Correctif

Chapitre A : Les angles (correctif)
Exercices supplémentaires
1. Recherche d’amplitudes d’angles :
Exercice a :



|A B D| = 52° car c’est un angle inscrit qui intercepte l’arc AD, or ACD est également un angle inscrit interceptant

l’arc AD. Deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même amplitude.
Exercice b :

|X Z Y| = 180° - 73° - 39° = 68° car la somme des amplitudes des angles internes d’un triangle vaut 180°.
|XÔY| = 2 . 68° = 136° car l’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre interceptant le



même arc. XZY est un angle inscrit interceptant l’arc XY, son amplitude vaut donc la moitié de celle de XOY qui

est un angle au centre et qui intercepte également l’arc XY.
Exercice c :



|E M G| = 60° car c’est un angle inscrit interceptant le même arc ( GE) que l’angle inscrit EFG (angle du triangle
équilatéral). Or deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.



|E M F| = 60° car c’est un angle inscrit interceptant le même arc (EF) que l’angle inscrit EGF (angle du triangle
équilatéral). Or deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.



|G M F| = |E M G| + |E M F| = 60° + 60° = 120°
Exercice d :

|A P B| = 90° car tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle.


 
|A P D| = 45° car APD est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle AD et AOD est un angle au centre

interceptant également l’arc de cercle AD.
L’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre interceptant le même arc.


 
|D P B| = 45° car DPB est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle BD et BOD est un angle au centre

interceptant également l’arc de cercle BD.
L’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre interceptant le même arc.


 
|B P C| = 45° car BPC est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle BC et BOC est un angle au centre

interceptant également l’arc de cercle BC.
L’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre interceptant le même arc.



|A P C| = |A P B| + |B P C| = 90° + 45° = 135°
2. Recherche d’amplitudes d’angles (suite)
a) Traçons d’abord la corde [AC].
 |AĈB| = 20° car l’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle

interceptant le même arc. Or AOB est un angle au centre interceptant


ACB est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle AB.
 |CÂB| = 55° car l’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle

interceptant le même arc. Or COB est un angle au centre interceptant

CÂB est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle BC.
Géométrie exercices (exercices supplémentaires-correctif)
Chapitre A : les angles
d’un angle au centre

l’arc de cercle AB et
d’un angle au centre

l’arc de cercle BC et
page 1


|A B C| = 180° - 20° - 55° = 105° car la somme des amplitudes des angles internes d’un
triangle vaut 180°.
b) Traçons d’abord la corde [PF].


|E P F| = 45° car deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.

Or |E D P| est un angle à la base du triangle rectangle isocèle DEF, il a donc une amplitude de 45°.


|D P E| = 45° car deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.

Or |D F E| est un angle à la base du triangle rectangle isocèle DEF, il a donc une amplitude de 45°.




|D P F| = |E P F| + |D P E| = 45° + 45° = 90°
3. Démonstrations :
Exercice a)
Hypothèses :
Thèse :
c (O ; [OA])
A, B, C, D, P  c
ABCD est un trapèze isocèle
[AB] // [CD]
|A P D| = |B P C|


Démonstration :
 
Si ABCD est un trapèze isocèle, cela signifie que |AD| = |BC|, donc AD = BC .



Or, APD est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle AD et BPC est un angle inscrit interceptant

l’arc de cercle BC .


 
Si AD = BC alors |A P D| = |B P C| car deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont
même amplitude.
CQFD
Exercice b)
Hypothèses :
c (O ; [OA])
A, B, R, P  c
TRP est un triangle isocèle en T
[RP] est un diamètre
Thèse :
AB // RP
Démonstration :



Le TRP est isocèle en T, donc |T R P| = |T P R| (1) car les angles à la base d’un triangle isocèle
ont même amplitude.
Les RAP et RBP sont des triangles rectangles car ils tous deux inscrits dans un demi-cercle,

alors |RÂP| = |R P B| = 90°. (2)



Dans le RAP : |RÂP| + |T R P| + |R P A| =180°



Et dans le RBP : |R P B| + |T P R| + |P R B| = 180°


 Par transitivité, |R P A| = |P R B|. (3)


 Or, |R P A| = |A B R| (4) car des angles inscrits interceptant le même arc ont même amplitude.


 En remplaçant (3) dans (4), nous obtenons : |P R B| = |A B R|. Ce sont des angles alternes-internes,
donc AB // RP.
CQFD
Géométrie exercices (exercices supplémentaires-correctif)
Chapitre A : les angles
page 2
4. Complète le texte lacunaire :

α est un angle inscrit dans le cercle j. Il intercepte l’arc AB.

β est un angle inscrit dans le cercle j. Il intercepte l’arc AB.

S γ est un angle au centre du cercle j. Il intercepte l’arc AB.




L’angle A B C intercepte l’arc AC. L’angle BAD intercepte l’arc BD.


C voit l’arc AB sous l’angle α. D voit l’arc AB sous l’angle β.




B voit l’arc CD sous l’angle CBD . A voit l’arc CD sous l’angle CAD .
α et β intercepte le même arc. γ et α intercepte le même arc.

C et D intercepte l’arc AB sous le même angle.

O intercepte l’arc AB sous l’angle qui mesure le double de celui sous lequel le voit C.
γ mesure le double de β.
α et β sont égaux (de même amplitude).
α mesure la moitié de γ.
5. Un peu de déduction :
Exercice a)

 |IÂJ| = |I M J| car ce sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle IJ. Or, deux
angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.


 |I B J| = |I N J| car ce sont deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle IJ. Or, deux
angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.

 |AÎB|=|MÎN| car dans le  AIB : |IÂJ| + |I B J| + |AÎB| = 180°


et dans le  MIN : |I M J| + |I N J| + |MÎN| = 180°



 Or si |IÂJ| = |I M J| et si |I B J| = |I N J| alors, par transitivité |AÎB|=|MÎN|.
Exercice b)
 |EÔB| = 104° car l’amplitude d’un angle inscrit vaut la moitié de celle d’un angle au centre
interceptant le même arc.


Or, EOB est un angle au centre interceptant le même arc de cercle que l’angle inscrit EAB .

 |E K B| = 52° car deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont même amplitude.


Or, EKB est un angle inscrit interceptant le même arc de cercle que l’angle inscrit EAB .
Géométrie exercices (exercices supplémentaires-correctif)
Chapitre A : les angles
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