1
次の各問に答えよ．
(1) 置換積分法を用いて，不定積分
Z
cos3 x dx を求めよ．
(2) 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ．
f(x) = cos2 x + 3
Z
0
¼
2
f(t) cos(x + t) cos x dt
（ 宮城教育大学 2006 ）
2
B
5
であるとき，次の問い
a > 0 とする．関数 f(x) = x a + x2 に対して，曲線 y = f(x) 上の点 (1; f(1)) における接線の傾きが
2
に答えよ．
(1) a の値を求めよ．
Z ¼
2
(2) 定積分
f(cos µ) dµ の値を求めよ．
0
（ 福岡大学 2008 ）
3
曲線 C : y = log
x
上の点 (e2 ; 1) における接線を ` とするとき，以下の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．
e
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(2) 次の定積分 I1 ; I2 の値を求めよ．
I1 =
Z
e
1
log x dx;
I2 =
Z
e
1
(log x)2 dx
(3) 曲線 C，接線 ` および x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ．
（ 三重大学 2008 ）
4
05x5
¼
において，曲線 y = cos x と x 軸および y 軸で囲まれた図形を D とする．
2
(1) D を x 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V1 を求めよ．
Z
Z
(2) 不定積分
x cos x dx と
x2 sin x dx を求めよ．
(3) D を y 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V2 を求めよ．
（ 東京海洋大学 2011 ）
5
¡
曲線 C : y = e
1
2
x2
について以下の問いに答えなさい．
1 2
(1) 曲線 C 上の点 P(t; e¡ 2 t ) における接線の方程式を求めなさい．
(2) (1) の接線と x 軸，y 軸および直線 x = t で囲まれる台形の面積を S(t) とする．t > 0 の範囲で t が動くとき，S(t) の最大値を与え
る t とその最大値を求めなさい．
（ 長岡技術科学大学 2010 ）