(2) a2 ¡ 4b ≧ 0 とし

1
座標平面の原点 O を中心とする半径 r の円を C とする．C 上の 2 点 P1 ，P2
3
a は定数で，1 < a < e とする．曲線 C1 : y = x + log x 上に点
を原点に関して対称な位置にとる．また，点 Q を平面上の任意の点とし，
P(a; a + log a)，曲線 C2 : y = ¡ log x 上に点 Q(a; ¡ log a) がある．た
L = QP1 2 + QP2 2 とおく．
だし，e は自然対数の底である．
(1) Q を固定したとき，L は P1 ，P2 のとり方に依存せず一定であることを示せ．
(2) Q が放物線 y = ¡x2 + 5x ¡ 8 上を動くとき，L の最小値とそのときの Q
の座標を求めよ．
(1) P における C1 の接線を `1 ，Q における C2 の接線を `2 とする．このとき，
3 直線 x = 0; `1 ; `2 で囲まれた部分の面積 S を a を用いて表せ．
(2) C1 と 3 直線 y = 0; x = 1; x = a で囲まれた部分を R1 ，C2 と 2 直線
（滋賀県立大学 2010 ）
y = 0; x = a で囲まれた部分を R2 とする．また，R1 ; R2 を x 軸の周り
に 1 回転させてできる立体をそれぞれ B1 ; B2 とする．このとき，B1 から
B2 を除いた部分の体積 V を求めよ．
2
a; b; p; q を実数として，未知数 x の方程式
（滋賀県立大学 2010 ）
2
p(x + ax + b) + x ¡ q = 0
Ý(¤)
を考える．
(1) p がどのような値であっても方程式 (¤) がつねに実数解をもつためには，
a2 ¡ 4b = 0 が必要条件であることを示せ．
(2) a2 ¡ 4b = 0 とし，®; ¯ (® 5 ¯) を方程式 x2 + ax + b = 0 の 2 つの実数
解とする．このとき，p がどのような値であっても方程式 (¤) がつねに実数
解をもつのは q がどのような範囲 R にあるときか答えよ．
(3) a2 ¡ 4b = 0 で q が (2) で求めた範囲 R にあるとき，方程式 (¤) は範囲 R
に少なくとも 1 つの解をもつことを示せ．
（滋賀県立大学 2010 ）

Download Report