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D EVOIR S URVEILLÉ
DE
M ATHÉMATIQUES
N°4
le 7 mars 2014 - 1h30
Exercice 1 :
Spé TES
(12 points)
Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de
piste ou le snowboard.
L’étude révèle que :
– Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu’elle pratique le snowboard l’hiver suivant
est égale à 0, 2.
– Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu’elle pratique le ski de piste l’hiver suivant
est égale à 0, 3.
On note S l’état : « la personne pratique le ski de piste » et S l’état : « la personne pratique le snowboard ».
On note également pour tout entier naturel n :
– p n la probabilité qu’une personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ;
– q n la probabilité qu’une personne pratique le snowboard lors du n-ième hiver ;
– P n = ( p n q n ) la matrice ligne donnant l’état probabiliste du système lors du n-ième hiver.
On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc :
P0 = (1 0).
Partie A
1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets S et S .
2.
a. Donner la matrice de transition M de ce graphe probabiliste.
b. Calculer M 2 .
c. Déterminer l’état probabiliste P2 .
3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a p n+1 = 0, 5 p n + 0, 3.
4. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
1
2
Entrée :
3
Initialisation :
4
Traitement :
5
6
7
Sortie :
8
J et N sont des entiers naturels
p est un nombre réel
Saisir N
p prend la valeur 1
Pour J allant de 1 à N
p prend la valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fin Pour
Afficher p
6 de cet algorithme afin d’obtenir la probabilité p N .
Recopier et compléter la ligne Partie B
On considère, pour tout entier naturel n, l’évènement S n : « la personne pratique le ski de piste lors du n-ième
hiver ». La probabilité de l’évènement S n est notée p ( S n ). On a donc p n = p (S n ).
On sait d’après la partie A que pour tout entier naturel n, p n+1 = 0, 5 p n + 0, 3.
Soit la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u n = p n − 0, 6.
1. Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison 0, 5 et préciser la valeur de u0 .
2. En déduire l’expression de u n en fonction de n puis l’expression de p n en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite ( p n ) et interpréter le résultat.
1
Partie C
Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous.
Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.
Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages.
Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.
B
13
7
8
C
16
A
15
8
18
F
21
5
E
12
7
12
18
H
D
13
19
I
6
5
G
7
Déterminer, à l’aide d’un algorithme, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I.
Exercice 2 :
(8 points)
On donne la matrice d’adjacence M d’un graphe G et quelques unes de ses puissances. Répondre aux questions
suivantes, en justifiant vos réponses soigneusement uniquement à l’aide des matrices données.


0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0















3 
M =





3
1
1
0
2
1
1
1
4
1
2
0
0
1
1
1
2
1
1
1
0
0
2
1
3
0
1
0
2
0
1
0
2
1
1
1
0
1
1
1
2
0
1
1
0
0
1
0
2







M =








2 
M =









4
M =














2
7
4
6
1
2
1
17
9
9
4
13
8
8
7
2
5
2
6
5
2
4
5
2
2
2
1
2
6
2
2
0
5
2
4
9
23
9
15
4
4
7
9
9
9
8
7
7
3
4
15
8
15
2
6
2
1
6
2
5
0
1
1
2
5
1
2
1
0
3
13
4
7
2
11
7
6
1
2
2
4
1
3
2
8
4
7
6
7
8
2
1. Quel est l’ordre du graphe G ?
2. Ce graphe est-il orienté ?
3. Quel est de degré du sommet 3 ?
4. Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? Une chaîne eulérienne ?
5. Quelle est la distance entre le sommet 2 et le sommet 7 ?
6. Quel est le diamètre de G ?
7. Combien y a-t-il de chaînes de longueur 4 qui partent du sommet 4 ?
8. Combien y a-t-il de chaînes de longueur 4 qui partent du sommet 6 et qui y reviennent ?
9. Combien y a-t-il de chaînes de longueur 3 qui partent du sommet 3 et qui n’y reviennent pas ?
2











8
7
3
2
6
2
7












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