MAP 311 - ALEATOIRE - X2013

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Sylvie MELEARD - Emmanuel GOBET
Introduction aux Probabilités
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Introduction aux Probabilités
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Préambule
Cours 9 blocs (cours + PC)
Formation Scilab: 12, 13 et 14 mai.
Contrôle (Hors classement): 01 juillet.
Projet de simulation en binôme:
Les inscriptions obligatoires et par binôme ouvriront le 09 mai sur le
site https://de.polytechnique.fr/ et se clôtureront le 16 mai.
Numerus clausus: 10 binômes par projet (faire une liste de choix).
Date de remise des projets: 30 juin.
Soutien Projets: tous les mercredis de 18h à 20h, du 4 au 25
juin en PC21.
Responsable: Florent Benaych-Georges
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Note de module = 2/3 contrôle + 1/3 projet
QCM d’entraînement: sur la page web du cours. Ouvert du
vendredi à 12h00 au mercredi suivant à 19h00.
Soutien Tutorat: tous les mardis du 29 avril au 24 juin: de
18h00 à 20h00 en PC 21.
Responsable MAP 311: Hélène Leman.
Responsable du turorat: Linda Guevel, e-mail:
[email protected]
Page web du cours:
http://www.cmapx.polytechnique.fr/∼benaych/aleatoire_index.html
MOOC: correspond essentiellement aux cours 1 à 6.
https://class.coursera.org/probas-002
Page du département de Mathématiques Appliquées:
http://www.mathematiquesappliquees.polytechnique.edu/
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Leçon 1: Espace de Probabilité1
18 avril 2014
1
MAP 311, Chapitre I
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Expérience aléatoire
Expérience aléatoire et Espace d’états2
Définition
On appelle expérience aléatoire une expérience E qui, reproduite
dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats
possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance.
Définition
L’espace de tous les résultats possibles de l’expérience est appelé
espace d’états. Il est noté Ω.
Un résultat possible de l’expérience est noté classiquement ω. Ainsi,
ω ∈ Ω.
2
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.1.1
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Expérience aléatoire
Exemples
On lance une pièce: Ω = {P, F }, assimilé à Ω = {0, 1}.
On lance un dé: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Génotype d’un individu: Ω = {AA, Aa, aa}.
On étudie n individus: Ω = {AA, Aa, aa}n .
Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit et une
heure: Ω = [0, 1].
On étudie la durée de vie d’une bactérie: Ω = [0, +∞[.
On étudie la durée d’une communication téléphonique:
Ω = [0, +∞[.
On envoie une fléchette
psur une cible circulaire de 30 cm de
diamètre: Ω = {(x, y ), x 2 + y 2 ≤ 15}.
Cours d’un actif financier sur un intervalle de temps [t1 , t2 ]:
Ω = C([t1 , t2 ], R+ ).
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Expérience aléatoire
Quelle information pouvons-nous tirer de l’expérience?
Exemple: Le jeu de fléchettes
On s’intéresse à la chance de tomber dans une des couronnes ou un
des secteurs de la cible.
Les résultats du jeu peuvent se décrire à l’aide de parties du disque.
Pas la température de la pièce...
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Expérience aléatoire
Evénements aléatoires
Définition
On appelle événement aléatoire (associé à l’expérience E) un
sous-ensemble de Ω dont on peut dire au vu de l’expérience s’il est
réalisé ou non.
Un événement aléatoire A est donc une partie de Ω.
Exemples:
Ω = {0, 1}. “La pièce tombe sur Pile”: A = {0}.
Ω = {0, 1}n , ω = (ω1 , ..., ωn ).
“Le nombre de Faces estP
supérieur au nombre de Piles”:
n
n
A = {ω ∈ Ω,
i=1 ωi ≥ 2 }.
“Juliette se fait attendre moins d’1/4 d’heure ”: A = [0, 1/4].
Ainsi, un événement aléatoire est représenté par l’ensemble des
résultats pour lesquels il est réalisé.
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Expérience aléatoire
Opérations ensemblistes et description des
événements aléatoires
On peut effectuer des opérations ensemblistes sur les événements,
avec l’interprétation suivante.
Si A et B sont deux événements,
A n’est pas réalisé: Ac
A et B sont réalisés: A ∩ B
A ou B sont réalisés: A ∪ B
A réalisé ⇒ B réalisé: A ⊂ B.
A et B sont incompatibles: A ∩ B = ∅.
toujours vrai: Ω est l’événement certain (tous les résultats de
l’expérience prennent leurs valeurs dans Ω).
Jamais vrai: ∅ est l’événement impossible.
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Expérience aléatoire
Opérations ensemblistes et description des
événements aléatoires
On peut effectuer des opérations ensemblistes sur les événements,
avec l’interprétation suivante.
Si A et B sont deux événements,
A n’est pas réalisé: Ac
A et B sont réalisés: A ∩ B
A ou B sont réalisés: A ∪ B
A réalisé ⇒ B réalisé: A ⊂ B.
A et B sont incompatibles: A ∩ B = ∅.
toujours vrai: Ω est l’événement certain (tous les résultats de
l’expérience prennent leurs valeurs dans Ω).
Jamais vrai: ∅ est l’événement impossible.
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Expérience aléatoire
Opérations ensemblistes et description des
événements aléatoires
On peut effectuer des opérations ensemblistes sur les événements,
avec l’interprétation suivante.
Si A et B sont deux événements,
A n’est pas réalisé: Ac
A et B sont réalisés: A ∩ B
A ou B sont réalisés: A ∪ B
A réalisé ⇒ B réalisé: A ⊂ B.
A et B sont incompatibles: A ∩ B = ∅.
toujours vrai: Ω est l’événement certain (tous les résultats de
l’expérience prennent leurs valeurs dans Ω).
Jamais vrai: ∅ est l’événement impossible.
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Expérience aléatoire
Opérations ensemblistes et description des
événements aléatoires
On peut effectuer des opérations ensemblistes sur les événements,
avec l’interprétation suivante.
Si A et B sont deux événements,
A n’est pas réalisé: Ac
A et B sont réalisés: A ∩ B
A ou B sont réalisés: A ∪ B
A réalisé ⇒ B réalisé: A ⊂ B.
A et B sont incompatibles: A ∩ B = ∅.
toujours vrai: Ω est l’événement certain (tous les résultats de
l’expérience prennent leurs valeurs dans Ω).
Jamais vrai: ∅ est l’événement impossible.
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Expérience aléatoire
Opérations ensemblistes et description des
événements aléatoires
On peut effectuer des opérations ensemblistes sur les événements,
avec l’interprétation suivante.
Si A et B sont deux événements,
A n’est pas réalisé: Ac
A et B sont réalisés: A ∩ B
A ou B sont réalisés: A ∪ B
A réalisé ⇒ B réalisé: A ⊂ B.
A et B sont incompatibles: A ∩ B = ∅.
toujours vrai: Ω est l’événement certain (tous les résultats de
l’expérience prennent leurs valeurs dans Ω).
Jamais vrai: ∅ est l’événement impossible.
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Expérience aléatoire
Opérations ensemblistes et description des
événements aléatoires
On peut effectuer des opérations ensemblistes sur les événements,
avec l’interprétation suivante.
Si A et B sont deux événements,
A n’est pas réalisé: Ac
A et B sont réalisés: A ∩ B
A ou B sont réalisés: A ∪ B
A réalisé ⇒ B réalisé: A ⊂ B.
A et B sont incompatibles: A ∩ B = ∅.
toujours vrai: Ω est l’événement certain (tous les résultats de
l’expérience prennent leurs valeurs dans Ω).
Jamais vrai: ∅ est l’événement impossible.
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Expérience aléatoire
Opérations ensemblistes et description des
événements aléatoires
On peut effectuer des opérations ensemblistes sur les événements,
avec l’interprétation suivante.
Si A et B sont deux événements,
A n’est pas réalisé: Ac
A et B sont réalisés: A ∩ B
A ou B sont réalisés: A ∪ B
A réalisé ⇒ B réalisé: A ⊂ B.
A et B sont incompatibles: A ∩ B = ∅.
toujours vrai: Ω est l’événement certain (tous les résultats de
l’expérience prennent leurs valeurs dans Ω).
Jamais vrai: ∅ est l’événement impossible.
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Expérience aléatoire
On note A l’ensemble de tous les événements. Il modélise
l’information que l’on peut obtenir à partir des résultats de
l’expérience.
On peut avoir (mais pas toujours, on verra pourquoi plus loin),
A = P(Ω), ensemble de toutes les parties de Ω.
Remarque
Pour que la modélisation soit cohérente avec l’intuition, A doit être
stable par les opérations ensemblistes:
si A, B ∈ A, alors on doit avoir A ∩ B ∈ A, A ∪ B ∈ A, Ac ∈ A, mais
aussi Ω ∈ A, ∅ ∈ A.
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Expérience aléatoire
Jeu de Pile ou Face
Comment savoir si la pièce est truquée?
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Approche intuitive d’une Probabilité
Approche intuitive d’une Probabilité3
Considérons une expérience aléatoire donnée E et un événement
A pour cette expérience.
Le but: associer à chaque événement A un nombre P(A) compris
entre 0 et 1, qui représente la chance a priori que cet événement
soit réalisé.
Supposons que l’on répète n fois l’expérience E.
On note nA le nombre de fois où A est réalisé.
fn (A) =
nA
n
est la fréquence de réalisation de A sur ces n coups.
On a les propriétés suivantes:
fn (A) ∈ [0, 1] ; fn (Ω) = 1 ;
Si A ∩ B = ∅, on a
3
fn (A ∪ B) = fn (A) + fn (B).
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.1.2
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Approche intuitive d’une Probabilité
Approche intuitive d’une Probabilité3
Considérons une expérience aléatoire donnée E et un événement
A pour cette expérience.
Le but: associer à chaque événement A un nombre P(A) compris
entre 0 et 1, qui représente la chance a priori que cet événement
soit réalisé.
Supposons que l’on répète n fois l’expérience E.
On note nA le nombre de fois où A est réalisé.
fn (A) =
nA
n
est la fréquence de réalisation de A sur ces n coups.
On a les propriétés suivantes:
fn (A) ∈ [0, 1] ; fn (Ω) = 1 ;
Si A ∩ B = ∅, on a
3
fn (A ∪ B) = fn (A) + fn (B).
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Approche intuitive d’une Probabilité
Intuitivement,
P(A) = limite de fn (A) quand n ↑ +∞.
On en déduit immédiatement qu’une probabilité doit vérifier:
•
0 ≤ P(A) ≤ 1,
•
P(Ω) = 1,
•
P(A ∪ B) = P(A) + P(B),
si
A ∩ B = ∅.
Conditions suffisantes si Ω fini.
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Approche intuitive d’une Probabilité
Conséquences
•
P(A) + P(Ac ) = 1,
•
P(∅) = 0,
•
•
P(A) ≤ P(B), si A ⊂ B,
n
X
n
P(∪i=1 Ai ) =
P(Ai ), pour des Ai deux-à-deux disjoints,
•
P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B).
i=1
A
U
U
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C
B
B A
U
A B
C
A B
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Approche intuitive d’une Probabilité
Probabilité Uniforme sur Ω fini4
Chaque singleton de Ω a la même chance de réalisation.
Définition
On dit que la probabilité P sur l’espace fini Ω est uniforme si
pω = P({ω}) =
1
.
card(Ω)
Si P est une probabilité uniforme, P(A) = card(A) .
card(Ω)
Le calcul des probabilités se ramène au calcul combinatoire.
La difficulté: bien décrire et dénombrer Ω. Elle a engendré de
nombreux paradoxes.
4
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.2.2
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Approche intuitive d’une Probabilité
Au tribunal
Comment choisir les jurés?
Population de taille N:
N1 individus pensent qu’un
certain suspect est coupable.
N − N1 individus pensent le
contraire.
Le tribunal choisit n ≤ N jurés.
Quelle est la probabilité que n1 individus parmi les n jurés choisis
pensent que l’individu est coupable?
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Approche intuitive d’une Probabilité
Choix des n jurés?
Choix simultané des jurés. Card(Ω) =
ˆn =
P
1
N1
n1
N
n
N−N1
n−n1
N
n
.
.
Cette probabilité est appelée loi hypergéométrique.
Choix avec remise. Card(Ω) = N n .
n
n N1 1 (N − N1 )n−n1
.
n1
Nn
Pn1 =
Cette probabilité est appelée loi binomiale.
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Approche intuitive d’une Probabilité
EXERCICE
Montrer que quand N et N1 tendent vers l’infini de manière que
N1
→ p,
N
alors
ˆ n −→N→∞ P
˜n =
P
1
1
n
pn1 (1 − p)n−n1 .
n1
Intuition: si la taille de la population est très grande, les tirages avec
ou sans remise deviendront presque équivalents. On a une chance
très infime de tomber deux fois sur la même personne.
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Définition générale des Probabilités
Définition générale d’une Probabilité5
Pourquoi la définition précédente ne suffit-elle pas quand Ω n’est
pas fini?
Jeu de Pile ou Face infini et A = {on ne tire jamais Pile}.
Que vaut P(A)?
n tirages: Ω = {0, 1}n et
An = “on ne tire jamais Pile lors des n premiers tirages”, alors
P(An ) =
1
.
2n
Il est alors naturel d’écrire que
P(A) = P(∩n An ) = lim P(An ) = 0.
n→∞
Pour que ceci soit vrai, il faut ajouter un axiome
supplémentaire permettant le passage à la limite.
5
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.3
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Définition générale des Probabilités
Définition générale d’une Probabilité5
Pourquoi la définition précédente ne suffit-elle pas quand Ω n’est
pas fini?
Jeu de Pile ou Face infini et A = {on ne tire jamais Pile}.
Que vaut P(A)?
n tirages: Ω = {0, 1}n et
An = “on ne tire jamais Pile lors des n premiers tirages”, alors
P(An ) =
1
.
2n
Il est alors naturel d’écrire que
P(A) = P(∩n An ) = lim P(An ) = 0.
n→∞
Pour que ceci soit vrai, il faut ajouter un axiome
supplémentaire permettant le passage à la limite.
5
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Définition générale des Probabilités
Définition générale d’une Probabilité5
Pourquoi la définition précédente ne suffit-elle pas quand Ω n’est
pas fini?
Jeu de Pile ou Face infini et A = {on ne tire jamais Pile}.
Que vaut P(A)?
n tirages: Ω = {0, 1}n et
An = “on ne tire jamais Pile lors des n premiers tirages”, alors
P(An ) =
1
.
2n
Il est alors naturel d’écrire que
P(A) = P(∩n An ) = lim P(An ) = 0.
n→∞
Pour que ceci soit vrai, il faut ajouter un axiome
supplémentaire permettant le passage à la limite.
5
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.3
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Définition générale des Probabilités
Définition générale d’une Probabilité5
Pourquoi la définition précédente ne suffit-elle pas quand Ω n’est
pas fini?
Jeu de Pile ou Face infini et A = {on ne tire jamais Pile}.
Que vaut P(A)?
n tirages: Ω = {0, 1}n et
An = “on ne tire jamais Pile lors des n premiers tirages”, alors
P(An ) =
1
.
2n
Il est alors naturel d’écrire que
P(A) = P(∩n An ) = lim P(An ) = 0.
n→∞
Pour que ceci soit vrai, il faut ajouter un axiome
supplémentaire permettant le passage à la limite.
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Définition générale des Probabilités
Tribu6
Définition
La classe A est une tribu si elle vérifie les propriétés suivantes:
∅ ∈ A et Ω ∈ A.
A ∈ A ⇒ Ac ∈ A.
Si (An )n∈N est une suite d’éléments de A, alors ∩n∈N An et
∪n∈N An sont dans A.
Une tribu correspond à l’information disponible.
Un événement A ∈ A est aussi appelé un ensemble mesurable.
Exemples:
A = {∅, Ω} est la tribu grossière.
Si A ⊂ Ω, {∅, Ω, A, Ac } est une tribu.
L’ensemble P(Ω) des parties de Ω est une tribu sur Ω.
6
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.3.3
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Définition générale des Probabilités
Tribu Borélienne7
Si Ω est non dénombrable, (par exemple, Ω = [0, 1] ou Ω = R), P(Ω)
est trop grosse pour que l’on puisse en “mesurer” tous les éléments.
Définition
La tribu borélienne de R est la plus petite tribu qui contient les
intervalles de la forme ] − ∞, a] pour a ∈ Q.
Pour des raisons mathématiques, on va toujours munir R de cette
tribu. Cela nous permettra de caractériser les probabilités sur R.
7
MAP 311, Chapitre 2, Proposition 2.3.6
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21 / 35
Définition générale des Probabilités
Définition d’une probabilité8
Définition
Une probabilité sur (Ω, A) est une application P de A dans [0, 1], telle
que:
(i) P(Ω) = 1.
(ii) Pour toute suite (An )n d’éléments de A deux-à-deux
disjoints, on a
X
P(An ).
P(∪n An ) =
n
L’axiome (ii) s’appelle “axiome de σ-additivité”.
Remarque Fondamentale: P est une mesure abstraite de masse 1
sur l’espace mesurable (Ω, A).
8
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.3.4
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22 / 35
Définition générale des Probabilités
Définition
On appelle le triplet (Ω, A, P) un espace de probabilité.
Idée géniale de Kolmogorov (1933).
Mettre au coeur du calcul
des probabilités un objet
nouveau: une mesure de
probabilité sur la tribu A.
La modélisation probabiliste consiste donc à décrire une expérience
aléatoire par la donnée d’un espace de probabilité.
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23 / 35
Définition générale des Probabilités
Proposition
Si P est une probabilité sur (Ω, A), alors
(i) P(Ac ) = 1 − P(A).
(ii) P(A) ≤ P(B) pour A ⊂ B.
(iii) Pour toute famille dénombrable,
P(∪i Ai ) ≤
X
P(Ai ).
i
(iv) Si (An ) est une suite croissante, i.e. An ⊂ An+1 ,
P(∪n An ) = lim P(An ).
n→+∞
(Limite croissante)
(iv) Si (An ) est une suite décroissante, i.e. An+1 ⊂ An ,
P(∩n An ) = lim P(An ).
n→+∞
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(Limite décroissante)
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24 / 35
Définition générale des Probabilités
Exemple: espace Ω = {ω0 , ω1 , · · · , ωn , · · · } dénombrable9 . On prend
toujours A = P(Ω).
Une probabilité P est caractérisée par une suite (pn )n de réels
tels que
X
0 ≤ pn ≤ 1 ,
pn = 1.
n
On pose P({ωn }) = pn et pour tout A ⊂ Ω,
X
X
P(A) =
P({ωn }) =
pn .
ωn ∈A
ωn ∈A
n
Exemple : θ > 0. Soit pn = e−θ θn! . La suite (pn )n est une probabilité
sur N, appelée loi de Poisson de paramètre θ.
P
P n
En effet, 0 ≤ pn ≤ 1, et n pn = e−θ n θn! = 1.
(Siméon Denis Poisson, “Recherches sur la probabilité des jugements en
matière criminelle et en matière civile” (1837)).
9
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.3.5
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25 / 35
Définition générale des Probabilités
Exemple: espace Ω = {ω0 , ω1 , · · · , ωn , · · · } dénombrable9 . On prend
toujours A = P(Ω).
Une probabilité P est caractérisée par une suite (pn )n de réels
tels que
X
0 ≤ pn ≤ 1 ,
pn = 1.
n
On pose P({ωn }) = pn et pour tout A ⊂ Ω,
X
X
P(A) =
P({ωn }) =
pn .
ωn ∈A
ωn ∈A
n
Exemple : θ > 0. Soit pn = e−θ θn! . La suite (pn )n est une probabilité
sur N, appelée loi de Poisson de paramètre θ.
P
P n
En effet, 0 ≤ pn ≤ 1, et n pn = e−θ n θn! = 1.
(Siméon Denis Poisson, “Recherches sur la probabilité des jugements en
matière criminelle et en matière civile” (1837)).
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MAP 311, Chapitre 2, Section 2.3.5
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25 / 35
Conditionnement et indépendance
Conditionnement10
Une information supplémentaire concernant l’expérience modifie
la vraisemblance que l’on accorde à l’événement étudié.
On lance deux dés: probabilité
d’obtenir 2 fois 6?
Sans information supplémentaire: Ω = {(i, j), 1 ≤ i, j ≤ 6} et
1
P({(6, 6)}) = 36
.
˜ = {(6, 6), (6, i), (i, 6), 1 ≤ i ≤ 5} et
Il y a au moins un 6. Ω
1
P1 ({(6, 6)}) = 11 .
¯ = {(6, i), 1 ≤ i ≤ 6} et
Le résultat du premier dé est un 6. Ω
1
P2 ({(6, 6)}) = 6 .
10
MAP 311, Chapitre I, Section 2.4
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26 / 35
Conditionnement et indépendance
Probabilité conditionnelle11
Fréquence empirique de réalisation de l’événement A sachant que
l’événement B est réalisé, sur n expériences:
nA∩B
fn (A ∩ B)
=
.
nB
fn (B)
On fait tendre n vers l’infini.
Définition
Soient A et B deux événements, avec P(B) > 0.
La probabilité conditionnelle de A sachant B est le nombre
P(A|B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
Cela définit bien une probabilité et P(A ∩ B) = P(A|B)P(B).
11
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.4.1
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Introduction aux Probabilités
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Conditionnement et indépendance
Formule de Bayes
Soit (Bi )i∈N une partition finie ou dénombrable de Ω:
Bi ∩ Bj = ∅ pour i 6= j.
∪i Bi = Ω.
Formule des probabilités totales: Pour tout A ∈ A,
X
X
P(A ∩ Bi ) =
P(A|Bi ) P(Bi ).
P(A) =
i
i
Preuve: A = ∪i∈I (A ∩ Bi ), les (A ∩ Bi ) sont deux-à-deux disjoints, et
P(A ∩ Bi ) = P(A|Bi ) P(Bi ).
Formule de Bayes: Si P(A) > 0,
P(A|Bi ) P(Bi )
∀i ∈ N, P(Bi |A) = P
.
j P(A|Bj ) P(Bj )
Preuve: P(Bi |A) =
P(A∩Bi )
P(A)
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=
P(A|Bi ) P(Bi )
.
P(A)
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Conditionnement et indépendance
Problème d’assurance
Une compagnie d’assurance assure un nombre égal de conducteurs
et de conductrices.
Conductrice: probabilité a d’avoir un accident.
Conducteur: probabilité b d’avoir un accident.
Probabilité qu’une personne sélectionnée au hasard ait un accident?
Probabilité qu’une personne ayant eu un accident soit un conducteur?
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Introduction aux Probabilités
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Conditionnement et indépendance
Indépendance12
Cas où le fait que A est réalisé n’influe pas sur la probabilité de
réalisation de B et réciproquement.
Définition
Deux événements aléatoires A et B sont indépendants si et
seulement si P(A ∩ B) = P(A)P(B).
On a:
P(A ∩ B) = P(A) P(B) ⇐⇒ P(A|B) = P(A) ⇐⇒ P(B|A) = P(B).
Exemple: On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.
4
A = { la carte est un as} et P(A) = 52
;
B = { la carte est un carreau } et P(B) = 13
52 .
1
P(A ∩ B) = P( la carte est l’as de carreau) = 52
.
Ainsi, les événements A et B sont indépendants.
12
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.4.2
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Conditionnement et indépendance
Indépendance12
Cas où le fait que A est réalisé n’influe pas sur la probabilité de
réalisation de B et réciproquement.
Définition
Deux événements aléatoires A et B sont indépendants si et
seulement si P(A ∩ B) = P(A)P(B).
On a:
P(A ∩ B) = P(A) P(B) ⇐⇒ P(A|B) = P(A) ⇐⇒ P(B|A) = P(B).
Exemple: On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.
4
A = { la carte est un as} et P(A) = 52
;
B = { la carte est un carreau } et P(B) = 13
52 .
1
P(A ∩ B) = P( la carte est l’as de carreau) = 52
.
Ainsi, les événements A et B sont indépendants.
12
MAP 311, Chapitre 2, Section 2.4.2
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Conditionnement et indépendance
Remarques fondamentales
A et B indépendants ⇐⇒ Ac et B c indépendants ⇐⇒ Ac et B
indépendants ⇐⇒ A et B c indépendants.
L’indépendance est liée au choix de la probabilité.
Exemple: jeu de cartes truqué,
Q(valet de pique) = 21 , Q(autre carte) =
Alors Q(as ∩ carreau) =
1
102
1
2
×
1
51
6= Q(as) Q(carreau) =
1
102 .
2 13
51 102 .
=
Attention: l’indépendance de A et B n’a rien à voir avec
l’incompatibilité (A ∩ B = ∅).
Définition
Des événements (An , n ∈ N) sont indépendants si et seulement si
P(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 ) · · · P(Aik )
pour toute sous-suite finie d’indices i1 , . . . , ik .
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Conditionnement et indépendance
Expériences aléatoires indépendantes
Les événements aléatoires associés à chaque expérience sont
indépendants les uns des autres.
Exemple:
Lancers successifs d’une pièce où P(Face) = p ∈]0, 1[.
Soit Fn : “Face au nième lancer”, Pn :“Pile au nième lancer”.
Soit T le premier lancer où l’on obtient Pile:
P(T = k ) = P(F1 ∩ F2 ∩ · · · ∩ Fk −1 ∩ Pk )
= P(Face)k −1 P(Pile) = pk −1 (1 − p).
Remarque:
P
k ≥1 P(T
= k ) = 1, donc P(T = +∞) = 0.
La suite (pk −1 (1 − p), k ∈ N∗ ) définit une probabilité appelée loi
géométrique.
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Conditionnement et indépendance
Théorème de Borel-Cantelli (Section 2.4.3)
Soit (An )n une suite d’événements aléatoires. On définit
lim sup An = ∩p ∪n≥p An .
n
ω est dans une infinité de An
⇔
∀p, ∃n ≥ p, tel que ω ∈ An
⇔
ω ∈ lim sup An .
⇔
ω∈
/ lim sup An .
n
ω est dans au plus un nombre fini de An
n
Théorème
P
Si la série
n P(An ) < +∞, alors P(lim supn An ) = 0.
Si de plus la suite (An )n est indépendante, alors
X
P(An ) = +∞ =⇒ P(lim sup An ) = 1.
n
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n
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Conditionnement et indépendance
Exemple: Abracadabra
Jeu de Pile ou Face infini, P(Pile) = p ∈]0, 1[.
Fixons un mot A de longueur `, chaque lettre est P ou F .
A1 =“le mot se réalise dans les ` premières parties”,
A2 =“le mot se réalise dans les ` parties suivantes”, etc.
Les événements A1 , A2 , ..., sont indépendants.
P
∀n ≥ 1, P(An ) = P(A1 ) > 0, d’où
n P(An ) = +∞.
Théorème de Borel-Cantelli: avec une probabilité égale à 1, le mot A
se réalise une infinité de fois au cours du jeu.
Même raisonnement: si un singe tape au hasard sur une machine à
écrire, alors, avec une probabilité 1, il écrira le mot ABRACADABRA
une infinité de fois.
Il tapera aussi une infinité de fois le livre “A LA RECHERCHE DU
TEMPS PERDU”.
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Conditionnement et indépendance
Preuve
1)
P(lim sup An ) = lim ↓ P(∪n≥p An ) ≤ lim ↓
p
n
p
X
P(An ).
n≥p
P
Comme la série
n P(An ) est convergente, le reste de cette série
tend vers 0 et donc P(lim supn An ) = 0.
2) Pour m entier,
m
c
m
c
P(∪m
i=p Ai ) = 1 − P(∩i=p Ai ) = 1 − Πi=p P(Ai )
grâce à l’indépendance
−
= 1 − Πm
i=p (1 − P(Ai )) ≥ 1 − e
Pm
P(Ai )
i=p
grâce à l’inégalité 1 − x ≤ e−x pour x ≥ 0. Ainsi,
−
P(∪∞
i=p Ai ) ≥ 1 − e
P∞
i=p
P(Ai )
=1
et l’on conclut que pour tout p, P(∪∞
i=p Ai ) = 1, ce qui implique
finalement que P(lim supn An ) = 1.
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