Universit´e Claude Bernard Lyon 1
Ann´ee 2009-2010
Automne 2010
PCSI L1 S1 - UE TMB
Responsable : Alessandra Frabetti
http ://math.univ-lyon1.fr/∼frabetti/TMB/
GEOMETRIE ANALYTIQUE DU PLAN ET DE L’ESPACE
1
G´
eom´
etrie analytique du plan
1. Coordonn´
ees cartesiennes des points et des vecteurs du plan :
• Rep`
ere cartesien ou orthonormal direct (o.n.d.) :
(O,~ı ,~ ) =
~ 6
q , avec ~ı ⊥~
O ~ı
et
k~ı k = k~ k = 1.
• L’ensemble {~ı ,~ } forme une base de l’espace vectoriel des vecteurs du plan appliqu´es en O, donc tout vecteur
−−→
~v = OP est combinaison lin´eaire de ~ı et ~ .
−−→
⇐⇒ ~v = OP = x~ı + y~ ≡
2
x
,
y
• Coordonn´
ees cartesiennes : P = (x, y) ∈ R
−→
x = k−
OP 0 k
= longueur des projections orthogonales de ~v dans les directions ~ı et ~ :
o`
u
−→
y = k−
OP 00 k
• Plan + rep`
ere cartesien ≡ R2 ,
car
qP 00
P
*q
~
v
y
qP 0
q
O
x
−−→
tout point P ≡ vecteur OP = deux coordonn´ees x et y.
−−→
−−→ −−→
• Attention : Vecteur affine : P Q = P + OQ − OP = P + ~u,
Q
q −
−
→
YHP Q
H
Hq P
~u
1
YH
H
H
q o`
u ~u = (xQ −xP ) ~ı + (yQ −yP ) ~
O
0
x
x
0
2. Calcul vectoriel en coordonn´
ees cartesiennes : si ~v =
, ~v =
et t ∈ R, alors
y
y0
• addition : ~v + ~v 0 =
x + x0
,
y + y0
• produit par scalaire : t~v =
0
ex.
1
3
4
+
=
2
4
6
tx
,
ty
1
3
ex. 3
=
2
6
0
0
• produit scalaire : ~v · ~v = xx + yy ,
• longueur : k~v k =
p
x2
+
y2 ,
• vecteurs orthogonaux : ~v ⊥ ~v
• vecteurs parall`
eles : ~v k ~v
• projection orthogonale :
0
2
−1
ex.
·
= −2 + 6 = 4
3
2
1 √
√
2
ex. 2 = 1+2 = 5
0
⇔
⇔
0
1
−2
ex.
⊥
2
1
0
xx + yy = 0,
x0 = tx
y 0 = ty
t 6= 0
x0 x + y 0 y
Pr~v (~v ) = 2
~v ,
x + y2
0
1
⇔
x
y
= 0,
0
x
y
ex.
Pr~ı
5
−1
1
3
ex.
k
2
6
5×1−1×0
=
~ı = 5 ~ı =
12 + 02
5
.
0
n
o
∆ = P = (x, y) | ax + by + c = 0
avec (a, b) 6= (0, 0).
a
c
Si b 6= 0 alors y = − x −
= m x + p o`
u m = tan θ
b
b
b
c
Si a 6= 0 alors x = − y − .
a
a
3. Droite (affine) :
6
p AKθ
∆ -
Attention : une droite est un espace vectoriel de dimension 1 si et seulement si elle passe par O, i.e. c = 0.
• Vecteur directeur de ∆
=
b
.
−a
a
.
b
−→
u1
• Droite passante par A = (a1 , a2 ) et ⊥ ~u =
: AP · ~u = 0
u2
n
o
∆ = (x, y) | u1 (x − a1 ) + u2 (y − a2 ) = 0
• Vecteur orthogonal ou normal `
a∆
=
⇐⇒
u1 x + u2 y − (u1 a1 + u2 a2 ) = 0.
−→
v1
• Droite passante par A = (a1 , a2 ) et k ~v =
: AP k ~v
v2
n
o
−−→ −→
∆ = P = (x, y) | OP = OA + t~v , t ∈ R
x = a1 + tv1
⇐⇒
´
eq. parametrique de param`etre t ∈ R
y = a2 + tv2
y − a2
x − a1
=
´
eq. cartesienne
⇐⇒
v1
v2
• Droite passante par A = (a1 , a2 ) et B = (b1 , b2 ) :
n
y − a2 o
x − a1
=
∆ = (x, y) |
b1 − a1
b2 − a2
4. Distance :
−→ −−→
AP k AB
AK ~u
P
q ∆
A A q
A
q
*
~v P
q ∆
Pq
A PPP P
PqP
P
p
−−→
−−→ −−→
dist (P, P 0 ) = kP P 0 k = kOP 0 − OP k = (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 .
0
Si P est la projection orthogonale de P sur la droite ∆, alors
| ax + by + c |
√
dist (P, ∆) = dist (P, P 0 ) =
.
a2 + b2
−−→ −−→
5. Aire du parallelogramme de sommets A, B, C, D = | AB · AD⊥ |.
0
0
−−→
−−→
−−→⊥
x
x
−y
Si AB =
et AD =
, alors AD =
et Aire = | xy 0 − yx0 |.
y
y0
x0
PqP ∆
P
B
qP
q ∆
0
P
D
qPP
q
PPq C
P
A PPPq
B
6. Conique = intersection d’un cˆ
one de l’espace avec un plan :
n
o
2
C = (x, y) | ax + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0
o`
u (a, b, c) 6= (0, 0, 0).
Exemples :
• Cercle :
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ,
• Ellipse :
y2
x2
+
= 1,
a2
b2
centre (a, b),
centre (0, 0),
rayon r.
axes ~ı et ~ .
x2
y2
b
− 2 = 1, centre (0, 0), axes ~ı et ~ , droites asymptotes y = ± x,
2
a
b
a
a
ou bien : y = , centre (0, 0), droites asymptotes ~ı et ~ , axes = bisectrices des quadrants.
x
• Hyperbole :
• Parabole : y = ax2 + bx + c,
ou bien : x = ay 2 + by + c,
axe ~
axe ~ı .
2
2
G´
eom´
etrie analytique de l’espace
1. Coordonn´
ees cartesiennes des points et des vecteurs de l’espace :
• Rep`
ere cartesien ou orthonormal direct (o.n.d.) de l’espace :
avec ~ı ⊥~ ⊥~k ⊥~ı et k~ı k = k~ k = k~k k = 1.
(O,~ı ,~ ~k ) =
• L’ensemble {~ı ,~ , ~k } forme une base de l’espace vectoriel des vecteurs de l’espace
−−→
appliqu´es en O, donc tout vecteur ~v = OP est combinaison lin´eaire de ~ı , ~ et ~k .
• Coordonn´
ees cartesiennes :
P = (x, y, z) ∈ R3
x
−−→
⇐⇒ ~v = OP = x~ı + y~ + z~k ≡ y ,
z
−−→0
x = kOP k
longueur des projections orthogonales de ~v
−−→
o`
u
y = kOP 00 k = dans les directions ~ı , ~ et ~k :
−−→
z = kOP 000 k
• Espace + rep`
ere cartesien = R3 ,
car
6
~k
O
~ 1
q
P>
Pq ,
~ı P
P 000
6
q
z
q P
~v Oq
x
q
P0 y
qP
00
−−→
tout point P ≡ vecteur OP = trois coordonn´ees x, y et z.
−−→
−−→ −−→
• Attention : Vecteur affine : P Q = P + OQ − OP = P + (xQ −xP ) ~ı + (yQ −yP ) ~ + (zQ −zP ) ~k .
0
00
x
x
x
0
0
00
y
y
2. Calcul vectoriel en coordonn´
ees cartesiennes : Si ~v =
, ~v =
, ~v = y 00 et t ∈ R, alors
z
z0
z 00
x + x0
1
3
−2
0
• addition : ~v + ~v = y + y 0 , ex. 2 − 2 = 0
z + z0
3
1
2
−1
1
tx
• produit par scalaire : t~v = ty , ex. − 2 = −2
3
tz
−3
−1
2
• produit scalaire : ~v · ~v 0 = xx0 + yy 0 + zz 0 , ex. 3 · 2 = −2 + 6 + 4 = 8
1
4
p
• longueur : k~v k = x2 + y 2 + z 2
yz 0 − zy 0
2
−1
3−8
−5
• produit vectoriel : ~v ∧ ~v 0 = −xz 0 + zx0 , ex. 3 ∧ 2 = −2 − 4 = −6
xy 0 − yx0
4
1
4+3
7
• produit mixte : [~v , ~v 0 , ~v 000 ] = x(y 0 z 00 − z 0 y 00 ) − y(x0 z 00 − z 0 x00 ) + z(x0 y 00 − y 0 x00 ),
−1
1
1
ex. 2 , 2 , −2 = (2 − 3) − 2(−3 − 1) + 3(2 − 2) = −1 + 8 = 7
3
3
1
1
−2
−1
• vecteurs orthogonaux : ~v ⊥ ~v 0 ⇔ xx0 + yy 0 + zz 0 = 0, ex. 2 ⊥ 1 ou 2
3
0
−1
0
x = tx
x
y
z
y 0 = ty
• vecteurs parall`
eles : ~v k ~v 0 ⇔ ~v 0 = t~v ∀t 6= 0 ⇔
⇔
= 0 = 0,
0
x0
y
z
z = tz
0
0
1
−3
xy = yx
x
y
z
yz 0 = zy 0 ⇔ 0 = 0 = 0 , ex. 2 k −6
alternative : ~v k ~v 0 ⇔ ~v ∧ ~v 0 = 0 ⇔
x
y
z
xz 0 = zx0
3
−9
• projection orthogonale :
x0 x + y 0 y + z 0 z
Pr~v (~v 0 ) =
~v ,
x2 + y 2 + z 2
ex.
1
0
1
×
0
+
2
×
5
+
3
×
0
2 .
Pr5~ 2 =
5
~
=
2
~
=
02 + 52 + 02
3
0
3
-
n
o
3. Plan (affine) : π = P = (x, y, z) | ax + by + cz + d = 0
avec
(a, b, c) 6= (0, 0, 0).
6
PP
PP π PP
P
O q P Attention : un plan est un espace vectoriel de dimension 2 ssi il passe par O, i.e. d = 0.
a
• Vecteur orthogonal ou normal `
a π = b .
c
u1
−→
• Plan passant par A = (a1 , a2 , a3 ) et ⊥ ~u = u2 : AP · ~u = 0
u3
n
o
π = (x, y, z) | u1 (x − a1 ) + u2 (y − a2 ) + u3 (z − a3 ) = 0 .
0
v1
v1
−→
• Plan passant par A = (a1 , a2 , a3 ) et k `
a ~v = v2 et ~v 0 = v20 : [AP , ~v , ~v 0 ] = 0
v30
v3
x − a1 = tv1 + t0 v10
n
o
−→
´
eq. parametrique
0 0
0
y − a2 = tv2 + t0 v20
π = P = (x, y, z) | AP = t~v + t ~v , t, t ∈ R
⇐⇒
de
param`etres t, t0 ∈ R
z − a3 = tv3 + t0 v30
⇐⇒
(x − a1 )(v2 v30 − v3 v20 ) − (y − a2 )(v1 v30 − v3 v10 ) + (z − a3 )(v1 v20 − v2 v10 ) = 0
• Plan passant par A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ) et C = (c1 , c2 , c3 ) :
π = comme ci-dessus.
n
4. Droite (affine) : ∆ = π ∩ π 0 = P = (x, y, z) |
avec
ax + by + cz + d = 0
a 0 x + b0 y + c 0 z + d 0 = 0
´
eq. cartesienne
−→ −−→ −→
[AP , AB, AC] = 0
6
Q
Q ∆
Q
O q
Q Q
Q
o
(0, 0, 0) 6= (a, b, c) ∦ (a0 , b0 , c0 ) 6= (0, 0, 0).
Attention : une droite est un espace vectoriel de dimension 1 ssi elle passe par O, i.e. d = 0 et d0 = 0.
v1
−→
• Droite passante par A = (a1 , a2 , a3 ) et k `
a ~v = v2 : AP k ~v
v3
x − a1 = tv1
n
o
−→
´
eq. parametrique
y − a2 = tv2
∆ = P = (x, y, z) | AP = t~v , t ∈ R
⇐⇒
de param`etre t ∈ R
z − a3 = tv3
⇐⇒
y − a2
z − a3
x − a1
=
=
v1
v2
v3
´
eq. cartesienne
• Droite passante par A = (a1 , a2 , a3 ) et B = (b1 , b2 , b3 ) :
−→ −−→
AP k AB,
∆ comme ci-dessus.
p
−−→
5. Distance : dist (P, P 0 ) = kP P 0 k = (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 .
qP
PP
PP
Si P 0 est la projection orthogonale de P sur le plan π, alors
0
PP
PP
qP
π
|ax
+
by
+
cz
+
d|
PP
dist (P, π) = dist (P, P 0 ) = √
.
P
P
2
2
2
a +b +c
D qPPP
PP
P
PP
qP
q C PP
A PPP qP
P
B
h−−→ −→ −−→i
6. Volume du parallelepip`
ede de sommets A, B, C, D, etc = AB, AC, AD .
0
00
x
x
x
−−→ −→ 0
−−→ 00
Si AB= y , AC= y
et AD= y
, alors Volume = |x(y 0 z 00 −z 0 y 00 )−y(x0 z 00 −z 0 x00 )+z(x0 y 00 −y 0 x00 )|.
0
00
z
z
z
n
o
7. Quadrique : Q = (x, y, z) | P (x, y, z) = 0 , o`
u P (x, y, z) est un polynˆome de degr´e 2.
Exemples :
x2
y2
y2
+
+
=1
a2
b2
c2
• Sph`
ere : x2 + y 2 + z 2 = r2
• Ellipso¨ıde :
• Hyperbolo¨ıde `
a une nappe : x2 + y 2 − z 2 = 1
• Parabolo¨ıde : z = xy
• Hyperbolo¨ıde `
a deux nappes : x2 − y 2 − z 2 = 1
• Cylindre : x2 + y 2 = r2
• Cˆ
one : x2 + y 2 = z 2
4
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