東京大学 大学院新領域創成科学研究科
基盤科学研究系 先端
工学専攻
2016 年 3 月修了 修士論文要旨
電磁流体方程式
元
表現
対称性
関係
Casimir Invariants of Magnetohydrodynamics Equations and Gauge
Symmetries of Clebsch Parameterization
47-146057 種橋 航
（指導教員：吉田 善章）
Key Words: Clebsch parameterization, gauge symmetry, magnetohydrodynamics, Hamiltonian formalism
量
1. 背景
一般
流体方程式
形式
場
[1]。
式化
相互作用
試
変数
形式
形式
呼
解析
葉層構造
保存量
生
表現
考
[3]。
数
場
表現
。
完全
表現
呼
系
。
。
。
自由度
対称性
手
複
αi ∇βi
表現
知
対称性
呼
重要
。
今
自明
。方程式
正準
系
正準化
形式
。
振
舞
非自明
平衡解
生
MHD 方程式:
(1)
−1
J × B,
(2)
(3)
ρ：密度、V ：速度、B ：磁場、ω = ∇ × V ：渦
度、J = ∇ × B：電流、h = h(ρ)：比
場合
規格化
形式
記述
、3
。対称性
∫
非正準
ρd3 x,
(4)
A · Bd3 x,
(5)
V · Bd3 x,
(6)
Ω
C2 =
保存
法線成分
元
∫
∫
例
V ,B
。MHD 方程式
C1 =
考
仮定。）各変数
。境界
表現
調
満
∂t B = ∇ × (V × B).
研究
対称性
理想電磁流体方程式
3.2.
解析
理想電磁流体 (MHD) 方程式
系
系
∂t V = −ω × V − ∇(h + V /2) + ρ
翻訳
元
書
。
表現
保存量
系
元
場合
変化
。予想
起因
。本研究
、非正準
。
持
対称性
。
2
元
浮
括弧 反対
選
重要 保存量
単位
疑問
時間発展
。J
∂t ρ = −∇ · (ρV ),
2. 目的
、
呼
。
表現
{F, G} =
場合 非正準 系、
存在
表現
見
作用素、
物理量 M
定
保存量 、J ∂u C = 0
元C
= J ∂u H
括弧
自由度
、
集中的
。
計算
退化
出
十分大
変数
求
。
du
dt
時間発展
律 満
生
任意性
変換
= {M, H}
J
複雑化
ν
明
u：状態変数、J ：
。
称性、
場U
i=1
具体形
理想電磁流体方程式
系
H：
∫
∂ F · J ∂u Gd3 x
Ω u
出
避
∑ν
範疇
変換
形式
。
V
定
形式
dM
dt
、
表現
一意
系
表現
表現
3.1.
正準化
U = ∇ϕ +
用
生
。
表現
方法
冗長
平衡解
意味
段
束縛
非正準性
難
表現
記述
自由
出
非自明
。
、退化
。
変換全体
3.
流体方程式
退化
束縛
保存量
定
[2]。非正準
記述
的
元
重要
用
作用素
相空間
元
電磁
変数
。
最終的
変換
完全
場
非正準
度
変数
、
流体
表現
。
変数
記述
表現
関係
Ω
C3 =
Ω
A
持 。
v = V + ∇ϕ0 , A = σi ∇ϕi
。
δV , δB
表現
3.3.
表現
表現
複数
U = ∇ϕ +
ν
∑
αi ∇βi
(7)
i=1
ν = n−1
数ν
変数
独立
以降 ν = 3
。
。MHD
方法
境界条件
。
0
I
変換
(8)
,
−I
0
−I
0
)
∫ (
1
1
H=
ρV (u)2 + ρE + B(u)2 d3 x.
2
2
Ω
V (u) = −∇ϕ0 − σi ∇αi − γi ∇ϕi ,
0
I
B(u) = ∇σi × ∇ϕi ,
σi =
用
：
−1
0
0
1
J =
ε(t, x)
分
分
変化
。
換全体
見
変換 計算
変換
時
(10)
(11)
成立
δH =
(14)、(15)
ϵJ ∂u C
非正準
計算
置
変換
系
(20)
u
δu
下
(20)、(21)
(21)
与
偏微分方程式
f1 , f2
任意
。
含 線形代数方程式
−δσi ∇αi + δαi ∇σi − δγi ∇ϕi − δϕi ∇γi = ∇f1 , (22)
δϕ0 + σi δαi + γi δϕi = f1 ,
(23)
δσi ∇ϕi − δϕi ∇σi = ∇f2 ,
(24)
。(22)-(24)
発見
u
自由度
。∇σi , ∇αi , ∇γi , ∇ϕi
依存
選
解
各点
一次独立
(22)-(24)
(14)
求
解
。
δH
下
6.
δu · ∂u Hd3 x,
微小定数 ϵ
見比
。u → u + δu
。(20)、(21)
∫
∫
変
以降 ν = 2
。
与
微小変数変換 u → u + δu
。
変
δB =∇δσi × ∇ϕi + ∇σi × ∇δϕi ,
(13)
J ∂u C · ∂u Hd3 x = 0,
対応
− δγi ∇ϕi − γi ∇δϕi = 0,
3
dC
= {C, H} = −
dt
作用積
δV = − ∇δϕ0 − δσi ∇αi − σi ∇δαi
変換
対
変換
。
変形
保存量 C
(19)
保存量
直接
I ：三次単位行列、E = E(ρ)：比内部
4. 保存量 対応
変換
。
保存量
換
(9)
(12)
βi
µi
, γi = ,
ρ
ρ
拡張
δu = ε(t, x)∂u C2
課
u = (ρ, ϕ0 , µi , αi , βi , ϕi )T ,
ϵ
対
、縮約規則
正準化
。
変換
表現、ν = n
完全
下
。
変換
5. 一般
(17)
。空間 次元 n = 3
表現
0
計算
。
H
元
(15)
変化
示
。
対
C1 → δϕ0 = ϵ.
δϕ0 = −2ϵρ−1 A · B,
δαi = 2ϵρ−1 ∇ϕi · B,
C2 →
δβ = 2ϵ∇ µi · B,
i
ρ
−1
δϕ0 = −ϵρ (v · B + A · ω),
δα = ϵρ−1 (∇ϕ · ω − ∇α · B),
i
i
i
δµi = −ϵ∇ µρi · B,
C3 →
δϕi = −ϵρ−1 ∇ϕi · B,
δβi = ϵ(∇ µρi · ω − ∇ βρi · B),
換
(16)
(17)
(18)
、
必
δu
：
元
対称性
δu =
用
保存量
非正準 MHD 系
発見
合
変換
保存量
求
起因
u
保存量
具体形
導
翻訳
計算
。
発見
偏微分方程式
、各点
表現
代数方程式
変数
変換
。
変
帰着
縮退
変換 一般形
計算
場
。
参考文献
[1] Frieman, E., Rotenberg, M., 1960, Rev. Mod.
Phys. 32, 898.
[2] Morrison, P. J., Greene, J. M., 1980, Phys. Rev.
Lett. 45, 790.
[3] Lin, C. C., 1963, Hydrodynamics of helium II.
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