年 番号
1
氏名
（ 山口大学 2016 ）
n を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) ®; ¯ を実数とし，
f(x) =
¯
®
¡
x¡®
x¡¯
とする．f(x) の第 n 次導関数 f(n) (x) について，次の等式
が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．
n
f(n) (x) = (¡1) n! U
¯
®
n+1 ¡
n+1 m
(x ¡ ®)
(x ¡ ¯)
(2) b; c を b2 > 4c を満たす実数とし，
h(x) =
x
x2 ¡ bx + c
とする．また，h(x) の第 n 次導関数 h(n) (x) に対し ，an =
cn h(n) (0)
とおく．
n!
‘ 2 次方程式 x2 ¡ bx + c = 0 の解を ®; ¯ とする．an を
®; ¯; n を用いて表しなさい．
’ an+2 ¡ ban+1 + can = 0 が成り立つことを示しなさい．
2
B
a; b を実数とする．f(x) = 2 1 + x2 ¡ ax2 とし ，x につ
いての方程式 f(x) = b を考える．次の問いに答えよ．
(1) a > 0 のとき，関数 f(x) の最大値を求めよ．
(2) 方程式 f(x) = b の異なる実数解の個数が最も多くなるとき
の点 (a; b) の範囲を図示せよ．
（ 金沢大学 2016 ）
3
a を 0 < a < 1 を満たす実数とし て x の関数 f(x) =
5
ax ¡ log(1 + ex ) の最大値を M(a) とするとき，次の問いに
(1) 関数 y =
次の問いに答えよ．
2x + 5
(0 5 x 5 2) の逆関数を求めよ．また，
x+2
その定義域を求めよ．
答えよ．ただし必要があれば
(2) 次の関数の導関数を求めよ．
lim x log x = 0
x!+0
x
e2
y= p
sin x
が成り立つことを用いてよい．
(1) M(a) を a を用いて表せ．
(2) a の関数 y = M(a) の最小値とそのときの a の値を求めよ．
(3) a の関数 y = M(a) のグラフをかけ．
（ 新潟大学 2016 ）
(3) 次の不定積分，定積分を求めよ．
Z
cos3 x
dx
‘
sin2 x
Z 1
2
x
dx
’
0
(2x + 1)2
（ 広島市立大学 2016 ）
6
4
a を正の定数とする．2 つの曲線 C1 : y = x log x と
ax2
C2 : y =
の両方に接する直線の本数を求めよ．ただ
(log x)2
し， lim
= 0 は証明なしに用いてよい．
x
x!1
（ 横浜国立大学 2016 ）
曲線 C : x4 ¡ 2xy + y2 = 0 に関して，以下の問いに答えよ．
(1) C 上の点 (x; y) に対して，y を x の式で表し，x の値の取
り得る範囲を求めよ．
(2) C 上の点で，x 座標が最大となる点と，y 座標が最大となる
点をそれぞれ求めよ．
(3) C で囲まれた図形の面積を求めよ．
（ 鳥取大学 2016 ）
7
a < 0，b を実数とする．楕円 C : x2 + 4y2 = 4 と直
8
a を定数とし ，関数 f(x) = (x ¡ a)e
x2
2
で表される曲線
線 ` : y = ax + b が 異なる 2 個の共有点 P(x1 ; y1 )，
y = f(x) を C とする．ただし，e は自然対数の底とする．以
Q(x2 ; y2 ) (x1 < x2 ) を持つとし ，` に平行な直線 m が
下の各問に答えよ．
第 1 象限の点 A において C と接しているとする．次に答えよ．
(1) f(x) の導関数 f0 (x) を求めよ．
(1) b の値の範囲を a を用いて表せ．
(2) f(x) が極値を持たないために a が満たすべき条件を求めよ．
(2) 直線 m の方程式を a を用いて表せ．
(3) 曲線 C 上の点 (t; f(t)) における接線の方程式を求めよ．
(3) x2 ¡ x1 を a; b を用いて表せ．
(4) (3) で求めた接線が原点を通るような t の値を考える．すべ
(4) 三角形 APQ の面積 S を a; b を用いて表せ．
ての実数の中で，そのような t の値が 3 つあるために a が満
(5) b が (1) で求めた範囲を動くとき，(4) で求めた S の最大値
たすべき条件を求めよ．
を求めよ．
（ 茨城大学 2016 ）
（ 九州工業大学 2016 ）
9
次の問いに答えよ．ただし，e は自然対数の底である．
log x
について，極値を調べ，y = f(x) の
x
log x
グラフの概形をかけ．ただし，lim
= 0 を用いてよい．
x
x!1
(2) e¼ > ¼e を示せ．
(1) 関数 f(x) =
(3) e
p
¼
<¼
p
e
を示せ．
（ 島根大学 2016 ）
10 a は実数とし，2 つの曲線
C1 : y = (x ¡ 1)ex ;
C2 : y =
1 2
x +a
2e
がある．ただし，e は自然対数の底である．C1 上の点 (t; (t¡
1)et ) における C1 の接線が C2 に接するとする．
(1) a を t で表せ．
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，およびそのときの t の
値を求めよ．
（ 北海道大学 2015 ）

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