年 番号
1
氏名
x; y を自然数とする．
3x
が自然数であるような x をすべて求めよ．
x2 + 2
1
3x
が自然数であるような組 (x; y) をすべて求めよ．
(2)
+
y
x2 + 2
(1)
（ 北海道大学 2016 ）
2
次の問いに答えよ．
(1) 方程式 25x + 9y = 1 の整数解をすべて求めよ．
(2) 方程式 25x + 9y = 33 の整数解をすべて求めよ．さらに，これらの整数解のうち， x + y の値が最小と
なるものを求めよ．
(3) 2 つの方程式 25x + 9y = 33，xy = ¡570 を同時に満たす整数解をすべて求めよ．
（ 金沢大学 2016 ）
3
次の
の中を適当に補え．
5561
をこれ以上約分できない分数に直すと
6059
(2) 次の漸化式で定められる数列 fan g を考える．
(1)
a1 = 2;
．
an+1 = (an + n)(an ¡ n)
このとき，
5
P
k=1
ak を求めると
．
(3) 数直線上で，点 P の出発点を原点 O とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点 P を
動かすものとする．
² 出た目が 1 または 2 のとき，点 P を正の方向へ 1 だけ動かす．
² 出た目が 3 または 4 のとき，点 P を負の方向へ 1 だけ動かす．
² 出た目が 5 または 6 のとき，点 P を原点 O に戻す．
サイコロを 3 回投げたとき，点 P が原点 O にいる確率は
．
（ 小樽商科大学 2016 ）
4
自然数 n に対して，n のすべての正の約数（ 1 と n を含む）の和を S(n) とおく．例えば，S(9) = 1+3+9 = 13
である．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) n が異なる素数 p と q によって n = pq と表されるとき，S(n) = 24 を満たす n をすべて求めよ．
(2) n が異なる素数 p と q によって n = pq と表されるとき，S(n) = 2n を満たす n をすべて求めよ．
(3) n が異なる素数 p と q によって n = p2 q と表されるとき，S(n) = 2n を満たす n をすべて求めよ．
（ 東京医科歯科大学 2016 ）
5
6 つの整数 a; b; c; d; e; f はすべて 0 以上で，次の 3 条件（ア），
（ イ），
（ ウ）をみたすとする．
（ア） a > b > c > d
（ イ） a = be + c
（ウ） b = cf + d
次の問いに答えよ．
(1) a = 8 のとき，5 つの整数 b; c; d; e; f の組をすべて求めよ．
a
が成り立つことを示せ．
2
a
が成り立つことを示せ．
(3) d <
3
(2) c <
（ 奈良女子大学 2016 ）
6
k を自然数とする．次の問いに答えよ．
B
(1) n 2 + 7 が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ．
B
(2) n 2 + 72 が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ．
B
(3) n 2 + 7k が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ．
（ 島根大学 2016 ）
7
次の問いに答えよ．
(1) ユークリッド の互除法を用いて，89 と 29 の最大公約数を求めよ．
(2) 2 元 1 次不定方程式 89x + 29y = 1 の整数解を 1 組求めよ．
(3) 2 元 1 次不定方程式 89x + 29y = ¡20 の整数解として現れる x の値のうち，正のものを小さい順に
x1 ; x2 ; x3 ; Ý とする．このとき，自然数 m に対して，xm を m で表せ．
(4) (3) で定めた xm に対し ，89xm + 29y = ¡20 を満たす y の値を ym とするとき，自然数 n に対して，
n
P
(3xm + ym )2 を n で表せ．
m=1
（ 岩手大学 2016 ）
8
次の条件を満たす整数の組 (x; y) を考える．
4x + 7y = 1
x>0
このとき，条件を満たす x を小さい順に，x1 ; x2 ; x3 ; Ý とする．
(1) x1 を求めよ．
(2) k を自然数とするとき，xk を k の式で表せ．
(3) x = xk のときの y を yk とする．yk を k の式で表せ．
（ 成城大学 2016 ）

年度前期追試験の時間割変更について

生徒会だより第31号