OA ¢ ¡! OB = ¡1

1
空間に，同一直線上にない 3 点 O，A，B があり，条件
¡!
jOAj = 2;
¡!
jOBj = 1
¡! ¡!
OA ¢ OB = ¡1
を満たしている．O，A，B を通る平面を ® とし，® 上にない点 P を次の条件を満たすようにとる．
¡! ¡!
OP ¢ OA = 2;
¡! ¡!
OP ¢ OB = ¡1
点 P から平面 ® に下ろした垂線と ® との交点を H とすると
ア
¡!
OH =
イ
¡!
OA ¡
ウ
エ
¡!
OB
¡!
となる．jOPj = p とおくと，4OPH の面積は
オ
D
キ
カ
p2 ¡
ク
と表される．
4OAB の面積が 4OPH の面積の 2 倍に等しいとき
ケコ
p2 =
サシ
¡!
5 ¡!
である．またこのとき，PQ =
PO を満たす点 Q をとると，四面体 QOAH の体積は
3
C
ス
セソ
である．
（獨協医科大学 2014 ）
2
05t5
¼
とする．時刻 t における座標平面上の点 P(x; y) の位置が x = sin t，y = sin 2t で与えられ
2
ている．
(1) 原点 O(0; 0) から点 P が最も遠方にあるとき，2 点 O，P 間の距離は
¡
! ¡
!
速度 v は v =
である．
(2) 点 P の軌跡を y = f(x) と表すと，f(x) =
であり，そのときの点 P の
である．ただし x の範囲は
(3) (2) で求めた軌跡と x 軸とで囲まれてできる図形の面積は
である．
である．
（藤田保健衛生大学 2013 ）
3
原点を中心とした半径 1 の円に内接する正三角形 T1 がある．T1 の頂点の 1 つが A(0; 1) であり，T1 の残
りの頂点のうち，x 座標が負の値である方を B とする．また，T1 を原点に関して対称移動したものを T2
とする．
(1) 直線 AB の方程式は，
1
である．
(2) 直線 AB と T2 の辺との交点のうち，x 座標の値が大きい方の座標は (x; y) =
(3) T1 と T2 が重なる部分の面積は
3
2
である．
である．
（藤田保健衛生大学 2015 ）
4
円 O1 ; O2 ; O3 ; Ý があり，すべての n = 1; 2; 3; Ý に対して
‘ On の中心の座標は (xn ; 0) であり，xn > xn+1 である．
’ On と On+1 は外接している．
1
“ On は原点を端点とする 2 本の半直線 y = § p x (x = 0) に接しているとする．
3
このとき
(1) On の半径 rn を xn で表すと rn =
(2) xn を x1 と n で表すと xn =
である．
である．
(3) x1 = 4 とする．O1 から Om までの面積の和を Sm とすると lim Sm =
m!1
である．
（藤田保健衛生大学 2010 ）

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