年 番号
1
正方形 ABCD を底面，点 P を頂点とする正四角錐 PABCD に内接する球に
2
ついて考える．ただし，正四角錐とは，頂点と底面の正方形の中心を結ぶ直
(1) ®; ¯ を実数とし，
n を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．
線が底面と垂直になる角錐である．線分 AB の中点を M とし，線分 AM お
よび線分 PM の長さをそれぞれ a; b とする．次の問に答えよ．
(1) 内接する球の半径を a; b を用いて表せ．
内接する球の表面積
b
と定めるとき，
(2) x =
を x で表わし，その
a
正四角錐 PABCD の表面積
最大値を求めよ．
(3) (2) で最大値をとるときの正四角錐 PABCD の体積を a を用いて表せ．
（ 早稲田大学 2016 ）
氏名
f(x) =
¯
®
¡
x¡®
x¡¯
とする．f(x) の第 n 次導関数 f(n) (x) について，次の等式が成り立つこと
を，数学的帰納法によって証明しなさい．
n
f(n) (x) = (¡1) n! U
¯
®
n+1 ¡
n+1 m
(x ¡ ®)
(x ¡ ¯)
(2) b; c を b2 > 4c を満たす実数とし，
h(x) =
x2
x
¡ bx + c
とする．また，h(x) の第 n 次導関数 h(n) (x) に対し，an =
cn h(n) (0)
と
n!
おく．
‘ 2 次方程式 x2 ¡ bx + c = 0 の解を ®; ¯ とする．an を ®; ¯; n を用い
て表しなさい．
’ an+2 ¡ ban+1 + can = 0 が成り立つことを示しなさい．
（ 山口大学 2016 ）
3
B
a; b を実数とする．f(x) = 2 1 + x2 ¡ ax2 とし ，x についての方程式
6
f(x) = b を考える．次の問いに答えよ．
a を定数とし，関数 f(x) = (x ¡ a)e
x2
2
で表される曲線 y = f(x) を C と
する．ただし，e は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1) a > 0 のとき，関数 f(x) の最大値を求めよ．
(1) f(x) の導関数 f0 (x) を求めよ．
(2) 方程式 f(x) = b の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (a; b) の
(2) f(x) が極値を持たないために a が満たすべき条件を求めよ．
範囲を図示せよ．
(3) 曲線 C 上の点 (t; f(t)) における接線の方程式を求めよ．
（ 金沢大学 2016 ）
(4) (3) で求めた接線が原点を通るような t の値を考える．すべての実数の中
で，そのような t の値が 3 つあるために a が満たすべき条件を求めよ．
4
a を 0 < a < 1 を満たす実数として x の関数 f(x) = ax ¡ log(1 + ex ) の
（ 茨城大学 2016 ）
最大値を M(a) とするとき，次の問いに答えよ．ただし必要があれば
7
lim x log x = 0
次の問いに答えよ．ただし，e は自然対数の底である．
(1) M(a) を a を用いて表せ．
log x
について，極値を調べ，y = f(x) のグラフの概形を
x
log x
かけ．ただし， lim
= 0 を用いてよい．
x
x!1
(2) e¼ > ¼e を示せ．
(2) a の関数 y = M(a) の最小値とそのときの a の値を求めよ．
(3) e
x!+0
(1) 関数 f(x) =
が成り立つことを用いてよい．
p
¼
<¼
p
e
を示せ．
(3) a の関数 y = M(a) のグラフをかけ．
（ 島根大学 2016 ）
（ 新潟大学 2016 ）
5
曲線 C :
x4
¡ 2xy +
y2
8
関数 y = log3 x とその逆関数 y = 3x のグラフが，直線 y = ¡x + s と交
わる点をそれぞれ P(t; log3 t)，Q(u; 3u ) とする．次の問いに答えよ．
= 0 に関して，以下の問いに答えよ．
(1) C 上の点で，x 座標が最大となる点と，y 座標が最大となる点をそれぞれ
求めよ．
(2) C で囲まれた図形の面積を求めよ．
（ 鳥取大学 2016 ）
s
s
; であることを示せ．
;
2
2
(2) s; t; u は s = t + u，u = log3 t を満たすことを示せ．
su ¡ k
が有限な値となるように，定数 k の値を定め，その極限値を
(3) lim
t!3 t ¡ 3
求めよ．
(1) 線分 PQ の中点の座標は #
（ 金沢大学 2015 ）

生徒会だより第31号

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