1
次の問いに答えよ．
p
p
(1) 関数 f(u) = log( u ¡ 1) ¡ log( u + 1) の導関数 f0 (u) を求めよ．
B
B
(2) 関数 F(x) = log( e2x + 1 ¡ 1) ¡ log( e2x + 1 + 1) の導関数 F0 (x) を求めよ．
Z C
C
e2x
1
(3) 等式 e2x + 1 = B
+ B
を用いて，不定積分
e2x + 1 dx を求めよ．
2x
2x
e +1
e +1
1
1
x
log 24; の長さを求めよ．
(4) 曲線 y = e # log 8 5 x 5
2
2
（ 同志社大学 2016 ）
2
a を正の定数とし，2 曲線 C1 : y = log x，C2 : y = ax2 が点 P で接しているとする．以下の問に答えよ．
(1) P の座標と a の値を求めよ．
(2) 2 曲線 C1 ，C2 と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
（ 神戸大学 2016 ）
3
2 つの曲線 y = x + 2 cos x #
3
¼
3
¼
5x5
¼; と y = x ¡ 2 cos x #
5x5
¼; をつないでできる曲線を C とする．
2
2
2
2
(1) 曲線 C の概形を図示しなさい．
(2) k を実数とする．曲線 C と直線 y = k が異なる 2 点で交わるための k の値の範囲を求めなさい．
(3) 曲線 C で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めなさい．
（ 大分大学 2016 ）
4
関数 f(x) =
x¡1
のグラフを曲線 C とする．
x2 + 1
(1) 関数 f(x) の極値を求めよ．
(2) 曲線 C の変曲点を求めよ．
(3) 曲線 C 上の点 (0; f(0)) における接線を ` とする．曲線 C と接線 ` とで囲まれた図形の面積 S を求めよ．
（ 名古屋工業大学 2016 ）
5
次の問いに答えよ．
(1) 定積分
Z
0
p
3
2
2
B x
dx の値を求めよ．
1 ¡ x2
(2) 3 以上の整数 n に対して，不等式
Z
0
p
3
2
2
¼
p x
dx <
6
1 ¡ xn
が成り立つことを示せ．
（ 富山大学 2016 ）
6
座標平面上の曲線 C : y = ex に対し，次の問に答えよ．
(1) 原点から曲線 C に引いた接線 ` の方程式を求めよ．
(2) 曲線 C と接線 `，および y 軸で囲まれた図形 D を図示せよ．
(3) D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
Z
Z
(4) 部分積分法を用いて，不定積分 I =
log y dy，J = (log y)2 dy を求めよ．
(5) D を y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
（ 香川大学 2016 ）
7
a を定数とし，曲線 y = ex ¡ a(x ¡ 2) を C とする．曲線 C と x 軸が接しているとき，次の問いに答えよ．
(1) 曲線 C と x 軸の接点の x 座標，および定数 a の値を求めよ．
(2) 曲線 C と x 軸および y 軸で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ．
（ 岩手大学 2016 ）
8
関数 f(x) = x ¡ log x (x > 0) について，以下の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) の増減，極値と，曲線 y = f(x) の凹凸を調べよ．
(2) 曲線 y = f(x) 上の点 (e; f(e)) における接線を ` とする．
‘ ` の方程式を求めよ．
’ 曲線 y = f(x)，接線 ` および直線 x = 1 で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3) 曲線 y = f(x)，曲線 y = log x，直線 x = 1 および直線 x = e で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積を求
めよ．
（ 広島市立大学 2016 ）
9
実数 ¯ は ¯ > 1 を満たす定数とする．x > 0 に対し関数 f(x) を f(x) =
log x
で定めるとき，次の問いに答えよ．
x¯
(1) f(x) の増減を調べ，極値を求めよ．
t2
(2) t > 0 ならば
< et であることを用いて， lim f(x) を求めよ．
2
Z x!1
a
(3) a > 1 を満たす実数 a に対して，I(a) =
1
f(x) dx とおくとき，I(a) を求めよ．
(4) 極限値 lim I(a) を求めよ．
a!1
（ 鳥取大学 2016 ）
10 関数 f(x) = (log x)2 ¡ log x (x > 0) を考える．次の各問いに答えよ．
(1) f(x) = 0 を満たす x をすべて求めよ．
(2) 導関数 f0 (x) および 2 次導関数 f00 (x) をそれぞれ求めよ．また関数 y = f(x) のグラフの概形を描け．ただし関数 y = f(x) の増
減，凹凸，極限 lim f(x)， lim f(x) を明示すること．
x!0
x!1
(3) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
（ 鹿児島大学 2016 ）

生徒会だより第31号

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