Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math. Carlos Hauser WS 2016/17 6.2.2017 Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik 14. Übungsblatt Abgabe bis Montag, 13.2.2017, 11:00 Uhr Aufgabe 53 (K) (a) Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Wert. R∞ 1 (i) 2 x(log(x)) 2 dx, R∞ (ii) 0 esx cos(tx)dx, wobei s < 0 und t ∈ R. (b) Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren oder divergieren. R∞ R1 (i) 0 e−x log(1 + x)dx, (ii) 0 (log(x))2 dx, R∞√ R ∞ x√ x (iii) 0 x cos(x2 )dx, (iv) 1 (2x+1) 2 dx. Aufgabe 54 (a) Es sei x > 0. Zeigen Sie, dass die uneigentlichen Integrale Z ∞ Z 1 −t x−1 e−t tx−1 dt e t dt und 0 1 konvergieren und dass somit die Funktion Γ : (0, ∞) → R Z ∞ Γ(x) := e−t tx−1 dt 0 wohldefiniert ist. (b) Zeigen Sie, dass für alle x > 0 Γ(x + 1) = xΓ(x) gilt, und folgern Sie Γ(n + 1) = n! für alle n ∈ N0 . HM I –14 6.2.2017 — bitte wenden — Aufgabe 55 (K) (a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag der nachfolgend aufgeführten komplexen Zahlen. Bestimmen Sie bei (iv) zudem das Argument der angegebenen Zahl. (i) (iii) 3+3i , 1+(3−i)2 19 P (2i)k , (ii) (1 − 2i)3 , (iv) (1 − i)20 . k=0 (b) Bestimmen Sie für die folgenden Gleichungen alle komplexen Lösungen z. (i) z 3 − z 2 + 4z − 4 = 0, (ii) exp(z) = 2 + 2i. Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis cos(− π4 ) = √1 2 und sin(− π4 ) = − √12 benutzen. Aufgabe 56 (a) Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene (mit Begründung!). (i) {z ∈ C : 1 < Re(iz) < 3}, (ii) {z ∈ C : |z − i| ≥ 1 und |z − 1 − 2i| < 3}, (iii) {z ∈ C : Re(z 2 ) < 1}. P (b) Es seien n ∈ N und p(z) = nj=0 aj z j ein Polynom mit aj ∈ R für alle j ∈ {0, . . . , n} und an 6= 0. Zeigen Sie: Ist z ∈ C eine Nullstelle von p, so ist auch z̄ eine Nullstelle von p. HM I –14 6.2.2017 http://www.math.kit.edu/iana2/lehre/hm1info2016w/de
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