Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda)

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Metodi Matematici della Fisica
(minimalia memoranda)
Claudio Magno
Revisione
ott. 2014
CM_Portable PHYS Notebook Series™
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
Royce K. P. Zia (1942-)
Professor Emeritus of Physics, Virginia Tech, Blacksburg, VA
1
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
2
Funzioni Armoniche Sferiche
dalla soluzione generale dell’Equazione DDP di Laplace
Con il metodo di separazione delle variabili, l’Equazione di Laplace in coordinate sferiche,
 1 ∂  2 ∂ 
1
∂ 
∂ 
1
∂2 
r
+
sin
θ
+




 Φ (r , θ , ϕ ) = 0 ,
2
2
∂θ  r 2 ( sin θ )2 ∂ϕ 2 
 r ∂r  ∂r  r sin θ ∂θ 
∇ 2Φ (r , θ , ϕ ) ≡ 
in cui, { r , θ , ϕ } ∈ R + × [ 0 , π ] × [ 0 , 2 π ) , ha la soluzione generale – la funzione potenziale a valori
in C – rappresentabile in serie di prodotti di auto-funzioni:
Φ (r , θ , ϕ ) ≡ R (r ) Θ (θ ) F (ϕ )
=
∑ ∑
+∞
l
l =0
m = −l
(α l r l + β l /r l + 1 ) ⋅
↳ ⋅ (K l , m Pl , m ( cos θ )
↲
+ N l , m Q l , m ( cos θ )) (C l , m cos (m ϕ ) + S l , m sin (m ϕ )) .
(1)
Assumendo – opportunamente – {l , m } ∈ Z 0+ × { 0, 1, ..., l } ( ⇒ m ≥ 0 ), la teoria dà, nell’Eq. (1),
Pl , m (cos θ ) := (1 − u 2 )m / 2
dm
Pl (u )
du m
,
(1.1)
u = cos θ
la Funzione di Legendre Associata regolare (o di 1.o tipo), di ordine l e di rango m , che
generalizza il Polinomio di Legendre di grado l , Pl , 0 (cos θ ) ≡ Pl (cos θ ) . Questo viene definito
dall’espansione
Pl (cos θ ) :=
1
2l
l / 2
∑
k =0
( − 1)k (2 (l − k ))! l − 2k
u
k !(l − k )!(l − 2 k )!
,
(1.2)
u = cos θ
dove, l /2 indica la parte intera (floor function) di l /2 (esempio: 13 π /7 = 5 ).
____________________
Sostituendo l’espressione (1.2) nella (1.1), eseguendo la derivazione m - sima indicata e vincolando la non-negatività
del parametro l − m − 2 k – sia esponente che argomento di fattoriale nel calcolo – si determina ordinatamente
Pl , m (u ) =
≡
(1 − u 2 )m / 2
2l
l / 2
k =0
2 m / 2 l / 2
(1 − u )
2l
( − 1)k (2 (l − k ))! d m
∑ k !(l − k )!(l − 2 k )! du
∑
k =0
(1 − u )
2l
____________________
u l − 2k
( − 1)k (2 (l − k ))!
(l − 2 k ) (l − 2 k − 1) (l − 2 k − 2) … (l − 2 k − m + 1) u l − 2k − m
k !(l − k )!(l − 2 k )!
2 m / 2  (l − m ) / 2
֏
m
∑
k =0
( − 1)k (2 (l − k ))!
u l − m − 2k .
k !(l − k )!(l − m − 2 k )!
Allora, per θ ∈ [ 0 , π ] e u ≡ cos θ , risulta la rappresentazione goniometrica
Pl , m (cos θ ) =
( sin θ )m
2l
 (l − m ) / 2
∑
k =0
( − 1)k (2 (l − k ))!
(cos θ ) l − m − 2k .
k !(l − k )!(l − m − 2 k )!
(1.3)
Vs. l’insieme { − m } , simmetrico di {m } (con la condizione 0 ≤ m ≤ l ), vale l’identità
Pl , −m (cos θ ) = ( − 1)m
(l − m )!
Pl , m (cos θ ) .
(l + m )!
(1.4)
3
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
Analogamente, viene definita la funzione irregolare
Ql , m (cos θ ) := (1 − u )
2 m /2
dm
Ql (u )
du m
,
(1.5)
u = cos θ
nota come la Funzione di Legendre irregolare (o di 2.o tipo), di ordine l e di rango m , dedotta
dalla Funzione di Legendre di 2.o tipo di ordine l e di rango 0, Ql , 0 (cos θ ) ≡ Ql (cos θ ) .
Identità utili sono:
Q 0 (cos θ ) := coth −1 (cos θ ) ≡
Ql (cos θ )
1 1 + cos θ
,
ln
2 1 − cos θ
l −1
l ≥1
= Pl (cos θ ) ⋅ Q 0 (cos θ ) − ∑
k =0
(1.5.1)
(1 − ( − 1)l + k ) (2 k + 1)
Pk (cos θ ) ,
(l + k + 1) (l − k )
(l − m )!
Ql , m (cos θ ) .
(l + m )!
Ql , −m (cos θ ) = ( − 1)m
(1.5.2)
(1.5.3)
Dall’Eq. generatrice (1.5), si vede immediatamente che le funzioni Ql , m (cos θ ) posseggono due
singolarità logaritmiche sull’asse Z , per θ ≡ 0 , π , rispettivamente. Questo fatto implica che la
richiesta di regolarità dell’Eq. (1) in tutto R 3 è equivalente al vincolo N l , m ≡ 0 , ∀ {l , m } , così
che la forma regolare massimale di Φ (r , θ , ϕ ) è
Φ (r , θ , ϕ ) =
+∞
l
∑ ∑ (α r
l
l
+ β l /r l + 1 )(K l , m Pl , m (cos θ ))(C l , m cos (mϕ ) + S l , m sin (mϕ )) . (2)
l =0 m =0
La richiesta ulteriore – fondamentale in Fisica Quantistica – di orto-normalità di entrambi i fattori
angolari nell’Eq. (2) assegna, ∀ {l , m } ⊂ Z 0+ ∧ m ∈ { 0, 1, ..., l } , secondo la convenzione di fase
CSW (Condon-Shortley-Wigner),
1/2
K l,m
 (2l + 1) (l − m )! 
,
≡ (
− 1) 
4 π (l + m )! 
CSW 
C l,m ≡ 1 ,
m
Sl,m ≡ i .
(2.1)
Con questi valori parametrici, viene determinata la Funzione Armonica Sferica orto-normalizzata
di ordine l e di rango m ,
1/2
 (2l + 1) (l − m )! 
im ϕ
Y l , m (θ , ϕ ) := (− 1) 
 Pl , m (cos θ ) e ,
l
m
π
4
(
+
)!


m
(3)
orto-normalizzata, s’è detto, vs. sia θ che ϕ .
Considerazioni di simmetria fanno, poi, estendere la soluzione regolare (2) alla forma complessa
Φ (r , θ , ϕ ) =
∑
+∞
l =0
(α l r l + β l /r l + 1 ) ∑ m = −l Yl , m (θ , ϕ )
l
≡ Y 0, 0 (θ , ϕ ) ∑ l = 0 (α l r l + β l /r l + 1 ) +
+∞
+ ∑ l = 1 (α l r l + β l /r l + 1 ) ∑ m = 0 (Y l , m (θ , ϕ ) + Y l , −m (θ , ϕ )) .
+∞
l
(4)
La coniugazione di Y l ,m (θ , ϕ ) fornisce l’identità necessaria per esprimere Y l , −m (θ , ϕ ) nell’Eq. (4):
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
Y l , −m (θ , ϕ ) ≡ (−1) mY l∗, m (θ , ϕ ) .
4
(5)
La separabilità reciproca delle variabili sferiche implica l’espandibilità indipendente del prodotto
Θ (θ ) F (ϕ ) . Quindi, sulla superficie sferica unitaria ( r ≡ 1 ) ed equipotenziale, ( α l + β l = λ ≠ 0
∀ l , λ costante ), mediante le identità (3) e (5), si specializza l’Eq. (4) nella forma
+∞
l
Φ (1, θ , ϕ )
≡ φ (θ , ϕ ) := Y 0, 0 (θ , ϕ ) + ∑ ∑ (Y l , m (θ , ϕ ) + (− 1)m Y l∗, m (θ , ϕ ))
λ
l =1 m =0
+∞
1/2
 (2 l + 1) (l − m )! 
=
+∑ ∑ 
Pl , m (cos θ ) ⋅ (( − 1)me im ϕ + e −im ϕ ) .

2 π l = 1 m = 0  4 π (l + m )! 
1
l
(6)
____________________
In quanto segue, sono riportate alcune proprietà algebriche – semplici ma, vs. le quali, non sono
rare sviste nei calcoli – delle Funzioni Armoniche Sferiche nella convenzione CSW (infatti, è
necessario esercitare molta attenzione con le definizioni di Pl (cos θ ) Pl , m (cos θ ) , Ql , m (cos θ ) e
Y l , m (θ , ϕ ) nella letteratura, a causa di possibili convenzioni di fase differenti da quelle della Fisica
Quantistica e dell’Elettrodinamica Classica (a-là Jackson)).
Tenendo presente che, in questo testo, è fissata la restrizione m ≥ 0 per una aderenza più agevole
alla convenzione CSW, si hanno:
1/2
 (2 l + 1) (l − m )! 
• Y l ∗, m (θ , ϕ ) = ( − 1)m 
Pl , m (cos θ ) e − im ϕ ,

 4 π (l + m )! 
(7.1)
• ReY l , −m (θ , ϕ ) = ( − 1)m ReY l ∗, m (θ , ϕ ) ≡ ( − 1)m ReY l , m (θ , ϕ ) =
1/2
 (2 l + 1) (l − m )! 
= 
 Pl , m (cos θ ) ⋅ cos (mϕ ) ,
 4 π (l + m )! 
(7.2)
• ImY l , −m (θ , ϕ ) = (− 1)m ImY l ∗, m (θ , ϕ ) ≡ ( − 1)m + 1 ImY l , m (θ , ϕ ) =
1/ 2
 (2 l + 1) (l − m )! 
= −
 Pl , m (cos θ ) ⋅ sin (mϕ ) .
 4 π (l + m )! 
(7.3)
____________________
Le espressioni (3) e (5) suggeriscono la possibilità di una definizione di una base in R per le
Funzioni Armoniche Sferiche. Queste funzioni reali, { Zl , m (θ , ϕ )} , distinte, secondo l’indice m ,
in Zonali ( m = 0 ), Tesserali ( m ∈ {1, ..., l − 1} e Settoriali ( m = l )), ricorrono nelle espansioni
in serie di multipoli (e.g., dei potenziali elettromagnetici o gravitazionali) e vengono dedotte dalle
analoghe complesse. Di seguito, ne sono riportate forme ammissibili, coerenti con la convenzione
CSW ( 0 ≤ m ≤ l ):
•
se m ∈ { 1 , ..., l } , allora,
Z l , −m (θ , ϕ ) :=
i
Y l , −m (θ , ϕ ) − ( − 1)mY l , m (θ , ϕ ) ) ≡ ( − 1)m 2 ImY l , m (θ , ϕ )
(
2
1/ 2
 (2 l + 1) (l − m )! 
=
 Pl , m (cos θ ) ⋅ sin (mϕ ) ,
 2 π (l + m )! 
(8.1)
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
Z l ,m (θ , ϕ ) :=
5
1
Y l , −m (θ , ϕ ) + ( − 1)mY l , m (θ , ϕ ) ) ≡ ( − 1)m 2 ReY l , m (θ , ϕ )
(
2
1/2
 (2 l + 1) (l − m )! 
=
 Pl ,m (cos θ ) ⋅ cos (m ϕ ) ;
 2 π (l + m )! 
•
(8.2)
se m = 0 , si assume, semplicemente,
1/ 2
 2l + 1 
Zl , 0 (θ , ϕ ) :≡ Y l , 0 (θ , ϕ ) = 
 Pl , 0 (cos θ )
 4π 
1/ 2
 2l + 1 
≡
 Pl (cos θ ) .
 4π 
(8.3)
Dall’autore ([email protected] ), sono disponibili, come allegati txt alle risposte, le routines di tracciamento con
GNUplot™ dei grafici 3D (superfici) delle Z l , ± m (θ , ϕ ) con l = 0, … , 5 e ∀ m compatibile con questi valori di l .
■■■
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6
Vibrazioni di una membrana circolare con il bordo fissato
Problema 1
Una membrana circolare di raggio b e densità radiale (i.e., massa/distanza-dal-centro) uniforme D
viene tesa fissandone il bordo a un telaio sottile e rigido. Inizialmente in quiete sotto la forza di
tensione uniforme T (incognita), la membrana riceve, quindi, una sollecitazione impulsiva nel suo
centro, che ne provoca piccole vibrazioni. Se queste insorgono in regime di isolamento dinamico
della membrana e se ω 0 indica la loro frequenza ciclica fondamentale,
I.
si determini un’espressione della forza di tensione (uniforme) T nella membrana;
II.
nella membrana viene tagliato un foro concentrico di raggio b /5 .
Si determini la variazione percentuale di ω 0 necessaria perché la tensione iniziale T nella
membrana resti invariata.
Soluzione
I.
Chiaramente, il problema è a supporto (dominio spaziale) bi-dimensionale e a simmetria cilindrico-azimutale.
In coordinate cilindrico-azimutali piane, l’ampiezza delle piccole vibrazioni, z = z ( ρ , ϕ , t ) , dipendente anche
dalla coordinata temporale t , deve soddisfare l’equazione ondulatoria stazionaria del moto (dato l’isolamento
dinamico della membrana)
 2 D ∂2 
∇ −
z (ρ, ϕ, t) = 0 ,
T ∂t 2 

equivalente alla forma esplicita
 ∂2
1 ∂
1 ∂2
D ∂2 
+ 2
−
 2 +
z (ρ, ϕ, t) = 0 .
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ 2 T ∂t 2 
 ∂ρ
(1)
In questo caso, la condizione ai limiti è z (b, ϕ , t ) = 0 . Si noti che, fisicamente, [z ] = lunghezza.
Con il metodo di separazione delle variabili, si pone
z ( ρ , ϕ , t ) := R ( ρ ) F (ϕ ) Z (t ) .
Quindi, l’equazione del moto (1) si riscrive
 ∂2
1 ∂ 
R ( ρ ) Z (t ) ∂ 2
D
∂2
ρ
ϕ
ρ
ϕ
F (ϕ ) Z (t ) 
+
R
+
F
=
R
F
Z (t ) .
(
)
(
)
(
)
(
)

2
∂ϕ 2
∂t 2
ρ ∂ρ 
ρ2
T
 ∂ρ
(2)
Dividendo completamente l’Eq. (2) per R ( ρ ) F (ϕ ) Z (t ) ≠ 0 , con [ R ( ρ )] = lunghezza, si ottiene
1  ∂ 2 R( ρ ) 1 ∂ R( ρ ) 
1
∂ 2 F (ϕ )
D 1 ∂ 2 Z (t )
.
+
+
=


R(ρ )  ∂ ρ 2
T Z (t ) ∂t 2
ρ ∂ ρ  ρ 2 F ( ϕ ) ∂ϕ 2
(3)
La separazione delle variabili (indipendenti) realizzata con l’Eq. (3), valida ∀ { ρ , ϕ , t } ammissibile, implica che
le espressioni dei due membri siano uguali simultaneamente a una costante opportuna di separazione, che va
assegnata in coerenza con la dinamica specifica del sistema (la membrana). Sarà chiaro, più avanti, la scelta
D 1 ∂ 2 Z (t )
= −k 2 ,
2
T Z (t ) ∂t
(4)
equivalente all’equazione temporale d’onda stazionaria
∂ 2 Z (t )
+ ω 2 Z (t ) = 0 ,
∂t 2
nella quale, è definita la frequenza ciclica d’onda
(5)
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7
1/2
T 

D 
ω := k 
.
(6)
Da un controllo dimensionale, essendo [(T /D )1 / 2 ] = (lunghezza) × (tempo) − 1 e [ω ] = (tempo) − 1 , allora, deve
risultare [k ] = (lunghezza) − 1 . Se si assume k ≡ 2 π /λ , il numero di lunghezze d’onda contenute nella lunghezza
ciclica 2 π della circonferenza armonica unitaria, segue che k può essere interpretato come numero d’onda. In
sostanza, (T /D )1 / 2 corrisponde alla velocità di propagazione ondosa vibrazionale.
La soluzione generale dell’Eq. temporale (5) è della forma consueta
Z (t ) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt .
Dal confronto tra le Eq. (3) e (4), segue che
1  ∂ 2 R( ρ ) 1 ∂ R( ρ ) 
1
∂ 2 F (ϕ )
+
= −k 2

+ 2
2
ρ ∂ ρ  ρ F ( ϕ ) ∂ϕ 2
R( ρ )  ∂ ρ
i.e., dovendo preservare anche la stazionarietà della soluzione azimutale (angolare), si ha
ρ 2  ∂ 2 R( ρ ) 1 ∂ R( ρ ) 
1 ∂ 2 F (ϕ )
2 2
+
≡ m2,

+k ρ = −
2
ρ ∂ρ 
R( ρ )  ∂ ρ
F ( ϕ ) ∂ϕ 2
(7)
con m ∈ Z + . La soluzione generale dell’equazione azimutale,
∂ 2 F (ϕ )
+ m 2 F (ϕ ) ≡ 0 ,
∂ϕ 2
(8)
è, pertanto, analoga a quella dell’Eq. temporale (5):
F (ϕ ) = c 3 cos m ϕ + c 4 sin m ϕ .
Infine, dall’Eq. (7), si estrae la parte radiale pura dell’equazione d’onda complessiva:
ρ 2  ∂ 2 R( ρ ) 1 ∂ R( ρ ) 
2 2
2
+

+k ρ = m ,
ρ ∂ρ 
R( ρ )  ∂ ρ 2
per la quale, definite le variabili ξ := k ρ e Ψ (ξ ) := R (ξ /k ) ≡ R ( ρ ) , semplificando e riordinando i termini, si
arriva all’Equazione di Bessel
m2
∂ 2Ψ (ξ ) 1 ∂Ψ (ξ ) 
+
+
1
−

∂ξ 2
ξ ∂ξ
ξ2


 Ψ (ξ ) = 0 ,

(9)
la cui soluzione generale si scrive
Ψ (ξ ) = c 5 J m (ξ ) + c 6 N m (ξ )
≡ c 5 J m (k ρ ) + c 6 N m (k ρ ) ≡ R ( ρ ) ,
(10)
i.e., come combinazione lineare delle Funzioni di Bessel di 1.o e di 2.o tipo, di ordine m . Però, nel caso di una
membrana intera, le funzioni di 2.o tipo, N m , vanno escluse poiché presentano una singolarità logaritmica per
ρ = 0 . Quindi, assegnata c 6 = 0 , l’unica soluzione fisica radiale è data da
R ( ρ ) = c 5 J m (k ρ ) .
(11)
Poiché l’ordine inferiore delle vibrazioni (frequenza ciclica minima) è m = 0 , ne segue che la prima radice, di
J 0 (k ρ ) è ξ 0 ≈ 2. 40483 ≡ kb , che corrisponde a una semi-lunghezza d’onda stazionaria, uguale al raggio della
membrana, λ /2 = b . Allora, sostituendo
k =
ξ0
b
≈
2.40483
b
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
8
nell’Eq. (6), con ω ≡ ω 0 , e risolvendo vs. T , si ottiene
 ω0 
 ω 0b 
2
T = 
 D ≈ 
 D ≈ 0.17292 ⋅ (ω 0 b) D .
 k 
2
.
40483


2
2
(12)
Per completezza, la soluzione generale dell’Eq. (2) del moto vibratorio della membrana è data da
z ( ρ , ϕ , t ) = c 5 J m (k ρ ) (c 3 cos m ϕ + c 4 sin m ϕ ) (c 1 cos ωt + c 2 sin ω t ) .
(13)
□
II.
La presenza del foro concentrico di raggio ρ = b /5 , escludendo il centro della membrana, modifica la soluzione
generale (13). Così, ora che anche le Funzioni di Bessel di 2.o tipo N m sono ammissibili, si scrive
z ( ρ , ϕ , t ) = (c 5 J m (k ρ ) + c 6 N m (k ρ )) (c 3 cos mϕ + c 4 sin m ϕ ) (c 1 cos ωt + c 2 sin ω t ) .
(14)
D’altra parte, in regime stazionario, la nuova configurazione del sistema aggiunge la condizione anti-nodale (i.e.,
estremante) ulteriore di frontiera,
∂
z (ρ, ϕ, t)
∂ρ
= 0.
(15)
ρ = b /5
In altre parole, il bordo del foro, essendo libero, esegue spostamenti massimi z - trasversali di vibrazione in
corrispondenza di ρ = b /5 , ∀ {ϕ , t } . Pertanto,
●
al bordo fisso, ρ = b , alla nuova frequenza ciclica fondamentale ω 0 delle piccole vibrazioni, si ha
z (b, ϕ , t ) ≡ 0 = c 5 J 0 (k b) + c 6 N 0 (k b) , da cui, si calcola
c5
c6
●
= −
N 0 (k b )
J 0 (k b)
.
(16.1)
al bordo libero, ρ = b /5 , invece, dalla condizione (15), deve aversi, ∀ {ϕ , t } ,
c5
d
J 0 (k ρ )
dρ
+ c6
ρ = b /5
∂
N 0 (k ρ )
∂ρ
= 0 , da cui, si calcola
ρ = b /5
c5 d
∂
J 0 (k b /5) +
N 0 (k b /5) = 0 .
c6 d ρ
∂ρ
(16.2)
Introducendo l’espressione (16.1) di c 5 /c 6 nella relazione vincolare (16.2), risulta la condizione mista
 d

 ∂

 d ρ J 0 (k b /5)  N 0 (k b) −  ∂ ρ N 0 (k b /5)  J 0 (k b) = 0 ;




(17)
quest’ultima, a sua volta, in forza dell’identità
d
ν
Β ν (x ) = Β ν (x ) − Β ν + 1 (x ) ,
dx
x
(v., e.g., dell’autore: Rappresentazioni in serie di potenze reali delle FUNZIONI di BESSEL, p.13,
Eq. (44.1)), in cui, Β ν indica, indifferentemente, J ν o N ν e si ponga x := k b /5 , equivale a scrivere
J 1 (k b /5) N 0 (k b) − N 1 (k b /5) J 0 (k b) = 0 .
(18)
La risoluzione (numerica) vs. k dell’Eq. (18) dà, come valore minimo (fondamentale)
k ≈
2.57363
b
Dunque, in presenza del foro, la forza di tensione nella membrana è esprimibile, alla nuova frequenza ciclica
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
9
fondamentale ω 0 delle piccole vibrazioni, come
 ω0 
 ω 0b 
2
T =
 D ≈
 D ≈ 0.15098 ⋅ (ω 0 b) D .
 k 
2
.
57363


2
2
(19)
Ora, se si mantiene invariata la tensione nella membrana, T ≡ T , dall’uguaglianza
0.15098 ⋅ (ω 0 b)2 D = 0.17292 ⋅ (ω 0 b)2 D ,
si ottiene il rapporto
ω 0 /ω 0 ≈ 1.07019 .
Quindi, la stima percentuale (o logaritmica)
∆ω0
ω0
≡
ω0 − ω0
ω0
=
ω0
ω0
− 1 ≈ 0.07019 ≈ 7 %
(20)
indica un aumento della frequenza ciclica fondamentale di vibrazione della membrana.
■■■
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
10
Risultati di Calcolo Combinatorio
Il Calcolo Combinatorio si rivela di importanza fondamentale sia nel conteggio che nel raggruppamento selettivo di
stati\particelle in Fisica Quantistica (e.g., in Teoria del Momento Angolare) e, soprattutto, in Meccanica Statistica,
facendo emergere simmetrie altrimenti elusive sia di ‘piccola’ che di ‘grande scala’.
Alcuni risultati – riconducibili agli ambiti più diversi – sono riportati nelle note che seguono. Un’applicazione semiclassica è sviluppata nell’Unità tematica dell’autore: Il Modello Statistico Semi-classico del Gas Ideale.
1.
Somme di potenze omogenee
Assegnato l’insieme degli N elementi α n della progressione aritmetica di ragione ρ ( ∈ R + ),
{α n : α n + 1 = α n + ρ }n ∈ {1, 2, 3, …, N } ,
se ne elevi alla potenza (k + 1) - sima, con k ∈ Z 0+ , l’elemento successivo generale, esprimendolo
mediante espansione binomiale:
α nk ++ 11 ≡ (α n + 1 )k + 1 ≡ (α n + ρ )k + 1 ≡ (α 1 + n ρ )k + 1
k + 1 k −1 2
k + 1
k + 1 k + 1
k + 1 k + 1 k + 1 k
=
αn + 
α n ρ + 
α n ρ + … + 
α n ρ k + 
ρ .




0 
1 
2 
k 
k + 1 





=1
=k +1
= (k + 1 ) k / 2
=k +1
(1)
=1
Ora, definita la somma omogenea di potenze p - esime,
s p :=
∑
N
n =1
α np ≡
∑
N
n =1
(α n ) p ,
(2)
essendo p ∈ {1 , 2 , 3 , … , k } (dunque, p ≤ k ), si sommino, rispettivamente, i termini nei membri
dell’identità (1) vs. l’indice n ∈ {1 , 2 , … , N } :
•
a sinistra, si scrive
∑
N
n =1
∑
≡ ∑
α nk ++ 11 =
N −1
n =1
N
n =2
α nk ++ 11 + α Nk ++11 ≡
∑
N
n =2
α nk + 1 + (α N + ρ )k + 1
α nk + 1 + (α 1 + N ρ )k + 1 ,
(3)
avendo eseguito, nel secondo passaggio, la traslazione di indice muto di somma n ֏ n − 1 (la
N
cancellazione di ∑ n = 2 α nk + 1 si riferisce a un termine identico presente a destra);
•
a destra, risulta
∑
N
n =1
(α
k +1
n
+ (k + 1) α nk ρ + ((k + 1) k /2) α nk − 1 ρ 2 + … + (k + 1) α n ρ k + ρ k + 1 ) =
=
∑
N
n =1
α nk + 1 + (k + 1) ρ ∑ n = 1 α nk + ((k + 1) k /2) ρ 2 ∑ n = 1 α nk − 1 + … ↲
N
↳+
(
≡ α 1k + 1 +
∑
N
n =2
N
(k + 1) ρ k ∑ n = 1 α n + N ρ k + 1
N
)
α nk + 1 + (k + 1) ρ ∑ n = 1 α nk + …
N
k + 1 j
≡ α 1k + 1 + (k + 1) ρ s k + ((k + 1) k /2) ρ 2 s k − 1 + … + 
 ρ sk − j +1 + … ↲
 j 
k
k +1
↳ + (k + 1) ρ s 1 + N ρ
.
(4)
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
11
L’uguaglianza tra i membri destri delle identità (3) e (4), la cancellazione (indicata) tra due somme
identiche in membri diversi e la risoluzione vs. il complesso delle somme di potenze omogenee s p
forniscono l’identità cercata:
(k + 1) ρ s k +
(k + 1) k 2
k + 1 p
k
ρ s k − 1 + … + 
 ρ s k − p + 1 + … + (k + 1) ρ s 1
p
2


= (α 1 + N ρ )k + 1 − α 1k + 1 − N ρ k + 1 .
(5)
Osservazione
Oltre alla conoscenza del numero degli elementi della progressione, N , del primo elemento, α 1 , e della ragione, ρ ,
la conoscenza di tutte le s p – tranne una – consente di ricavare prontamente l’espressione di quest’ultima.
In particolare, la somma di potenze omogenea di ordine più elevato, s k , è determinabile costruendo sequenzialmente
tutte le s p precedenti, da s 1 a s k − 1 .
■
Esempio 1
Per le somme di potenze omogenee relative agli N interi positivi dispari, dei quali, α 1 = 7 , si
determinano:
α n = α 1 + ρ (n − 1)
ρ = 2,
֏ 7 + 2 (n − 1) = 2 n + 5 ,
sp =
∑
N
n =1
(2 n + 5) p .
Quindi, l’identità (5) si riduce a
k + 1
k
2 (k + 1) s k + 2 (k + 1) k s k − 1 + … + 2 p 
 s k − p + 1 + … + 2 (k + 1) s 1
 p 
= (2N + 7 )k + 1 − 7 k + 1 − 2 k + 1 N .
■
Esempio 2
Per le somme di potenze intere omogenee dei primi N interi positivi, si hanno:
α1 = 1,
ρ = 1,
α n = α 1 + ρ (n − 1) = n ,
sp =
∑
N
n =1
np .
Quindi, l’identità (5) assume la forma
(k + 1) s k +
(k + 1) k
k + 1
sk −1 + … + 
 s k − p + 1 + … + (k + 1) s 1
2
 p 
= (N + 1) ( (N + 1)k − 1) .
■
2.
Somme di prodotti omogenei di potenze
Dalla scomposizione elementare
p N − q N ≡ (p − q ) (p N − 1 + p N − 2 q + p N − 3 q 2 + … + pq N − 2 + q N − 1 )
≡ (p − q ) ∑ n = 0 p N − n − 1q n ,
N −1
segue che
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
∑
N −1
p N − n − 1q n =
n =0
12
pN −q N
,
p −q
i.e., con la traslazione N ֏ N + 1 dell’estremo superiore (muto) della somma,
∑
N
n =0
p
N −n
p N +1 − q N +1
q =
.
p −q
n
(6)
In generale, per κ ∈ { 0 , 1 , 2 , … , N } , si ha
∑
N
n =κ
p N −nq n ≡
=
∑
κ −1
N
n =0
p N −nq n − ∑ n = 0 p N −nq n
p N +1 − q N +1
κ −1
− p N −κ +1 ∑ n = 0 p κ −1 −nq n
p −q
κ
κ
p N +1 − q N +1
N −κ +1 p − q
=
− p
p −q
p −q
=
N −κ
q κ (p N − κ + 1 − q N − κ + 1 )
≡ q κ ∑ n = 0 p N −κ −nq n .
p −q
(7)
Se κ = 0 ∧ p = 1 , l’identità (7) corrisponde alla somma degli N + 1 termini della progressione
geometrica di ragione q :
∑ n =0 q n =
N
1 − q N +1
.
1 −q
(7.1)
■
Problema 2
Calcolare la somma
[Ref.:
S κ :=
∑
i
N
n =κ
e
2π λ n
N +1
, nella quale, λ ∈ Z .
da un modello del ‘Rayleigh scattering’.]
Soluzione
Definita z := e
i
2π
N +1
, segue, sostituendo p ≡ 1 ∧ q := z λ nell’identità (7), che
Sκ ≡
∑
N
n =κ
z λn
 N − κ + 1,
 2π λ κ
 i
=  e N +1 − 1
,
2π λ

i
+
1
N
 1 − e
se λ = 0 ,
se λ ≠ 0 .
(8)
Quando κ = 0 , si può sintetizzare il risultato (8) introducendo il Simbolo di Kronecker:
S0 ≡
∑
N
n =0
i
e
2π n
λ
N +1
= (N + 1) δ λ , 0 .
(8.1)
■
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
13
Problema 3
Assegnato l’elemento generico α rn := cos (2 π (r − n )/D ) della matrice quadrata M di ordine D ,
si determini l’espressione dell’elemento generico β r k della matrice (quadrata) M 2 .
[Ref.:
da un modello di interazione su un reticolo periodico.]
Soluzione
Conviene riportarsi alla rappresentazione complessa (euleriana):
α r n ≡ cosh (2 π i (r − n )/D ) =
=
1 i 2π (r − n ) /D
(e
+ e −i 2π (r − n ) /D )
2
1 r −n
(z
+ z − (r − n ) ) ,
2
dove, si è definita z := e i 2π /D .
Quindi, mediante l’algoritmo del prodotto (interno) matriciale righe × colonne, si calcola
βrk =
=
∑
n =1
D
1
=
=
=
=
α r n α nk
∑ 2 (z
n =1
=
D
r −n
1
+ z − (r − n ) ) ⋅ (z n − k + z − (n − k ) )
2
1
D
(z r − k + z − (r − k ) + z r + k − 2n + z − (r + k − 2n ) )
∑
n =1
4
1
D
D
(z r − k + z − (r − k ) ) + ∑ n = 1 (z r + k − 2n + z − (r + k − 2n ) )
∑
n =1
4
D r −k
1
D −1
D −1
(z
+ z − (r − k ) ) + z r + k ∑ n = 0 z − 2n + z − (r + k ) ∑ n = 0 z 2n
4
4
D
1
D −1
D −1
cosh (2 π i (r − k )/D ) + z r + k ∑ n = 0 e −i 4 π n /D + z − (r + k ) ∑ n = 0 e i 4 π n /D
2
4
D
D
cos (2 π (r − k )/D ) + (z r + k δ − 2, 0 + z − (r + k ) δ 2, 0 )
2
4 (
)
(
)
(
)
=0
=
D
cos (2 π (r − k )/D ) .
2
L’annullamento del secondo termine, nel penultimo passaggio precedente, segue dalla nullità di
entrambi i Simboli di Kronecker, essendo 0 il valore inferiore degli indici n variabili nelle somme
corrispondenti mentre λ ≡ ∓ 2 ≠ 0 (cfr/c Problema 2, Eq. (8.1)).
Dal teorema del prodotto di un numero per una matrice, si conclude che
M 2 = (D /2) M
e, più in generale, per ∀ p ∈ Z + , che
M p = (D /2) p − 1 M .
■■■
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
14
352-Statistical Physics (Un. of Scranton) - Recitation 9
Ref.: K. HUANG, Statistical Mechanics, 2 ND ED., P. 106, JOHN W ILEY & SONS (1987)
Nel testo di K. Huang citato, è riportata l’Eq. (5.68) del flusso termico vettore, q , che incorpora la
conduttività termica Κ :
q = −
τm 5 ⌠
∂θ
 m 2 5 1
U −  Ui
f
d 3U U U 2 

∂x i
2 ⌡
2 θ
 2θ
(0)
≡ − Κ ∇θ .
(1)
Prima di procedere all’identificazione di Κ in termini finiti, conviene descrivere i vari elementi
dell’espressione di q , le convenzioni di scrittura adottate e le condizioni fisiche iniziali:
• il campo vettoriale q di flusso termo-fluidodinamico approssima al 1.o ordine l’equazione
generale di trasporto microscopico di Boltzmann (e.g., v. (†)).
È sottinteso che q ≪ 1 , i.e., dell’ordine di grandezza di λ /L , essendo λ il cammino libero
medio di molecole identiche puntiformi aventi massa m , la (norma della) velocità termica più
probabile v 0 = (2 k BT /m )1 / 2 e il tempo libero medio (tra urti elastici consecutivi) τ = λ /v 0 .
L è assunta come distanza macroscopica caratteristica di riferimento del sistema molecolare,
e.g., come la lunghezza d’onda termica stazionaria di trasporto;
• U ≡ U = v − v 0 è la (norma della) velocità relativa delle molecole vs. la loro velocità
più probabile. In altre parole, U è il campo vettoriale di velocità del flusso termico. Ad esso,
nei calcoli, sarà associato il versore uˆ ≡ U / U ;
• d 3U ≡ d U 1d U 2d U 3 è l’elemento di volume (parallelepipedo retto) di integrazione nello
spazio (di fase) 3D rettangolare delle velocità relative;
• θ := k BT (≡ (1/3) m 〈 U 2 〉 ) ;
• in notazione tensoriale sintetica (summation convention), è U i
•
∂θ
≡
∂x i
3
∑U
i =1
i
∂θ
≡ U ⋅∇θ ;
∂x i
f ( 0 ) è la funzione di distribuzione (funzione-peso) delle proprietà dinamiche molecolari.
All’ordine inferiore del regime di trasporto termo-fluidodinamico, θ , ∇θ , λ , τ e nV ≡ N /V
(la concentrazione molecolare) sono grandezze quasi-uniformi vs. U .
□
Pertanto, si scrive
q = −
τm 5
d 3 U U 2 (m U 2 /θ − 5)U (U ⋅∇θ ) f
∫
4θ
= −
τm 5
d 3 U U 4 (m U 2 /θ − 5) uˆ (uˆ ⋅∇ θ ) f
∫
4θ
= −
τm 5
∇ θ ∫ d 3 U η (U ) cos α uˆ ,
4θ
(0)
(0 )
avendo definito η (U ) := U 4 (m U 2 /θ − 5) f ( 0 ) e α := ∢ (uˆ ,∇ θ ) .
Il fatto che α ∈ [ 0, π ] suggerisce di proseguire l’integrazione vs. il sistema di coordinate sferiche
{U , α , ϕ } il cui asse polare (l’asse Z solito) coincida con la retta di direzione istantanea di ∇θ .
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
15
Allora, introdotte la rappresentazione rettangolare uˆ ≡ sin α cos ϕ xˆ 1 + sin α sin ϕ xˆ 2 + cos α xˆ 3 e
l’espressione trasformata dell’elemento di volume d 3 U ≡ U 2 sin α d U d α d ϕ , risulta
q = −
= −
2π
+∞
π
τm 5
∇θ ∫ U 2 d U ∫ sin α d α ∫ η (U ) cos α uˆ d ϕ
0
0
0
4θ
+∞
τm 5
∇ θ ∫ U 2η (U ) d U
0
4θ
↳
= −
∫
π
cos α sin α ( sin α (cos ϕ xˆ 1 + sin ϕ xˆ 2 ) + cos α xˆ 3 ) d α ∫
0
+∞
τm 5
∇ θ ∫ U 2η (U ) d U
0
4θ
↳
(∫
↲
π
0
0
dϕ
↲
cos α ( sin α )2 d α ∫
↳
2π
2π
(cos ϕ xˆ 1 + sin ϕ xˆ 2 ) d ϕ +
0
π
2π
0
0
+ xˆ 3 ∫ (cos α )2 sin α d α ∫
↲
)
dϕ .
La funzione periodica α ֏ cos α ( sin α )2 è pari, quindi, la sua integrazione in [ 0, π ] è nulla; la
seconda integrazione polare è elementare e dà 2 / 3 . Come conclusione, si ha
q = −
2π
+∞
τm 5
∇ θ ∫ U 2η (U ) dU ( (2/ 3) xˆ 3 ) ∫ d ϕ
0
0
4θ
+∞
mU 2

πτ m 5
⌠
∇θ  U 6 
= −
− 5 f
3θ
 θ

⌡0
≡ − Κ ∇θ .
(0)
dU
i.e., all’ordine più basso del regime di trasporto termo-fluidodinamico,
+∞
2

π τm 5 ⌠
6  mU
− 5 f
Κ =
U


3θ ⌡ 0
 θ

(0)
dU .
(2)
È ragionevole ritenere che, localmente, f ( 0 ) non si discosti in modo significativo dalla funzione di
distribuzione di Maxwell-Boltzmann, i.e., che
f
(0)
(0)
≈ f MB
:=
nV
(2 π mθ )
3 /2
e − (m U
2
) /( 2θ )
.
(3)
Pertanto, la prosecuzione del calcolo – approssimato – di Κ inizia con tale sostituzione:
Κ ≈
n V m 7 / 2τ
6 (2 π )1 / 2 θ 5 / 2
+∞
2
2

⌠
6 mU
U
− 5  e − (m U ) /(2θ ) dU .


 θ

⌡0
Qui, posto U := (2θ /m )1 / 2 ξ 1 / 2 , con elemento differenziale dU = (1/2) (2θ /m )1 / 2 ξ −1 / 2 d ξ , si trova
Κ ≈
4 nV τ θ ⌠ + ∞

3 π 1/ 2 ⌡ 0
4 nV τ θ
≡
3 π 1/2
 7 /2 5 5/2  − ξ
 ξ − ξ  e dξ
2


5
 + ∞ 9 /2 − 1 − ξ
e dξ −
 ∫0 ξ

2
∫
+∞
0


ξ 7 / 2 − 1e − ξ d ξ 
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
4 nV τ θ 
5

Γ (9 /2) − Γ (7 /2) 
1/2 
3π

2

4 n V τ θ  7 !! 1 / 2 5 5 !! 1 / 2 
≡
π 
 π −

3 π 1/ 2  2 4
2 24
5
= nV τ θ .
2
≡
16
(‡)
(4)
□
Il risultato (4) è quello dell’Eq. (5.69) nel testo di Huang. Se ne può mostrare la connessione con la
sezione d’urto microscopica di collisione e con il coefficiente di viscosità di un fluido per il quale
valga localmente la distribuzione di Maxwell-Boltzmann (approssimativamente, un Gas Ideale).
Introducendo nell’Eq. (4), e.g., le Eq. (68) e (102) dall’Unità tematica MS (‡‡) dell’autore, risulta
1/ 2
1/( 2 σ nV )
λ
5
5
5
1/2 T
,
Κ = nV k BT ≡ nV
k BT = (mk B )
σ
(2 k BT /m )1 / 2
2 v0
2
4
(5)
L’Eq. (5) fa emergere la proporzionalità inversa (plausibile!) tra conduttività termica e probabilità
di collisione per particella alla temperatura T (dipendenza attenuata da T ).
Inoltre, dall’Eq. (114) in MS per il coefficiente di viscosità,
η =
2 2
T 1/2
,
(mk B )1 / 2
3 π
σ
appare evidente che la conduttività termica e la viscosità rappresentano, sostanzialmente, da due
punti di vista dinamici diversi, lo stesso comportamento termo-cinetico della sostanza (diluita):
Κ
15 1 / 2
=
π ≈ 3.32 .
8
η
(6)
Le relazioni (4), (5) e (6) trovano conferme sperimentali significative soprattutto tra gli elementi
chimici nobili (He, Ne, Ar), come si è già osservato altrove (‡‡) in problemi analoghi.
■■■
____________________
( †)
‡
()
REIF, F., Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, CH. 13-14, MCGRAW-HILL (1965).
Per le identità specifiche relative alla Funzione Γ , si veda, e.g., dell’autore: Proprietà e applicazioni della
FUNZIONE GAMMA, cap. 1, Eq. (14.1).
(‡‡) Il Modello Statistico Semi-classico del Gas Ideale.
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
17
Tecniche e risultati in 2.a Quantizzazione
Lo schema dei campi quantizzati
Un sistema di N particelle è equivalente a un campo quantizzato. Questa equivalenza viene usata
spesso efficacemente nel calcolo dei livelli energetici e della funzione di partizione del sistema.
Un campo quantizzato è un sistema caratterizzato da operatori di campo, ψˆ (r ) , definiti per tutti i
valori continui della posizione r e che operano in uno spazio di Hilbert opportuno. Un vettore in
questo spazio corrisponde a uno stato del campo quantizzato; tale campo può essere definito così
che il suo spazio di Hilbert contenga lo spazio di Hilbert-Fock di un sistema dato di N particelle.
Nel seguito, per semplicità, le N particelle sono considerate identiche ma soggette a statistiche di
spin specifiche: o N bosoni, se di spin intero, o N fermioni se di spin semi-dispari.
La distinzione di spin è fondamentale e si esprime attraverso due insiemi di regole di compatibilità
tra gli operatori di campo ψˆ , i.e., di condivisione di auto-stati (auto-kets) simultanei:
bosoni
fermioni
[ψˆ α (r ), ψˆ α† ' (r ' )] − = δ α α ' δ (r − r ' )
[ψˆ α (r ), ψˆ α† ' (r ' )] + = δ α α ' δ (r − r ' )
[ψˆ α (r ), ψˆ α ' (r ' )] − = 0
[ψˆ α (r ), ψˆ α ' (r ' )] + = 0
[ψˆ α† (r ), ψˆ α† ' (r ' )] − = 0
[ψˆ α† (r ), ψˆ α† ' (r ' )] + = 0
Tali regole di compatibilità sono di commutazione, [..., ...] − , per i bosoni e di anti-commutazione,
[..., ...] + , per i fermioni. Alle parentesi consuete di anti-commutazione, {..., ...} , si è preferita la
notazione [..., ...] + , lasciando la disponibilità delle parentesi graffe per altri scopi. Infine, l’indice
α varia in un insieme appropriato di numeri quantici.
Tra le proprietà utili delle parentesi di commutazione, c’è quella distributiva:
ˆ , Βˆ Cˆ ] = [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ + Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] ≡ [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ − Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] ;
[Α
−
−
−
+
+
(1.1)
la forma corretta analoga per le parenesi di anti-commutazione è
ˆ , Βˆ Cˆ ] = [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ − Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] ≡ [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ + Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] .
[Α
+
+
−
−
+
(1.2)
La definizione del campo quantizzato si completa con la definizione di due operatori hermitiani:
l’operatore hamiltoniano, Ηˆ , e l’operatore-numero, Νˆ .
L’hamiltoniano di campo si scrive
Ηˆ := Κˆ + Φˆ .
(2)
In esso, le espressioni dell’energia cinetica, Κˆ , e dell’energia potenziale, Φˆ , del sistema sono
Κˆ =
∫d
r ψˆ α† (r ) (( − ℏ 2 /(2 m ))∇ 2 )ψˆ α (r ) ,
3
(2.1)
Φˆ = (1/2) ∫ d 3r1d 3r2ψˆ α† (r1 )ψˆ α† (r2 ) φ (r1 , r2 )ψˆ α (r2 )ψˆ α (r1 ) .
1
2
2
(2.2)
1
Φˆ è determinata sovrapponendo i contributi ψˆ α† (r1 )ψˆ α† (r2 ) φ (r1 , r2 )ψˆ α (r2 )ψˆ α (r1 ) di densità di
1
2
2
1
energia di interazione interna a ciascuna coppia di particelle, contando ogni coppia una sola volta
(di qui, il fattore 1/2, poiché φ (r1 , r2 ) ≡ φ (r2 , r1 ) ). Vs. gli operatori ψˆ e ψˆ † , il termine interattivo
a due-corpi φ è solo una funzione complessa di argomento simmetrico, un c-numero (1).
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
18
Infine, l’operatore-numero è definito dall’integrale di campo
Νˆ :=
∫d
3
ξ ψˆ α† (ξ )ψˆ α (ξ ) .
(3)
Oltre a r , r1 , r2 , anche ξ rappresenta il vettore-posizione nello spazio 3D di Hilbert-Fock.
□
ˆ l’operatore momento lineare (quantità di moto) in 2.a quantizzazione. P
ˆ , il generatore
Sia P
degli spostamenti, è, qui, considerato in regime di invarianza traslazionale. Questo implica che
ˆ , Ηˆ ] = [Ηˆ , P
ˆ] ,
[P
±
±
dove Ηˆ , l’operatore hamiltoniano del sistema, è indipendente dal tempo.
In uno spazio illimitato, le osservabili fisiche di bosoni e di fermioni liberi, creabili e distruggibili,
possono essere espanse da una base di operatori di campo d’onda piana di particella singola,
{ψˆ
†
α
(r ), ψˆ α (r )} ≡
{∑
α
}
ψ α (r )†cˆ α† , ∑ α ψ α (r ) cˆ α .
(4)
ψˆ α† e ψˆ α sono operatori di campo nello spazio astratto di Hilbert dei numeri di occupazione. Essi
incorporano gli operatori cˆ α† e cˆ α rispettivi, di creazione e di distruzione (2); i fattori coniugati
ψ α (r )† e ψ α (r ) sono solo funzioni d’onda piana orto-normalizzate di particella singola (c-numeri)
mentre le somme variano vs. l’insieme {α } ≡ { k , λ , s } di numeri quantici.
Pertanto, l’operatore momento lineare del sistema è definibile nella forma appropriata
ˆ :=
P
∑α ∫ d
r ψˆ α† (r ) ( − i ℏ∇ )ψˆ α (r ) =
3
∑ α ℏ k cˆ α cˆ α .
†
(5)
Problema 4
Ref. : FETTER, A. L., - WALECKA, J. D., Quantum Theory of Many-particle Systems, p. 74, MCGRAW-HILL (1980).
Si verifichi, che, per fermioni liberi,
ˆ ] = − i ℏ∇ ψˆ (r ) .
[ψˆ α (r ), P
+
α
(6)
Soluzione
Espandendo l’anti-commutatore (6) dopo l’inserimento dell’integrale (6), si ha
ˆ ] = − i ℏψˆ (r )
[ψˆ α (r ), P
∑ α ' ∫ ψˆ α†' (r ' )∇ 'ψˆ α ' (r ' )d 3r ' − ↲
+
α
↳
= − i ℏ ∑ α'
−iℏ
(∑
∫ ψˆ α (r ' )∇ 'ψˆ α (r ' )d
†
α'
'
'
∫ [ψˆ α (r ), ψˆ α (r ' )∇ ' ψˆ α (r ' )] d
†
'
'
+
)
r ' ψˆ α (r )
3
3
r' .
(7)
Nell’Eq. (7), le variabili senza apice vanno intese indipendenti da quelle con apice; pertanto, α è
invariante vs. la somma ∑ α ' mentre ∇ ' e ∫ d 3r ' operano vs. r ' , non vs. r .
Ora, conviene ridurre il commutatore nell’integrale dell’Eq. (6) con l’uso ripetuto della proprietà
distributiva (1.2) di anti-commutazione:
[ψˆ α (r ), ψˆ α† ' (r ' ) (− i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' )] + =
= [ψˆ α (r ), ψˆ α†' (r ' )] + ( − i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) − ψˆ α† ' (r ' )[ψˆ α (r ), ( − i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' )] −
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
19
= δ αα ' δ (r − r ' ) ( − i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) − ↲
↳
− ψˆ α† ' (r ' ) ([ψˆ α (r ), (− i ℏ∇ ' )] −ψˆ α ' (r ' ) − (− i ℏ∇ ' )[ψˆ α (r ), ψˆ α ' (r ' )] − )
= δ αα ' δ (r − r ' ) (− i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) − ↲
(
↳
− ψˆ α† ' (r ' ) ψˆ α (r ) (− i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) − ( − i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' )ψˆ α (r ) + ↲
↳
+ (− i ℏ∇ ' ) (ψˆ α (r )ψˆ α ' (r ' ) − ψˆ α ' (r ' )ψˆ α (r )) )
= δ αα ' δ (r − r ' ) (− i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) − ψˆ α† ' (r ' ) (ψˆ α (r ) (− i ℏ∇ ' ) (ψˆ α ' (r ' ) − ψˆ α ' (r ' )) )
= δ αα ' δ (r − r ' ) ( − i ℏ∇ ' )ψˆ α ' (r ' ) .
Quindi, dalle proprietà impulsive sia di δ α α ' (Kronecker) che di δ (r − r ' ) r ' (Dirac), seguono le
contrazioni singolari della somma e dell’integrale. Il risultato è
ˆ ] = −iℏ
[ψˆ α (r ), P
∑ α'
∫ δ αα δ (r − r ' )∇ 'ψˆ α (r ' )d
'
'
r ' = − i ℏ∇ ψˆ α (r ) .
3
(8)
□
Osservazioni
●
Introducendo le rappresentazioni (4) degli operatori di campo, la rappresentazione integrale di Νˆ si riduce a
Νˆ =
●
∑ α cˆ α cˆ α .
†
Ovviamente, nel caso di bosoni liberi, la relazione appropriata, corrispondente alla (6), è
ˆ ] = − i ℏ∇ ψˆ (r ) .
[ψˆ α (r ), P
−
α
La verifica è analoga a quella per i fermioni.
■
Problema 5
Ref.: K. HUANG, Statistical Mechanics, 2 ND ED., P. 478, JOHN W ILEY & SONS (1987).
Si verifichi che, nello spazio di Hilbert-Fock di un sistema di N bosoni liberi, le osservabili Ηˆ e
Νˆ sono compatibili.
Soluzione
Poiché la condizione di compatibilità si implica con quella di commutabilità, deve risultare
[Ηˆ , Νˆ ] − ≡ [Κˆ + Φˆ , Νˆ ] − = [Κˆ , Νˆ ] − + [Φˆ , Νˆ ] − = 0 .
(9)
____________________
Per un sistema di N fermioni liberi, l’analoga dell’Eq. (9) è [Ηˆ , Νˆ ] + ≡ [Κˆ + Φˆ , Νˆ ] + = [Κˆ , Νˆ ] + + [Φˆ , Νˆ ] + = 0 .
La verifica procede in modo del tutto parallelo allo svolgimento per i bosoni, come, inversamente, nel Problema 4.
____________________
Il calcolo dei commutatori coinvolge gli integrali (2.1), (2.2) e (3), le cui variabili di integrazione
sono vettori-posizione, variamente indicati per una migliore distinguibilità nei passaggi di calcolo.
Si noti che l’operatore laplaciano ∇ 2 agisce solo sulla variabile r .
Inoltre, poiché le integrazioni riguardano la posizione, esse non influiscono sui numeri quantici.
Pertanto, l’indice α – pur restando sottinteso – non è applicato agli operatori di campo.
Espandendo il primo commutatore a destra nell’Eq. (9), si scrive
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
[Κˆ , Νˆ ] − =
∫d
20
r ψˆ † (r ) (( − ℏ 2 /(2 m ))∇ 2 )ψˆ (r ) ∫ d 3 ξ ψˆ †(ξ )ψˆ (ξ ) − ↲
3
↳
− ∫ d 3 ξ ψˆ † (ξ )ψˆ † (ξ ) ∫ d 3r ψˆ †(r ) (( − ℏ 2 /(2 m ))∇ 2 )ψˆ (r )
= ( − ℏ 2 /(2 m )) ∫ d 3r d 3 ξ ( (ψˆ †(r )∇ 2ψˆ (r ))ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ ) − ψˆ †(ξ )ψˆ (ξ ) (ψˆ † (r )∇ 2ψˆ (r )) )
≡ ( − ℏ 2 /(2 m )) ∫ d 3r d 3 ξ [ψˆ †(r )∇ 2ψˆ (r ), ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ )] − .
(10)
Riduzione del commutatore nell’integrale (10):
[ψˆ † (r )∇ 2ψˆ (r ), ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ )] − =
= [ψˆ † (r )∇ 2ψˆ (r ), ψˆ †(ξ )] −ψˆ (ξ ) + ψˆ †(ξ )[ψˆ †(r )∇ 2ψˆ (r ), ψˆ (ξ )] −
= ([ψˆ † (r )∇ 2 , ψˆ †(ξ )] −ψˆ (r ) + ψˆ †(r )∇ 2 [ψˆ (r ), ψˆ †(ξ )] − )ψˆ (ξ ) + ↲
(
↳ψ
ˆ † (ξ ) [ψˆ † (r )∇ 2 , ψˆ (ξ ) ] −ψˆ (r ) + ψˆ † (r )∇ 2 [ψˆ (r ), ψˆ (ξ ) ] −
)
= ( (ψˆ †(r )ψˆ †(ξ )∇ 2 − ψˆ † (ξ )ψˆ † (r )∇ 2 )ψˆ (r ) + ψˆ †(r )∇ 2δ (r − ξ ) )ψˆ (ξ ) + ↲
↳
+ ψˆ †(ξ ) (ψˆ † (r )ψˆ (ξ )∇ 2 − ψˆ (ξ )ψˆ †(r )∇
2
)ψˆ (r )
= [ψˆ †(r ), ψˆ †(ξ ) ] − ∇ 2ψˆ (r ) + ψˆ † (r )∇ 2 δ (r − ξ )ψˆ (ξ ) + ψˆ †(ξ ) (− δ (ξ − r ))∇ 2ψˆ (r )
≡ ψˆ †(r )∇ 2δ (ξ − r )ψˆ (ξ ) − ψˆ † (ξ ) δ (ξ − r )∇ 2ψˆ (r ) ,
valendo la proprietà di simmetria δ (r − ξ ) ≡ δ (ξ − r ) .
Quindi, il completamento dell’integrazione (11) dà
( ∫ d r d ξ ψˆ (r )∇ δ (ξ − r )ψˆ (ξ ) − ∫ d r d ξ ψˆ (ξ ) δ (ξ − r )∇ ψˆ (r ) ) =
= ( − ℏ /(2m )) ( ∫ d r ψˆ (r )∇ ψˆ (r ) − ∫ d r ψˆ (r )∇ ψˆ (r ) ) ≡ 0 .
(− ℏ 2 /(2 m ))
3
3
2
†
2
3
3
†
2
3
3
†
†
2
2
□
Riguardo al secondo commutatore a destra nell’Eq. (9), si ha:
[Φˆ , Νˆ ] − = (1/2) ∫ d 3r1d 3r 2ψˆ † (r1 )ψˆ † (r2 ) φ (r1 , r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ) ∫ d 3 ξ ψˆ †(ξ )ψˆ (ξ ) − ↲
↳
− ∫ d 3 ξ ψˆ †(ξ )ψˆ (ξ ) (1/2) ∫ d 3r1d 3r 2ψˆ †(r1 )ψˆ † (r2 ) φ (r1 , r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 )
= (1/2) ∫ d 3r1d 3r 2 d 3 ξ φ (r1 , r2 )[ψˆ †(r1 )ψˆ † (r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ), ψˆ † (ξ )ψˆ (ξ ) ] − .
(11)
Nell’Eq. (11), la posizione di φ (r1 , r2 ) esterna al commutatore consegue dal fatto che φ (r1 , r2 ) è
un c-numero vs. gli operatori di campo (3).
Ora, poiché la proprietà distributiva (1.1) è esprimibile nella forma equivalente
ˆ ] = − [Α
ˆ , Βˆ ] Cˆ − Βˆ [Α
ˆ , Cˆ ] ,
[Βˆ Cˆ , Α
−
−
−
(12)
si può proseguire mediante le identificazioni
Βˆ ≡ ψˆ † (r1 )ψˆ † (r2 ) ,
(13.1)
Cˆ ≡ ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ) ,
Αˆ ≡ ψˆ †(ξ )ψˆ (ξ ) ,
(13.2)
arrivando alla riduzione
[ψˆ † (r1 )ψˆ †(r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ), ψˆ †(ξ )ψˆ (ξ ) ] − =
(13.3)
21
Metodi Matematici della Fisica (minimalia memoranda) –
= −ψˆ †(r1 )ψˆ †(r2 ) (ψˆ (r2 ) δ (r1 − ξ ) + δ (r2 − ξ )ψˆ (r1 ) )ψˆ (ξ ) + ↲
↳
+ ψˆ † (ξ ) (ψˆ †(r1 ) δ (r2 − ξ ) + δ (r1 − ξ )ψˆ † (r2 ) )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ) .
(14)
Sostituendo l’espressione (14) nell’integrale (11) e, quindi, eseguendo per prima l’integrazione vs.
la coordinata ξ , risulta
[Φˆ , Νˆ ] − =
∫d
r1d 3r2 φ (r1 , r2 ) (ψˆ †(r1 )ψˆ †(r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 ) − ψˆ † (r1 )ψˆ †(r2 )ψˆ (r2 )ψˆ (r1 )) ≡ 0 .
3
↳ (15)
In definitiva, è verificato che
[Ηˆ , Νˆ ] − ≡ [Κˆ , Νˆ ] − + [Φˆ , Νˆ ] − = 0 .
□
Osservazioni
( 1)
Una chiarificazione esauriente del termine c-numero, introdotto da P. A. M. Dirac, e la distinzione tra c-numeri e
q-numeri nelle varie rappresentazioni della Teoria Quantistica è contenuta in: PARK, D., Introduction to the
Quantum Theory, 3RD ED., P. 348, MCGRAW-HILL (1992).
( 2)
Le Eq. (2.1), (2.2) e (4) indicano che, nel sistema di misura MKSA, [ψˆ α (r )] ≡ [ψˆ α† (r )] = m − 3 / 2 ( ∴ volume 1 / 2 )
mentre [cˆ α ] e [cˆ α† ] sono adimensionali. Ne segue che [φ (r1 , r2 )] = J ( ∴ energia ).
( 3)
L’energia potenziale di interazione a due-corpi, φ (r1 , r2 ) , è esprimibile empiricamente, e.g., mediante la forma
di Buckingham modificata
φ (r1 , r2 ) ≡ φ (r ) = φ 0 (α e
− β (r / r 0 )
− η (r 0 /r )6 ) ,
(16)
nella quale, r ≡ r1 − r2 mentre (r 0 ; − φ 0 ) , valori tabulati di ‘best fit’ da dati sperimentali ( φ 0 > 0 ), sono le
coordinate del minimo di graf φ ( graf E , nella figura). La terna di parametri {α , β , η } ≡ { 6 e 13 /7, 13, 13 /7 }
ottimizza il profilo di graf φ nel caso di numerosi gas reali, soprattutto dei gas nobili, generalizzando il modello
(12-6) di Lennard-Jones puro [ref.: McGee, B. C., Hobbs, M. L., Baer, M. R., Exponential-6 Parameterization
for the JCZ3-EOS, Sandia Report 1191 (1998)].
■■■

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