1
2
n を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．
f(x) = b を考える．次の問いに答えよ．
(1) ®; ¯ を実数とし，
f(x) =
B
a; b を実数とする．f(x) = 2 1 + x2 ¡ ax2 とし ，x についての方程式
(1) a > 0 のとき，関数 f(x) の最大値を求めよ．
¯
®
¡
x¡®
x¡¯
(2) 方程式 f(x) = b の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (a; b) の
範囲を図示せよ．
とする．f(x) の第 n 次導関数 f(n) (x) について，次の等式が成り立つこと
を，数学的帰納法によって証明しなさい．
n
f(n) (x) = (¡1) n! U
(2) b; c を
b2
（ 金沢大学 2016 ）
¯
®
n+1 ¡
n+1 m
(x ¡ ®)
(x ¡ ¯)
3
a を 0 < a < 1 を満たす実数として x の関数 f(x) = ax ¡ log(1 + ex ) の
最大値を M(a) とするとき，次の問いに答えよ．ただし必要があれば
> 4c を満たす実数とし，
lim x log x = 0
x!+0
x
h(x) = 2
x ¡ bx + c
が成り立つことを用いてよい．
とする．また，h(x) の第 n 次導関数 h(n) (x) に対し，an =
cn h(n) (0)
n!
と
おく．
(1) M(a) を a を用いて表せ．
(2) a の関数 y = M(a) の最小値とそのときの a の値を求めよ．
‘ 2 次方程式 x2 ¡ bx + c = 0 の解を ®; ¯ とする．an を ®; ¯; n を用い
(3) a の関数 y = M(a) のグラフをかけ．
て表しなさい．
（ 新潟大学 2016 ）
’ an+2 ¡ ban+1 + can = 0 が成り立つことを示しなさい．
（ 山口大学 2016 ）
4
a を正の定数とする．2 つの曲線 C1 : y = x log x と C2 : y = ax2 の両方
に接する直線の本数を求めよ．ただし， lim
x!1
(log x)2
= 0 は証明なしに用
x
いてよい．
（ 横浜国立大学 2016 ）
5
曲線 C : x4 ¡ 2xy + y2 = 0 に関して，以下の問いに答えよ．
(1) C 上の点 (x; y) に対して，y を x の式で表し，x の値の取り得る範囲を求
めよ．
(2) C 上の点で，x 座標が最大となる点と，y 座標が最大となる点をそれぞれ
求めよ．
(3) C で囲まれた図形の面積を求めよ．
（ 鳥取大学 2016 ）
6
a を定数とし，関数 f(x) = (x ¡ a)e
x2
2
で表される曲線 y = f(x) を C と
する．ただし，e は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1) f(x) の導関数 f0 (x) を求めよ．
(2) f(x) が極値を持たないために a が満たすべき条件を求めよ．
(3) 曲線 C 上の点 (t; f(t)) における接線の方程式を求めよ．
(4) (3) で求めた接線が原点を通るような t の値を考える．すべての実数の中
で，そのような t の値が 3 つあるために a が満たすべき条件を求めよ．
（ 茨城大学 2016 ）
7
次の問いに答えよ．ただし，e は自然対数の底である．
log x
について，極値を調べ，y = f(x) のグラフの概形を
x
log x
かけ．ただし， lim
= 0 を用いてよい．
x
x!1
(2) e¼ > ¼e を示せ．
(1) 関数 f(x) =
(3) e
p
¼
<¼
p
e
を示せ．
（ 島根大学 2016 ）

PDF:217KB

生徒会だより第31号