Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
F¨
ur Kugelkoordinaten
x = r cos ϕ sin ϑ,
y = r sin ϕ sin ϑ,
z = r cos ϑ
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-1
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
F¨
ur Kugelkoordinaten
x = r cos ϕ sin ϑ,
y = r sin ϕ sin ϑ,
z = r cos ϑ
gelten f¨
ur r¨aumliche Skalarfelder
U(x, y , z) = Φ(r , ϑ, ϕ)
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-2
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
F¨
ur Kugelkoordinaten
x = r cos ϕ sin ϑ,
y = r sin ϕ sin ϑ,
z = r cos ϑ
gelten f¨
ur r¨aumliche Skalarfelder
U(x, y , z) = Φ(r , ϑ, ϕ)
und Vektorfelder
F (x, y , z) = Fx ex + Fy ey + Fz ez = Ψr er + Ψϑ eϑ + Ψϕ eϕ = Ψ(r , ϑ, ϕ)
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-3
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
F¨
ur Kugelkoordinaten
x = r cos ϕ sin ϑ,
y = r sin ϕ sin ϑ,
z = r cos ϑ
gelten f¨
ur r¨aumliche Skalarfelder
U(x, y , z) = Φ(r , ϑ, ϕ)
und Vektorfelder
F (x, y , z) = Fx ex + Fy ey + Fz ez = Ψr er + Ψϑ eϑ + Ψϕ eϕ = Ψ(r , ϑ, ϕ)
die Transformationsregeln
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-4
grad U
=
1
1
∂r Φer + ∂ϑ Φeϑ +
∂ϕ Φeϕ ,
r
r sin ϑ
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-5
grad U
=
div F
=
1
1
∂r Φer + ∂ϑ Φeϑ +
∂ϕ Φeϕ ,
r
r sin ϑ
1
1
1
∂r r 2 Ψr +
∂ϕ Ψϕ +
∂ϑ (sin ϑΨϑ ) ,
r2
r sin ϑ
r sin ϑ
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-6
grad U
=
div F
=
rot F
=
1
1
∂r Φer + ∂ϑ Φeϑ +
∂ϕ Φeϕ ,
r
r sin ϑ
1
1
1
∂r r 2 Ψr +
∂ϕ Ψϕ +
∂ϑ (sin ϑΨϑ ) ,
r2
r sin ϑ
r sin ϑ
1
(∂ϑ (sin ϑΨϕ ) − ∂ϕ Ψϑ ) er
r sin ϑ
1
(∂ϕ Ψr − sin ϑ∂r (r Ψϕ )) eϑ
+
r sin ϑ
1
+ (∂r (r Ψϑ ) − ∂ϑ Ψr ) eϕ
r
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-7
grad U
=
div F
=
rot F
=
1
1
∂r Φer + ∂ϑ Φeϑ +
∂ϕ Φeϕ ,
r
r sin ϑ
1
1
1
∂r r 2 Ψr +
∂ϕ Ψϕ +
∂ϑ (sin ϑΨϑ ) ,
r2
r sin ϑ
r sin ϑ
1
(∂ϑ (sin ϑΨϕ ) − ∂ϕ Ψϑ ) er
r sin ϑ
1
(∂ϕ Ψr − sin ϑ∂r (r Ψϕ )) eϑ
+
r sin ϑ
1
+ (∂r (r Ψϑ ) − ∂ϑ Ψr ) eϕ
r
sowie
∆U =
1
1
1
∂r r 2 ∂r Φ + 2 2 ∂ϕ2 Φ + 2
∂ϑ (sin ϑ∂ϑ Φ) .
2
r
r sin ϑ
r sin ϑ
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1-8
Beispiel:
(i) Radialsymmetrisches Skalarfeld:
U(x, y , z) = Φ
x 2 + y 2 + z 2 = Φ(r )
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-1
Beispiel:
(i) Radialsymmetrisches Skalarfeld:
U(x, y , z) = Φ
x 2 + y 2 + z 2 = Φ(r )
Gradient und Laplace-Operator:
grad U = ∂r Φer ,
∆U =
1
2
∂r r 2 ∂r Φ = Φ + Φ
2
r
r
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-2
Beispiel:
(i) Radialsymmetrisches Skalarfeld:
U(x, y , z) = Φ
x 2 + y 2 + z 2 = Φ(r )
Gradient und Laplace-Operator:
grad U = ∂r Φer ,
∆U =
1
2
∂r r 2 ∂r Φ = Φ + Φ
2
r
r
Spezialfall U(x, y , z) = r s :
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-3
Beispiel:
(i) Radialsymmetrisches Skalarfeld:
U(x, y , z) = Φ
x 2 + y 2 + z 2 = Φ(r )
Gradient und Laplace-Operator:
grad U = ∂r Φer ,
∆U =
1
2
∂r r 2 ∂r Φ = Φ + Φ
2
r
r
Spezialfall U(x, y , z) = r s :

grad U = sr s−1 er = s(x 2 + y 2 + z 2 )s/2−1

x
 y 
z
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-4
Beispiel:
(i) Radialsymmetrisches Skalarfeld:
U(x, y , z) = Φ
x 2 + y 2 + z 2 = Φ(r )
Gradient und Laplace-Operator:
grad U = ∂r Φer ,
∆U =
1
2
∂r r 2 ∂r Φ = Φ + Φ
2
r
r
Spezialfall U(x, y , z) = r s :

grad U = sr s−1 er = s(x 2 + y 2 + z 2 )s/2−1

x
 y 
z
∆U = s(s + 1)r s−2
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-5
Beispiel:
(i) Radialsymmetrisches Skalarfeld:
U(x, y , z) = Φ
x 2 + y 2 + z 2 = Φ(r )
Gradient und Laplace-Operator:
grad U = ∂r Φer ,
∆U =
1
2
∂r r 2 ∂r Φ = Φ + Φ
2
r
r
Spezialfall U(x, y , z) = r s :

grad U = sr s−1 er = s(x 2 + y 2 + z 2 )s/2−1

x
 y 
z
∆U = s(s + 1)r s−2
harmonisch f¨
ur s = −1 bis auf die Singularit¨at im Ursprung
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-6
(ii) Quellenf¨ormiges Feld:
F (x, y , z) = ψ(r )er
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-7
(ii) Quellenf¨ormiges Feld:
F (x, y , z) = ψ(r )er
Divergenz:
div F =
1
2
∂r r 2 ∂r ψ = ψ + ψ
2
r
r
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-8
(ii) Quellenf¨ormiges Feld:
F (x, y , z) = ψ(r )er
Divergenz:
div F =
1
2
∂r r 2 ∂r ψ = ψ + ψ
2
r
r
Spezialfall F (x, y , z) = r s er :
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-9
(ii) Quellenf¨ormiges Feld:
F (x, y , z) = ψ(r )er
Divergenz:
div F =
1
2
∂r r 2 ∂r ψ = ψ + ψ
2
r
r
Spezialfall F (x, y , z) = r s er :
div F = (s + 2)r s−1
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-10
(ii) Quellenf¨ormiges Feld:
F (x, y , z) = ψ(r )er
Divergenz:
div F =
1
2
∂r r 2 ∂r ψ = ψ + ψ
2
r
r
Spezialfall F (x, y , z) = r s er :
div F = (s + 2)r s−1
divergenzfrei f¨
ur s = −2 bis auf die Singularit¨at im Ursprung
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
2-11

Seminar - Mathematisches Institut der Universität Heidelberg

開講にあたって