Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik

Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Institut für Analysis
Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog
Dipl.-Math. Carlos Hauser
WS 2016/17
6.2.2017
Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik
14. Übungsblatt
Abgabe bis Montag, 13.2.2017, 11:00 Uhr
Aufgabe 53 (K)
(a) Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz und bestimmen
Sie gegebenenfalls den Wert.
R∞
1
(i) 2 x(log(x))
2 dx,
R∞
(ii) 0 esx cos(tx)dx, wobei s < 0 und t ∈ R.
(b) Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren oder divergieren.
R∞
R1
(i) 0 e−x log(1 + x)dx,
(ii) 0 (log(x))2 dx,
R∞√
R ∞ x√ x
(iii) 0
x cos(x2 )dx,
(iv) 1 (2x+1)
2 dx.
Aufgabe 54
(a) Es sei x > 0. Zeigen Sie, dass die uneigentlichen Integrale
Z ∞
Z 1
−t x−1
e−t tx−1 dt
e t dt und
0
1
konvergieren und dass somit die Funktion Γ : (0, ∞) → R
Z ∞
Γ(x) :=
e−t tx−1 dt
0
wohldefiniert ist.
(b) Zeigen Sie, dass für alle x > 0
Γ(x + 1) = xΓ(x)
gilt, und folgern Sie
Γ(n + 1) = n! für alle n ∈ N0 .
HM I –14
6.2.2017
— bitte wenden —
Aufgabe 55 (K)
(a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag der nachfolgend aufgeführten komplexen Zahlen. Bestimmen Sie bei (iv) zudem das Argument der angegebenen Zahl.
(i)
(iii)
3+3i
,
1+(3−i)2
19
P
(2i)k ,
(ii) (1 − 2i)3 ,
(iv) (1 − i)20 .
k=0
(b) Bestimmen Sie für die folgenden Gleichungen alle komplexen Lösungen z.
(i) z 3 − z 2 + 4z − 4 = 0,
(ii) exp(z) = 2 + 2i.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis cos(− π4 ) =
√1
2
und sin(− π4 ) = − √12 benutzen.
Aufgabe 56
(a) Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene (mit Begründung!).
(i) {z ∈ C : 1 < Re(iz) < 3},
(ii) {z ∈ C : |z − i| ≥ 1 und |z − 1 − 2i| < 3},
(iii) {z ∈ C : Re(z 2 ) < 1}.
P
(b) Es seien n ∈ N und p(z) = nj=0 aj z j ein Polynom mit aj ∈ R für alle j ∈ {0, . . . , n}
und an 6= 0.
Zeigen Sie: Ist z ∈ C eine Nullstelle von p, so ist auch z̄ eine Nullstelle von p.
HM I –14
6.2.2017
http://www.math.kit.edu/iana2/lehre/hm1info2016w/de

Download Report