§2. コンパクト性
定義
位相空間 X の開集合からなる族 {Uα }α∈A が、X の開
被覆であるとは
X=
∪
Uα
α∈A
となることである。
補題
コンパクト集合 B の閉集合 A はコンパクト集合。
補題
ハウスドルフ空間の中のコンパクト集合は閉集合。
X : 位相空間 とする。A1 , A2 , · · · · Ak ⊂ X がともにコ
k
∪
ンパクトならば、
Ai もコンパクトになる。
補題
i=1
定理
X, Y を位相空間とし、f : X → Y を連続写像とする。
このとき、A がコンパクトならば、f による像 f (A) もコンパ
クトになる。