เฉลย
การแปลงแบบลาปลาซ
โดยใช้ นิยาม
รองศาสตราจารย์ ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท์
www.teerasak.rmutl.ac.th
2
แบบฝึ กหัด 1
จงหาค่าของการแปลงลาปลาซที่กาหนดให้ดงั นี้
1. Lkt
วิธีทา
Lkt =


e st kt dt
0
= Rlim
k
 
R
te st dt
0
พิจารณา  test dt โดยการอินทิเกรตแยกทีละส่ วนได้ดงั นี้
 te
 st
u
dv
t
e st
1
 e st
s
1  st
e
s2
+
-
1
+
0
t
1
dt   e st  2 e st  c
s
s
1
est 
 c
   te st 
s
s 
ดังนั้น
k 
est  R 
 
Lkt  lim   test 
0
R s 
s
 

 0 
k   SR e sR  
0 e

 lim   Re

 (0)e 



R  s 
s
s 

 



k  1
 
s s
k
,0
s2
3
2. LH t 
เมื่อ
4 , 0  t  1
H t   
3 , t  1

LH t    e st H t dt
วิธีทา
0
 e
1
0
 st

4dt  1
e st 3dt

 4 e dt  3 e st dt
1
 st
1
0
 est  1
 est  R
  3lim 

 4 
 s  0 R  s  1
 e s
 4 
 s

 e0  
  e sR   e s  



 
 

     
 s   3 Rlim
 
s
  s 



 4e s 4 3e
 
s
s
s
s


3.
LGt 
วิธีทา
เมื่อ


 e s 4

s
s

1
4  e s , s  0
s
1 , 0  t  2
Gt   
t , t  2

LH t    e st H t dt
0

  e st dt   e st t dt
2
0
2
 est  2
 t  st e st  R


  e  2 
 
 0  Rlim
 s
s
s 2



 e2s  e0  
 R
e sR   2
e 2 s  
 
      lim   e sR  2     e2s  2  

 R   s
s
s   s
s 
 s 



e2s 1 2e2s e2 s
 
 2
s
s
s
s
1 e2s e2 s

 2
s
s
s
4
4.
Lcos at
วิธีทา
Lcos at =


e st cosatdt
0
= Rlim
 
พิจารณา  e
st
cosatdt
R
e st cos atdt
0
โดยการอินทิเกรตแยกทีละส่ วนได้ดงั นี้
dv
u
+
+
e
 st
 se
cos at
1
sin at
a
1
 2 cos at
a
 st
s 2 e st

e
st
1 st
s st
s 2 st
cosatdt  e sinat  2 e cosat   2 e cosatdt
a
a
a
st
 e cosatdt  
s 2 st
1
s
e cos atdt  est sin at  2 est cosat
2
a
a
a
 s 2   st
1
s
1  2  e cos atdt  e st  sin at  2 cosat 
a
a

 a 
 s 2  a 2   st
1
s
 2  e cos atdt  est  sin at  2 cos at 
a
a

 a 
e
 st
 a 2   st  1
s

cos atdt   2 2  e  sin at  2 cosat  
a
a

 s  a 

ดังนั้น
e st a sin at  s cos at 
c
s 2  a2
 e st a sin at  s cos at  

Lcos at = lim 
R 
s2  a2

R
0
 e sR a sin aR  s cos aR e0 a sin 0  s cos 0 

 lim 

R
s 2  a2
s2  a2

=
s
, s0
s  a2
2
R
0
5
5. Lt 2  3t  5
วิธีทา





L t 2  3t  5   e st t 2  3t  5 dt
0



  e st t 2dt  3 e st tdt  5 e st dt
0
0
0
R1
R3
R2
 lim  e st t 2dt  3 lim  e st tdt  5 lim  e st dt
R 1 
R 2 
0
0
R 3 
0
 t 2  st 2t  st 2  st  R1
 t  st 1  st  R2
 1  st  R3


 lim   e  2 e  3 e   3 lim   e  2 e   5 lim   e 
R 1 
R 3 
s
s
s
0
 s 0
 s
 0 R 2  s
 R 2
 
2R
2
2 
 lim    1 e R 1s  2 1 e R 1s  3 e R 1s    0  0  3 e0   
R 1 
s
s
s  
 
 s
 R
 1
1
1 
 
  1 
3 lim    2 e R 2 s  2 e R 2 s    0  2 e0    5 lim    e R 3 s     e0  
R 2 
R


3
s
s 
 
  s 
 s
 s

2 3 5
  , s0
s3 s 2 s
6. Le4t  3e2t 
วิธีทา

L e 4t  3e 2t
 



e st e 4t  3e 2t dt
0

 

 
  e st e 4t dt  3 e st e 2t dt
0

0

  e st  4t dt  3 e st  2t dt
0

0

  es  4t dt  3 es  2t dt
0
0
 1
 R1
 1
 R2
 lim 
es  4 t   3 lim 
es  2 t 
R 1   s  4
R 2   s  2

0

0
 1
 1
  1

  1

 lim  
es  4 R1   
e0    3 lim  
es  2 R2   
e0  
R 1 
   s  4   R 2    s  2
   s  2  
   s  4


1
3
s  2  3s  12


s  4 s  2 s  4s  2
4s  14
2s  7
 2
, s  2
s  6s  8 s  6s  8
2
6
7. L2e3t  e3t 
วิธีทา

L 2e3t  e3t
 



e st 2e3t  e3t dt
0
 


 
  e st 2e3t dt   e st e3t dt
0
0


 2 e st 3t dt   e st 3t dt
0
0


 2 es 3t dt   es 3t dt
0
0
 1
 R1
 1
 R2
 2 lim 
es 3t   lim 
es 3t 
R 1   s  3

 0 R 2   s  3
0
 1
 1
  1

  1

 2 lim  
es 3R 1   
e0    lim  
es 3R 2   
e0  
R 1 
   s  3   R 2    s  3
   s  3  
   s  3


8.
2
1
2s  6  s  3


s  3 s  3 s  3s  3
s9
, s  3
s2  9
LF t 
วิธีทา
เมื่อ
F t 
, 0t 2
, t 2
0

4
=

LF t    e st F t dt
0

  e st 0dt   e st 4dt
2
0
2
R
 4 lim  e st dt
R 
0
 1
R
 4 lim  e st 
R 
 s
2
 1
  1

 4 lim   e sR     e2s  
R 
  s

 s
  1

 4 0    e2s  

  s
4
 e 2 s
s
7
9.
LM t 
วิธีทา
เมื่อ
M t 
, 0t 5
, t 5
= 
2t
1

LM t    e st M t dt
0

  e st 2t dt   e st 1dt
5
0
5

 2 te st dt  lim  e st dt
5
R  5
0
 t  st e st  5
 1
R
 2  e  2   lim  e st 
s  0 R  s
5
 s
  5 5s e5s   e0  
 1
  1

 2   e  2    0  2    lim   e Rs     e5s  
R


s   s 
  s

 s
 s

10 5s 2e5s 2 1 5s
e  2  2 e
s
s
s s
9 5s 2e5s 2
 e  2  2
s
s
s

10.
วิธีทา
LN t 
เมื่อ
2
s2
N t 
1 e  9s e5s , s  0
5s
=
sin 2t , 0  t  

, t 
0

LN t    e st N t dt
0



  e st sin 2t dt   e st 0dt   e st sin 2tdt

0
0
พิจารณา  est sin 2tdt โดยการอินทิเกรตแยกทีละส่ วนได้ดงั นี้
dv
u
+
-
e  st
+
s 2 e st
sin 2t
1
 cos 2t
2
1
 sin 2t
4
 sest

8
e
st
1 st
s st
s 2 st
sin 2tdt   e cos 2t  e sin 2t   e sin 2tdt
2
4
4
st
 e sin 2tdt 
s 2 st
1
s
e sin 2tdt   est cos 2t  est sin 2t

4
2
4
 s 2   st
1
s
1   e sin 2tdt  e st   cos 2t  sin 2t 
4
 2

 4
 s 2  4   st
1
s

 e sin 2tdt  e st   cos 2t  sin 2t 
4
 2

 4 
e
 st
s
 4   st  1

sin 2tdt   2
 e   cos 2t  sin 2t 
4
 s  4
 2


ดังนั้น
e st  2 cos 2t  s sin 2t 
C
s2  4
 e st  2 cos 2t  s sin 2t   

LN t   
s2  4

0
 es  2 cos 2  s sin 2    e0  2 cos 0  s sin 0 
  

 
s2  4
s2  4

 

 2es
2
 2
 2
s 4 s 4


2 1  es
 2
, s0
s 4
11.
วิธีทา
LPt 
เมื่อ Pt  =
, 0  t 1
t

2  t , 1  t  2
0
, t 2


LPt    e st Pt dt
0

  e st t dt   e st 2  t dt   e st 0dt
2
1
0
1
2
  te st dt  2 e st dt   te st dt
1
0
2
1
2
1
 t
e st  1  1
e st  2
2  t
   e st  2   2  e st     e st  2 
s 0  s
s 1
1  s
 s
9
 1
e  s   e0     1
e2 s   1
e s  
  1
  2
    es  2    0  2    2   e2s     es      e2s  2     es  2  
s   s   s
s   s
s 
  s
  s
 s
1
e s 1 2
2
2
e2 s 1
e s
  es  2  2  e2s  es  e2s  2  es  2
s
s
s s
s
s
s
s
s


2es 1 2s 1
 2e  2
s2
s
s
1  2es  e2s
, s0
s2
12.
วิธีทา
LQt 
เมื่อ Qt  =
9

7
, t2
, t 2

LQt    est Qt dt
0

  e st 9dt   e st 7dt
2
0
2
 9 e st dt  7 lim  e st dt
R
2
0
R  2
 1
2
 1
R
 9  e st   7 lim  e st 
R 
 s
0
 s
2
 1
 1
  1 
  1

 9   e 2 s     e0    7 lim   e Rs     e 2 s  
R 
  s 
  s

 s
 s
1
 1
1

 9  e 2 s    7 e 2 s 
s
 s
s

9
9 7
  e 2 s   e 2 s
s
s s
2
9
  e 2 s 
s
s

9  2e2s
, s0
s

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