [a, b].
vrai
faux
Si f est croissante sur [a, b], alors f 0 (x) ≥ 0 pour tout x ∈]a, b[.
vrai
faux
Si f est strictement croissante sur [a, b], alors f 0 (x) > 0 pour tout x ∈]a, b[.
vrai
faux
Si f 0 (x) > 0 pour tout x ∈]a, b[, alors f est strictement croissante sur [a, b].
vrai
faux
Si f est convexe sur [a, b], alors f 0 est croissante sur ]a, b[.
vrai
faux
vrai
faux
Si f ∈ C 1 (]a, b[), alors f est lipschitzienne sur tout intervalle [a0 , b0 ] ⊂]a, b[.
vrai
faux
Si f 0 (x) 6= 0 pour tout x ∈]a, b[, alors min f (x) = min{f (a), f (b)}.
vrai
faux
Si la tangente au point (c, f (c)), c ∈]a, b[, est horizontale,
alors f admet un extremum en c.
x∈[a,b]
0
(a) .
Si lim f 0 (x) existe, alors f est d´erivable `a droite en a et lim f 0 (x) = f+
x→a+
x→a+
5C
Soit f, g : R → R d´erivables sur R avec g 0 (x) 6= 0 pour tout x ∈ R.
vrai
faux
vrai
faux
vrai
faux
vrai
faux
vrai
faux
vrai
faux
(x)
=
Si f (a) = g(a) = 0 pour a ∈ R, alors lim fg(x)
x→a
Si lim f (x) = lim g(x) = +∞, alors lim
x→+∞
f 0 (x)
0
x→+∞ g (x)
Si lim
f 0 (a)
g 0 (a) .
f (x)
x→+∞ g(x)
x→+∞
n’existe pas, alors lim
f (x)
x→+∞ g(x)
f 0 (x)
.
0
x→+∞ g (x)
= lim
n’existe pas.
S’il existe x 6= y ∈ R tels que f (y) − f (x) = g(y) − g(x),
alors il existe c ∈]x, y[ tel que f 0 (c) = g 0 (c).
g(x)
Soit a ∈ R, alors lim sing(x)
existe.
x→a
g(x)
Soit a ∈ R, alors lim sinh
= cosh g(a).
g(x)
x→a
´
CHAPITRE 5. CALCUL DIFFERENTIEL
65
5D
Soit I un intervalle ouvert, une fonction f : I → R et x0 ∈ I.
vrai
faux
Si f est convexe sur I, alors f est continue sur I.
vrai
faux
Si f est convexe sur I, alors f est d´erivable sur I.
vrai
faux
Si f est convexe et deux fois d´erivable sur I, alors f 00 (x) > 0 pour tout x ∈ I.
vrai
faux
vrai
faux
Si f est concave et d´erivable sur I,
alors f (y) − f (x) ≥ f 0 (y)(y − x) pour tout x, y ∈ I.
Si f est convexe et d´erivable sur I et f 0 (x0 ) = 0,
alors minf (x) = f (x0 ).
x∈I
vrai
faux
Si f ∈ C 2 (I) et f admet un point d’inflexion en x0 ,
alors f 0 admet un point stationnaire en x0 .
5E
Soit I un intervalle ouvert, f, g ∈ C n (I) et a ∈ I.
vrai
faux
vrai
faux
vrai
faux
Si f (k) (a) = 0 pour tout 0 ≤ k < 7 et f (7) (a) = 1,
alors f admet un minimum en a.
Si I est sym´etrique et f est impaire sur I,
alors f (2k) (0) = 0 pour 0 ≤ 2k ≤ n, k ∈ N.
Si f (k) (a) = g (k) (a) = 0 pour tout 0 ≤ k < n et g (n) (a) 6= 0,
(x)
alors lim fg(x)
=
x→a
f (n) (a)
.
g (n) (a)
Soit a, b ∈ R et f :] − 1, 1[→ R tels que f (x) = ax + bx2 + o(x4 ).
5F
vrai
faux
f est continue en 0.
vrai
faux
Si f ∈ C 2 (] − 1, 1[), alors f 00 (0) = b.
vrai
faux
lim f (x)
x→0 x
vrai
faux
f (x)2 = a2 x2 + b2 x4 + o(x6 ).
vrai
faux
= a.
Si f ∈ C 4 (] − 1, 1[) admet un point stationnaire
et un point d’inflexion en 0, alors a = b = 0.
´
CHAPITRE 5. CALCUL DIFFERENTIEL
66
5G
Soit f, g : R → R de classe C 2 telles que f (0) = f 0 (0) = 0
et g(x) = x · f (x) pour tout x ∈ R.
faux
g admet un point stationnaire en x = 0.
faux
g 00 (0) = 0.
vrai
vrai
faux
Si f 00 (0) > 0, alors g admet un point d’inflexion en x = 0.
vrai
faux
g(x) = O(x3 ).
vrai
faux
lim f (x)
2
x→0 x
vrai
faux
Si g admet un extremum local strict en x = 0, alors f 00 (0) = 0.
= f 00 (0).
5H
Soit f, g, h : R → R de classe C 1 telles que les compositions
f ◦ g, g ◦ h et f ◦ g ◦ h existent en tout x ∈ R.
vrai
faux
Si f 0 (0) = 0, alors (f ◦ g)0 (0) = 0.
vrai
faux
Si g 0 (0) = 0, alors (f ◦ g)0 (0) = 0.
vrai
faux
Si f, g ∈ C 2 , alors
vrai
faux
(f ◦ g ◦ h)0 (x) = h0 (x) · (g 0 ◦ h)(x) · (f 0 ◦ (g ◦ h))(x) pour tout ∈ R.
vrai
faux
Si f (0) = g(0) = 0, alors (f ◦ g)(x) = f 0 (0)g 0 (0)x + o(x) dans un voisinage de 0.
d2 f (g(x))
dx2
= g 00 (x)f 0 (g(x)) + g 0 (x)f 00 (g(x)).
Soit f, g : R → R de classe C 2 .
5I
vrai
faux
Si f 0 (x) = 2x + 12f (x), alors u(x) = f (2x) v´erifie u0 (x) = x + 6u(x).
vrai
faux
Si f 0 (x) = g 0 (5x), alors u(x) = f (3x) v´erifie u0 (x) = 3g 0 (15x).
vrai
faux
Si g 0 (x) = xg(x), alors g 0 (x2 ) = 2x2 g(x2 ).
vrai
faux
Si g 0 (x) = xg(x), alors u(x) = g(x2 ) v´erifie u0 (x) = 2x3 u(x).
vrai
faux
Si f 00 (x) = 9f (x), alors u(x) = f ( 31 x) v´erifie u00 (x) = u(x).
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