Dr. M. Herrich
Institut für Numerische Mathematik
WS 2016/17
12. Modulbegleitende Aufgabe zur Vorlesung Numerische Mathematik
– Aufgaben zur Klausurvorbereitung –
Teil 2: Lineare Gleichungssysteme, Lineare Ausgleichsrechnung, Nichtlineare Gleichungen und
Gleichungssysteme
Die nachfolgenden Aufgaben sollen als Kontrolle für Sie dienen, damit Sie sehen, inwiefern Sie den
Stoff zu linearen Gleichungssystemen, zur linearen Ausgleichsrechnung und zu nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen verstanden haben und wo eventuell noch Nachholebedarf besteht.
Sie können diese Aufgaben bearbeiten und bis einschließlich Montag, den 30. Januar 2017, abgeben.
Sie werden dann korrigiert und voraussichtlich in der Vorlesung am 1. Februar 2017 zurückgegeben.
Nutzen Sie für die Abgabe Ihrer Lösungen bitte den untersten Briefkasten (beschriftet mit „Lehramt Numerik“) im 2. Obergeschoss des C-Flügels im Willersbau. Gern können Sie auch in Gruppen
arbeiten und gemeinsam eine Arbeit abgeben.
Etwas zeitversetzt werden auch Lösungen zu den Aufgaben ins Internet gestellt.
Aufgabe 1: Matrixfaktorisierungen, lineare Gleichungssysteme
Gegeben sei die Matrix


1 −2 −1
4
 −2
5
1 −7 
.
A := 
 −1
1
4 −7 
4 −7 −7
5
(a) Bestimmen Sie die LU-Faktorisierung und die LDL⊤ -Faktorisierung der Matrix A. Untersuchen
Sie mit Hilfe dieser Faktorisierungen, ob die Matrix A positiv definit ist.
(b) Berechnen Sie die Determinante von A.
(c) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b für b := (7, −16, −3, 10)⊤ .
Aufgabe 2: Lineare Ausgleichsrechnung
(Die Aufgabe wurde der Klausur „Numerische Mathematik“ vom 15. Februar 2016 (Dozent: PD Dr.
Franz) entnommen.)
Gegeben seien folgende Messwerte.
xk
yk
−1
2
0
−1
1
0
2
7
(a) Gegeben sei die von zwei Parametern a, b ∈ R abhängige Funktion f mit f (x) := a + bx2 .
Ermitteln Sie nach der Fehlerquadratmethode Werte für a und b so, dass
s :=
4
X
(f (xk ) − yk )2
(1)
k=1
möglichst klein ist.
(b) Fertigen Sie eine Skizze an, die die gegebenen Messwerte und den Graphen der Funktion f für
die in Teilaufgabe (a) erhaltenen Werte für a und b enthält.
1
(c) Welchen Wert besitzt der in (1) definierte Ausdruck s für die in Teilaufgabe (a) ermittelten
Werte für a und b?
Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungen (1D)
(Die Aufgabe wurde der Klausur „Elementare Numerik“ vom 19. Juli 2016 (Dozent: PD Dr. Franz)
entnommen.)
Gegeben sei die Funktion
f (x) := x3 − x − 1 + |x3 + 1|.
(a) Wie viele Nullstellen besitzt f im Intervall [−4, 1]? Charakterisieren Sie ihre (ungefähre) Lage.
(b) Führen Sie zwei Schritte des Bisektionsverfahrens zum Startintervall [−4, −1] aus.
(c) Führen Sie das Sekantenverfahren für die Startwerte x0 = −4 und x1 = −1 durch, bis Sie
einen Näherungswert xk erhalten, für den |f (xk )| < 0.1 gilt.
(d) Es soll nun das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung einer Nullstelle von f
genutzt werden.
(d1) Für welche Startwerte x0 ∈ R ist ein Schritt des Newton-Verfahrens durchführbar?
Geben Sie diese explizit an.
(d2) Führen Sie ausgehend vom Startwert x0 = 1 einen Schritt des Newton-Verfahrens aus.
(d3) Bei weiterer Durchführung des Newton-Verfahrens zeigt sich, dass für x3 die ersten drei
Nachkommastellen bereits exakt sind, das heißt, mit den entsprechenden Nachkommastellen der exakten Lösung übereinstimmen. Wie viele exakte Nachkommastellen sind für
x4 zu erwarten, wenn angenommen wird, dass x3 bereits im Bereich der quadratischen
Konvergenz des Newton-Verfahrens liegt?
Hinweis: Gegebenenfalls ist es zur Lösung der einzelnen Teilaufgaben von Vorteil, zunächst den
Betrag aufzulösen und die Funktionsvorschrift in der Form
f1 (x) , falls x ≤ a,
f (x) =
f2 (x) , falls x ≥ a
zu schreiben (mit gewissen differenzierbaren Funktionen f1 und f2 sowie einer gewissen Stelle a).
Aufgabe 4: Nichtlineare Gleichungssysteme (2D)
(Die Aufgabe wurde der Wiederholungsklausur „Numerische Mathematik“ vom 26. Mai 2016 (Dozent:
PD Dr. Franz) entnommen.)
Gegeben sei das Gleichungssystem
x2 − y 2 − 1
0
F (x, y) :=
=
.
(2)
2
2
(x + 1) + y − 4
0
(a) Das System hat genau drei Lösungen. Bestimmen Sie diese.
(b) Untersuchen Sie, für welche Startpunkte ein Schritt des Newton-Verfahrens zur Lösung von
(2) durchführbar ist.
(c) Führen Sie ausgehend vom Startpunkt (x0 , y0 ) := (−1, 1) einen Schritt des Newton-Verfahrens
zur Lösung von (2) aus.
(d) Für welche der drei Lösungen von (2) ist zu erwarten, dass das Newton-Verfahren lokal
quadratisch gegen diese Lösung konvergiert? Begründen Sie Ihre Aussage.
2

Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen - AB 1

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Punktspiegelung ohne Geodreieck - AB 1

AB 1 - von6auf1.de

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