年 番号
1
4
数列 fan g は
a1 = 5;
a1 2 + a2 2 + Ý + an 2 =
2
a a
3 n n+1
座標平面上の放物線 C : y =
氏名
1 2
x に対し，次の問に答えよ．
2
(1) 半径 r の円が放物線 C と 2 点で接するとき，円の中心と 2 つの接点の座標を r を用いて表せ．
(n = 1; 2; 3; Ý)
(2) 点 (0; 1) を中心とする半径 1 の円を C1 とする．n = 2; 3; 4; Ý に対し円 Cn を，放物線 C
と 2 点で接し，円 Cn¡1 と外接するものとする．このとき，円 Cn の半径を n を用いて表せ．
をみたすとする．次の問いに答えよ．
（ 香川大学 2016 ）
(1) a2 ; a3 を求めよ．
(2) an+2 を an ; an+1 を用いて表せ．
(3) 一般項 an を求めよ．
（ 横浜国立大学 2016 ）
5
自然数 n に対して関数 y = 2nx ¡ x2 のグラフと x 軸で囲まれた領域（ 境界線を含む）Rn を考
える．以下の問いに答えなさい．
(1) 領域 Rn に含まれる格子点（ x 座標と y 座標がともに整数である点）の数 Sn を求めなさい．
2
n を自然数とし，an = cos nµ; bn = sin nµ とする．
(2) 点 A(0; 0)，B(2n; 0)，および関数 y の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（ 境界線を含む）に
(1) an+1 ; bn+1 を an ; bn ; cos µ; sin µ を用いて表しなさい．
含まれる格子点の数 Tn を求めなさい．
Tn
を求めなさい．
(3) lim
n!1 Sn
(2) an+2 を an+1 ; an ; cos µ を用いて表しなさい．
3
(3) cos µ =
のとき cos 5µ の値を求めなさい．
4
（ 大分大学 2016 ）
（ 福島大学 2016 ）
3
数列 fan g を a1 = a2 = 1，an+2 = an+1 + an (n = 1; 2; 3; Ý) によって定める．また ® を
1
を満たす正の実数とする．次の各問いに答えよ．
®
an+1
数列 fbn g を bn =
で定める．bn+1 を bn を用いて表せ．
an
n = 1; 2; 3; Ý に対して bn = 1 となることを示せ．
1
n = 1; 2; 3; Ý に対して bn+1 ¡ ® 5
b ¡ ® となることを示せ．
® n
1
n = 1; 2; 3; Ý に対して bn ¡ ® 5 n となることを示せ．
®
®=1+
(1)
(2)
(3)
(4)
（ 鹿児島大学 2016 ）
6
1 から 5 までの数字を 1 つずつ書いた 5 枚のカードが箱に入っている．箱の中から 1 枚のカード
を取り出してもとに戻すことを n 回続けて行う．k 回目に取り出したカード の数字を ak とし ，
n
P
ak が偶数である確率を pn とする．このとき，次の問いに答えよ．
k=1
(1) p1 ; p2 を求めよ．
(2) pn+1 を pn を用いて表せ．
(3) pn を求めよ．
（ 島根大学 2016 ）
7
数列 fan g，fbn g の初項から第 n 項までの和をそれぞれ
sn = a1 + a2 + Ý + an ;
(4)
n
P
ak
k を求めよ．
k=1 2
（ 愛媛大学 2016 ）
tn = b1 + b2 + Ý + bn
とおいたとき
sn =
3n 2 + n
;
2
log2 (tn + 1) = 2n
10 数列 fan g の初項を a Ë 0 とし，初項から第 n 項までの和を
(n = 1; 2; Ý)
Sn = a1 + a2 + Ý + an
が成り立つ．次の問いに答えよ．
とする．また，数列 fbn g を
(1) fan g の一般項を求めよ．
(2) fbn g の一般項を求めよ．
n
P
(3)
ak bk を求めよ．
bn = 2an +
k=1
3
a ¡ Sn
2
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
（ 福岡教育大学 2016 ）
8
(1) 数列 fbn g の初項 b を a を用いて表せ．
1
の等比数列ならば，数列 fbn g も等比数列になることを示せ．
(2) 数列 fan g が公比
3
1
(3) 数列 fbn g が公比
の等比数列ならば，数列 fan g も等比数列になることを示せ．
3
以下の問に答えよ．
(1) 次の和を求めよ．
（ 県立広島大学 2016 ）
S = 2 + 4x + 6x2 + 8x3 + Ý + 2nxn¡1
(2) 0 < a < 1 のとき，log3 a と loga 3 の大小を比較せよ．
11 n を正の整数とする．座標平面上において，連立不等式
（ 奈良教育大学 2016 ）
V
9
2 つの数列 fan g と fbn g が a1 = 0，b1 = 1 および
W
an+1 = an ¡ bn
bn+1 = an + 3bn + 1
y 5 x + n(n + 1)
の表す領域を D とする．次の各問に答えよ．
(1) 領域 D 内の，x 座標と y 座標がともに整数である点のうち，x 座標が正であるものの個数 M
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定められている．
(1) cn = an + bn + 1 によって定められる数列 fcn g の一般項を求めよ．
(2) an+1 を an と n を用いて表せ．
(3) dn =
y = x2
an + 1
によって定められる数列 fdn g の一般項を求めよ．
2n
を n を用いて表せ．
(2) 領域 D 内の，x 座標と y 座標がともに整数である点のうち，x 座標が負であるものの個数を N
とする．(1) で求めた M に対して M ¡ N = 1000 となるような最小の n を求めよ．
（ 茨城大学 2016 ）

生徒会だより第31号