¨ STUTTGART – II. INSTITUT FUR ¨ THEORETISCHE PHYSIK UNIVERSITAT Prof. Dr. Udo Seifert Dr. Andre Cardoso Barato, Dipl.-Phys. Eckhard Dieterich, Dipl.-Phys. Eva Zimmermann, David Hartich M.Sc., Sebastian Goldt M.Sc. Statistische Mechanik (WS 14/15) – Blatt 12 Aufgabe 27: Fermi-Gas bei endlichen Temperaturen Wir betrachten ein Quantengas in 3 Dimensionen mit Spin 1 2 Teilchen. a) Leiten Sie die “Sommerfeld-Entwicklung” Z µ Z ∞ π2 dEf (E) + (kT )2 f ′ (µ) + O(T 4 ) dE f (E) n(E) = I{f } ≡ 6 0 0 ab. Hier ist f (E) eine beliebige an der Stelle E = µ Taylor-entwickelbare Funktion der Einteilchenenergie E und n(E) = (eβ(E−µ) + 1)−1 die Fermi-Dirac Besetzungszahl. Hinweise: (1) Spalten Sie von n(E) das T = 0-Verhalten ab. R∞ (2) 0 dy y/(exp y + 1) = π 2 /12. Beachten Sie, inwiefern Integrationsgrenzen verschoben werden d¨ urfen. (2 Punkte) b) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Fermi-Energie Ef bei T = 0 gleich dem chemischen Potential µ(T = 0) ist, wobei die mittlere Besetzung n bei E = Ef = µ(T = 0) von 1 auf 0 “springt”. Berechnen Sie mithilfe der obigen Entwicklung f¨ ur kT ≪ Ef die Temperaturkorrekturen zum chemischen Potential µ(T ) aus der Forderung (warum?) Z ∞ Z Ef ! N (T, µ) ≡ dE ω(E) n(E) = dE ω(E) . 0 0 Hierbei ist ω(E) die Zustandsdichte in 3 Dimensionen. Begr¨ unden Sie, warum Sie R Ef Rµ hierzu 0 dE ω(E) ≈ 0 dE ω(E)+(µ−Ef )ω(Ef ) und ω ′ (µ) ≈ ω ′ (Ef ) verwenden d¨ urfen? L¨osung: µ = Ef π2 1− 12 kT Ef 2 + O(T 4 ) ! (2 Punkte) c) Berechnen Sie nun die Temperaturkorrekturen zur mittleren Energie und daraus die W¨armekapazit¨at. L¨osung: 3 E(T ) = N Ef 5 5π 2 1+ 12 kT Ef 2 + O(T 4 ) ! (2 Punkte) Aufgabe 28: BEC in harmonischer Falle Bei den neuen Experimenten zur Bose-Einstein-Kondensation werden Atome in eine optische Falle, die als 3-d harmonischer Oszillator modelliert werden kann, gebracht. Dies ist zun¨achst eine andere Situation als die in der Vorlesung betrachtete Box mit V = L3 . a) Bestimmen Sie f¨ ur einen 3-d isotropen harmonischen Oszillator mit Frequenz ω die Zustandsdichte ω(E). (2 Punkte) b) Zeigen Sie, analog zur Vorlesung, dass bei Ersetzung R Σi → dEω(E) die mittlere Gesamtzahl der Zust¨ande durch Nmax = c1 (kT /~ω)3 beschr¨ankt ist. Geben Sie c1 an. (2 Punkte) c) F¨ ur festes N erhalten Sie hieraus eine Temperatur Tc , unterhalb der der Grundzustand makroskopisch gem¨aß n0 = N f (T /Tc ) besetzt ist. Bestimmen Sie f (T /Tc ), indem Sie den Grundzustand wie in der Vorlesung abspalten. (2 Punkte)