年 番号
1
x2
について，次の各問いに答えよ．
関数 f(x) = cos x ¡ 1 +
2
7
氏名
B
関数 f(x) = x + x 1 ¡ x2 について以下の問いに答えよ．
(1) 導関数 f0 (x) および 2 次導関数 f00 (x) をそれぞれ求めよ．
(1) f0 (x) を求めよ．
(2) x = 0 において f0 (x) = 0 および f(x) = 0 が成り立つことを示せ．
5
(3) f(x) の定積分を利用して sin 1 =
を示せ．
6
(2) y = f(x) のグラフの概形を描け．ただし変曲点は求めなくてよい．
(3) y = f(x) のグラフと直線 y = x で囲まれた部分の面積を求めよ．
（ 東北学院大学 2015 ）
（ 鹿児島大学 2016 ）
2
ax2 + bx + c
1
をとり，
(a Ë 0)（ a; b; c は実数）は，x = ¡2 で極小値
2
x2 + 2
x = 1 で極大値 2 をとる． a + b ¡ c の値を求めよ．
関数 f(x) =
（ 自治医科大学 2016 ）
3
p
1
xy 平面上の第 1 象限内の 2 つの曲線 C1 : y = x (x > 0) と C2 : y =
(x > 0) を考える．
x
次の問いに答えよ．ただし，a は正の実数とする．
8
a を正の定数とし ，2 曲線 C1 : y = log x，C2 : y = ax2 が点 P で接しているとする．以下の
問に答えよ．
(1) P の座標と a の値を求めよ．
(2) 2 曲線 C1 ，C2 と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1) x = a における C1 の接線 L1 の方程式を求めよ．
(2) C2 の接線 L2 が (1) で求めた L1 と直交するとき，接線 L2 の方程式を求めよ．
（ 神戸大学 2016 ）
(3) (2) で求めた L2 が x 軸，y 軸と交わる点をそれぞれ A，B とする．折れ線 AOB の長さ l を a
の関数として求め，l の最小値を求めよ．ここで，O は原点である．
（ 鳥取大学 2015 ）
4
16
定積分
¼
Z
1
x
0
2
C
9
1 ¡ x dx の値を求めよ．
5
関数 f(t) =
0
¼
2
(x ¡ t cos x)2 dx は，t = a（ a は正の実数）で最小値をとるものとする．a
（ 自治医科大学 2015 ）
6
Z
0
¼
2
(2) 曲線 C の変曲点を求めよ．
(3) 曲線 C 上の点 (0; f(0)) における接線を ` とする．曲線 C と接線 ` とで囲まれた図形の面積
S を求めよ．
を超えない最大の整数の値を求めよ．
35
定積分
2
x¡1
のグラフを曲線 C とする．
x2 + 1
(1) 関数 f(x) の極値を求めよ．
（ 自治医科大学 2016 ）
Z
関数 f(x) =
2
sin7 x dx の値を求めよ．
（ 自治医科大学 2015 ）
（ 名古屋工業大学 2016 ）
B
10 ¡a < x < a で定義された曲線 C : y = x a2 ¡ x2 がある．ただし a は正の定数とする．以下
の問いに答えよ．
(1) y の増減を調べ，曲線 C の概形をかけ．
1
(2) 曲線 C と直線 L : y = p x が 3 つの共有点を持つような定数 a の値の範囲を求めよ．またそ
3
のときの共有点の x 座標をすべて求めよ．
(3) 3 つの共有点のうち，x 座標の値が最も大きい点を P とする．点 P における曲線 C の接線と，
直線 L および y 軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数 a の値を求め，その正三角形
の面積を求めよ．
（ 山形大学 2014 ）

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