a.a. 2013/14 - EcoCom MetodiMatematici 8 cfu

AVVERTENZA da parte dell’Autrice di questo materiale
Giovanna Carcano - prof.associato di Metodi Matematici
Scuola di Economia e Statistica - Universit`
a degli Studi di Milano Bicocca
webpage: www.economia.unimib.it > docenti > carcano
Questo materiale `
e reso disponibile sul web, esclusivamente nella pagina personale ufficiale
www.economia.unimib.it > docenti > nomedocente
della prof.ssa G.Carcano,
della Scuola di Economia e Statistica dell’Universit`
a degli Studi di Milano Bicocca.
La presente versione `
e aggiornata al Jun 9, 2014
1:44 pm.
Universit`
a di Milano Bicocca – a.a. 2013/14
Prof.ssa GIOVANNA CARCANO
Corso di Laurea in Economia e Commercio (EcoCom A-Z)
Insegnamento: METODI MATEMATICI - 8cfu
Programma - bibliografia - modalit`
a esame - informazioni ed avvertenze – registro lezioni
OBIETTIVI DEL CORSO
L’obiettivo del corso consiste nel far s`ı che lo studente apprenda, si appropri ed approfondisca vari strumenti
e metodologie analitiche, necessarie per formalizzare, comprendere, studiare e risolvere problemi legati alla
realt`
a economica e finanziaria; gli argomenti vengono visti con l’indispensabile rigore formale e teorico, al
fine di fornire un sufficiente grado di conoscenza, utile per l’eventuale continuazione in studi specialistici.
Ogni argomento viene illustrato con esempi ed applicazioni.
ATTENZIONE: SEMESTRE IN CUI SEGUIRE LE LEZIONI/ESERCITAZIONI.
L’insegnamento viene fornito, con identico programma e numero di ore, SIA nel primo, SIA nel secondo
semestre .
Possono seguire il corso al PRIMO semestre gli studenti che hanno gi`a superato l’esame di Matematica
Generale I entro l’appello del settembre precedente (cio`e, in regola con gli esami matematici del primo
anno).
Gli studenti che NON hanno ancora superato il suddetto esame, o che non hanno voluto/potuto frequentare
al primo semestre, frequentano il corso al SECONDO semestre.
` anche possibile seguire il corso parte al primo, parte al secondo semestre (ci`o pu`o essere consigliabile per
E
1
gli studenti che hanno bisogno di pi`
u tempo per assimilare e comprendere la matematica, anche a seconda
della preparazione e situazione individuale).
PROGRAMMA SINTETICO
L’insegnamento, di 8cfu (7cfu lezioni, 1cfu esercitazioni), prevede 56 ore di lezioni frontali in aula e 12 ore
di esercitazioni.
Il programma si compone delle seguenti parti, per le quali si indicano, approssimativamente, il numero di
ore di lezione:
Parte A. Matematica: serie numeriche e serie di funzioni; integrali propri ed impropri; algebra
lineare. (22 ore)
Parte B. Finanziaria. (22 ore)
Parte C. Programmazione lineare. (12 ore)
PROGRAMMA DETTAGLIATO
Parte A. Matematica.
1. Serie numeriche; serie di Taylor-MacLaurin.
Definizione di serie. Carattere e somma di una serie. Condizione necessaria per la convergenza. Serie geometrica. Serie telescopica. Serie armonica generalizzata. Serie a termini definitivamente di segno costante:
criteri di convergenza. Convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz.
Serie di potenze; sviluppi in serie di Taylor-MacLaurin.
2. Integrali.
Definizione di integrale di Riemann. Propriet`a. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del
calcolo integrale. Definizione di primitiva e conseguenza del teorema fondamentale. Calcolo di primitive:
integrazione per parti, per sostituzione. Integrazione di alcune funzioni razionali. Integrali generalizzati.
Criteri sufficienti di convergenza di un integrale generalizzato.
3. Algebra lineare.
Spazi vettoriali euclidei IRn ; concetto di spazio vettoriale in generale.
Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante di una matrice quadrata e sue propriet`a. Teoremi di Laplace.
Matrice inversa, condizione necessaria e sufficiente di invertibilit`a. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di
Cramer. Rango di una matrice. Teorema di Rouch´e–Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari.
Parte B. Finanziaria.
1. Capitalizzazione ed attualizzazione.
Situazioni Finanziarie Elementari, Operazioni Finanziarie Elementari. Montante, interesse, sconto. Leggi
di capitalizzazione e leggi di attualizzazione. Tassi di interesse e tassi di sconto. Tassi equivalenti. Forza
d’interesse. Scindibilit`
a. Teorema di caratterizzazione delle leggi scindibili.
2. Rendite.
Rendite e loro classificazione. Valore di una rendita in un istante t. Calcolo di valori attuali, montanti e
quantit`
a caratteristiche di particolari tipi di rendite. Problemi inversi (calcolo della rata, della durata, del
tasso).
Indici temporali: scadenza, scadenza media aritmetica, durata media finanziaria (duration).
3. Costituzione di capitale ed ammortamenti.
Costituzione di un capitale.
Rimborso di un prestito.
Ammortamenti; impostazione elementare, impostazione finanziaria, condizioni di equit`a, equazioni e relazioni
ricorrenti; metodi; t.a.n. e t.a.e.g.. Usufrutto e nuda propriet`a; teorema di Makeham.
4. Operazioni finanziarie e criteri di scelta.
Operazioni finanziarie in generale: investimenti / finanziamenti, in senso stretto, lato, generale, puri.
Indici di preferenza; studio della funzione r.e.a.(i), a seconda del tipo di O.F.; numero e segno tassi impliciti
di una O.F.; criteri di scelta: t.i.r., r.e.a., tempo di recupero.
5. Titoli obbligazionari e loro valutazione.
Titoli obbligazionari e loro valutazione. La struttura per scadenza, tassi spot, tassi forward.
2
Parte C. Programmazione lineare.
Insiemi convessi. Formalizzazione del problemi di P.L.. Regioni ammissibili e risoluzione geometrica.
Soluzione algebrica. Analisi di sensitivit`
a. Metodo del simplesso. Teoria della dualit`a.
BIBLIOGRAFIA CONSIGLIATA (teoria, esercizi)
Parte MAT:
1. Allevi-Bertocchi-Birolini-Carcano-Moreni: Manuale modulare di Metodi Matematici, Giappichelli Editore; Modulo 4: algebra lineare (edizione 2008) e Modulo 5: successioni, serie ed integrali (edizione 2004).
2. G.Carcano, Metodi matematici. Successioni, serie, integrali, algebra lineare. Prove d’esame 2008-2013 (test
- esercizi), con svolgimenti e richiami teorici. E-book Giappichelli Editore, ISBN/EAN 978-88-348-9248-0,
2013 (disponibile in www.giappichelli.it)
3. G.Carcano, Algebra lineare. Test, esercizi e temi d’esame, con svolgimenti e richiami teorici. Datanova,
Milano, 2002.
Parte FIN:
4. G.Carcano, Metodi matematici. Matematica Finanziaria. Prove d’esame 2008-2013 (test - esercizi), con
svolgimenti ed ampi richiami teorici. E-book Giappichelli Editore, ISBN/EAN 978-88-348-7978-8, 2013
(disponibile in www.giappichelli.it)
5. G.Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d’esame, con svolgimenti e richiami teorici.
Datanova, Milano, 2001.
Parte PL:
6. G.Carcano, Elementi di Programmazione lineare. Test, esercizi e temi d’esame, con svolgimenti e richiami
teorici. Seconda edizione aggiornata ed ampliata.Datanova, Milano, dicembre 2007.
Avvertenze:
(i) Tutto il materiale didattico sopra consigliato `e coperto da diritto d’autore ed `e in vendita nelle librerie.
(ii) La docente rende disponibile online, nella sua webpage personale, oltre a tanto altro materiale, anche
7. G.Carcano, Successioni, serie, integrali: esercizi e test.
8. G.Carcano, Finanziaria: esercizi e test.
(iii) La docente non affida alcunch´e alle copisterie, n´e a siti web (diversi dal sito ufficiale d’ateneo
www.economia.unimib.it); il materiale `e gi`
a tutto disponibile gratis e costantemente aggiornato e controllato
nella webpage personale ufficiale della docente; eventuale materiale in vendita nelle copisterie, o caricato
abusivamente su altri siti, non `e approvato o garantito dalla docente, qualsiasi intestazione vi venga apposta
dal venditore.
MODALITA’ D’ESAME PER L’INSEGNAMENTO
L’esame dell’insegnamento consiste in una prova scritta ed una eventuale prova orale, con le regole sotto
riportate (regole alle quali NON si fa MAI eccezione, per nessun motivo, per nessuno studente).
Gli argomenti del programma sono tutti correlati; pertanto, al fine di non compromettere la comprensione
ed apprendimento da parte degli studenti, non si prevedono prove parziali/intermedie su parti di
programma, n´e preappelli (che disturbano i corsi paralleli).
La prova scritta consiste di 3 parti (matematica, finanziaria, programmazione lineare); la prova `e superata
SE E SOLO SE lo studente consegue la sufficienza (6 punti) in OGNUNA delle 3 parti; l’insufficienza anche
in una sola delle 3 parti, comporta il risultato totale di respinto; l’eventuale sufficienza in una o due parti
NON pu`
o essere riciclata all’esame successivo, che deve comprendere nuovamente tutte e tre le parti.
• parte non a test gravemente insufficiente: respinto, qualsiasi sia il punteggio nei test;
• voto non inferiore a 6 in OGNUNA delle 3 parti (matematica, finanziaria, programmazione lineare):
promosso (orale facoltativo, a scelta (rischiosa . . .) dello studente);
• voto non inferiore a 5 in OGNUNA delle 3 parti: orale obbligatorio nella/nelle parte/i ove ha preso 5;
• voto inferiore a 5 anche in una sola delle tre parti: respinto.
La prova orale si svolge in data successiva a quella della prova scritta; l’orale `e scritto, `e in gran parte
teorico e verte sull’intero programma della parte A, B o C coivolta; l’orale si svolge contemporaneamente,
per tutti gli studenti, con le stesse domande, per motivi di imparzialit`a.
3
Propedeuticit`
a:
il preventivo superamento e verbalizzazione dell’esame di Matematica Generale `e prerequisito indispensabile per poter sostenere la prova scritta dell’insegnamento.
WEBPAGE - INFORMAZIONI - AVVERTENZE
Nella pagina personale web della docente, in
http://www.economia.unimib.it
sono disponibili il calendario lezioni/esercitazioni, il registro dettagliatissimo delle lezioni (con l’indicazione
delle dimostrazioni da portare all’esame), ampio materiale didattico (esclusi libri/dispense coperti da diritto
d’autore, ovviamente), avvisi riguardanti le prove, orari, ricevimenti studenti, etc.etc. (cliccare “docenti” e
“Carcano”).
Gli studenti sono invitati, per loro comodit`a, a consultare periodicamente il sito, che viene costantemente e
velocemente aggiornato.
Si ricorda agli studenti di non dare retta ad alcuna voce di corridoio, leggenda metropolitana, “si dice che
. . .”, “pare che . . .”, “mi han detto che . . .”, etc..
Sono veritieri e fanno testo esclusivamente gli avvisi ufficiali.
Gli studenti sono invitati a non perdere tempo a fare domande, le risposte alle quali sono gi`a scritte negli
avvisi.
` UGUALE PER TUTTI !
LA LEGGE E
Per ovvii motivi di imparzialit`
a, la docente NON fa mai (non ha mai fatto, non far`
a mai)
alcuna eccezione alle regole, per alcun motivo e per alcuno studente.
Chiedere/pretendere eccezioni (con qualsiasi motivazione), ha, per lo studente, l’unico risultato
pratico di qualificarsi in modo negativo . . .
Registro (dettagliatissimo) Metodi Matematici 8 cfu, EcoCom A-Z
CORSO DEL PRIMO SEMESTRE (Turno 1)
[1.] luned`ı 30.09.2013 (13.30–14.30) aula U7-5
MAT-Serie:
Introduzione al problema di dare un senso alla somma di un numero infinito di addendi ed esempi (valore
oggi di una rendita perpetua, paradossi di Zenone: la freccia che non arriva mai, Achille non raggiunge mai
la Tartaruga).
Definizioni, serie convergenti, serie divergenti a +∞ / −∞ / ∞, serie oscillanti o irregolari; carattere di una
serie.
Esempi ed esercizi.
[2.] marted`ı 01.10.2013 (12.30–13.30) aula U7-5
MAT-Serie:
Serie armonica (dim. della sua divergenza, per mezzo della formula di Eulero Mascheroni); serie geometrica,
suo carattere e sua somma, nel caso convergente; risposte ai problemi iniziali. Serie telescopiche
cui: serie
P(tra
+∞
n
di P.Mengoli); dim. della divergenza della serie armonica, per mezzo della serie telescopica n=1 log n+1
.
Condizione necessaria per la convergenza (dim.).
Serie P
a termini di segno (definitivamente) costante: loro regolarit`a; criterio del confronto; studio (dim.) della
+∞
serie n=1 n1α (dim. nei casi α ≤ 1 e α ≥ 2); criterio del confronto asintotico; criterio della radice (caso
√
particolare in cui esista limn→+∞ n an ); criterio del rapporto (caso particolare in cui esista limn→+∞ aan+1
).
n
Esempi ed esercizi.
[3.] marted`ı 01.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-5
MAT-Serie:
P+∞
1
Serie armonica generalizzata n=2 nα (log
. Serie con termini di segno qualsiasi: convergenza assoluta.
n)β
Serie esponenziale (convergenza assoluta e considerazioni sulla veloce convergenza).
4
[4.]
[5.]
[6.]
[7.]
[8.]
[9.]
Esempi ed esercizi.
mercoled`ı 02.10.2013 (12.30–13.30) aula U7-10
MAT-Serie:
Serie con termini di segno alterno: criterio di Leibniz e valutazione approssimata della somma; applicazione
alla serie esponenziale (valutazione di e−1 ).
Introduzione alla serie di funzioni/serie di potenze/serie di Taylor/MacLaurin; esempio della serie esponenziale e della serie geometrica.
Esempi ed esercizi.
mercoled`ı 02.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-10
MAT-Serie:
Serie di funzioni / serie di potenze.
Serie di potenze: definizioni, intervallo e raggio di convergenza, teorema di Abel, teorema di CauchyHadamard.
Serie di Taylor/MacLaurin; definizione di funzione sviluppabile in serie di Taylor/MacLaurin; esempio di
funzione non sviluppabile in serie di Taylor/MacLaurin; le serie di MacLaurin associate alle funzioni ex ,
log(1 + x), (1 + x)α .
Esempi ed esercizi.
mercoled`ı 02.10.2013 (14.30–15.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Cenni storici: il problema della misura (integrale definito), il problema inverso della derivazione (integrale
indefinito).
Definizione di integrale di Riemann e sue propriet`a: trapezioide individuato da una funzione f : [a, b] → IR,
limitata; casi f costante o costante a tratti (plurirettangolo), f lineare (trapezio), f (x) = x2 .
Esempi ed esercizi.
mercoled`ı 02.10.2013 (15.30–16.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Partizione P di un intervallo I = [a, b], ampiezza di una partizione P, somma inferiore s(P, f ) e somma
superiore S(P, f ) di una funzione limitata f : I → IR, relative ad una partizione P; partizione pi`
u o meno
fine di un’altra partizione; comportamento di s(P, f ) e S(P, f ) rispetto al raffinamento della partizione P.
Definizione di funzione Riemann-integrabile in un intervallo limitato I = [a, b]; definizione di integrale definito
di Riemann in I.
Esempio di calcolo di somme inferiori e superiori e di integrale definito nei casi f costante o costante a tratti,
f lineare, f (x) = x2 .
Esempi di funzioni R-integrabili ed esempio di funzione non R-integrabile (funzione di Dirichlet); caratterizzazione di funzioni R-integrabili.
Esempi ed esercizi.
luned`ı 07.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-5
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Condizioni sufficienti per la Riemann–integrabilit`a: caso delle funzioni continue; caso delle funzioni monotone
(dim.); caso delle funzioni limitate con al pi`
u un’infinit`a numerabile di punti di discontinuit`a.
Propriet`
a dell’operazione di integrazione: prima parte.
Esempi ed esercizi.
marted`ı 8.10.2013 (12.30–13.30) aula U7-5
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Propriet`
a dell’operazione di integrazione: linearit`a (additivit`a e omogeneit`a), monotonia; insieme R(I)
delle funzioni R-integrabili in I (spazio vettoriale); una funzione continua di funzione R–integrabile `e Rintegrabile; conseguenze: potenza di funzione integrabile `e integrabile, prodotto di funzioni integrabili `e
integrabile, reciproco di funzione integrabile e discosta da zero `e integrabile, valore assoluto di funzione
integrabile `e integrabile, relazione tra integrale del valore assoluto e valore assoluto dell’integrale.
Comportamento dell’integrale rispetto all’ordinamento dell’intervallo di integrazione.
5
Propriet`
a di additivit`
a dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione.
Teorema del valor medio, caso generale di funzione R-integrabile e caso particolare di funzione continua
(dim.).
Esempi ed esercizi.
[10.] marted`ı 8.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-5
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Propriet`
a “alterare una funzione R-integrabile in un numero finito di punti non cambia il valore dell’integrale”.
Rb
Integrale definito di Riemann a f (x)dx nei casi a = b e a > b; propriet`a.
Il problema inverso della derivazione: definizione di primitiva; integrale indefinito; propriet`a “le primitive,
se esistono, sono infinite e differiscono per una costante additiva” (dim.).
Esempi ed esercizi.
[11.] mercoled`ı 9.10.2013 (12.30–13.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Condizioni necessarie affinch´e una funzione ammetta primitiva.
Il collegamento tra integrale definito ed integrale indefinito: funzione integrale.
Funzione integrale; teorema fondamentale del calcolo integrale: enunciato nel caso generale, enunciato e
dimostrazione nel caso f ∈ C 0 (I) (teorema di Torricelli-Barrow).
Conseguenze del teorema fondamentale del calcolo integrale: collegamento tra il “problema della misura” ed il
“problema inverso della derivazione”; corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale: “l’integrale
definito di una funzione continua `e la differenza dei valori di una qualsiasi sua primitiva negli estremi
dell’intervallo di integrazione” (dim.).
Esempi ed esercizi.
[12.] mercoled`ı 9.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Funzioni algebriche e funzioni trascendenti; funzioni elementari; funzioni integrabili elementarmente, funzioni
integrabili non elementarmente.
Ancora sul teorema fondamentale del calcolo integrale e sulle sue conseguenze; generalizzazione del teorema
R β(x)
fondamentale del calcolo integrale al caso di estremi di integrazione variabili (F (x) = α(x) f (t)dt).
Determinazione
R
R x dell’insieme delle primitive di una funzione continua su in intervallo; significato della formula
f (x)dx = x f (t)dt + c (c ∈ IR).
Tabella degli integrali immediati.
Esempi ed esercizi.
[13.] luned`ı 14.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-5
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Determinazione dell’insieme delle primitive di una funzione continua su in intervallo.
Metodi di integrazione: per scomposizione; per parti (dim.); per sostituzione.
Esempi ed esercizi.
[14.] marted`ı 15.10.2013 (12.30–13.30) aula U7-5
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Determinazione dell’insieme delle primitive di una funzione continua su in intervallo.
Metodi di integrazione: integrazione delle funzioni razionali (caso delle radici reali, semplici e multiple, e
caso in cui al denominatore ci sia un trinomio irriducibile).
Esempi ed esercizi.
[15.] marted`ı 15.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-5
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
integrali riconducibili ad integrali risolubili con i metodi precedenti; ad esempio:
Z
Z
Z
p
r
1
x
R (e ) dx ,
· R (log x) dx , R x, (ax + b) q , (ax + b) s , . . . dx .
x
6
Calcolo di aree di regioni limitate.
Esempi ed esercizi.
[16.] mercoled`ı 16.10.2013 (12.30–13.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Integrali di Riemann impropri o generalizzati, per funzioni limitate, definite su intervalli illimitati: definizioni
ed esempi; studio delle funzioni f (x) = x1α .
Esempi ed esercizi.
[17.] mercoled`ı 16.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Integrali di Riemann impropri o generalizzati, per funzioni limitate, definite su intervalli illimitati: caso delle
funzioni definitivamente di segno costante: criterio del confronto; criteri di convergenza/divergenza basati
sull’ordine di infinitesimo.
Calcolo di aree di regioni illimitate.
Esempi ed esercizi.
[18.] luned`ı 21.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-5
MAT-Algebra lineare:
Gli spazi vettoriali euclidei IRn : vettori; somma di vettori e prodotto scalare per vettore. Concetto generale
di spazio vettoriale, e di sottospazio vettoriale; cenno al concetto di dimensione e di base di uno spazio
vettoriale; esempi di spazi e sottospazi di dimensione finita e di dimensione infinita.
Gli spazi vettoriali euclidei IRn : IR ha solo sottospazi vettoriali impropri; IR2 : tutti e soli i sottospazi
vettoriali propri sono le rette per l’origine; IR3 : tutti e soli i sottospazi vettoriali propri sono le rette o i piani
per l’origine.
Prodotto interno (o scalare), propriet`
a.
Esempi ed esercizi.
[19.] marted`ı 22.10.2013 (12.30–13.30) aula U7-5
MAT-Algebra lineare:
Algebra delle matrici. Definizione di matrice reale di tipo m × n, matrici rettangolari e matrici quadrate,
somma di matrici e prodotto scalare per matrice, spazio vettoriale M(m × n) formato dall’insieme delle
matrici di tipo m × n.
Particolari matrici: m. nulla, m. identit`
a, m. scalari, m. diagonali, m.triangolari superiori / triangolari
inferiori.
Esempi ed esercizi.
[20.] marted`ı 22.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-5
MAT-Algebra lineare:
Operazione di trasposizione; propriet`
a; matrici simmetriche e matrici antisimmetriche.
Matrici conformabili; prodotto di matrici. Propriet`a del prodotto di matrici; chiusura dell’insieme delle
m. scalari/diagonali/triangolari superiori/triangolari inferiori rispetto al prodotto di matrici; comportamento del prodotto di matrici rispetto all’operazione di trasposizione; “difetti” del prodotto di matrici: non
commutativit`
a; esistenza di divisori dello zero; non vale la legge di annullamento del prodotto.
Definizione di matrice inversa; propriet`
a della matrice inversa; legge di annullamento del prodotto, nel caso
di fattore invertibile.
Il problema dell’esistenza e determinazione della matrice inversa: i casi n = 1 e n = 2 (dim.).
Esempi ed esercizi.
[21.] mercoled`ı 23.10.2013 (12.30–13.30) aula U7-10
MAT-Algebra lineare:
Determinante di matrice quadrata di ordine n: i casi n = 1 e n = 2; definizione generale, per ogni n ≥ 1;
Primo Teorema di Laplace. Propriet`
a della funzione determinante; teorema di Cauchy-Binet; Secondo
Teorema di Laplace; matrici invertibili (non singolari / non degeneri) e matrici non invertibili (singolari /
degeneri).
7
Condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilit`a di una matrice A e determinazione della formula della
1
A∗ (dim.).
matrice inversa A−1 = Det(A)
Sottomatrici, sottomatrici quadrate, minori di ordine k.
Rango o caratteristica di una matrice; propriet`a del rango; procedimento di Kronecker per il calcolo del
rango.
Esempi ed esercizi.
[22.] mercoled`ı 23.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-10
MAT-Algebra lineare:
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite Ax = b, A ∈ M(m × n), x ∈ IRn , b ∈ IRm .
Definizioni.
Propriet`
a:
se un sistema ha pi`
u di una soluzione allora ne ha infinite (dim.);
l’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo `e sottospazio vettoriale di dimensione n − r(A);
˜ + n, ove x
˜ `e una soluzione particolare del
la soluzione generale di un sistema non omogeneo `e data da x = x
non omogeneo e n appartiene allo spazio delle soluzioni dell’omogeneo associato. Sistemi di Cramer (m = n,
r(A) = n); propriet`
a; regola di Cramer.
Esempi ed esercizi.
[23.] luned`ı 28.10.2013 (13.30–14.30) aula U7-5
MAT-Algebra lineare:
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite Ax = b, A ∈ M(m × n), x ∈ IRn , b ∈ IRm .
Teorema di Rouch´e-Capelli. Descrizione del caso generale (m, n qualsiasi, r(A) = r), metodo di risoluzione
dei sistemi lineari possibili (r(A) = r(A|b)); descrizione di tutti i casi possibili (in particolare: sistemi
normali (r(A) = m) e sistemi determinati (r(A) = r(A|b) = n)).
Esempi ed esercizi.
[24.] marted`ı 29.10.2013 (12.30–13.30), aula U7-5
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
S.F.E. (Situazione Finanziaria Elementare); O.F.E. (Operazione Finanziaria Elementare) di capitalizzazione
/ di finanziamento.
Esempi ed esercizi.
[25.] marted`ı 29.10.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Legge di capitalizzazione M = F (C, t0 , t), ipotesi di additivit`a e di traslabilit`a.
Equazione funzionale di Cauchy (dim., in ipotesi di derivabilit`a).
Fattore di montante f (t); regime di capitalizzazione.
Legge di attualizzazione C = V (M, t0 , t), fattore di attualizzazione v(t), regime di attualizzazione.
Leggi finanziarie coniugate.
Esempi ed esercizi.
[26.] mercoled`ı 30.10.2013 (12.30–13.30), aula U7-10
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Interesse I e sconto S; tasso d’interesse i(t) e tasso di sconto d(t); tasso unitario di interesse i e tasso unitario
di sconto d.
Relazioni tra i(t) e d(t) e, di conseguenza, tra t.u.i. i e t.u.s. d.
Concrete realizzazioni del modello di capitalizzazione, a seconda delle ipotesi sull’incremento f (t + h) − f (t)
subito dal capitale unitario da t a t + h:
• f (t + h) − f (t) = α(t)h (caso particolare: capitalizzazione semplice)
• f (t + h) − f (t) = α(t)f (t)h (caso particolare: capitalizzazione composta esponenziale);
8
• f (t + h) − f (t) = α(t)(f (t))2 h (caso particolare: capitalizzazione ad interessi anticipati).
Esempi ed esercizi.
[27.] mercoled`ı 30.10.2013 (13.30–14.30), aula U7-10
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
La forza d’interesse o tasso istantaneo d’interesse o intensit`a istantanea di interesse δ(t); determinazione del
fattore di montante f (t) a partire dalla forza di interesse δ(t).
Definizione e significato di legge scindibile.
Teorema di caratterizzazione delle leggi scindibili (dim.).
Tasso d’interesse/sconto periodale equivalente (ik , dk ).
Tasso d’interesse/sconto proporzionale ( ki , kd ).
Esempi ed esercizi.
[28.] luned`ı 04.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Studio dei principali regimi di capitalizzazione e di attualizzazione:
• la capitalizzazione e l’attualizzazione semplice.
Propriet`
a e caratteristiche: non scindibilit`a, l’interesse `e proporzionale ad i e al tempo; il tasso d’interesse
equivalente ik `e uguale al tasso proporzionale ki , la forza d’interesse `e decrescente; additivit`a degli interessi;
la capitalizzazione semplice `e l’unica legge ad interessi additivi.
L’attualizzazione semplice, lo sconto razionale.
• la capitalizzazione e l’attualizzazione ad interessi anticipati o commerciale.
Propriet`
a e caratteristiche: orizzonte temporale limitato, non scindibilit`a, lo sconto `e proporzionale a d e al
tempo, additivit`
a degli sconti, il tasso di sconto equivalente dk `e uguale al tasso di sconto proporzionale kd ,
la forza d’interesse `e crescente, lo sconto commerciale `e l’unica legge a sconti additivi.
Esempi ed esercizi.
[29.] marted`ı 05.11.2013 (12.30–13.30), aula U7-5
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Studio dei principali regimi di capitalizzazione e di attualizzazione:
descrizione quantitativa del passaggio dalla capitalizzazione semplice alla capitalizzazione compota (reinvestimento degli interessi).
• la capitalizzazione e l’attualizzazione composta per durate intere.
Definizione e propriet`
a.
• la capitalizzazione e l’attualizzazione composta per durate qualsiasi: la capitalizzazione composta con
convenzione esponenziale (c.c./c.e.) (prima parte).
Propriet`
a e caratteristiche: scindibilit`
a, la forza d’interesse `e constante (δ = log(1 + i)), la composta `e l’unica
legge scindibile. La c.c./c.e. vista come limite del procedimento di capitalizzazione degli interessi, in c.s..
Esempi ed esercizi.
[30.] marted`ı 5.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Studio dei principali regimi di capitalizzazione e di attualizzazione:
• la capitalizzazione e l’attualizzazione composta per durate qualsiasi: la capitalizzazione composta con
convenzione esponenziale (c.c./c.e.) (seconda parte).
Legame tra i e ik ; tasso nominale di interesse convertibile k volte jk = kik ; relazioni tra i, ik , jk e δ; Relazioni
tra d e dk .
• la capitalizzazione composta per durate qualsiasi: la capitalizzazione composta con convenzione lineare
(c.c./c.l.). Confronto tra i regimi di capitalizzazione e attualizzazione semplice, commerciale e composto.
Confronto tra i regimi di sconto semplice o razionale, composto, commerciale o anticipato.
9
Esempi ed esercizi.
[31.] mercoled`ı 6.11.2013 (12.30–13.30), aula U7-10
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
RT
Importanza pratica della scindibilit`
a. Tasso medio: δT∗ = T1 0 δ(s)ds.
Significato finanziario della forza d’interesse δ(t): qualsiasi legge di capitalizzazione con fattore di montante
derivabile si comporta, in ogni istante t, “come se” fosse la c.s. al tasso δ(t).
Esempi ed esercizi.
[32.] mercoled`ı 6.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-10
FIN-Rendite e indici temporali:
Rendite: definizioni (certa/aleatoria, costante/a rate variabili, periodica/aperiodica, temporanea/perpetua,
intera/frazionata, anticipata/posticipata, immediata/differita). Il valore V (t) di una rendita in un istante t;
valore attuale, montante; formule generali; il caso delle leggi scindibili coniugate (dim.).
Esempi ed esercizi.
[33.] luned`ı 11.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
FIN-Rendite e indici temporali:
Rendite: valori di rendite in regime c.c./c.e.: i casi immediata (posticipata o anticipata), differita, frazionata
(posticipata o anticipata);
(h)
(h)
¨n|i , s¨n|i , p an|i , p a
¨n|i , a , s . .
funzioni an|i , sn|i , a
n|i
n|i
Esempi ed esercizi.
[34.] marted`ı 12.11.2013 (12.30–13.30), aula U7-5
FIN-Rendite e indici temporali:
Rendite perpetue: valori di rendite perpetue nel regime c.c./c.e.; funzioni a∞|i , a
¨∞|i ,
p a∞|i ,
a
(h)
∞|i
.
Rendite a rate variabili; valori di rendite a rate variabili in c.c./c.e.: rendite con rate variabili in progressione
geometrica.
Valori di rendite nel regime semplice e nel regime dello sconto commerciale: il caso immediata posticipata.
Equivalenza finanziaria: valore di una rendita, rendite finanziariamente equivalenti in un instante t, condizione necessaria e sufficiente affinch´e due rendite finanziariamente equivalenti in un’epoca lo siano in
qualsiasi altra epoca.
Esempi ed esercizi.
[35.] marted`ı 12.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
FIN-Rendite e indici temporali:
Rendite:
Problemi inversi nella teoria delle rendite: determinazione della rata, della durata, del tasso; ricerca del tasso
nel caso generale.
Indici temporali:
La scadenza media aritmetica t.
La scadenza media z (nei vari regimi di sconto); risultati relativi, nel caso del regime composto ( (i) z < t;
(ii) z `e funzione decrescente del tasso; (iii) limi→0+ z = t; (iv) limi→+∞ z = scadenza della prima rata non
nulla) (senza dim.).
La duration D.
Esempi ed esercizi.
10
[36.] mercoled`ı 13.11.2013 (12.30–13.30), aula U7-10
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Costituzione di un capitale:
rate di costituzione, piano di costituzione, fondo di costituzione; costituzione per inseguimento.
Esempi ed esercizi.
[37.] mercoled`ı 13.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-10
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Ammortamento di prestiti indivisi:
Definizioni: mutuante, mutuatario, importo del mutuo, rate, debito residuo, debito estinto, quota interessi,
quota capitale, piano di ammortamento.
Impostazione elementare.
Esempi ed esercizi.
[38.] luned`ı 18.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Ammortamento di prestiti indivisi:
Impostazione finanziaria: condizione iniziale / condizione finale; relazione ricorrente del debito residuo;
equazione esplicita retrospettiva del debito residuo; equazione esplicita prospettiva del debito residuo.
Esempi ed esercizi.
[39.] marted`ı 19.11.2013 (12.30–13.30), aula U7-5
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Ammortamento di prestiti indivisi:
Casi particolari:
• rimborso unico finale di capitale ed interessi;
• rimborso unico finale del capitale e periodico degli interessi.
• metodo francese o progressivo o a rate costanti;
• metodo italiano o uniforme o a quote capitali costanti.
• metodo americano o dei due tassi o con quote di accumulazione; confronti con il metodo francese.
Esempi ed esercizi.
[40.] marted`ı 19.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Ammortamento di prestiti indivisi:
Problema della ricerca del tasso di interesse in un ammortamento; il t.a.e.g. (tasso annuo effettivo globale);
esistenza ed unicit`
a del t.a.e.g. in un ammortamento; t.a.n. (tasso annuo nominale) e t.a.e.g. (tasso annuo
effettivo globale).
Valore, nuda propriet`
a, usufrutto; relazione di Makeham.
Esempi ed esercizi.
[41.] mercoled`ı 20.11.2013 (12.30–13.30), aula U7-10
FIN-Operazioni finanziarie e criteri di scelta:
Operazioni finanziarie in generale: primi esempi e definizioni.
investimenti in senso stretto (i costi precedono i ricavi), loro classificazione (P.I.P.O, P.I.C.O., C.I.P.O.,
C.I.C.O);
investimenti in senso lato (tcosti < tprimo ricavo );
investimenti in senso generale (zcosti (i) < zricavi (i) ∀i);
investimenti puri (il saldo contabile cambia segno una volta sola passando dal negativo al positivo).
11
Esempi ed esercizi.
[42.] mercoled`ı 20.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-10
FIN-Operazioni finanziarie e criteri di scelta:
Operazioni finanziarie in generale: analoghe classificazioni per i finanziamenti.
Criteri di scelta tra operazioni finanziarie: propret`a richieste; confronti banali diretti; confronti banali indiretti.
Esempi ed esercizi.
[43.] luned`ı 25.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
FIN-Operazioni finanziarie e criteri di scelta:
Criteri di scelta:
Completamento di operazioni finanziarie con operazioni integrative.
Indice di preferenza o utilit`
a I(A) = I ([P , t])], propriet`a richieste.
I principali criteri di scelta:
• il criterio del R.E.A..
Esempi ed esercizi.
[44.] marted`ı 26.11.2013 (12.30–13.30), aula U7-5
FIN-Operazioni finanziarie e criteri di scelta:
Criteri di scelta:
• il criterio del T.I.R. (definizione di tasso implicito e di tasso interno di rendimento).
Studio della funzione R.E.A.(i) = V (i) in dipendenza del tasso di interesse, nei vari casi; descrizione dei vari
casi (investimenti C.I.P.O., investimenti C.I.C.O., investimenti in senso lato, investimenti in senso generale),
condizioni di esistenza / unicit`
a per le radici della funzione R.E.A.(i) e segno di tali radici; due casi particolari:
Teorema di Levi e Tetorema di Norstr6 om.
Confronto tra il criterio del R.E.A. ed il criterio del T.I.R.; punto di rottura.
• il criterio del tempo di recupero o del pay-back time.
Esempi ed esercizi.
[45.] marted`ı 26.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
FIN-Titoli obbligazionari:
Titoli obbligazionari: caratteristiche di un titolo; indicatori di redditivit`a; corso secco, corso tel-quel.
Esempi ed esercizi.
[46.] mercoled`ı 27.11.2013 (12.30–13.30), aula U7-5
FIN-Titoli obbligazionari:
Titoli obbligazionari: indicatori di redditivit`a: tasso di rendimento realizzato, tasso interno di rendimento,
tasso di rendimento cedolare, componente relativa al prezzo.
La struttura per scadenza: tassi spot, tassi forward.
Selezione dei titoli obbligazionari (verso la Programmazione Lineare . . .).
Esempi ed esercizi.
[47.] mercoled`ı 27.11.2013 (13.30–14.30), aula U7-10
PL-Introduzione ai problemi di programmazione lineare:
Descrizione dei problemi di programmazione lineare; cenni storici; problemi di allocazione delle risorse, della
dieta, di produzione, di trasporto.
12
Formalizzazione algebrica dei problemi di programmazione lineare: vettore delle variabili decisionali, vettore
dei coefficienti della funzione obiettivo, matrice dei coefficienti dei vincoli, vettore dei termini noti.
Soluzione ammissibile, regione ammissibile, soluzione ottimale.
Esempi ed esercizi.
[48.] luned`ı 2.12.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
PL-Insiemi convessi, etc.:
IRn : sottospazi vettoriali (o lineari), variet`
a affini; combinazioni convesse di vettori; insiemi convessi; chiusura
convessa di un insieme.
Esempi ed esercizi.
[49.] marted`ı 03.12.2012 (12.30–13.30), aula U7-5
PL-Insiemi convessi, etc.:
IRn : iperpiani (insiemi di livello per funzione obiettivo lineare); semispazi aperti, chiusi, iperpiano origine;
iperpiano di supporto per un insieme convesso.
Esempi ed esercizi.
[50.] marted`ı 3.12.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
PL-Insiemi convessi, etc.:
IRn : politopo convesso, poliedro convesso; punti estremi di un insieme convesso; caratterizzazione dei poliedri
convessi, teorema di Minkowski; facce di un poliedro convesso; m-simplessi.
Esempi ed esercizi.
[51.] mercoled`ı 4.12.2013 (12.30–13.30), aula U7-10
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
La regione ammissibile `e un politopo convesso.
Teorema (fondamentale) di esistenza di soluzione ottimale, nel caso di insieme ammissibile non vuoto e
limitato (dim.).
Metodo grafico di risoluzione dei problemi di programmazione lineare.
Esempi ed esercizi.
[52.] mercoled`ı 4.12.2013 (13.30–14.30), aula U7-10
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Risoluzione algebrica: come mettere un problema in forma standard (variabili di scarto); soluzioni; soluzioni
ammissibili di base o non di base; soluzioni ammissibili di base degeneri o non degeneri.
Esempi ed esercizi.
[53.] luned`ı 9.12.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Teorema di equivalenza. Teorema della programmazione lineare relativo all’esistena di soluzioni di base
ammissibili (ottimali) in caso di esistena di soluzioni ammissibili (ottimali).
Esempi ed esercizi.
[54.] marted`ı 10.12.2013 (12.30–13.30), aula U7-5
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Verso il metodo del simplesso. Analisi di sensitivit`a; le due formule (dim.); tassi marginali di sostituzione;
costi ridotti; loro significato pratico.
13
Metodo del simplesso: descrizione dell’algoritmo.
Esempi ed esercizi.
[55.] marted`ı 10.12.2012 (13.30–14.30), aula U7-5
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Metodo del simplesso: descrizione dell’algoritmo; diagnostica (soluzione ottimale unica; infinite soluzioni
ottimali; funzione obiettivo illimitata sulla regione ammissibile).
Esempi ed esercizi.
[56.] mercoled`ı 11.12.2013 (12.30–13.30), aula U7-10
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Teoria della dualit`
a.
Introduzione (esempio: problema di produzione).
Formulazione del problema primale e del problema duale; relazioni tra variabili, vincoli, termini noti dei
vincoli, coefficienti delle funzioni obiettivo, matrici dei coefficienti dei vincoli.
Teoremi sulla dualit`
a (prima parte).
Esempi ed esercizi.
[57.] mercoled`ı 11.12.2013 (13.30–14.30), aula U7-10
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Teoria della dualit`
a.
Teoremi sulla dualit`
a (continuazione e fine): Teorema di esistenza; Teorema di dualit`a; Teorema di scarto
complementare; condizioni di scarto complementare e loro conseguenze. Utilizzo nella risoluzione di problema
primale e duale.
Interpretazione economica; prezzi ombra, costi di opportunit`a.
Esempi ed esercizi.
[58.] luned`ı 16.12.2013 (13.30–14.30), aula U7-5
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Esercizi di ricapitolazione.
(dim.) = all’esame (sia scritto, sia orale) pu`o essere richiesta la dimostrazione.
[1.]
[2.]
[3.]
[4.]
[5.]
[6.]
[7.]
[8.]
[9.]
[10.]
[11.]
ESERCITAZIONI E TUTORAGGI
12 ore di esercitazioni e 16 ore di tutoraggi in aula, tenute nei seguenti giorni/ore (altre ore di tutoraggio
vengono tenute in ufficio, durante l’anno, secondo disponibilit`a):
Esercitazioni:
mercoled`ı 09.10.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 16.10.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 23.10.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 30.10.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 6.11.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 13.11.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 20.11.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 27.11.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 4.12.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 11.12.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 18.12.2013 (12.30–13.30), aula U7-10
14
[12.] mercoled`ı 18.12.2013 (13.30–14.30), aula U7-10
[1.]
[2.]
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[11.]
[12.]
[13.]
[14.]
[15.]
[16.]
Tutoraggi in aula:
mercoled`ı 09.10.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 16.10.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 23.10.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 30.10.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 6.11.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 13.11.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 20.11.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 27.11.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 4.12.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 11.12.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 18.12.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 18.12.2013 (15.30–16.30), aula U7-10
mercoled`ı 8.01.2014 (12.30–13.30), aula U7-10
mercoled`ı 8.01.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
mercoled`ı 8.01.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 8.01.2014 (15.30–16.30), aula U7-10
CORSO DEL SECONDO SEMESTRE (Turno 2)
[1.] marted`ı 04.03.2014 (12.30–13.30) aula U7-2
MAT-Serie:
Introduzione al problema di dare un senso alla somma di un numero infinito di addendi ed esempi (valore
oggi di una rendita perpetua, paradossi di Zenone: la freccia che non arriva mai, Achille non raggiunge mai
la Tartaruga).
Definizioni, serie convergenti, serie divergenti a +∞ / −∞ / ∞, serie oscillanti o irregolari; carattere di una
serie.
Esempi ed esercizi.
[2.] marted`ı 04.03.2014 (13.30–14.30) aula U7-2
MAT-Serie:
Serie armonica (dim. della sua divergenza, per mezzo della formula di Eulero Mascheroni); serie geometrica,
suo carattere e sua somma, nel caso convergente; risposte ai problemi iniziali. Serie telescopiche
cui: serie
P(tra
+∞
n
di P.Mengoli); dim. della divergenza della serie armonica, per mezzo della serie telescopica n=1 log n+1
.
Condizione necessaria per la convergenza (dim.).
Serie P
a termini di segno (definitivamente) costante: loro regolarit`a; criterio del confronto; studio (dim.) della
+∞
serie n=1 n1α (dim. nei casi α ≤ 1 e α ≥ 2); criterio del confronto asintotico; criterio della radice (caso
√
particolare in cui esista limn→+∞ n an ); criterio del rapporto (caso particolare in cui esista limn→+∞ aan+1
).
n
Esempi ed esercizi.
[3.] marted`ı 04.03.2014 (14.30–15.30) aula U7-2
MAT-Serie:
P+∞
1
Serie armonica generalizzata n=2 nα (log
. Serie con termini di segno qualsiasi: convergenza assoluta.
n)β
Serie esponenziale (convergenza assoluta e considerazioni sulla veloce convergenza).
Esempi ed esercizi.
[4.] mercoled`ı 05.03.2014 (12.30–13.30) aula U7-10
MAT-Serie:
Serie con termini di segno alterno: criterio di Leibniz e valutazione approssimata della somma; applicazione
alla serie esponenziale (valutazione di e−1 ).
Introduzione alla serie di funzioni/serie di potenze/serie di Taylor/MacLaurin; esempio della serie esponenziale e della serie geometrica.
Esempi ed esercizi.
15
[5.] mercoled`ı 05.03.2014 (13.30–14.30) aula U7-10
MAT-Serie:
Serie di funzioni / serie di potenze.
Serie di potenze: definizioni, intervallo e raggio di convergenza, teorema di Abel, teorema di CauchyHadamard.
Serie di Taylor/MacLaurin; definizione di funzione sviluppabile in serie di Taylor/MacLaurin; esempio di
funzione non sviluppabile in serie di Taylor/MacLaurin; le serie di MacLaurin associate alle funzioni ex ,
log(1 + x), (1 + x)α .
Esempi ed esercizi.
[6.] mercoled`ı 05.03.2014 (14.30–15.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Cenni storici: il problema della misura (integrale definito), il problema inverso della derivazione (integrale
indefinito).
Definizione di integrale di Riemann e sue propriet`a: trapezioide individuato da una funzione f : [a, b] → IR,
limitata; casi f costante o costante a tratti (plurirettangolo), f lineare (trapezio), f (x) = x2 .
Esempi ed esercizi.
[7.] mercoled`ı 05.03.2014 (15.30–16.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Partizione P di un intervallo I = [a, b], ampiezza di una partizione P, somma inferiore s(P, f ) e somma
superiore S(P, f ) di una funzione limitata f : I → IR, relative ad una partizione P; partizione pi`
u o meno
fine di un’altra partizione; comportamento di s(P, f ) e S(P, f ) rispetto al raffinamento della partizione P.
Definizione di funzione Riemann-integrabile in un intervallo limitato I = [a, b]; definizione di integrale definito
di Riemann in I.
Esempio di calcolo di somme inferiori e superiori e di integrale definito nei casi f costante o costante a tratti,
f lineare, f (x) = x2 .
Esempi di funzioni R-integrabili ed esempio di funzione non R-integrabile (funzione di Dirichlet); caratterizzazione di funzioni R-integrabili.
Esempi ed esercizi.
[8.] marted`ı 11.03.2014 (12.30–13.30) aula U7-2
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Condizioni sufficienti per la Riemann–integrabilit`a: caso delle funzioni continue; caso delle funzioni monotone
(dim.); caso delle funzioni limitate con al pi`
u un’infinit`a numerabile di punti di discontinuit`a.
Propriet`
a dell’operazione di integrazione: prima parte.
Esempi ed esercizi.
[9.] marted`ı 11.03.2014 (13.30–14.30) aula U7-2
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Propriet`
a dell’operazione di integrazione: linearit`a (additivit`a e omogeneit`a), monotonia; insieme R(I)
delle funzioni R-integrabili in I (spazio vettoriale); una funzione continua di funzione R–integrabile `e Rintegrabile; conseguenze: potenza di funzione integrabile `e integrabile, prodotto di funzioni integrabili `e
integrabile, reciproco di funzione integrabile e discosta da zero `e integrabile, valore assoluto di funzione
integrabile `e integrabile, relazione tra integrale del valore assoluto e valore assoluto dell’integrale.
Comportamento dell’integrale rispetto all’ordinamento dell’intervallo di integrazione.
Propriet`
a di additivit`
a dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione.
Teorema del valor medio, caso generale di funzione R-integrabile e caso particolare di funzione continua
(dim.).
Esempi ed esercizi.
[10.] marted`ı 11.03.2014 (14.30–15.30) aula U7-2
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Propriet`
a “alterare una funzione R-integrabile in un numero finito di punti non cambia il valore dell’integrale”.
16
Rb
Integrale definito di Riemann a f (x)dx nei casi a = b e a > b; propriet`a.
Il problema inverso della derivazione: definizione di primitiva; integrale indefinito; propriet`a “le primitive,
se esistono, sono infinite e differiscono per una costante additiva” (dim.).
Esempi ed esercizi.
[11.] mercoled`ı 12.03.2014 (12.30–13.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Condizioni necessarie affinch´e una funzione ammetta primitiva.
Il collegamento tra integrale definito ed integrale indefinito: funzione integrale.
Funzione integrale; teorema fondamentale del calcolo integrale: enunciato nel caso generale, enunciato e
dimostrazione nel caso f ∈ C 0 (I) (teorema di Torricelli-Barrow).
Conseguenze del teorema fondamentale del calcolo integrale: collegamento tra il “problema della misura” ed il
“problema inverso della derivazione”; corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale: “l’integrale
definito di una funzione continua `e la differenza dei valori di una qualsiasi sua primitiva negli estremi
dell’intervallo di integrazione” (dim.).
Esempi ed esercizi.
[12.] mercoled`ı 12.03.2014 (13.30–14.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Funzioni algebriche e funzioni trascendenti; funzioni elementari; funzioni integrabili elementarmente, funzioni
integrabili non elementarmente.
Ancora sul teorema fondamentale del calcolo integrale e sulle sue conseguenze; generalizzazione del teorema
R β(x)
fondamentale del calcolo integrale al caso di estremi di integrazione variabili (F (x) = α(x) f (t)dt).
Determinazione
R
R x dell’insieme delle primitive di una funzione continua su in intervallo; significato della formula
f (x)dx = x f (t)dt + c (c ∈ IR).
Tabella degli integrali immediati.
Esempi ed esercizi.
[13.] marted`ı 18.03.2014 (12.30–13.30) aula U7-2
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Determinazione dell’insieme delle primitive di una funzione continua su in intervallo.
Metodi di integrazione: per scomposizione; per parti (dim.); per sostituzione.
Esempi ed esercizi.
[14.] marted`ı 18.03.2014 (13.30–14.30) aula U7-2
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Determinazione dell’insieme delle primitive di una funzione continua su in intervallo.
Metodi di integrazione: integrazione delle funzioni razionali (caso delle radici reali, semplici e multiple, e
caso in cui al denominatore ci sia un trinomio irriducibile).
Esempi ed esercizi.
[15.] marted`ı 18.03.2013 (14.30–15.30) aula U7-2
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
integrali riconducibili ad integrali risolubili con i metodi precedenti; ad esempio:
Z
Z
Z
p
r
1
· R (log x) dx , R x, (ax + b) q , (ax + b) s , . . . dx .
R (ex ) dx ,
x
Calcolo di aree di regioni limitate.
Esempi ed esercizi.
[16.] mercoled`ı 19.03.2014 (12.30–13.30) aula U7-10
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Integrali di Riemann impropri o generalizzati, per funzioni limitate, definite su intervalli illimitati: definizioni
ed esempi; studio delle funzioni f (x) = x1α .
Esempi ed esercizi.
[17.] mercoled`ı 19.03.2014 (13.30–14.30) aula U7-10
17
MAT-Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale:
Integrali di Riemann impropri o generalizzati, per funzioni limitate, definite su intervalli illimitati: caso delle
funzioni definitivamente di segno costante: criterio del confronto; criteri di convergenza/divergenza basati
sull’ordine di infinitesimo.
Calcolo di aree di regioni illimitate.
Esempi ed esercizi.
[18.] marted`ı 25.03.2014 (12.30–13.30) aula U7-2
MAT-Algebra lineare:
Gli spazi vettoriali euclidei IRn : vettori; somma di vettori e prodotto scalare per vettore. Concetto generale
di spazio vettoriale, e di sottospazio vettoriale; cenno al concetto di dimensione e di base di uno spazio
vettoriale; esempi di spazi e sottospazi di dimensione finita e di dimensione infinita.
Gli spazi vettoriali euclidei IRn : IR ha solo sottospazi vettoriali impropri; IR2 : tutti e soli i sottospazi
vettoriali propri sono le rette per l’origine; IR3 : tutti e soli i sottospazi vettoriali propri sono le rette o i piani
per l’origine.
Prodotto interno (o scalare), propriet`
a.
Esempi ed esercizi.
[19.] marted`ı 25.03.2014 (13.30–14.30) aula U7-2
MAT-Algebra lineare:
Algebra delle matrici. Definizione di matrice reale di tipo m × n, matrici rettangolari e matrici quadrate,
somma di matrici e prodotto scalare per matrice, spazio vettoriale M(m × n) formato dall’insieme delle
matrici di tipo m × n.
Particolari matrici: m. nulla, m. identit`
a, m. scalari, m. diagonali, m.triangolari superiori / triangolari
inferiori.
Esempi ed esercizi.
[20.] marted`ı 25.03.2014 (14.30–15.30) aula U7-2
MAT-Algebra lineare:
Operazione di trasposizione; propriet`
a; matrici simmetriche e matrici antisimmetriche.
Matrici conformabili; prodotto di matrici. Propriet`a del prodotto di matrici; chiusura dell’insieme delle
m. scalari/diagonali/triangolari superiori/triangolari inferiori rispetto al prodotto di matrici; comportamento del prodotto di matrici rispetto all’operazione di trasposizione; “difetti” del prodotto di matrici: non
commutativit`
a; esistenza di divisori dello zero; non vale la legge di annullamento del prodotto.
Definizione di matrice inversa; propriet`
a della matrice inversa; legge di annullamento del prodotto, nel caso
di fattore invertibile.
Il problema dell’esistenza e determinazione della matrice inversa: i casi n = 1 e n = 2 (dim.).
Esempi ed esercizi.
[21.] mercoled`ı 26.03.2014 (12.30–13.30) aula U7-10
MAT-Algebra lineare:
Determinante di matrice quadrata di ordine n: i casi n = 1 e n = 2; definizione generale, per ogni n ≥ 1;
Primo Teorema di Laplace. Propriet`
a della funzione determinante; teorema di Cauchy-Binet; Secondo
Teorema di Laplace; matrici invertibili (non singolari / non degeneri) e matrici non invertibili (singolari /
degeneri).
Condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilit`a di una matrice A e determinazione della formula della
1
A∗ (dim.).
matrice inversa A−1 = Det(A)
Sottomatrici, sottomatrici quadrate, minori di ordine k.
Rango o caratteristica di una matrice; propriet`a del rango; procedimento di Kronecker per il calcolo del
rango.
Esempi ed esercizi.
[22.] mercoled`ı 26.03.2014 (13.30–14.30) aula U7-10
MAT-Algebra lineare:
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite Ax = b, A ∈ M(m × n), x ∈ IRn , b ∈ IRm .
18
Definizioni.
Propriet`
a:
se un sistema ha pi`
u di una soluzione allora ne ha infinite (dim.);
l’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo `e sottospazio vettoriale di dimensione n − r(A);
˜ + n, ove x
˜ `e una soluzione particolare del
la soluzione generale di un sistema non omogeneo `e data da x = x
non omogeneo e n appartiene allo spazio delle soluzioni dell’omogeneo associato. Sistemi di Cramer (m = n,
r(A) = n); propriet`
a; regola di Cramer.
Esempi ed esercizi.
[23.] marted`ı 01.04.2014 (12.30–13.30) aula U7-2
MAT-Algebra lineare:
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite Ax = b, A ∈ M(m × n), x ∈ IRn , b ∈ IRm .
Teorema di Rouch´e-Capelli. Descrizione del caso generale (m, n qualsiasi, r(A) = r), metodo di risoluzione
dei sistemi lineari possibili (r(A) = r(A|b)); descrizione di tutti i casi possibili (in particolare: sistemi
normali (r(A) = m) e sistemi determinati (r(A) = r(A|b) = n)).
Esempi ed esercizi.
[24.] marted`ı 01.04.2014 (13.30–14.30), aula U7-2
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
S.F.E. (Situazione Finanziaria Elementare); O.F.E. (Operazione Finanziaria Elementare) di capitalizzazione
/ di finanziamento.
Esempi ed esercizi.
[25.] marted`ı 01.04.2014 (14.30–15.30), aula U7-2
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Legge di capitalizzazione M = F (C, t0 , t), ipotesi di additivit`a e di traslabilit`a.
Equazione funzionale di Cauchy (dim., in ipotesi di derivabilit`a).
Fattore di montante f (t); regime di capitalizzazione.
Legge di attualizzazione C = V (M, t0 , t), fattore di attualizzazione v(t), regime di attualizzazione.
Leggi finanziarie coniugate.
Esempi ed esercizi.
[26.] mercoled`ı 02.04.2014 (12.30–13.30), aula U7-10
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Interesse I e sconto S; tasso d’interesse i(t) e tasso di sconto d(t); tasso unitario di interesse i e tasso unitario
di sconto d.
Relazioni tra i(t) e d(t) e, di conseguenza, tra t.u.i. i e t.u.s. d.
Concrete realizzazioni del modello di capitalizzazione, a seconda delle ipotesi sull’incremento f (t + h) − f (t)
subito dal capitale unitario da t a t + h:
• f (t + h) − f (t) = α(t)h (caso particolare: capitalizzazione semplice)
• f (t + h) − f (t) = α(t)f (t)h (caso particolare: capitalizzazione composta esponenziale);
• f (t + h) − f (t) = α(t)(f (t))2 h (caso particolare: capitalizzazione ad interessi anticipati).
Esempi ed esercizi.
[27.] mercoled`ı 02.04.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
La forza d’interesse o tasso istantaneo d’interesse o intensit`a istantanea di interesse δ(t); determinazione del
fattore di montante f (t) a partire dalla forza di interesse δ(t).
Definizione e significato di legge scindibile.
Teorema di caratterizzazione delle leggi scindibili (dim.).
19
Tasso d’interesse/sconto periodale equivalente (ik , dk ).
Tasso d’interesse/sconto proporzionale ( ki , kd ).
Esempi ed esercizi.
[28.] marted`ı 08.04.2014 (12.30–13.30), aula U7-2
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Studio dei principali regimi di capitalizzazione e di attualizzazione:
• la capitalizzazione e l’attualizzazione semplice.
Propriet`
a e caratteristiche: non scindibilit`a, l’interesse `e proporzionale ad i e al tempo; il tasso d’interesse
equivalente ik `e uguale al tasso proporzionale ki , la forza d’interesse `e decrescente; additivit`a degli interessi;
la capitalizzazione semplice `e l’unica legge ad interessi additivi.
L’attualizzazione semplice, lo sconto razionale.
• la capitalizzazione e l’attualizzazione ad interessi anticipati o commerciale.
Propriet`
a e caratteristiche: orizzonte temporale limitato, non scindibilit`a, lo sconto `e proporzionale a d e al
tempo, additivit`
a degli sconti, il tasso di sconto equivalente dk `e uguale al tasso di sconto proporzionale kd ,
la forza d’interesse `e crescente, lo sconto commerciale `e l’unica legge a sconti additivi.
Esempi ed esercizi.
[29.] marted`ı 08.04.2014 (13.30–14.30), aula U7-2
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Studio dei principali regimi di capitalizzazione e di attualizzazione:
descrizione quantitativa del passaggio dalla capitalizzazione semplice alla capitalizzazione compota (reinvestimento degli interessi).
• la capitalizzazione e l’attualizzazione composta per durate intere.
Definizione e propriet`
a.
• la capitalizzazione e l’attualizzazione composta per durate qualsiasi: la capitalizzazione composta con
convenzione esponenziale (c.c./c.e.) (prima parte).
Propriet`
a e caratteristiche: scindibilit`
a, la forza d’interesse `e constante (δ = log(1 + i)), la composta `e l’unica
legge scindibile. La c.c./c.e. vista come limite del procedimento di capitalizzazione degli interessi, in c.s..
Esempi ed esercizi.
[30.] marted`ı 08.04.2014 (14.30–15.30), aula U7-2
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
Studio dei principali regimi di capitalizzazione e di attualizzazione:
• la capitalizzazione e l’attualizzazione composta per durate qualsiasi: la capitalizzazione composta con
convenzione esponenziale (c.c./c.e.) (seconda parte).
Legame tra i e ik ; tasso nominale di interesse convertibile k volte jk = kik ; relazioni tra i, ik , jk e δ; Relazioni
tra d e dk .
• la capitalizzazione composta per durate qualsiasi: la capitalizzazione composta con convenzione lineare
(c.c./c.l.). Confronto tra i regimi di capitalizzazione e attualizzazione semplice, commerciale e composto.
Confronto tra i regimi di sconto semplice o razionale, composto, commerciale o anticipato.
Esempi ed esercizi.
[31.] mercoled`ı 09.04.2014 (12.30–13.30), aula U7-10
FIN-Capitalizzazione ed attualizzazione:
RT
Importanza pratica della scindibilit`
a. Tasso medio: δT∗ = T1 0 δ(s)ds.
Significato finanziario della forza d’interesse δ(t): qualsiasi legge di capitalizzazione con fattore di montante
derivabile si comporta, in ogni istante t, “come se” fosse la c.s. al tasso δ(t).
Esempi ed esercizi.
20
[32.] mercoled`ı 09.04.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
FIN-Rendite e indici temporali:
Rendite: definizioni (certa/aleatoria, costante/a rate variabili, periodica/aperiodica, temporanea/perpetua,
intera/frazionata, anticipata/posticipata, immediata/differita). Il valore V (t) di una rendita in un istante t;
valore attuale, montante; formule generali; il caso delle leggi scindibili coniugate (dim.).
Esempi ed esercizi.
[33.] marted`ı 29.04.2014 (12.30–13.30), aula U7-2
FIN-Rendite e indici temporali:
Rendite: valori di rendite in regime c.c./c.e.: i casi immediata (posticipata o anticipata), differita, frazionata
(posticipata o anticipata);
(h)
(h)
¨n|i , s¨n|i , p an|i , p a
¨n|i , a , s . .
funzioni an|i , sn|i , a
n|i
n|i
Esempi ed esercizi.
[34.] marted`ı 29.04.2014 (13.30–14.30), aula U7-2
FIN-Rendite e indici temporali:
¨∞|i ,
Rendite perpetue: valori di rendite perpetue nel regime c.c./c.e.; funzioni a∞|i , a
p a∞|i ,
a
(h)
∞|i
.
Rendite a rate variabili; valori di rendite a rate variabili in c.c./c.e.: rendite con rate variabili in progressione
geometrica.
Valori di rendite nel regime semplice e nel regime dello sconto commerciale: il caso immediata posticipata.
Equivalenza finanziaria: valore di una rendita, rendite finanziariamente equivalenti in un instante t, condizione necessaria e sufficiente affinch´e due rendite finanziariamente equivalenti in un’epoca lo siano in
qualsiasi altra epoca.
Esempi ed esercizi.
[35.] marted`ı 29.04.2014 (14.30–15.30), aula U7-2
FIN-Rendite e indici temporali:
Rendite:
Problemi inversi nella teoria delle rendite: determinazione della rata, della durata, del tasso; ricerca del tasso
nel caso generale.
Indici temporali:
La scadenza media aritmetica t.
La scadenza media z (nei vari regimi di sconto); risultati relativi, nel caso del regime composto ( (i) z < t;
(ii) z `e funzione decrescente del tasso; (iii) limi→0+ z = t; (iv) limi→+∞ z = scadenza della prima rata non
nulla) (senza dim.).
La duration D.
Esempi ed esercizi.
[36.] mercoled`ı 30-04.2014 (12.30–13.30), aula U7-10
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Costituzione di un capitale:
rate di costituzione, piano di costituzione, fondo di costituzione; costituzione per inseguimento.
Esempi ed esercizi.
[37.] mercoled`ı 30.04.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Ammortamento di prestiti indivisi:
21
Definizioni: mutuante, mutuatario, importo del mutuo, rate, debito residuo, debito estinto, quota interessi,
quota capitale, piano di ammortamento.
Impostazione elementare.
Esempi ed esercizi.
[38.] marted`ı 06.05.2014 (12.30–13.30), aula U7-2
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Ammortamento di prestiti indivisi:
Impostazione finanziaria: condizione iniziale / condizione finale; relazione ricorrente del debito residuo;
equazione esplicita retrospettiva del debito residuo; equazione esplicita prospettiva del debito residuo.
Esempi ed esercizi.
[39.] marted`ı 06.05.2014 (13.30–14.30), aula U7-2
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Ammortamento di prestiti indivisi:
Casi particolari:
• rimborso unico finale di capitale ed interessi;
• rimborso unico finale del capitale e periodico degli interessi.
• metodo francese o progressivo o a rate costanti;
• metodo italiano o uniforme o a quote capitali costanti.
• metodo americano o dei due tassi o con quote di accumulazione; confronti con il metodo francese.
Esempi ed esercizi.
[40.] marted`ı 06.05.2014 (14.30–15.30), aula U7-2
FIN-Costituzioni di capitali ed ammortamenti:
Ammortamento di prestiti indivisi:
Problema della ricerca del tasso di interesse in un ammortamento; il t.a.e.g. (tasso annuo effettivo globale);
esistenza ed unicit`
a del t.a.e.g. in un ammortamento; t.a.n. (tasso annuo nominale) e t.a.e.g. (tasso annuo
effettivo globale).
Valore, nuda propriet`
a, usufrutto; relazione di Makeham.
Esempi ed esercizi.
[41.] mercoled`ı 07.05.2014 (12.30–13.30), aula U7-10
FIN-Operazioni finanziarie e criteri di scelta:
Operazioni finanziarie in generale: primi esempi e definizioni.
investimenti in senso stretto (i costi precedono i ricavi), loro classificazione (P.I.P.O, P.I.C.O., C.I.P.O.,
C.I.C.O);
investimenti in senso lato (tcosti < tprimo ricavo );
investimenti in senso generale (zcosti (i) < zricavi (i) ∀i);
investimenti puri (il saldo contabile cambia segno una volta sola passando dal negativo al positivo).
Esempi ed esercizi.
[42.] mercoled`ı 07.05.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
FIN-Operazioni finanziarie e criteri di scelta:
Operazioni finanziarie in generale: analoghe classificazioni per i finanziamenti.
Criteri di scelta tra operazioni finanziarie: propret`a richieste; confronti banali diretti; confronti banali indiretti.
Esempi ed esercizi.
22
[43.] marted`ı 13.05.2014 (12.30–13.30), aula U7-2
FIN-Operazioni finanziarie e criteri di scelta:
Criteri di scelta:
Completamento di operazioni finanziarie con operazioni integrative.
Indice di preferenza o utilit`
a I(A) = I ([P , t])], propriet`a richieste.
I principali criteri di scelta:
• il criterio del R.E.A..
Esempi ed esercizi.
[44.] marted`ı 13.05.2014 (13.30–14.30), aula U7-2
FIN-Operazioni finanziarie e criteri di scelta:
Criteri di scelta:
• il criterio del T.I.R. (definizione di tasso implicito e di tasso interno di rendimento).
Studio della funzione R.E.A.(i) = V (i) in dipendenza del tasso di interesse, nei vari casi; descrizione dei vari
casi (investimenti C.I.P.O., investimenti C.I.C.O., investimenti in senso lato, investimenti in senso generale),
condizioni di esistenza / unicit`
a per le radici della funzione R.E.A.(i) e segno di tali radici; due casi particolari:
Teorema di Levi e Tetorema di Norstr6 om.
Confronto tra il criterio del R.E.A. ed il criterio del T.I.R.; punto di rottura.
• il criterio del tempo di recupero o del pay-back time.
Esempi ed esercizi.
[45.] marted`ı 13.05.2014 (14.30–15.30), aula U7-2
FIN-Titoli obbligazionari:
Titoli obbligazionari: caratteristiche di un titolo; indicatori di redditivit`a; corso secco, corso tel-quel.
Esempi ed esercizi.
[46.] mercoled`ı 14.05.2014 (12.30–13.30), aula U7-10
FIN-Titoli obbligazionari:
Titoli obbligazionari: indicatori di redditivit`a: tasso di rendimento realizzato, tasso interno di rendimento,
tasso di rendimento cedolare, componente relativa al prezzo.
La struttura per scadenza: tassi spot, tassi forward.
Selezione dei titoli obbligazionari (verso la Programmazione Lineare . . .).
Esempi ed esercizi.
[47.] mercoled`ı 14.05.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
PL-Introduzione ai problemi di programmazione lineare:
Descrizione dei problemi di programmazione lineare; cenni storici; problemi di allocazione delle risorse, della
dieta, di produzione, di trasporto.
Formalizzazione algebrica dei problemi di programmazione lineare: vettore delle variabili decisionali, vettore
dei coefficienti della funzione obiettivo, matrice dei coefficienti dei vincoli, vettore dei termini noti.
Soluzione ammissibile, regione ammissibile, soluzione ottimale.
Esempi ed esercizi.
[48.] marted`ı 20.05.2014 (12.30–13.30), aula U7-2
PL-Insiemi convessi, etc.:
IRn : sottospazi vettoriali (o lineari), variet`
a affini; combinazioni convesse di vettori; insiemi convessi; chiusura
convessa di un insieme.
23
Esempi ed esercizi.
[49.] marted`ı 20.05.2014 (13.30–14.30), aula U7-2
PL-Insiemi convessi, etc.:
IRn : iperpiani (insiemi di livello per funzione obiettivo lineare); semispazi aperti, chiusi, iperpiano origine;
iperpiano di supporto per un insieme convesso.
Esempi ed esercizi.
[50.] marted`ı 20.05.2014 (14.30–15.30), aula U7-2
PL-Insiemi convessi, etc.:
IRn : politopo convesso, poliedro convesso; punti estremi di un insieme convesso; caratterizzazione dei poliedri
convessi, teorema di Minkowski; facce di un poliedro convesso; m-simplessi.
Esempi ed esercizi.
[51.] mercoled`ı 21.05.2014 (12.30–13.30), aula U7-10
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
La regione ammissibile `e un politopo convesso.
Teorema (fondamentale) di esistenza di soluzione ottimale, nel caso di insieme ammissibile non vuoto e
limitato (dim.).
Metodo grafico di risoluzione dei problemi di programmazione lineare.
Esempi ed esercizi.
[52.] mercoled`ı 21.05.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Risoluzione algebrica: come mettere un problema in forma standard (variabili di scarto); soluzioni; soluzioni
ammissibili di base o non di base; soluzioni ammissibili di base degeneri o non degeneri.
Esempi ed esercizi.
[53.] marted`ı 27.05.2014 (12.30–13.30), aula U7-2
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Teorema di equivalenza. Teorema della programmazione lineare relativo all’esistena di soluzioni di base
ammissibili (ottimali) in caso di esistena di soluzioni ammissibili (ottimali).
Esempi ed esercizi.
[54.] marted`ı 27.05.2014 (13.30–14.30), aula U7-2
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Verso il metodo del simplesso. Analisi di sensitivit`a; le due formule (dim.); tassi marginali di sostituzione;
costi ridotti; loro significato pratico.
Metodo del simplesso: descrizione dell’algoritmo.
Esempi ed esercizi.
[55.] marted`ı 27.05.2014 (14.30–15.30), aula U7-2
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Metodo del simplesso: descrizione dell’algoritmo; diagnostica (soluzione ottimale unica; infinite soluzioni
ottimali; funzione obiettivo illimitata sulla regione ammissibile).
Esempi ed esercizi.
24
[56.] mercoled`ı 28.05.2014 (12.30–13.30), aula U7-10
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Teoria della dualit`
a.
Introduzione (esempio: problema di produzione).
Formulazione del problema primale e del problema duale; relazioni tra variabili, vincoli, termini noti dei
vincoli, coefficienti delle funzioni obiettivo, matrici dei coefficienti dei vincoli.
Teoremi sulla dualit`
a (prima parte).
Esempi ed esercizi.
[57.] mercoled`ı 28.05.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
PL-Studio e risoluzione dei problemi di programmazione lineare:
Teoria della dualit`
a.
Teoremi sulla dualit`
a (continuazione e fine): Teorema di esistenza; Teorema di dualit`a; Teorema di scarto
complementare; condizioni di scarto complementare e loro conseguenze. Utilizzo nella risoluzione di problema
primale e duale.
Interpretazione economica; prezzi ombra, costi di opportunit`a.
Esempi ed esercizi.
(dim.) = all’esame (sia scritto, sia orale) pu`o essere richiesta la dimostrazione.
[1.]
[2.]
[3.]
[4.]
[5.]
[6.]
[7.]
[8.]
[9.]
[10.]
[11.]
[12.]
ESERCITAZIONI E TUTORAGGI
12 ore di esercitazioni e 16 ore di tutoraggi in aula, tenute nei seguenti giorni/ore (inoltre si sono svolte ore
di tutoraggio in ufficio):
Esercitazioni:
mercoled`ı 12.03.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 19.03.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 26.03.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 02.04.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 09.04.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 30.04.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 07.05.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 14.05.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 21.05.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 28.05.2013 (14.30–15.30), aula U7-10
mercoled`ı 04.06.2014 (12.30–13.30), aula U7-10
mercoled`ı 04.06.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
[1.]
[2.]
[3.]
[4.]
[5.]
[6.]
[7.]
[8.]
[9.]
[10.]
[11.]
[12.]
Tutoraggi in aula:
mercoled`ı 12.03.2014
mercoled`ı 19.03.2014
mercoled`ı 26.03.2014
mercoled`ı 02.04.2014
mercoled`ı 09.04.2014
mercoled`ı 30.04.2014
mercoled`ı 07.05.2014
mercoled`ı 14.05.2014
mercoled`ı 21.05.2014
mercoled`ı 28.05.2013
mercoled`ı 04.06.2014
mercoled`ı 04.06.2014
(15.30–16.30),
(15.30–16.30),
(15.30–16.30),
(15.30–16.30),
(15.30–16.30),
(15.30–16.30),
(15.30–16.30),
(15.30–16.30),
(15.30–16.30),
(15.30–16.30),
(14.30–15.30),
(15.30–16.30),
aula
aula
aula
aula
aula
aula
aula
aula
aula
aula
aula
aula
U7-10
U7-10
U7-10
U7-10
U7-10
U7-10
U7-10
U7-10
U7-10
U7-10
U7-10
U7-10
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[13.]
[14.]
[15.]
[16.]
marted`ı 10.06.2014 (13.30–14.30), aula U7-2
marted`ı 10.06.2014 (14.30–15.30), aula U7-2
mercoled`ı 11.06.2014 (13.30–14.30), aula U7-10
mercoled`ı 11.06.2014 (14.30–15.30), aula U7-10
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