Dieter Bartmann • Martin J. Beckmann
Lagerhaltung
Modelle und Methoden
M i t 51 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Professor Dr. Dieter Bartmann
Fakultät Sozial- und Wirtschaftswissenschaften
Universität Bamberg
Postfach 15 49
D-8600 Bamberg
Professor Dr. Martin J. Beckmann
Institut für Angewandte Mathematik
u n d Statistik
Technische Universität M ü n c h e n
Arcisstraße 21
D-8000 M ü n c h e n 2
I S B N 3-540-51187-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg N e w York
I S B N 0-387-51187-3 Springer-Verlag N e w York Berlin Heidelberg
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F a s s u n g v o m 24. J u n i 1985 z u l ä s s i g . Sie ist g r u n d s ä t z l i c h v e r g ü t u n g s p f l i c h t i g . Z u w i d e r h a n d l u n g e n unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes
€ Springer-Verlag B e r l i n • H e i d e l b e r g 1989
Printed in GermanyD i e Wiedergabe von G e b r a u c h s n a m e n , H a n d e l s n a m e n , W a r e n b e z e i c h n u n g e n usw. in dies e m Werk berechtigt auch ohne besondere K e n n z e i c h n u n g nicht z u der A n n a h m e , d a ß solche N a m e n i m Sinne der W a r e n z e i c h e n - u n d M a r k e n s c h u t z - G e s e t z g e b u n g als frei zu betrachten w ä r e n u n d daher von j e d e r m a n n benutzt werden d ü r f t e n .
D r u c k : W e i h e r t - D r u c k G m b H , Darmstadt
B i n d e a r b e i t e n : T Gansert G m b H . W e i n h e i m - S u l z b a c h
2142/7130-543210
VORWORT
Die Lagerhaltung
i s t e i n e H a u p t d i s z i p l i n des O p e r a t i o n s
Research.
D i e Beschäftigung m i t P r o b l e m e n d e r o p t i m a l e n Bestandsführung a u f
w i s s e n s c h a f t l i c h e m N i v e a u g e h t b i s i n d i e Anfänge d e s 20. J a h r h u n d e r t s
zurück. D i e v / i c h t i g s t e n I m p u l s e e r f u h r d i e s e D i s z i p l i n a l l e r d i n g s
erst
n a c h dem 2. W e l t k r i e g , a l s s i c h W i s s e n s c h a f t l e r vom Range e i n e s J a k o b
M a r s c h a k , K e n n e t h A r r o w , S. K a r l i n , u.a. m i t d e n P r o b l e m e n d e r o p t i m a len
Bevorratung
b e i zufälliger N a c h f r a g e
für d i e s e D i s z i p l i n ,
befaßten. E s war
kennzeichnend
daß M e t h o d e n z u r Lösung d e r a r t i g e r P r o b l e m e e n t -
w i c k e l t wurden, n o c h ehe d i e z u I h r e r Umsetzung n o t w e n d i g e
kommerzielle
e l e k t r o n i s c h e D a t e n v e r a r b e i t u n g z u r Verfügung s t a n d .
Der
Stellenwert der Lagerhaltung
im Unternehmen änderte s i c h s c h l a g a r -
t i g m i t dem w a c h s e n d e n Z i n s n i v e a u d e r s i e b z i g e r J a h r e . E s war d a s G e b o t
d e r S t u n d e , d a s i n überhöhten Beständen gebundene überflüssige U m l a u f vermögen f r e i z u s e t z e n und d i e so gewonnene Liquidität z u r F i n a n z i e r u n g n e u e r I n v e s t i t i o n e n z u verwenden. E s e n t s t a n d e i n B e d a r f
für
intelli-
g e n t e Problemlösungen. L e i d e r g i n g e n b e r e i t s d e r z e i t d i e F a c h l e u t e d e s
Operations Research
und d i e E n t w i c k l e r v o n AnwendungsLösungen i n den
Softwarehäusern g e t r e n n t e Wege. So wurde d i e Chance, im Zusammenwirken
von T h e o r i e , P r o b l e m k e n n t n i s
und E r f a h r u n g s w i s s e n d i e b e s t e n Lösungen
zu f i n d e n , n i c h t optimal genutzt.
H e u t e s t e h e n w i r v o r d e r E n t w i c k l u n g und R e a l i s i e r u n g a n s p r u c h s v o l l e r
C I M - K o n z e p t e und e s i s t d r i n g e n d g e b o t e n ,
Das
v o r l i e g e n d e Buch s o l l
gestellt,
d i e Weichen neu z u s t e l l e n .
dazu e i n e n B e i t r a g
l e i s t e n . Darin wird dar-
wie L a g e r h a l t u n g nach den h e u t i g e n E r k e n n t n i s s e n m i t H i l f e
v o n OR r a t i o n a l g e s t a l t e t w e r d e n k a n n . Selbstverständlich i s t e i n e
komplette Behandlung des umfangreichen
S t o f f e s n i c h t möglich und a u c h
n i c h t b e a b s i c h t i g t . Der S t o f f beschränkt s i c h a u f S t a n d a r d m o d e l l e
wichtige Erweiterungen.
Besonderer
Wert w i r d a u f d a s M e t h o d i s c h e
l e g t . Zum e i n e n w i r d dem L e s e r v e r m i t t e l t , w i e d i e M o d e l l e
und
ge-
geeignet
f o r m u l i e r t und a u f s p e z i e l l e P r o b l e m s t e l l u n g e n h i n e r w e i t e r t bzw. m o d i fiziert
werden. Zum a n d e r e n w e r d e n d i e benötigten m a t h e m a t i s c h e n Ab-
VI
l e i t u n g e n vollständig und verständlich b e s c h r i e b e n , so daß d e r L e s e r
insgesamt i n d i e Lage v e r s e t z t w i r d , e i n i n diesem Buch n i c h t
behandel-
t e s M o d e l l m i t H i l f e d e r e r l e r n t e n Methoden selbständig z u b e a r b e i t e n .
E i n e n e i g e n e n Schwerpunkt
b i l d e n d i e für k o m p l i z i e r t e Fälle d e r z u f a l l -
abhängigen N a c h f r a g e n o t w e n d i g e n n u m e r i s c h e n Lösungsverfahren. A u c h
h i e r w e r d e n d i e w i c h t i g s t e n A l g o r i t h m e n so ausführlich h e r g e l e i t e t , daß
d i e a u f s p e z i e l l e S i t u a t i o n e n n o t w e n d i g e n Z u s c h n i t t e gemacht w e r d e n
können.
So wendet s i c h d a s B u c h sowohl a n W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t l e r a l s a u c h
an W i r t s c h a f t s i n f o r m a t i k e r , d i e i n anwendenden Unternehmen, S o f t w a r e häusern o d e r b e i D V - H e r s t e l l e r n moderne DV-Systeme z u r L a g e r h a l t u n g
entwickeln.
B e i d e r A b f a s s u n g d e s B u c h e s wurden d i e A u t o r e n tatkräftig unterstützt.
Die beiden Diplommathematikerinnen
I n g r i d R i e d l b e c k und Susanna
S p i e l v o g e l h a b e n i n großer G e d u l d d i e m a t h e m a t i s c h e n
H e r l e i t u n g e n nach-
g e r e c h n e t und w e r t v o l l e D e t a i l k r i t i k geübt. H e r r D i p l . - M a t h . R o b e r t
H a c k l h a t d e n g e s a m t e n T e x t k o r r e k t u r g e l e s e n und d i e R e i n z e i c h n u n g e n
erstellt.
F r a u K a r o l a T r e i b e r und F r a u B e r n a r d a Schwarzwälder t r u g e n
d u r c h i h r e sorgfältige und g e d u l d i g e A n f e r t i g u n g d e r D r u c k v o r l a g e n
e n t s c h e i d e n d d a z u b e i , daß d a s B u c h kostengünstig e r s t e l l t
werden
k o n n t e . I h n e n a l l e n gebührt dafür u n s e r h e r z l i c h e r Dank.
München/Regensburg, J a n u a r 1989
D i e t e r Bartmann
M a r t i n Beckmann
ÜBERSICHT
Das
B u c h i s t i n s e c h s K a p i t e l g e g l i e d e r t . Das e r s t e befaßt s i c h m i t
L a g e r h a l t u n g b e i d e t e r m i n i s t i s c h e r Nachfrage.
D i e K a p i t e l z w e i b i s fünf
h a n d e l n v o n zufallsabhängigen L a g e r h a l t u n g s m o d e l l e n . Das s e c h s t e K a p i tel
i s t den R e c h e n v e r f a h r e n
gewidmet.
Im e r s t e n K a p i t e l w i r d , d e r h i s t o r i s c h e n L i n i e f o l g e n d , n a c h e i n e r
kurzen Einleitung
(bzw.
(§1) i n §2 zunächst d a s Losgrößenmodel1 v o n WILSON
HARRIS, bzw. ANDLER) v o r g e s t e l l t . Obwohl d i e M o d e l l v o r a u s s e t z u n -
gen v o n a l l e r e i n f a c h s t e r A r t s i n d , e r w e i s t s i c h d i e d a r a u s
Formel
abgeleitete
d e r o p t i m a l e n Losgröße a l s s e h r r o b u s t h i n s i c h t l i c h p r a x i s g e -
rechter Verallgemeinerungen,
i n s b e s o n d e r e b e i m Übergang v o n d e r k o n -
s t a n t e n Nachfragerate z u r Poisson Nachfrage
( w i e s i c h im z w e i t e n
Kapitel zeigen wird).
In
§3 w e r d e n K o s t e n u n d Sensitivität u n t e r s u c h t . E s s t e l l t
daß d i e K o s t e n b e i o p t i m a l e m
Mit
sich
heraus,
Bestellverhalten Skaleneffekte besitzen.
zunehmendem U m s a t z w e r d e n d i e Stückkosten d e r L a g e r h a l t u n g
gerin-
g e r . B e i d e r D e z e n t r a l i s i e r u n g d e r Läger g e h t d e r E f f e k t zunehmender
Skalenerträge a b e r
t e i l w e i s e wieder v e r l o r e n . D i e entsprechende
Formel
w i r d h e r g e l e i t e t . M i t d e r Sensitivitätsanalyse w e r d e n d i e F r a g e n
unter-
s u c h t , w e l c h e A u s w i r k u n g e n a u f d i e G e s a m t k o s t e n z u e r w a r t e n s i n d , wenn
e r s t e n s d i e N a c h f r a g e r a t e f a l s c h eingeschätzt w i r d o d e r d i e E i n z e l k o s t e n m i t F e h l e r n b e h a f t e t s i n d , wenn man z w e i t e n s d i e o p t i m a l e
menge wegen s p e z i e l l e r V e r p a c k u n g s e i n h e i t e n o d e r
Bestell-
Transportgegebenheiten
n i c h t r e a l i s i e r t e n k a n n , o d e r wenn d r i t t e n s a u s Unternehmensinternen
o r g a n i s a t o r i s c h e n Gründen ( o d e r vom L i e f e r a n t e n v o r g e s c h r i e b e n , w i e d a s
z.T.
b e i pharmazeutischen P r o d u k t e n d e r F a l l
i s t ) e i n e besondere P e r i o -
denlänge z w i s c h e n d e n B e s t e l l u n g e n gewünscht w i r d .
D i e nächsten b e i d e n A b s c h n i t t e , §4 und §5, s i n d d e n Sortimentslägern
gewidmet. §4 l i e f e r t
d i e t h e o r e t i s c h e R e c h t f e r t i g u n g für d i e K l a s s e n -
e i n t e i l u n g n a c h d e r A B C - A n a l y s e anhand d e s U m s a t z v o l u m e n s , gemessen a n
den E i n k a u f s p r e i s e n . §5 befaßt s i c h m i t d e r F r a g e d e r S o r t i m e n t s b e r e i n i g u n g . Wie h o c h muß d i e k r i t i s c h e N a c h f r a g e r a t e s e i n , ab d e r e s s i c h
überhaupt l o h n t , e i n e n A r t i k e l
im S o r t i m e n t z u h a l t e n ?
VIII
Um F e h l e n t s c h e i d u n g e n z u v e r m e i d e n ,
i s t es w i c h t i g , d i e N a c h f r a g e
mög-
l i c h s t g u t z u schätzen. L e i d e r s t e h e n d i e A b s a t z z a h l e n i n n i c h t a g g r e g i e r t e r Form, a l s o k e i n e M o n a t s - , Q u a r t a l s - o d e r J a h r e s a b s a t z z a h l e n ,
s e l t e n z u r Verfügung. I n §6 w i r d d e s h a l b g e z e i g t , w i e man a u s d e n
B e s t e l l d a t e n d i e N a c h f r a g e r a t e gewinnen kann.
Wie ändert s i c h d i e o p t i m a l e L a g e r h a i t u n g s p o l i t i k , wenn d a s L a g e r v o n
e i n e r Firma b e t r i e b e n w i r d , deren Z i e l Gewinnmaximierung s t a t t
minimierung
die
ist?
Kosten-
I n d i e s e m Zusammenhang t r i t t a u c h d i e F r a g e a u f , w i e
Lagerbestände e i n e r s o l c h e n F i r m a z u b e w e r t e n
sind. Diese
Fragen
w e r d e n i n d e n A b s c h n i t t e n 7 und 8 u n t e r s u c h t .
E i n e M o d i f i k a t i o n des S t a n d a r d m o d e l l s
r a b a t t notwendig.
i s t b e i d e r Gewährung v o n Mengen-
I n §9 werden d i e z w e i Fälle d i s k u t i e r t : a ) d e r Men-
g e n r a b a t t w i r d n u r a u f e i n e d i e R a b a t t s c h w e l l e überschreitende Menge
gewährt; b) e r w i r d b e i U b e r s c h r e i t e n d e r R a b a t t s c h w e l l e a u f d i e gesamte B e s t e l l m e n g e eingeräumt.
In
§10 w i r d e i n K r i t e r i u m z u r E n t s c h e i d u n g d e r F r a g e h e r g e l e i t e t ,
eine Sammelbestellung
gegenüber e i n e r E i n z e l b e s t e l l u n g
wann
vorteilhafter
ist.
War b i s h e r s t e t s v o n H a n d e l s l a g e r n oder R o h m a t e r i a l lägern d i e Rede, so
w e r d e n i n §11 Produktionsläger bzw. F e r t i g w a r e n l a g e r b e i E i g e n p r o d u k t i o n b e t r a c h t e t . Wie groß i s t d i e o p t i m a l e A u f l e g u n g b e i o f f e n e r P r o d u k t i o n , d.h. b e i l a u f e n d e r L a g e r e n t n a h m e m i t k o n s t a n t e r R a t e ?
In
§12 werden d i e K o n s e q u e n z e n v o n L a g e r d e f i z i t e n d i s k u t i e r t .
ternehmen m i t M o n o p o l C h a r a k t e r
B e i Un-
g e h t a u c h b e i Lieferengpässen d i e N a c h -
f r a g e n i c h t v e r l o r e n ( s o g . b a c k o r d e r c a s e ) . I n d e r R e g e l w i r d e s zwar
e t w a s k o s t e n , wenn L a g e r d e f i z i t e a u f t r e t e n , w e i l dann a u c h d i e Gewinne
später a l s möglich r e a l i s i e r t werden. F a l l s d i e s e K o s t e n a b e r n i c h t z u
h o c h s i n d , können s i c h L a g e r f e h 1 m e n g e n d u r c h a u s
s t e l l z y k l e n und B e s t e l l m e n g e n werden b e r e c h n e t .
lohnen. Optimale Be-
IX
In
§13 w i r d d i e F o r d e r u n g
tigt.
Dies
i s t insbesondere
Versandeinheiten
In
n a c h d e r G a n z z a h l i g k e i t d e r L o s e berücksichb e i k l e i n e n L o s e n und b e i Waren m i t großen
wichtig.
§14 w e r d e n d i e Stellflächen im L a g e r
i n d i e Überlegungen
Im e r s t e n F a l l w i r d für e i n Gut e i n e f e s t e Stellfläche
Im z w e i t e n F a l l g i l t
einbezogen.
reserviert.
e s , d i e b e i d e n B e s t e l l z e i t p u n k t e z w e i e r Güter so
g e g e n e i n a n d e r z u v e r s e t z e n , daß d i e maximal benötigte Gesamtstellfläche
möglichst g e r i n g i s t . Neben Raumbeschränkungen können a u c h B u d g e t b e schränkungen w i r k s a m w e r d e n . I n §15 w i r d d i e F r a g e u n t e r s u c h t ,
Einfluß Raum- o d e r K a p i t a l k n a p p h e i t a u f d i e o p t i m a l e n
welchen
Bestellmengen
ausübt.
§16 befaßt s i c h m i t d e r S i t u a t i o n z e i t l i c h schwankender
wobei d i e N a c h f r a g e r a t e
der w e i t e r e n Zukunft
i n d e n nächsten P e r i o d e n genau b e k a n n t u n d i n
u n b e k a n n t i s t . D i e Losgrößenoptimierung
u n t e r d e r Annahme e i n e r r o l l i e r e n d e n
In
wann e s v o r t e i l h a f t e r
und
Planung.
i s t , Güter a u f L a g e r
z u h a l t e n und
i s t , a l s "Verkäufer m i t K a t a l o g " a u f z u t r e t e n .
§18 w e r d e n zufällige Schwankungen d e r L i e f e r z e i t m i t berücksichtigt
Formeln zur geeigneten
Dimensionierung
h e r g e l e i t e t . Dabei w i r d insbesondere
in-Time
Das
geschieht
§17 w i r d e i n e f e s t e L i e f e r z e i t b e t r a c h t e t . E s w i r d d i e F r a g e u n t e r -
s u c h t , wann es überhaupt s i n n v o l l
In
Nachfrage,
v o n Sicherheitsbeständen
Bezug a u f d i e S i t u a t i o n d e r J u s t -
P r o d u k t i o n genommen.
z w e i t e K a p i t e l b r i n g t e i n e E r w e i t e r u n g d e s e i n f a c h e n WILSON-Lager-
haltungsmodelles
a u f den F a l l
zufälliger N a c h f r a g e ,
deren A u f t r e t e n
e i n e n Poissonprozeß b e s c h r e i b t . ( W e i t e r e V e r a l l g e m e i n e r u n g e n ,
w i e z.B.
L i e f e r z e i t e n oder b e l i e b i g v e r t e i l t e N a c h f r a g e werden i n K a p i t e l
behandelt.)
D i e P a r a g r a p h e n 19 u n d 20 g e b e n e i n e Einführung i n d e n
Poissonprozeß n e b s t
seinen Verallgemeinerungen
Entscheidungsprozessen
des
4
und s t e l l e n d a s b e i
u n t e r R i s i k o verwendete E n t s c h e i d u n g s k r i t e r i u m
e r w a r t e t e n N u t z e n s v o r . E b e n f a l l s z u r V o r b e r e i t u n g d i e n t §21. E r
behandelt
d i e k o n t i n u i e r l i c h e V e r z i n s u n g und u n e n d l i c h e
Zahlungsströme.
X
I n §22 u n d §23 w i r d d a s L a g e r h a l t u n g s m o d e l l m i t P o i s s o n n a c h f r a g e im
d i s k o n t i e r t e n und n i c h t d i s k o n t i e r t e n F a l l m i t H i l f e d e s BELLMANschen
" P r i n z i p s d e r Optimalität" f o r m u l i e r t .
I n §24 erfährt d a s M o d e l l
eine
w e i t e r e V e r a l l g e m e i n e r u n g a u f d e n F a l l zufallsabhängiger N a c h f r a g e
Typ e i n e s SEMI-MARKOV
vom
PROZESSES. I n P a r a g r a p h 25 w i r d m i t H i l f e d e r
E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n d e r D y n a m i s c h e n O p t i m i e r u n g d e r B e w e i s dafür
e r b r a c h t , daß t r o t z s t o c h a s t i s c h e r N a c h f r a g e
d i e optimale
Bestellmenge
i d e n t i s c h i s t m i t d e r W i l s o n s c h e n Losgröße d e s d e t e r m i n i s t i s c h e n Modelles .
In K a p i t e l 3 werden d i e E i n p e r i o d e n m o d e l l e b e h a n d e l t . D e r a r t i g e L a g e r h a i t u n g sp r o b lerne t r e t e n z.B. b e i M o d e a r t i k e l n o d e r
Kartenkontingenten
für Großveranstaltungen a u f , o d e r b e i d e r V o r r a t s a u s s t a t t u n g v o n S c h i f f e n , E x p e d i t i o n e n e t c . I n §26 w i r d d a s a l s Z e i t u n g s j u n g e n p r o b l e r n b e kannte Grundmodell
gen,
v o r g e s t e l l t . Dabei w i r d auch a u f d i e Frage
eingegan-
ab wann e s s i c h überhaupt l o h n t , s i c h a u f e i n Einperiodengeschäft
einzulassen.
I n §27 w i r d d i e Abhängigkeit d e r o p t i m a l e n Losgröße v o n d e n
Parametern
d e r N a c h f r a g e v e r t e i l u n g u n d den L a g e r - u n d F e h l m e n g e n k o s t e n d i s k u t i e r t .
M i t H i l f e d e r E n t r o p i e w i r d g e z e i g t , daß d i e K o s t e n a u s dem E i n p e r i o dengeschäft um so mehr s t e i g e n , j e w e n i g e r
kosten voneinander
s i c h L a g e r - und F e h l m e n g e n -
unterscheiden.
E i n e w i c h t i g e V e r a l l g e m e i n e r u n g s t e l l e n d i e i n §28 u n d §29 f o r m u l i e r t e n
M o d e l l e m i t z e i t l i c h e r Periodenlänge d a r . I n s b e s o n d e r e
w i r d nach der
o p t i m a l e n Periodenlänge g e f r a g t .
E b e n f a l l s a u f d a s Z e i t u n g s j u n g e n p r o b l e r n läßt s i c h d a s " U b e r b u c h e n b e i
R e s e r v i e r u n g " zurückführen (§30). Da i n d e n s e l t e n s t e n Fällen a l l e
R e s e r v i e r u n g e n a u c h tatsächlich i n A n s p r u c h
für d e n V e r a n s t a l t e r
gentes
lohnend
genommen w e r d e n , k a n n e s
s e i n , e i n e n T e i l des r e s e r v i e r t e n K o n t i n -
e i n z w e i t e s Mal zu verkaufen.
Im v i e r t e n K a p i t e l w e r d e n s t o c h a s t i s c h e M o d e l l e m i t k o n t i n u i e r l i c h e r
Überwachung b e h a n d e l t . E i n w i c h t i g e s V e r f a h r e n n e b e n d e r D y n a m i s c h e n
Optimierung
i s t d i e Methode d e r Z u s t a n d s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n . S i e w i r d
XI
i n §31 erläutert u n d a u f das M o d e l l m i t g e o m e t r i s c h v e r t e i l t e r N a c h f r a ge s o w i e a u f d a s M o d e l l m i t P o i s s o n N a c h f r a g e und e x p o n e n t i e l l e r
ferzeit
(§32) angewandt. A l s V a r i a n t e w i r d a u c h d e r F a l l
b e i dem d i e L a g e r h a l t u n g s k o s t e n am M a x i m a l b e s t a n d
Lie-
betrachtet,
gemessen werden.
D i e s e S i t u a t i o n f i n d e t man z.B. v o r , wenn man a u f e i n e i g e n e s
Lager
v e r z i c h t e t u n d e x t e r n e Lagerfläche a n m i e t e t .
Die Paragraphen
met.
3 3 , 34 und 35 s i n d d e n M o d e l l e n m i t L i e f e r z e i t
B e i vollkommener Konkurrenz
gewid-
i s t die Liefertreue e i nwichtiger
Fak-
t o r im W e t t b e w e r b . I n v i e l e n Fällen k a n n man d e s h a l b d i e L i e f e r z e i t a l s
zuverlässige, d.h. a l s k o n s t a n t e Größe a n s e h e n . I n §33 w i r d e i n M o d e l l
mit f e s t e r L i e f e r z e i t besprochen.
I n MonopolSituationen oder d o r t ,
wo
Güter z u g e t e i l t w e r d e n , l i e g t d i e U n s i c h e r h e i t n i c h t s o s e h r i n d e r
Nachfrage,
sondern
i n der L i e f e r z e i t .
lungsländern z u b e o b a c h t e n .
Insbesondere
i s t dies i n Entwick-
S p e z i e l l w i r d auch auf d i e S i t u a t i o n b e i
E i g e n p r o d u k t i o n oder Just-In-Time L i e f e r a b r u f e n eingegangen,
denn d o r t
können s i c h Lieferverzögerungen s e h r störend a u s w i r k e n .
Im fünften K a p i t e l w e r d e n s t o c h a s t i s c h e L a g e r h a l t u n g s m o d e l l e m i t p e r i o d i s c h e r Überwachung b e h a n d e l t . Obwohl m i t Einführung d e r e l e k t r o n i s c h e n
Datenverarbeitung eine k o n t i n u i e r l i c h e Bestandsfortschreibung meist
k e i n P r o b l e m mehr i s t ,
h a l t e n dennoch v i e l e Unternehmer an e i n e r
perio-
d i s c h e n I n s p e k t i o n und B e s t e l l e n t s c h e i d u n g f e s t .
Periodenmodelle
a u c h d o r t a u f , wo m i t den L i e f e r a n t e n A b s p r a c h e n
g e t r o f f e n wurden, daß
B e s t e l l u n g e n immer n u r z u b e s t i m m t e n
( m e i s t gleichabständigen) Z e i t -
p u n k t e n v o r z u n e h m e n s i n d . Zunächst w i r d d a s g r u n d l e g e n d e
endlichem
Generell
(§36) und u n e n d l i c h e m
treten
Modell mit
P l a n u n g s h o r i z o n t (§37) f o r m u l i e r t .
läßt s i c h über d i e M o d e l l e i n d i e s e r K l a s s e s a g e n , daß s i e
s c h w i e r i g z u o p t i m i e r e n s i n d . Besondere
Bedeutung gewinnt d e s h a l b d i e
i n §38 vorgenommene Zurückführung d e s M o d e l l e s a u f e i n e s t a n d a r d i s i e r t e
Form. D i e o p t i m a l e n B e s t e l l p o l i t i k e n b e i v e r s c h i e d e n e n
und S t r e u u n g e n
Erwartungswerten
der N a c h f r a g e v e r t e i l u n g lassen s i c h u n m i t t e l b a r von der
o p t i m a l e n Lösung d e s S t a n d a r d m o d e l l s a b l e s e n .
I n den f o l g e n d e n P a r a g r a p h e n
w e r d e n d i e F r a g e n u n t e r s u c h t : Wie läßt
s i c h b e i s p e z i e l l e n M o d e l l e n e i n e Lösung g e w i n n e n und w i e s i e h t d i e
S t r u k t u r d e r o p t i m a l e n B e s t e l l r e g e l a u s , f a l l s überhaupt e i n e S t r u k t u r
XII
v o r l i e g t ? Das e r s t e s p e z i e l l e M o d e l l
n e n t i a l v e r t e i l t e r Nachfrage.
D i e s i s t das P e r i o d e n - A n a l o g o n
n u i e r l i c h e n Modell mit Poisson
In
(§39) i s t d a s AHM-Modell m i t expozum k o n t i -
Nachfrage.
d e n P a r a g r a p h e n 40 b i s 44 w e r d e n U n t e r s u c h u n g e n z u r O p t i m a l i t a t d e r
( s , S ) - P o l i t i k a n g e s t e l l t u n d für e i n e n S p e z i a l f a l l
e i n e Methode z u r Be-
rechnung v o n s und S angegeben.
In
§45 w i r d d a s M o d e l l m i t L i e f e r z e i t
f o r m u l i e r t . Es z e i g t s i c h ,
daß es
d e n Rahmen d e s AHM-Typs n i c h t s p r e n g t . E s w i r d d a s i n t e r e s s a n t e E r g e b nis
h e r g e l e i t e t , daß d i e B e s t a n d s f l u k t u a t i o n b e i M o d e l l e n m i t L i e f e r -
z e i t größer a l s b e i M o d e l l e n ohne L i e f e r z e i t
wenn d i e L i e f e r z e i t
die
i s t . D i e s g i l t a u c h dann,
f e s t , d.h. verläßlich i s t .
Im a l l g e m e i n e n v e r t e u e r t
L i e f e r z e i t d i e Lagerhaltung.
Für d i e P r a x i s i s t d i e V o r a u s s e t z u n g
e i n e s stationären
z e s s e s o f t m a l s n i c h t gegeben. Das N a c h f r a g e n i v e a u
c h e n Schwankungen. M e i s t l i e g t a b e r
Verlauf vor, aufgrund
Diese
unterliegt
zeitli-
I n f o r m a t i o n über d e n zukünftigen
d e r e r man k u r z f r i s t i g e P r o g n o s e n e r s t e l l e n kann.
Information g i l t
e s , i n d e n M o d e l l e n z u berücksichtigen. Das g e -
s c h i e h t i n den folgenden beiden Paragraphen.
r e l i e r t e Nachfrage
Nachfragepro-
unterstellt.
I n §46 w i r d e i n e
autokor-
I n §47 w e r d e n endogene u n d e x o g e n e P r o -
g n o s e m e c h a n i s m e n i n d a s M o d e l l eingeführt, so z.B. d i e e x p o n e n t i e l l e
Glättung. D i e s v e r l a n g t e i n e N e u f o r m u l i e r u n g
d e s Optimalitätsprinzips.
E i n e s p e z i e l l e B e t r a c h t u n g w i r d b e i Gütern a n g e s t e l l t , d i e e i n e r n o r m a l v e r t e i l t e n Nachfrage
u n t e r l i e g e n , e i n sehr g e r i n g e s Marktwachstum
b e s i t z e n und deren Absatz m i t H i l f e exogener V a r i a b l e r
w i r d , wobei d i e a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n Prognosen n i c h t
prognostiziert
autokorreliert
s e i n dürfen. I s t z.B. d i e exogene V a r i a b l e d i e Änderung d e s B r u t t o s o zialprodukts,
so i s t d i e s e r A n s a t z g e e i g n e t
für Güter, d i e dem A k z e l e -
r a t i o n s p r i n z i p u n t e r l i e g e n , z.B. Investitionsgüter und E r s a t z t e i l e .
Jedoch
d a r f d i e Nachfrage
Güter a u s g e s c h l o s s e n ,
industrie
steht.
d i e Prognose n i c h t b e e i n f l u s s e n . Damit
sind
d e r e n O u t p u t s t e l l v e r t r e t e n d für e i n e Schlüssel-
XIII
I n d e n v o r a n g e g a n g e n e n K a p i t e l n wurde s t e t s v e r s u c h t , z u jedem
haltungsmodell
für d i e o p t i m n a l e
Lager-
Losgröße bzw. B e s t e i l r e g e 1 e i n e n e x -
p l i z i t e n A u s d r u c k h e r z u l e i t e n . D o r t wo d i e s n i c h t möglich i s t ,
auf
d i e R e c h e n v e r f a h r e n d e r Dynamischen Optimierung
b i l d e n den I n h a l t des s e c h s t e n K a p i t e l s .
W e r t i t e r a t i o n behandelt.
schen Optimiertung
k a n n man
zurückgreifen. S i e
I n §48 w i r d d a s V e r f a h r e n d e r
E s i s t d i e a l l g e m e i n s t e Methode d e r D y n a m i -
und k a n n a u c h b e i L a g e r h a l t u n g s m o d e l l e n
angewendet
w e r d e n , d i e wegen e i n e r s e h r k o m p l i z i e r t e n K o s t e n s t r u k t u r v o n d e n v o r g e s t e l l t e n Grundmodellen w e s e n t l i c h abweichen. Es werden V o r t e i l e und
Schwächen d i e s e r Methode a u f g e z e i g t und e i n e Möglichkeit z u r R e c h e n zeitVerkürzung a n g e g e b e n .
I n §49 w i r d d i e E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n v o r g e s t e l l t . S i e s t e l l t
A l t e r n a t i v e z u r W e r t i t e r a t i o n b e i Lagerhaitungsproblernen
chem P l a n u n g s h o r i z o n t
mit unendli-
d a r . Für d e r a r t i g e P r o b l e m s t e l l u n g e n
lassen
W e r t - u n d E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n z u einem d r i t t e n V e r f a h r e n ,
Poli tik-Wertiteration,
eine
sich
der sog.
kombinieren.
H i e r a u f w i r d j e d o c h n i c h t e i n g e g a n g e n , denn d i e i n §50 v o r g e s t e l l t e
Methode d e r B i s e k t i o n i n V e r b i n d u n g m i t d e r D y n a m i s c h e n
z e i g t s i c h diesem V e r f a h r e n
Im
i n der Regel
Optimierung
überlegen.
l e t z t e n P a r a g r a p h e n w i r d s p e z i e l l a u f d a s AHM-Modell im BACKORDER-
Fall
ohne D i s k o n t i e r u n g e i n g e g a n g e n . Für d i e s e s M o d e l l wurde z w a r
eine
s t a n d a r d i s i e r t e Form h e r g e l e i t e t (§38), d i e a b e r e i n e r Einschränkung
bezüglich d e r V e r t e i l u n g s a n n a h m e d e r N a c h f r a g e u n t e r l i e g t . E s i s t d e s h a l b w i c h t i g , daß a u c h für M o d e l l e
mit allgemeiner
s c h n e l l e R e c h e n v e r f a h r e n z u r Verfügung s t e h e n .
haben F e d e r g r u e n / Z i p k i n
Nachfrageverteilung
E i nderartiges
Verfahren
e n t w i c k e l t . E s w i r d i n §51 v o r g e s t e l l t .
Da b i s a u f g e r i n g e Ausnahmen a l l e E r g e b n i s s e
i n d i e s e m B u c h ausführlich
h e r g e l e i t e t werden, s i n d im T e x t n u r w e n i g e L i t e r a t u r h i n w e i s e u n d Q u e l l e n a n g a b e n v e r w e n d e t worden.
I N H A L T S V E R Z E I C H N I S
VORWORT
v
UBERSICHT
v i i
K A P I T E L I : DETERMINISTISCHE LAGERHALTUNGSMODELLE
§ 1
EINLEITUNG
1
§ 2
OPTIMALE LOSGRÖßEN
2
§ 3
KOSTEN UND SENSITIVITÄT
9
§ 4
RM - SYSTEME (ABC-ANALYSE)
13
§ 5
SORTIMENTSENTSCHEIDUNG
14
§ 6
SCHÄTZUNG DER NACHFRAGERATE
§ 7
GEWINNMAXIMIERUNG
§ 8
BEWERTUNG E I N E S LAGERS
20
§ 9
MENGENRABATT
23
§10
SAMMEL- ODER EINZELBESTELLUNG?
27
§11
OPTIMALE AUFLEGUNG B E I EIGENPRODUKTION
30
§12
LAGERDEFIZITE ERLAUBT
31
§13
GANZZAHLIGKEIT DES LOSES
34
§14
BERÜCKSICHTIGUNG VON STELLFLÄCHEN IM LAGER
36
X
16
19
§15
BUTCETBESCHRÄNKUNG
39
§16
BEKANNTE NICHTKONSTANTE NACHFRAGE
43
§17
FESTE L I E F E R Z E I T
47
§18
SICHERHEITSBESTAND B E I STOCHASTISCHER L I E F E R Z E I T
r
49
(AUCH JUST-IN-TIME PRODUKTION)
KAPITEL I I : DAS WILSON MODELL MIT POISSON NACHFRAGE
§19
POISSON PROZESS
57
§20
ALLGEMEINE BEMERKUNG ZUM ZUFALL
66
§21
ZINS, KONTINUIERLICHE VERZINSUNG, GEGENWARTSWERT
§22
LAGERHALTUNG B E I POISSON NACHFRAGE UND SOFORTIGER LIEFERUNG
69
71
XVI
§23
POISSON NACHFRAGE, KEINE DISKONTIERUNG
78
§24
REKURRENTER PROZEß
82
§25
OPTIMALITÄTSBEWEIS
87
KAPITEL I I I :
§26
§27
STOCHASTISCHE EINPERIODENMODELLE
DAS ZEITUNGSJUNGENPROBLEM
AUSWERTUNG VON P ( x ) =
v
}
r— —
2
90
94
h + g
§28
Z E I T L I C H E STRUKTUR DES ZEITUNGS JUNGENPROBLEMS
§29
EXAKTER ANSATZ
103
98
§30
ÜBERBUCHEN B E I RESERVIERUNG
108
K A P I T E L I V : STOCHASTISCHE MODELLE MIT KONTINUIERLICHER ÜBERWACHUNG
§31
METHODE DER ZUSTANDSWAHRSCHEINLICHKEITEN
111
§32
POISSON NACHFRAGE, EXPONENTIELLE L I E F E R Z E I T
116
§33
POISSON NACHFRAGE, FESTE L I E F E R Z E I T T
124
§34
POISSON NACHFRAGE, STOCHASTISCHE L I E F E R Z E I T , E I N E BESTELLUNG
133
§35
POISSON NACHFRAGE, STOCHASTISCHE L I E F E R Z E I T . MEHRERE
BESTELLUNGEN
137
K A P I T E L V: STOCHASTISCHE MODELLE MIT PERIODISCHER ÜBERWACHUNG
§36
ARROW-HARRIS-MARSCHAK MODELL
142
§37
DAS AHM-MODELL IM STATIONÄREN FALL
146
§38
STANDARDISIERUNG
148
§39
EXPONENTIALVERTEILTE NACHFRAGE
150
§40
OPTIMALITÄT DER ( s ,S ) - P O L I T I K
156
v
n i r
§41
ELIMINATION DER PROPORTIONALEN BESTELLKOSTEN B E I ENDLICHEM
§42
PLANUNGSHORIZONT
SCHRANKEN FÜR ( s ,S )
n i r
165
169
§43
OPTIMALITÄT DER ( s , S ) - P O L I T I K IM STATIONÄREN FALL
180
§44
E I N E METHODE ZUR BERECHNUNG VON s UND S
182
§45
AHM - MODELL MIT L I E F E R Z E I T
193
§46
AUTOKORRELIERTE NACHFRAGE
201
§47
LAGERHALTUNG MIT PROGNOSE
203
v
XVII
K A P I T E L V I : NUMERISCHE VERFAHREN
§48
WERTITERATION
210
§49
ENTSCHEIDUNGSITERATION
220
§50
BISEKTIONSMETHODE UND DYNAMISCHE OPTIMIERUNG
226
§51
BERECHNUNG OPTIMALER ( s , S ) - P O L I T I K E N NACH FEDERGRUEN/ZIPKIN
231
SCHLUßBEMERKUNG
236
LITERATURVERZEICHNIS
237
KAPITEL I:
D E T E R M I N I S T I S C H E
L A G E R H A L -
T U N G S M O D E L L E
§1
EINLEITUNG
J.M. K e y n e s h a t d r e i M o t i v e
für d i e G e l d h a l t u n g u n t e r s c h i e d e n , d i e s i c h
a u c h a u f d i e L a g e r h a l t u n g anwenden l a s s e n .
1. Das T r a n s a k t i o n s m o t i v
W e i l d i e Ausgangsströme n i c h t s y n c h r o n
muß e i n L a g e r
s i n d m i t d e n Eingangsströmen,
d i e z e i t l i c h e n Diskrepanzen
überbrücken. Üblicherweise
g e h t e i n G u t i n größeren Zeitabständen u n d größeren Mengen e i n a l s
aus.
2. Das V o r s i c h t s m o t i v
Wenn e i n e B e s t e l l u n g a u f g e g e b e n i s t ,
muß man e i n R e s e r v e l a g e r
u n t e r h a l t e n , um d i e N a c h f r a g e während d e r L i e f e r z e i t z u b e f r i e d i g e n .
3. Das S p e k u l a t i o n s m o t i v
Wenn e r w a r t e t w i r d , daß d i e P r e i s e s t e i g e n , l o h n t es s i c h , a u f
Vorrat einzulagern.
Im OR d e r L a g e r h a l t u n g w i r d t y p i s c h e r w e i s e a u f d i e b e i d e n e r s t e n
a b g e s t e l l t . Das d r i t t e w i r d g e l e g e n t l i c h i n d e r L i n e a r e n
a l s das sogenannte Lagerhausproblem (warehousing
problem)
Motive
Optimierung
behandelt.
D i e L a g e r h a i t u n g s t h e o r i e gehört d e n e r s t e n und d a m i t " k l a s s i s c h e n "
A n w e n d u n g s g e b i e t e n d e s OR a n . S i e wurde i n d e n 5 0 - e r J a h r e n v o r a l l e m
v o n d e r US Navy s t a r k gefördert.
W i s s e n s c h a f t l e r vom Rang e i n e s OSKAR MORGENSTERN, JAKOB MARSCHAK,
KENNETH ARROW, HERBERT SCARF, THOMAS WHITIN, JACK KIEFER und a n d e r e
h a b e n s i c h d a m a l s i n t e n s i v m i t d e r Anwendung v o n OR und S t a t i s t i k a u f
L a g e r p r o b l e m e beschäftigt.(die Anfänge g e h e n a l l e r d i n g s v i e l w e i t e r z u rück, e t w a a u f d e n m y t h i s c h e n
WILSON um d i e J a h r h u n d e r t w e n d e ) .
L a n g e u m s t r i t t e n war d i e F r a g e n a c h d e n o p t i m a l e n
LagerhaitungsStra-
t e g i e n . An d i e s e r A u f g a b e h a t s i c h z u e r s t d i e T h e o r i e d e r D y n a m i s c h e n
Optimierung
h e r a u s g e b i l d e t ( d u r c h RICHARD BELLMAN).
2
§2 OPTIMALE LOSGRÖßEN
Im E n g l i s c h e n :
Der
E c o n o m i c O r d e r Q u a n t i t i e s EOQ
S t a n d a r d f a l l für d a s Losgrößenproblem i s t e i n e H a n d e l s f i r m a , d i e
e i n G u t b e s t e l l t , um d e n L a g e r b e s t a n d a u f z u s t o c k e n .
D i e Kundennachfrage
w i r d über d i e Lagerbestände b e f r i e d i g t . W i r nehmen a n , daß d i e N a c h frage mit einer konstanten
X:
y:
Rate a u f t r i t t . S e i
Nachfragerate
B e s t a n d im L a g e r
Im Groß- u n d E i n z e l h a n d e l
rate oftmals
i s t d i e Annahme e i n e r k o n s t a n t e n
eine s t a r k e I d e a l i s i e r u n g . Hingegen t r i f f t
b e i Rohmateriallägern e i n e s P r o d u k t i o n s b e t r i e b e s
Nachfrage-
s i e häufig z u
mit Sortenfertigung
o d e r F e r t i g u n g s e h r großer C h a r g e n .
Kostenstruktur
des Lagerha1tungsmodells
B e s t e l l k o s t e n : Für d i e B e s t e l l k o s t e n u n t e r s t e l l e n w i r e i n e n
linearen
Zusammenhang (Abb. 2 . 1 ) .
Bestellkosten
Anstieg
k
a
<
Besteilrnenge
Abbildung
2.1: B e s t e l l k o s t e n k u r v e
3
k:
f i x e B e s t e l l k o s t e n . H i e r u n t e r f a l l e n d i e K o s t e n für Büroarbeit ( 1 0
- 50 DM; e i n Geschäftsbrief k o s t e t c a . 10 DM), für Mängelrügen usw.
a:
p r o p o r t i o n a l e B e s t e l l k o s t e n , z.B. T r a n s p o r t k o s t e n , K o s t e n für d i e
Wareneingangskontrolle;
i n unserem M o d e l l hauptsächlich d e r
Einkauf spreis.
L a g e r k o s t e n : D i e L a g e r k o s t e n b e s t e h e n a u s d e n Z i n s k o s t e n , d e n Handhabung s k o s t e n und d e n K o s t e n für d i e M i e t e d e s S t e l l p l a t z e s
( a u c h wenn
man Eigentümer d e r L a g e r h a l l e i s t ;
Opportu-
hier sind d i e Mietkosten
nitätskosten; d i e Möglichkeit e i n e r a n d e r e n L a g e r n u t z u n g
g e b e n ) . Darüber h i n a u s können a u c h n o c h K o s t e n
wird aufge-
für Schwund ( i n I n d i e n
w i r d c a . 1/4 d e r G e t r e i d e e r n t e v o n R a t t e n a u f g e f r e s s e n ) , A b n u t z u n g
oder
V e r s c h l e c h t e r u n g (DEPRECIATION) u n d Wertabnahme d u r c h t e c h n i s c h e s
Veraltern
(OBSOLESCENCE) a u f t r e t e n . A l l d i e s e K o s t e n w e r d e n zusammen-
gefaßt z u d e n L a g e r k o s t e n .
h:
L a g e r k o s t e n p r o Stück und Z e i t e i n h e i t
Fehlmengenkos ten: F a l l s zuwenig
Nachfrage
a u f Lager
(Lagerkostensatz)
i s t und man d e s h a l b d i e
n i c h t v o l l b e f r i e d i g e n k a n n , e n t s t e h e n Fehlmengen. S i e werden
mit S t r a f k o s t e n b e l e g t .
g:
F e h l m e n g e n k o s t e n p r o Stück und Z e i t e i n h e i t
z'-
f e h l e n d e Menge ( D e f i z i t ,
Q'
Fehlmengenkos ten
Neinverkauf)
Üblicherweise w e r d e n d i e F e h l m e n g e n k o s t e n p r o p o r t i o n a l z u r Menge angenommen .
G = g • z
4
Es i s t aber auch d e r F a l l denkbar,
v o n d e r Höhe d e s D e f i z i t s
z
daß d i e F e h l m e n g e n k o s t e n unabhängig
a n g e s e t z t werden
G = g • ß(z).
ö i s t das sog. Kroneckersymbol.
D i e s e z w e i t e A r t d e r Fehlmengen-
k o s t enbewer t u n g wurde z.B. b e i d e r a m e r i k a n i s c h e n F l o t t e angewendet.
Das L a g e r h a l t u n g s p r o b l e m b e s t a n d d a r i n , w i e v i e l e ( E r s a t z - ) T e i l e einem
a u s l a u f e n d e n S c h i f f z u r Deckung s e i n e s B e d a r f e s während d e r S e e f a h r t
mitzugeben
waren. E i n N a c h s c h u b a u f See war n u r s e l t e n möglich. Wenn
mehr E r s a t z t e i l e d e s g l e i c h e n T y p s benötigt wurden a l s mitgenommen
w o r d e n w a r e n , dann war e s u n e r h e b l i c h , w i e v i e l e f e h l t e n . Wenn a u c h n u r
e i n e i n z i g e s T e i l z u w e n i g war, e n t s t a n d e n hohe K o s t e n .
I n H a n d e l s l a g e r n u n d Rohmateriallägern können D e f i z i t e a u f t r e t e n , wenn
d e r B e s t a n d n i c h t permanent erfaßt w i r d ( p e r i o d i s c h e I n s p e k t i o n ) , z u
spät b e s t e l l t w i r d o d e r d i e L i e f e r u n g e i n e r b e s t e l l t e n Menge unpünktl i c h eingeht.
D i e h i e r b e s c h r i e b e n e K o s t e n s t r u k t u r i s t v o n s e h r e i n f a c h e r Form. I n
der b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e n L i t e r a t u r
f i n d e t man j e d o c h e i n e
ausführliche D i s k u s s i o n über d i f f e r e n z i e r t e
Kostenbetrachtungen.
D i e WILSONsche Losgrößenformel ( a u c h ANDLERsche
Formel, Formel von
HARRIS)
Wir b e t r a c h t e n d e n e i n f a c h e n F a l l
eines Lagers m i t obiger Kosten-
s t r u k t u r , k o n s t a n t e r N a c h f r a g e r a t e und permanenter B e s t a n d s k o n t r o l l e .
L a g e r d e f i z i t e werden n i c h t z u g e l a s s e n ( h i e r z u §10). Dann w i r d d a s L a g e r
n a c h f o l g e n d e r O p e r a t i o n s c h a r a k t e r i s t i k geführt (Abb. 2 . 2 ) .
5
Bestand y
Anfangsbestand
Abb.
Es
2.2: O p e r a t i o n s c h a r a k t e r i s t i k d e r Bestandsführung
i s t o f f e n s i c h t l i c h , daß s i c h wegen d e r L i e f e r z e i t N u l l e i n e
l u n g e r s t d a n n r e n t i e r t , wenn d a s L a g e r
Bestel-
leer i s t ( t = t ^ ) . Die B e s t e l l -
menge heißt
D: Losgröße.
I s t das Lager
erneut
l e e r geworden ( t = t ^ ) , w i r d e i n e z w e i t e Be-
s t e l l u n g a u f g e g e b e n . Da d a s S y s t e m wegen X = c o n s t , stationär i s t , g i b t
es k e i n e n G r u n d , h i e r e i n e a n d e r e B e s t e l l m e n g e
erstenmal.
z u wählen a l s b e i m
Da d i e S i t u a t i o n zum Z e i t p u n k t t ^ d i e s e l b e i s t w i e z u r Z e i t
t ^ , muß a u c h b e i t ^ o p t i m a l s e i n , was b e i t ^ o p t i m a l war.
Die Nachfragerate
X i s t f e s t v o r g e g e b e n , d.h. unabhängig v o n u n s e r e m
V e r h a l t e n . Somit l i e g t d e r Optimierungsspielraum
i s t eine kostenminimale
Die Z i e l f u n k t i o n
die Minimierung
"Kosten
dieser
Bestellmenge
pro Zyklus
Kosten
i n d e r Losgröße. E s
zu finden!
(t^ - t ^ ^ ) " i
s
t
ungeeignet,
derm
6
k + aD + h - * - - ^
2
X
m i t t l e r e r Bestand
Min
D
^
Zykluslänge t ^ -
führt z u dem u n s i n n i g e n E r g e b n i s : o p t i m a l e Losgröße D
E i n e mögliche Z i e l f u n k t i o n wäre d i e M i n i m i e r u n g
=0.
der d u r c h s c h n i t t l i c h e n
Stückkosten
C:
durchschnittliche
Stückkosten
k + aD +
, D
*2
h
#
D~
D
X
Min
D
E i n e a n d e r e mögliche Z i e l f u n k t i o n s i n d d i e Z y k l u s k o s t e n p r o Z e i t e i n h e i t
C:
K o s t e n während e i n e s Z y k l u s p r o Z e i t e i n h e i t
k + aD + h
D
X
D D
V x
Min
D
(2.1)
Wegen d e r Proportionalität C = XC und X = c o n s t , e r w e i s t es s i c h a l s
gleichgültig, ob w i r C oder C verwenden. B e i d e s i n d k o n v e x i n D.
7
Abb.
Deshalb
2.3: k o n v e x e Z i e l f u n k t i o n C bzw. C
e r h a l t e n w i r d i e o p t i m a l e Losgröße D d u r c h D i f f e r e n t i a t i o n d e r
Zielfunktion
C
m i n C(D) <=> ^
D
0
dC
= 0:
dD
D*
= 0
0
^ + £
D
=
f
= 0
2
(2.2)
M
n
Im E n g l i s c h e n heißt ( 2 . 2 ) d i e WILSONsche Losgrößenformel
H A R R I S - F o r m e l , im d e u t s c h e n
( v g l . HOCHSTÄDTER
Diese Formel
oder
S p r a c h r a u m d i e ANDLERsche Losgrößenformel
(1972)).
i s t i n d e r T a t s i n n v o l l , w i e e i n e k u r z e Sensitivitäts-
a n a l y s e bestätigt. D i e o p t i m a l e Losgröße D
nimmt sowohl b e i w a c h s e n d e r
N a c h f r a g e r a t e Ä a l s a u c h b e i wachsenden f i x e n B e s t e l l k o s t e n k z u .
8
I n t e r v a l l zwischen
zwei B e s t e l l u n g e n
Sei
T:
I n t e r v a l l zwischen zwei B e s t e l l u n g e n .
Aus
( 2 . 2 ) läßt s i c h s o f o r t
T
—
1 —
>
ableiten
2k
Xh
(2.3)
Durchschnittliche Lagerreichweite
E i n e w i c h t i g e Kennzahl
pro Z e i t e i n h e i t
(engl.:
i s t der Quotient d u r c h s c h n i t t l i c h e s
inventory/sales ratio).
Lager/Absatz
E r s a g t e t w a s a u s über
d i e l a n g f r i s t i g e E f f i z i e n z e i n e s Bestandsführungssystems. B e i o p t i m a l e r
Bestellpolitik ist
durchschnittl.
Lager
Absatz
_
~
D
2X
k
2hX
(2.4)
U n t e r s u c h u n g e n h a b e n g e z e i g t , daß t r o t z O p e r a t i o n s R e s e a r c h
s c h n i t t l i c h e R e i c h w e i t e d e r Bestände i n d e n l e t z t e n z w e i
d i e durch-
Jahrzehnten
zunahm. E s l a s s e n s i c h hierfür z w e i Gründe a n g e b e n :
1. D i e L o h n k o s t e n
kosten
s i n d so s t a r k a n g e s t i e g e n , daß t r o t z s t e i g e n d e r Z i n s -
( h w i r d größer) und Senkung e i n e s T e i l e s d e r F i x k o s t e n d u r c h
EDV d i e R a t e k/h a n s t i e g .
2. D u r c h D e z e n t r a l i s i e r u n g wurde d i e Z a h l d e r Läger v e r m e h r t und
darüberhinaus d i e V i e l f a l t d e r V a r i a n t e n erhöht, so daß p r o V a r i a n t e
und
L a g e r o r t d i e N a c h f r a g e r a t e X gesunken i s t ,
was gemäß ( 2 . 4 ) e i n e
Erhöhung d e r d u r c h s c h n i t t l i c h e n Bestände gemessen i n R e i c h w e i t e n z u r
Folge hat.
Aus
( 2 . 4 ) l a s s e n s i c h a u c h Skalenerträge a b l e s e n . M i t wachsendem
satzvolumen
e i n e s Unternehmens w i r d das Lager/Absatz-Verhältnis gün-
s t i g e r . D i e s s a g t j e d o c h n o c h n i c h t s über d i e K o s t e n a u s . E i n e
betrachtung
Um-
l i e f e r t der folgende
Paragraph.
Kosten-
9
§3
KOSTEN UND
SENSITIVITÄT
Kosten
Die Kostenfunktion C von Gleichung
(2.1) e n t h a l t u.a. d i e p r o p o r t i o n a -
l e n B e s t e l l k o s t e n X*a. E s war z u s e h e n , daß d i e s e r Term a u f d i e B e s t i m mung d e r o p t i m a l e n Losgröße k e i n e n Einfluß ausübt. B e i D u r c h s c h n i t t s betrachtungen
über e i n e n längeren Z e i t r a u m h i n w e g s i n d d i e s e
Bestell-
k o s t e n u n v e r m e i d l i c h u n d i n i h r e r Höhe n i c h t m a n i p u l i e r b a r . S i e w e r d e n
d e s h a l b b i s a u f w e i t e r e s a l s n i c h t beeinflußbarer Term a u s d e r O p t i m i e r u n g herausgegenommen. D i e so e n t s t e h e n d e ,
um d i e p r o p o r t i o n a l e n
B e s t e l l k o s t e n b e r e i n i g t e neue K o s t e n f u n k t i o n s e i c.
c = C - Xa .
B e i e i n e m Z y k l u s d e r Länge t i s t
k
= t
c
+
hD
2"
Wie
zu erwarten
,
0
Bei optimaler Bestellmenge
c =
,
'
( 3
•
D
vflkXh
1 }
w i r d daraus
.
(3.2)
i s t , nehmen d i e K o s t e n
eines B e s t e l l z y k l u s pro Z e i t -
e i n h e i t m i t wachsendem Geschäftsvolumen z u . Das Wachstum i s t j e d o c h
sublinear:
c ~ 4"X .
Für d i e Stückkosten c = c/X p r o Z e i t
r"2kh
c = <
gilt
.
S i e f a l l e n a l s o m i t zunehmendem Umsatz
_
(3.3)
r o
10
c ~
Hier
1
—
z e i g t s i c h e i n E f f e k t zunehmender Skalenerträge ( V o r t e i l großer
U n t e r n e h m e n ) ! Man k a n n d i e U r s a c h e dafür, w i e s o n s t a u c h , i n d e r
INDIVISIBILITY ( U n t e i l b a r k e i t ) sehen, h i e r i n d e r U n t e i l b a r k e i t
Bestellung.
I s t a u c h d i e B e s t e l l m e n g e n o c h so k l e i n , e s f a l l e n
die fixen Bestellkosten
einer
stets
i n v o l l e r Höhe a n .
B e i großen U n t e r n e h m e n k a n n man j e d o c h häufig b e o b a c h t e n , daß d i e Läge
d e z e n t r a l i s i e r t s i n d . Dadurch geht der S k a l e n e f f e k t
verloren,
w i e d i e f o l g e n d e Überlegung z e i g t . B e i m Lägern t r e f f e a u f
ein einzelnes
frage
t e i l w e i s e wieder
L a g e r e i n e N a c h f r a g e m i t d e r R a t e X/m. D i e G e s a m t n a c h -
s e i X. Dann s i n d d i e G e s a m t k o s t e n p r o Z y k l u s b e i D e z e n t r a l i s i e -
rung
m 42khX7m
d.h.
=
c ,
um d e n F a k t o r >I~m größer a l s b e i Z e n t r a l i s i e r u n g . D i e D e z e n t r a l i -
sierung
i s t o f t u n t e r n e h m e n s h i s t o r i s c h begründet und e s b e d a r f
e i n e s e n e r g i s c h e n Anstoßes, überkommene S t r u k t u r e n
L o g i s t i k neu z u o r g a n i s i e r e n .
desrepublik
der
Einen derartigen
deshalb
a u f z u b r e c h e n und d i
Anstoß g a b i n d e r Bun-
D e u t s c h l a n d d a s hohe Z i n s n i v e a u Ende d e r s i e b z i g e r ,
achtziger
Anfang
J a h r e , a l s man a n g e s t r e n g t v e r s u c h t e , d u r c h R a t i o n a l i s i e
r u n g a u s dem Umlaufvermögen d e s Unternehmens Liquiditätsreserven
zusetzen.
I n d e r F o l g e kam es z u z a h l r e i c h e n
Zentralisierungen
frei-
d e r Lä-
ger.
Es
s o l l a b e r n i c h t übersehen werden, daß d i e D e z e n t r a l i s i e r u n g
auch
e i n e n V o r t e i l b e s i t z t : man kommt dem Kunden buchstäblich e n t g e g e n . D i e
drückt s i c h i n d e n o b i g e n F o r m e l n ( 3 . 2 ) ,
( 3 . 3 ) n i c h t a u s ( e t w a d i e Ko-
sten der T r a n s p o r t l o g i s t i k ) .
Sensitivitat
de
Die
p a r t i e l l e Ableitung
Änderung d e r V a r i a b l e
g^-gibt
darüber A u s k u n f t , w i e s i c h e i n e
x auf d i e Kosten c auswirkt.
Es i s t
11
dc_
kh
>2X
öc
Xk
«2k
dc_
5h
Xk
«2h
D i e s e W e r t e s i n d j e d o c h v o n d e n gewählten Maßeinheiten abhängig.
E i n e v o n d e n Maßeinheiten unabhängige K e n n z a h l i s t d i e Elastizität e.
S i e mißt d a s Verhältnis d e r r e l a t i v e n Veränderungen z w e i e r Größen
"c.x
Die
-
c
"
ax
x
(3.4)
Elastizität läßt s i c h a u c h a l s l o g a r i t h m i s c h e
Für d i e Elastizitäten v o n c i n B e z u g a u f k, h g i l t
~c,k
a In c
a In k
^c,h
_ a In c
~ a In h
entsprechend
c = J 2 k X h erhält man
6
Die
darstellen
a In c
a In X
^c,X
Mit
Ableitung
c,X
fc
c,k
£
c,h
2
Elastizität d e r K o s t e n p r o Z e i t
i n B e z u g a u f X, k, h i s t s t e t s |.
S t e i g e n z.B. d i e K o s t e n v o n k o d e r h um p%, dann s t e i g e n
k o s t e n c p r o Z e i t um
wichtig,
Ähnliches g i l t
d i e Gesamt-
für d i e Stückkosten c. E s i s t
s i c h über d i e Sensitivität v o n c bzw. c k l a r z u werden,
denn
man k a n n i n d e r P r a x i s n u r s e l t e n d a v o n a u s g e h e n , daß k und h genau
bekannt
sind.
Interessant
i s t auch
ac
ou
d i e Sensitivität d e r K o s t e n bezüglich
Änderungen d e r Losgrößen. So i s t es n i c h t
immer möglich, d i e m i n i m a l e n
12
K o s t e n c z u r e a l i s i e r e n . U r s a c h e hierfür können t e c h n i s c h e
sein
( C o n t a i n e r , Lastwagen,
oder e s w i r d e i n e b e s o n d e r e
Bedingungen
Tank), oder s p e z i e l l e V e r p a c k u n g s e i n h e i t e n ,
Periodenlänge z w i s c h e n den B e s t e l l u n g e n
gewünscht: Woche, Monat, V i e r t e l j a h r . S e i e n für e i n e n A u g e n b l i c k d i e
mit
einem S t e r n v e r s e h e n e n Größen d i e O p t i m a l w e r t e . M i t H i l f e
T a y l o r e n t w i c k l u n g um c
einer
b e r e c h n e n w i r d i e K o s t e n d i f f e r e n z c - c . Es
ist
c = c(D) = g i + f-
ac _ _ k\
aD "
2
( v g l . (3.1))
h
+
2
D
2
a c _ 2kX
2 ~ 3
aD
b
ö
und
damit
c - * - o
c
+
(
D
D
- * )
2
2
•
+
,„*.3
(D y
de
d e r l i n e a r e Term v e r s c h w i n d e t , d a -=r
3D
U n t e r Vernachlässigung höherer Terme e r h a l t e n w i r
W i e v i e l d a s a u s m a c h t , muß im E i n z e l f a l l geprüft werden.
Beispiel:
S e i k = 8 DM, h = 0.01 DM/Tag und Stück, X = 1 Stück/Tag. Dann i s t D* =
^l2Xk/h = 40 Stück. D i e s e s L o s r e i c h t für 40 Tage. D i e K o s t e n c * p r o T a g
s i n d c * = ^J2kXh = 0.40
DM.
Das Gut i s t j e d o c h n u r i n d e r k l e i n s t e n E i n h e i t
D = 50. Um w i e v i e l
s t e i g e n d i e K o s t e n p r o Tag?
v o n 50 Stück z u haben:
13
c
•^2
(D - D ) _ 1_
z Xk "
X ' =
DM = 0.0125 DM.
(D )
*
v
8
0
D i e s i s t e i n e UberSchätzung. D i e tatsächliche K o s t e n d i f f e r e n z , w o b e i c
n a c h ( 3 . 1 ) b e r e c h n e t w i r d , beträgt 0.01 DM. Das b e d e u t e t A c / c = 2 . 5 %
b e i e i n e r Änderung AD/D v o n 20%. M i t t l e r e A b w e i c h u n g e n v o n d e r
optimalen
Ac
§4
Losgröße machen s i c h a l s o n u r w e n i g b e m e r k b a r . G r u n d :
i s t i n e r s t e r Näherung q u a d r a t i s c h
i n AD.
RM-SYSTEME (ABC-ANALYSE)
D i e Abkürzung RM s t e h t für d e n l a t e i n i s c h e n A u s d r u c k " r e d u c t i o a d
maximum".
I n e i n e m RM-System w e r d e n d i e Güter n a c h i h r e r
Wichtigkeit
a n g e o r d n e t . D i e s e Methode wurde v o n z w e i a m e r i k a n i s c h e n F i r m e n
ent-
w i c k e l t . A l s W i c h t i g k e i t e i n e s G u t e s i b e t r a c h t e t man d e s s e n U m s a t z volumen ^
a
i
i
. gemessen a n den E i n k a u f s p r e i s e n
Verkaufspreisen,
unserem M o d e l l
(und n i c h t an den
d a w i r K o s t e n messen). D i e E i n k a u f s p r e i s e
sind i n
d i e p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n a^.
Frühe U n t e r s u c h u n g e n e r g a b e n , daß s i c h d i e Güter g r o b i n d r e i
einteilen
Klassen
lassen
Klasse
Anzahl
Umsatz ) X . a .
Z, l l
A
20%
etwa 6 5 %
B
40%
etwa 2 7 %
C
40%
etwa
9%
Für e i n e d e r a r t i g e D r e i k l a s s e n e i n t e i l u n g h a t s i c h d e r Name A B C - A n a l y s e
eingebürgert.
I s t X a überhaupt d a s r i c h t i g e K r i t e r i u m für e i n e E i n t e i l u n g n a c h
Kostengesichtspunkten? Die Kostenfunktion
wäre d a s K r i t e r i u m X k h . F a l l s j e d o c h
a
i s t ( Z i n s k o s t e n ! ) , dann i s t
l a u t e t c = NJ2kXh. Demnach
k konstant
für a l l e Güter u n d h ~
14
Xkh.
Xa
Dies
l i e f e r t d i e theoretische Rechtfertigung,
K o s t e n z u verwenden, d i e d i e L a g e r h a l t u n g
Der
Sinn der K l a s s e n e i n t e i l u n g besteht
sparen.
Xa
a l s Maßzahl für d i e
verursacht.
d a r i n , Lagerführungskosten z u
N u r d i e Güter d e r K l a s s e A (größte W i c h t i g k e i t ) w e r d e n n a c h d e r
bestmöglichen Methode geführt. B e a c h t e : h i e r z u i s t o f t e i n e k o n t i n u i e r l i c h e B e s t a n d k o n t r o l l e n o t w e n d i g ! Für d i e Güter d e r K l a s s e n B u n d C
v e r w e n d e t man d i e e i n f a c h s t e n L a g e r h a l t u n g s m o d e l l e .
Man verläßt
sich
h i e r o f t a u f Daumenregeln.
§5
SORTIMENTSENTSCHEIDUNG
E i n e ABC-Analyse kann z u d e r Entscheidung
führen, d a s S o r t i m e n t z u
b e r e i n i g e n u n d e i n i g e A r t i k e l überhaupt n i c h t mehr im L a g e r z u führen.
D i e s w e r d e n Güter m i t hohem K o s t e n g r a d o d e r g e r i n g e r N a c h f r a g e s e i n ,
sog.
Langsamdreher.
Seien
p^:
V e r k a u f s p r e i s p r o Stück d e s G u t e s i ,
a^:
E i n k a u f s p r e i s p r o Stück d e s G u t e s i ,
b e i d e vom W e t t b e w e r b v o r g e g e b e n . D e r Gewinn p r o B e s t e l l z y k l u s d e r Länge
T i s t dann
X. T ( p . - a.) - k. - h.D. £ •
l
i
i
l
i i 2
V
i
J
D i e G e w i n n r a t e G. = Erlös m i n u s K o s t e n p r o Z e i t l a u t e t
G. = X . ( p .
l
l i
k. + h.D. £
l
l l 2
T
>J2k.X.h.
I i i
15
Das o p t i m a l e S o r t i m e n t
Schwellenwert
führt a l l e Güter m i t p o s i t i v e r G e w i n n r a t e .
X. d e r N a c h f r a g e ,
1
Der
b e i dem G. = 0 i s t , heißt BREAK EVEN
1
POINT. Für X. < X. l i e g t d a s Gut i i n d e r V e r l u s t z o n e , für X. > X. i n
l
l
I
i
ö
der
Gewinnzone.
Abb. 5.1: B r e a k E v e n
Analyse
2k.h.
Der B r e a k E v e n P o i n t l i e g t b e i X. =
i
,
.2
(p. - a.)
l
i
v
J
E i n e s y s t e m a t i s c h e S o r t i m e n t s b e r e i n i g u n g w i r d o f t m a l s b e i Büchern
durchgeführt. F a l l s d i e A b s a t z r a t e u n t e r e i n e n k r i t i s c h e n Wert fällt,
w i r d d a s B u c h n i c h t mehr a u f g e l e g t und d i e Restbestände w e r d e n
abgestoßen. Um d e r G e f a h r
billig
e i n e s z u frühen V e r r a m s c h e n s z u begegnen,
es w i c h t i g , X. möglichst g e n a u z u kennen.
i s t
16
§6
SCHÄTZUNG DER NACHFRAGERATE X
Absatzdaten
i n n i c h t a g g r e g i e r t e r Form ( a l s o k e i n e M o n a t s - , Q u a r t a l s -
oder J a h r e s a b s a t z z a h l e n ) s t e h e n n i c h t immer z u r Verfügung. L e i c h t e r
s i n d d i e B e s t e l l d a t e n der Vergangenheit
z u e r h a l t e n . Z u r Schätzung d e r
N a c h f r a g e r a t e g r e i f e n w i r d e s h a l b a u f d i e s e zurück. S e i e n
t.:
Intervall
zwischen d e r ( i + 1 ) - t l e t z t e n und d e r i - t l e t z t e n B e s t e l -
lung (beachte: es w i r d i n d i e Vergangenheit
die
gezählt, d.h. t
i s t
i - t e zurückliegende P e r i o d e )
D^:
Bestellmenge b e i der i - t l e t z t e n B e s t e l l u n g (Nachschubbestellung!)
1.:
l
i - t l e t z t e r H i l f s w e r t für X;
1. = D./t. ( b e a c h t e : d i e B e s t e l l u n g
l
l l
D^. i s t d e r E r s a t z für d i e N a c h f r a g e
Im Losgrößenmodel1 i s t u n t e r s t e l l t , daß
v
vor der i - t l e t z t e n Bestellung)
X
k o n s t a n t i s t . Es i s t
d e s h a l b z u prüfen, ob d i e B e o b a c h t u n g e n d i e s e Annahme überhaupt
stützen. E i n e s e h r s c h n e l l e e r s t e A n t w o r t
Überprüfung d e r R e i h e
visuelle
nt
1
1.
i
l i e f e r t eine
{1.}. .
i ifc[N
;
il
t
Abb.
6.1: Z e i t r e i h e d e r B e o b a c h t u n g e n 1.
17
F a l l s w i e i n Abb. 6.1 g e z e i c h n e t , d i e B e o b a c h t u n g e n K
um e i n e n
lang-
f r i s t i g e n k o n s t a n t e n M i t t e l w e r t schwanken, dann i s t d a s a r i t h m e t i s c h e
Mi t t e 1 a u s d e n n v o r h a n d e n e n B e o b a c h t u n g e n e i n g e e i g n e t e r S c h a t z w e r t
für d a s wahre X
n
X =
-
)
n
1. .
l
L
(6.1)
v
i=l
Wählt man n u r d i e j e w e i l s m l e t z t e n B e o b a c h t u n g e n , m f e s t ,
so s p r i c h t
man v o n einem g l e i t e n d e n D u r c h s c h n i t t .
E r s t r e c k e n s i c h d i e B e o b a c h t u n g e n über e i n e n längeren Z e i t r a u m h i n w e g ,
werden i n d e r R e g e l V e r s c h i e b u n g e n
des N a c h f r a g e p r o z e s s e s
auftreten,
e t w a h e r v o r g e r u f e n d u r c h Sortimentsveränderungen, Kundenwanderung
usw.
Es i s t dann s i n n v o l l , d e n jüngeren D a t e n e i n größeres G e w i c h t z u
v e r l e i h e n a l s den älteren. B e i g e o m e t r i s c h e r G e w i c h t u n g erhält man für
n -> °°:
00
^
= (1 - p) •
V
i-1
Y
p
i=l
1
_
1
l
,
|p| < 1.
(6.2)
1
p i s t der Gewichtungsfaktor.
D i e s e Gewichtung b e s i t z t den V o r t e i l ,
bestimmen
daß s i c h X r e k u r s i v
leicht
läßt. Es i s t
X
t + 1
= (1 - p)l
l
+ pX ,
t
t = 1.2,...
(6.3)
Wir e r s e t z e n p d u r c h 1 - p und e r h a l t e n d i e i n d e r Z e i t r e i h e n t h e o r i e
übliche D a r s t e l l u n g
= pl
1^ i s t d i e j e w e i l s
l
+ (1 - p ) X
(6.4)
1
l e t z t e B e o b a c h t u n g , X^ d e r a l t e und
X
d e r neue
Schätzwert für X. D i e Äquivalenz z w i s c h e n ( 6 . 2 ) und ( 6 . 3 ) z e i g t
l e i c h t d u r c h s u k z e s s i v e s Auflösen d e r R e k u r s i o n ( 6 . 3 ) .
man
18
Das Schätzverfahren ( 6 . 3 ) bzw. ( 6 . 4 ) heißt e x p o n e n t i e l l e Glättung
e r s t e r Ordnung. D i e V e r g a n g e n h e i t s w e r t e w e r d e n m i t wachsendem A l t e r
e x p o n e n t i e l l gedämpft. D a d u r c h l i e g t d i e A d a p t i o n s g e s c h w i n d i g k e i t b e i
plötzlich F a l l a u f t r e t e n d e n N i v e a u v e r S c h i e b u n g e n w e s e n t l i c h höher a l s
mit
d e r Methode d e s a r i t h m e t i s c h e n M i t t e l s . Das w i r d
d e u t l i c h , wenn man l e t z t e r e s e b e n f a l l s r e k u r s i v
besonders
formuliert
und t s e h r groß werden läßt. D i e jüngste B e o b a c h t u n g g e h t m i t dem
Gewicht
l / ( t + l ) i n d e n n e u e n Schätzwert für X e i n . M i t zunehmender
Zeit
w i r d d i e s e r Einfluß immer g e r i n g e r . B e i d e r e x p o n e n t i e 1 l e n Glättung
hingegen b l e i b t er konstant.
D i e t h e o r e t i s c h e Begründung d e r e x p o n e n t i e l l e n Glättung e r s t e r
liegt
Ordnung
i n der M o d e l l i e r u n g einer adaptiven Erwartungshaltung nach der
Formel
E{X
t + 1
}
- E { X } = p(l
E{X
t + 1
}
= pl
t
x
- E{X })
t
,
woraus
x
+ (1 - p ) E { X }
(6.6)
t
f o l g t . S i e b e s c h r e i b t d i e S t r u k t u r v o n Z e i t r e i h e n , d i e um e i n
k o n s t a n t e s N i v e a u schwanken, w o b e i d i e s e s N i v e a u s e l b s t
zufälligen
Verschiebungen ausgesetzt i s t .
E {•} i s t d e r E r w a r t u n g s w e r t - O p e r a t o r
1
t
t
Abb. 6.2:
Z e i t r e i h e mit Niveauverschiebungen
19
D i e e x p o n e n t i e l l e Glättung i s t b e i d e r a r t i g e n Z e i t r e i h e n e i n p a s s e n d e s
Prognoseverfahren.
Die Zeitreihentheorie l i e f e r t allgemeine
darüber, für w e l c h e S t r u k t u r e n v o n Z e i t r e i h e n d i e s e s
sogar
optimal
Aussagen
Prognoseverfahren
i s t . Hierüber u n d über a u s g e f e i l t e r e V a r i a n t e n d e r
e x p o n e n t i e l l e n Glättung f i n d e t man mehr i n SCHLITTGEN/STREITBERG ( 1 9 8 4 )
und MERTENS
(1978).
Gebräuchliche W e r t e für p l i e g e n z w i s c h e n
geeigneten
Wertes p i s t s e l b s t wieder e i n Entscheidungsproblem,
die
V o r s t e l l u n g über d i e G e s c h w i n d i g k e i t
§7
GEWINNMAXIMIERUNG
Angenommen, d a s G u t w i r d zum P r e i s
a
0.01 u n d 0.1. D i e Wahl
p
der Adaption
insSpiel
eines
b e i dem
kommt.
p r o E i n h e i t v e r k a u f t , zum P r e i s
e i n g e k a u f t , u n d d i e übrigen D a t e n s i n d w i e b i s h e r . Das Z i e l i s t
Gewinnmaximierung. Der D u r c h s c h n i t t s g e w i n n
p r o Z e i t e i n h e i t beträgt
offenbar
p D - a D - k - h ^ . ?
g
=
•
m
t
7
-
1
)
wenn d i e i n e i n e m L a g e r z y k l u s a n f a l l e n d e n Erlöse u n d K o s t e n d u r c h d i e
Dauer e i n e s Z y k l u s d i v i d i e r t
\ r
A
Xk
g = MP ~ ) ~ g
a
werden.
h „
g
g = X(p - a) - c
wo
c
(7.2)
wie b i s h e r d i e Durchschnittskosten der Lagerhaltung
pro Z e i t e i n h e i t d a r s t e l l e n . Weiterhin i s t
Max g = X ( p - a ) + M a x ( - ^
D
D
- | D)
( v g l . § 3)
20
X ( p - a ) - M i n ( ^ + § D)
D
Das G e w i n n m a x i m i e r u n g s p r o b l e r n
X(p - a)
.
(7.3)
i s t also b i s auf d i e a d d i t i v e Konstante
i d e n t i s c h m i t dem K o s t e n m i n i m i e r u n g s p r o b l e m d e r
Standardlagerhaitungstheorie.
§8
BEWERTUNG EINES LAGERS
E i n B e t r i e b habe d i e L i z e n z , das Lagergeschäft b i s zum Z e i t p u n k t
b e t r e i b e n . D e r L a g e r b e s t a n d s e i y,
d e r gegebene Z e i t p u n k t
T
zu
t . Wie
groß i s t d e r w i r t s c h a f t l i c h e Wert d e s B e t r i e b s ? A n d e r s ausgedrückt, w i e
i s t das Lager
y
z u bewerten?
Der Wert d e s B e t r i e b s i s t o f f e n b a r e i n e F u n k t i o n sowohl d e s
Lagerbestandes
y
wie der verbleibenden Z e i t
T - t . E r werde m i t
v(y, T - t)
b e z e i c h n e t . Während e i n e s k l e i n e n Z e i t r a u m s
At
entwickelt er s i c h wie
folgt
v ( y , T - t ) = p XAt - hyAt + v ( y - XAt, T - t - A t ) ,
y > 0
denn d e r l a u f e n d e Erlös i s t pXAt, d i e l a u f e n d e n K o s t e n s i n d
(8.1)
hyAt und
das L a g e r nimmt ab um - X A t .
Wenn y = 0, dann
v(0,
gilt
T - t ) = -k - aD + v ( D , T - t ) ,
w e i l das Lager a u f D
verursacht.
y = 0
(8.2)
aufgefüllt werden muß, und d a s d i e K o s t e n k + aD
21
Für
v(y
v ( y - XAt, T-t - At) i n (8.1) g i l t
d i eTaylor-Approximation
- XAt, T - t - At) = v(y, T - t) - v
• XAt - v
E i n s e t z e n i n ( 8 . 1 ) und D i v i s i o n d u r c h A t e r g i b t
tialgleichung
für
t
• At
diepartielle
Differen-
v
XVy + v._ = Xp - hy
mit d e r Randbedingung
v(y,
(8-3)
( 8 . 2 ) und d e r E n d b e d i n g u n g
0) = 0
(8.4)
Damit d i e E n d b e d i n g u n g t r i v i a l
erfüllt i s t , s e i angenommen, daß
y(T) = 0
d.h., daß e i n E n d l a g e r v o n N u l l g e p l a n t worden i s t .
Es i s t n i c h t
unvernünftig z u v e r s u c h e n , d i e B e w e r t u n g s f u n k t i o n
v
zu
z e r l e g e n i n e i n e n r e i n zeitabhängigen und e i n e n r e i n mengenabhängigen
Teil
v(y,
T - t ) = w ( y ) + g • (T - t ) .
Der zeitabhängige T e i l
(8.5)
i s t außerdem h i e r a l s p r o p o r t i o n a l z u r v e r b l e i -
benden Z e i t a n g e s e t z t . Der Proportionalitätsfaktor i s t dann a l s d i e
Gewinnrate pro Z e i t e i n h e i t
zu i n t e r p r e t i e r e n .
aus d e r p a r t i e l l e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g
Differentialgleichung
0
(8.5) w i r d
( 8 . 3 ) e i n e gewöhnliche
in y
Aw'(y) + g = Xp - hy
I n t e g r a t i o n von
M i t dem A n s a t z
nach
(8.6)
y
ergibt
w ( y ) - w(0) = ( p - S ) y - |_
2
y
.
(8.7)
22
Insbesondere
w(0) = 0 .
Für y = D e r h a l t man b e i Verwendung d e r R a n d b e d i n g u n g ( 8 . 2 )
D
h
w(D) - w ( 0 ) = k + a D = ( p - S ) D - | ^
Daraus bestimmt s i c h d i e Gewinnrate
g = X[p - a - | - | ^ D ]
Mit der Rate
a
verdient,
X
L
F
2
.
g als
.
(8.8)
w i r d d i e Gewinnspanne v o n
k
" D "
h
n
2 X
D
=
P
c s i n d d i e Stückkosten p r o Z e i t ( v g l . ( 3 . 3 ) ) . E i n s e t z e n v o n
( 8 . 8 ) und w ( 0 ) = 0
i n ( 8 . 7 ) e r g i b t den Wert e i n e s L a g e r s
y
zu
Der Wert d e s Unternehmens s e t z t s i c h zusammen a u s dem Wert d e s L a g e r s
( 8 . 9 ) und dem Wert d e r v e r b l e i b e n d e n Z e i t g • ( T - t ) . Der Wert d e s
L a g e r s i s t e i n e q u a d r a t i s c h e und n i c h t e i n e l i n e a r e oder
proportionale
F u n k t i o n d e s L a g e r b e s t a n d s . E r e r r e i c h t s e i n Maximum b e i
*
y
Ma
=
+
g + JkD)
r
•
y* = X f + D
(8.10)
u n t e r Verwendung d e r W i l s o n s c h e n Losgrößenformel für D. Der Wert d e s
L a g e r s s t e i g t a l s o m i t dem B e s t a n d im g a n z e n B e r e i c h
0 < y < D.
23
B e t r a c h t e t man n u r d e n M e h r w e r t d e s L a g e r s m ( y ) , d.h. d e n Uberschuß
über dem E i n k a u f s p r e i s
m
x
/ \
/-k
( y ) = (D
m(y)
a , dann i s t gemäß ( 8 . 9 )
h n
2 A
+
2kh
X
*
y
D
)
h
" 2X
^
y
h
" 2X
2
y
2
(8.11)
y
D i e s e r M e h r w e r t nimmt s e i n Maximum a n , wenn
2kh _ h
X
X
2kX
* y
= D
D i e o p t i m a l e B e s t e l l m e n g e i s t a l s o z u g l e i c h d i e j e n i g e , d i e den Mehrwert
eines Lagers maximiert.
D i e Bewertung
v o n Lagerbeständen u n d i h r e s a u b e r e T r e n n u n g v o n dem
Z e i t w e r t e i n e s Unternehmens s i n d e i n b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h
aktuelles
P r o b l e m (GRUBBSTRÖM).
§9
MENGENRABATT
E i n e M o d i f i k a t i o n d e s S t a n d a r d m o d e l l s i s t n o t w e n d i g b e i e i n e r Gewährung
von Mengenrabatt.
1.
W i r u n t e r s c h e i d e n z w e i Fälle:
Fall
Mengenrabatt
w i r d n u r für d i e
überschreitende Menge gewährt.
24
Stückpreis
B e s t e l l menge D
Abb.
D
> q
i s t kein
9.1: R a b a t t s t a f f e l
interessanter F a l l .
W i r nehmen d e s h a l b D
M
- o
< q
a n und
be-
f r a g e n zunächst n a c h d e r o p t i m a l e n B e s t e l l m e n g e
b e s t e l l t wird.
D, f a l l s mehr a l s q ^
D i e d u r c h s c h n i t t l i c h e n Stückkosten s i n d
D
p
L
ry
\
k + qo a o + f(D-q
a
o 1
"
D
wobei K = k + % (
v
a
a
0
~ ^ ) - ^
H
i s t
;
1
D
+ u
h •2 ~ •X r-
konvex. Wir l a s s e n d i e Bedingung
D > q ^ im A u g e n b l i c k außer a c h t und e r h a l t e n über dC/dD = 0 a l s
minimierende
Losgröße
25
Es i s t z u prüfen, ob D >
Minimum. Für D > q
bleibt
sind
Q
festzustellen,
i s t . Für D < q^ i s t C(D ) d a s g l o b a l e
C ( D ) und C(D ) z w e i r e l a t i v e M i n i m a und es
w e l c h e s v o n b e i d e n das g l o b a l e Minimum i s t . Der
Stückkostenvergleich l i e f e r t
2kh
X
+ a
o
(beachte: C = c + a)
2Kh
§
Fall
(9.2)
+
—
a
l
D*
Fall
D
Beispiel:
40.
= 100, D
o
Wie groß muß d e r M e n g e n r a b a t t x = a - a^ s e i n ,
Sei
k = 8, h = 0.01, X = 1, q
Q
noch
lohnt,
d a m i t es s i c h
gerade
i h n i n A n s p r u c h z u nehmen?
Der V o r t e i l h e b t s i c h a u f b e i
0.4 + x =
=>
2 ( 8 -f lOOx) * 0.01
1
x = 1.2 .
I s t auch s i c h e r D > q ?
q
2 ( 8 + 120)
* 0.01
2.
1
=
1
R
6
n
0
N
q
> '
Fall
Der n i e d r i g e r e P r e i s
sobald D > q i s t .
~ o
a ^ w i r d für d i e gesamte B e s t e l l m e n g e D gewählt,
26
Stückpreis
falls D < q
falls D > q
Bestellmenge D
Abb.
9.2
Stückpreis m i t R a b a t t (D > q )
und ohne R a b a t t (D < q^)
Sei wieder D
< q . Dann w i r d
o
s i c h eine Bestellmenge D > q
o
sicher
n i c h t r e n t i e r e n . V i e l l e i c h t aber D = q ? Dazu w i e d e r d e r K o s t e n v e r o
gleich a l s Kriterium
2kh
—
<
+
a
o
>
k
cT
+
o
h
2X *
%
+
a
(9.3)
l '
Fall D = q
Fall D
Beispiel:
Mit denselben Kostenwerten wie vorher l i e f e r t
0.4 + x
Indifferenz herrscht
wesentlich
geringer
5
8
100
0.01
2
das K r i t e r i u m (9.3)
100
b e i x = 0.18. D e r R a b a t t s p r u n g i s t j e t z t
a l s im e r s t e n
Fall.
27
§10 SAMMEL- ODER EINZF.I .RESTELLUNG ?
B e z i e h t man m e h r e r e Güter vom g l e i c h e n L i e f e r a n t e n ,
Umständen e i n e S a m m e l b e s t e l l u n g
k. , h ^ , X
i
lohnen.
so kann s i c h u n t e r
Seien
: f i x e B e s t e l l k o s t e n , L a g e r k o s t e n s a t z und N a c h f r a g e r a t e v o n
Gut i
f i x e B e s t e l l k o s t e n b e i Sammelbestellung.
k
o
Einzelbestellung•
D i e K o s t e n p r o Z e i t e i n h e i t (ohne p r o p o r t i o n a l e
Bestellkosten)
betragen
im D u r c h s c h n i t t ( v g l . ( 3 . 2 ) )
(10.1)
i
SammelbestellungD i e W i e d e r b e s t e l l z e i t muß für a l l e Güter d i e s e l b e
s e i n . B e i einem
B e s t e l l z y k l u s d e r Länge t e r f o r d e r t d i e s E i n z e l l o s e D^ = X^ • t . D i e
K o s t e n e i n e s Z y k l u s p r o Z e i t e i n h e i t (wiederum ohne
Bestellkosten)
proportionale
s i n d ( v g l . (3.1))
c
t
s
Deshalb l a u t e t d i e Z i e l f u n k t i o n
2k
T
o
(10.2)
28
W i r s e t z e n d i e o p t i m a l e Zykluslänge T i n (10.2) e i n und e r h a l t e n a l s
minimale Kosten c
für d i e S a m m e l b e s t e l l u n g
g
hr
^ 2.
k
O l l
X.
J J
2 N I Z . I I
N I 2 Z . I I
y
s
c
=
2k
S
Vergleich:
c^
NI
^
c
h.x.
L
11
y h.X.
1
OL
g
y
y
h.x.
, d.h.
.
?
gemeinsame F a k t o r e n kürzen, so daß
die
lautet:
y ^k.h.X.
L
1.
h.x.
l l
h.X.
1
B e i m K o s t e n v e r g l e i c h k a n n man
Frage
L
y
I
M
^
;
(k y
U L
h.X.
I i
Fall:
k^ = ^ k^,
d.h.
b e i den f i x e n B e s t e l l k o s t e n w e i s t d i e S a m m e l b e s t e l l u n g
gegenüber d e r E i n z e l b e s t e l l u n g k e i n e n V o r t e i l a u f . D i e Rechnung z e i g t
y
L
>j¥. 4 h T 7
l
i i
=: K.
l
=:
A.
l
^ \ y k.
>
Z,
l
J~y~h~x~
Z.
l l
29
i
i
i
L i n k s s t e h t d a s S k a l a r p r o d u k t d e r b e i d e n V e k t o r e n K, A und r e c h t s d a s
Produkt
i h r e r Beträge. E s i s t d e s h a l b
i
Um t r i v i a l e
i
i
Fälle auszuschließen, können w i r i n d e r R e g e l K,A > 0
v o r a u s s e t z e n . Dann entfällt d a s G l e i c h h e i t s z e i c h e n und d i e E i n z e l b e s t e l l u n g i s t demnach günstiger a l s d i e S a m m e l b e s t e l l u n g .
Grund: B e i
der E i n z e l b e s t e l l u n g werden d i e i n d i v i d u e l l v e r s c h i e d e n e n o p t i m a l e n
L o s e D^ b e s t e l l t .
2.
B e i der Sammelbestellung
i s t d a s n i c h t möglich.
Fall:
k
= k. = k. H i e r e r w a r t e t man v o n d e r S a m m e l b e s t e l l u n g
O l
K o s t e n v o r t e i l . D i e Rechnung bestätigt d a s . Es i s t
einen
K \ fR •
Q u a d r i e r e n a u f b e i d e n S e i t e n l i e f e r t d i e e i n d e u t i g e Aussage
2
<K> > l \
k
3.
für A
i
> 0 .
Fall:
k. = k + n.;
l
l
k
o
= k + ) n.; d.h. d i e f i x e n B e s t e l l k o s t e n s e t z e n s i c h
L i
i
a u s einem G r u n d w e r t k und einem produktabhängigen Wert n^ zusammen.
H i e r kann s o w o h l
c
e
< c
s
a l s auch c
> c
sein.
e
s
30
§11
OPTIMALE AUFLEGUNG BEI EIGENPRODUKT ION
Losgrößen t r e t e n n i c h t n u r b e i H a n d e l s l a g e r n a u f , s o n d e r n a u c h i n d e r
Fertigung. Wir betrachten den einfachen F a l l
der sog. "offenen
P r o d u k t i o n " , d.h. P r o d u k t i o n b e i l a u f e n d e r Entnahme a u s dem F e r t i g t e i l lager.
Ein
Beispiel
i s t d i e Motorenfertigung
i n einer Automobilfirma.
Das P r o -
d u k t i o n s p r o g r a m m für d a s nächste H a l b j a h r s i e h t d i e H e r s t e l l u n g v o n
V i e r z y l i n d e r f a h r z e u g e n m i t k o n s t a n t e r R a t e v o r . An d e r Montagestraße
werden d i e s e F a h r z e u g e täglich m o n t i e r t . Wie groß s i n d d i e F e r t i g u n g s l o s e der Motoren?
Sei
u.:
Produktionsrate,
u. > X
D:
Losgröße abzüglich d e r l a u f e n d e n Entnahmen während d e r P r o d u k t i o n s z e i t e i n e s L o s e s (Nettolosgröße).
Der L a g e r v e r l a u f h a t d i e f o l g e n d e
Charakteristik
Lager
D
t
Abb.
D
_D
p-X
X
11.1: L a g e r v e r l a u f b e i E i g e n p r o d u k t i o n
31
Die Kosten p r o Z e i t e i n h e i t
lauten
J'H
k +h
c =
+
jT^x)
-> M i n
D
(11.1)
D i e o p t i m a l e Nettolosgröße i s t
D =
2k
h
1
1
(11.2)
1
IL ~ X
A n s t e l l e der Rate X i n (2.2) t r i t t
und
j e t z t das harmonische M i t t e l aus X
u. - X a u f :
D i e Losgröße d e r A u f l e g u n g
i s t ( u n t e r Berücksichtigung d e r l a u f e n d e n
Entnahme während d e r P r o d u k t i o n )
D = v
•
D
\i -
2kX
s
X
Die f i x e n B e s t e l l k o s t e n k
h
u - X
s i n d im v o r l i e g e n d e n F a l l
d i e Kosten
für
das E i n s t e l l e n und R e i n i g e n d e r P r o d u k t i o n s l a g e r und d i e A n l a u f k o s t e n
(Ausschußproduktion z u B e g i n n d e r A u f l e g u n g ) .
§12
LAGERDEFIZITE ERLAUBT
B i s h e r b e t r a c h t e t e n w i r das Lagerhaitungsmodell
bedingung: Bestand
s t e t s u n t e r d e r Neben-
y > 0. J e t z t s e i e n a u c h L a g e r d e f i z i t e
erlaubt.
W i r u n t e r s c h e i d e n z w e i Fälle:
a ) LOST SALES CASE. N i c h t b e f r i e d i g t e N a c h f r a g e
geht v e r l o r e n .
b) BACKORDER CASE.
w i r d zurückgestellt,
N i c h t b e f r i e d i g t e Nachfrage
b i s w i e d e r Lieferfähigkeit
vorliegt.
32
Wir
b e t r a c h t e n d e n BACKORDER CASE. I h n k a n n s i c h i n d e r P r a x i s n u r e i n
k o n k u r r e n z l o s e s Unternehmen l e i s t e n , a l s o e i n M o n o p o l i s t
(mit der
E i n s t e l l u n g " t h e p u b l i c be damned"). A n d e r s i s t es b e i s t o c h a s t i s c h e r
N a c h f r a g e . D o r t k a n n man s e l b s t b e i b e s t e m W i l l e n n i c h t
eine
1 0 0 % - i g e Liefererfüllung
In der Regel wird
i n jedem
Fall
garantieren.
es e t w a s k o s t e n , wenn F e h l m e n g e n a u f t r e t e n .
Falls
d i e s e K o s t e n n i c h t z u h o c h s i n d , können s i c h L a g e r d e f i z i t e d u r c h a u s
lohnen.
Lager y
T
Abb.
12.1: O p e r a t i o n s c h a r a k t e r i s t i k
eines
Lagers
m i t F e h l m e n g e n (BACKORDER CASE)
33
D i e L a g e r d e f i z i t e M w e r d e n m i t dem p r o p o r t i o n a l e n
g
Fehlmengenkostensatz
bewertet.
Die Kosten pro Z e i t lauten
k
+
. - D . D,
h
+
.
. -
g
-M M
Min
D,M
( D + M )/X
.
(12.1)
c(D,M) i s t k o n v e x . Aus
h 2
2
gM(D+M)-
n
de . _
a
M
ac
a
kX
(D+M)
:
D
kx
(D+M)
2
+
(D+M)
(D+M)
2
,
42
^
_
U
_
2
(D+M)
- \
(D+M)
2
p
2
!
0
2
G l e i c h h e i t der Zahlerterme
hD(D+M) = gM(D+M)
folgt
D _ I
M " h
Das D e f i z i t
kosten
i s t a l s o s t e t s größer N u l l ,
(12.2)
e g a l w i e hoch d i e Fehlmengen-
sind.
Grund'- D i e F e h l mengenkos t e n s t e i g e n , f a l l s man d i e B e s t e l l u n g über
hinauszögert,
q u a d r a t i s c h m i t d e r Z e i t ( t - T ^ ) . Für k l e i n e A t = t - T ^
i s t d i e K o s t e n p a r a b e l s e h r f l a c h . D i e zurückgestellte
N a c h f r a g e m e n g e Aq
v e r u r s a c h t k e i n e L a g e r k o s t e n . Würde man s i c h a b e r s o e i n d e c k e n , daß man
a u c h n o c h Aq b e f r i e d i g e n könnte, müßte man Aq für d e n g a n z e n Z e i t r a u m
T- l a g e r n .
Aus
(12.2) f o l g t :
34
g
T
h
1
2
_
- — T+ g
T .
g + h
Damit w i r d d i e K o s t e n f u n k t i o n z u
c =
X
1
c -» M i n
2k
X
Die optimale
00
1
l
2
+ g —
T ] =
2
de
12
(I
h
+
+
h
2 (g-Th)
+
g
2 (g^Th)
I)
g
(12.3)
J
Bestellung i s t
reduzieren
Formeln (2.2),
§13
X T
T
-^r
l
D + M
Für g ->
T
[k + h —
T
2kA(i
+
(12.4)
i )
s i c h diese beiden Ergebnisse
auf d i e bekannten
(2.3).
GANZZAHLIGKEIT DES LOSES
In unserem L a g e r h a l t u n g s m o d e l l
war d i e B e s t e l l m e n g e b i s h e r e i n e
reelle
Zahl. B e i k l e i n e n Losen jedoch darf d i e Forderung nach d e r
G a n z z a h l i g k e i t n i c h t mehr vernachlässigt werden. D i e L a g e r k o s t e n p r o
Zyklus
sind
jetzt
35
1
,
D-l
V ,
h
n
i=0
Hier
.
h D(D + 1)
j=l
i s t ^ d i e Zeitdauer,
Stand b l e i b t ,
V
während d e r das L a g e r a u f dem j e w e i l i g e n
d.h. d i e Z e i t z w i s c h e n z w e i N a c h f r a g e n .
Die Z i e l f u n k t i o n c (Kosten
e i n e s B e s t e l l z y k l u s p r o Z e i t e i n h e i t , ohne
proportionale Bestellkosten) i s t
c = ^ +
U
Z
(13.1)
| (D + 1) ^ M i n
D € IN
D i e B e d i n g u n g für d a s Minimum e i n e r k o n v e x e n F u n k t i o n
Zahlen n l a u t e t (siehe d i e folgende
c _ = M i n {c }
n*
n
1
J
m
Abb.
13.1:
=>
Man b e t r a c h t e t d i e e r s t e n
A b b i l d u n g 13.1)
c ^
n*-l
konvexe F u n k t i o n
1
> c ^ < c ^
n*
n*+l
l
1
c ^ m i t g a n z z a h l i g e m Argument
Differenzen
A : = c - c ,
n
n
n-1
Bei n* schlagen
c ^ i n ganzen
s i e vom N e g a t i v e n i n s P o s i t i v e um.
36
Beispiel:
Für X = 1, h = 1, k = 1 wäre d i e o p t i m a l e Losgröße D n a c h d e r
WILSONschen F o r m e l
( 2 . 1 ) D = >l2.
S o l l man nun a u f - o d e r a b r u n d e n ? B e s s e r
sondern
D
i s t es, n i c h t von D auszugehen,
m i t H i l f e der e r s t e n D i f f e r e n z e n zu berechnen.
Für d i e Z i e l f u n k t i o n ( 1 1 . 1 ) i s t
A
i = I
+
1
1
" 6 <
0 ;
3
g + 2 ~ ^ ~ ^
;
^
^
a s
Minimum t r i t t a n den z w e i
S t e l l e n n = 1 und n = 2 a u f
i + 2 - 2 > 0 .
Also sind D
§14
= 1 und D
=2
z w e i g l e i c h b e r e c h t i g t e Lösungen.
BERÜCKSICHTIGUNG VON STELLITÄCHEN IM LAGER
R e s e r v i e r t e Stellfläche
Um i n e i n e m M e h r p r o d u k t l a g e r
a u f e i n b e s t i m m t e s Gut s c h n e l l z u g r e i f e n
z u können, w i r d für d i e s e s Gut immer e i n und d i e s e l b e Stellfläche
vorgesehen.
D i e Lagerflächenkosten hängen dann v o n d e r r e s e r v i e r t e n
Fläche ab. S i e i s t g l e i c h b e d e u t e n d m i t d e r m a x i m a l e n Lagermenge, a l s o
m i t D.
Sei
hj:
mengenproportionaler
Lagerkostensatz
h^'*
flächenproportionaler L a g e r k o s t e n s a t z .
D i e K o s t e n p r o Z e i t e i n h e i t für e i n e n L a g e r z y k l u s d e r Länge D/A
,
k
, D
D
* l 2 ' X
D/X
h
+
.
h
2
D
D
n
' X
lauten
37
S i e w e r d e n m i n i m a l b e i d e r Losgröße
D =
h
l
+
2 h
2
D i e e f f e k t i v e n L a g e r k o s t e n s e t z e n s i c h a l s o zusammen a u s d e n L a g e r kosten
h^
u n d d e n d o p p e l t e n Flächenkosten.
Z e i t l i c h e Abstimmung v o n B e s t e l l m e n g e n
Es w e r d e n z w e i Güter g e l a g e r t . Stellflächen werden n i c h t
reserviert.
Der B e s t e l 1 r h y t h m u s i s t b e i b e i d e n Gütern g l e i c h . D i e Zykluslänge s e i
T. Man k a n n d i e b e i d e n B e s t e l l z e i t p u n k t e so g e g e n e i n a n d e r v e r s e t z e n ,
daß d i e m a x i m a l benötigte G e s a m t s t e l l f l a c h e möglichst g e r i n g w i r d . W i r
bezeichnen
T:
P h a s e n v e r s c h i e b u n g d e r B e s t e l l u n g e n v o n Gut 2.
38
Der G e s a m t b e s t a n d w e i s t z w e i S p i t z e n a u f .
S p i t z e 1:
B e i B e s t e l l u n g v o n Gut 2.
S p i t z e 2'
B e i B e s t e l l u n g v o n Gut 1.
Die
optimale Phasenverschiebung e r g i b t s i c h aus der Bedingung
M i n {Max { S p i t z e 1 | S p i t z e 2 } } .
Das Minimum w i r d angenommen, wenn d i e b e i d e n S p i t z e n g l e i c h h o c h s i n d :
X T + X^T
- T) = X T + X r
2
X
(14.2)
2
X.
(14.3)
X
l
+
X
2
S e t z e n w i r r i n (12.2) e i n , e r h a l t e n w i r den M a x i m a l b e s t a n d
X
Max { y
Er
y } =
x +
2
2
l
2
+
X
X
1 2
^
^
+
+
X
2
(14.4)
T
i s t s y m m e t r i s c h i n X und p r o p o r t i o n a l z u T / ( X ^ +
'
B e i k o n s t a n t e m Wert d e r G e s a m t r a t e X^ + X^ nimmt d e r A u s d r u c k
X
l
+
X
X
X
1 2
l
+
X
+
X
2
2
e i n Minimum für X^ = X^ a n . Der B e w e i s b l e i b t dem L e s e r überlassen.
39
§15
BuTCETBESCHRÄNKUNG
I n e i n e m M e h r p r o d u k t l a g e r k o n k u r r i e r e n d i e e i n z e l n e n Güter um d e n
Stellplatz.
B e i knappem L a g e r r a u m k a n n man d e s h a l b n i c h t e r w a r t e n , daß
jedem G u t i d i e g e s a m t e Fläche z u r L a g e r u n g d e r o p t i m a l e n Losgröße D..
a u s ( 1 4 . l ) eingeräumt w i r d .
von
I n d e r R e g e l muß man m i t e i n e m B r u c h t e i l
auskommen. D i e s führt z u e i n e m L a g e r h a l t u n g s m o d e l l m i t K a p a -
zitätsrestriktion. A n s t e l l e d e s b e g r e n z t e n L a g e r r a u m e s k a n n a u c h d a s
zur
Verfügung s t e h e n d e K a p i t a l
l i m i t i e r t s e i n : entweder das Umlauf-
vermögen im L a g e r o d e r d a s Girovermögen, b e g r e n z t d u r c h d i e K r e d i t linie,
f a l l s a l l e Bestellungen innerhalb eines Lagerzyklus
b e z a h l t werden.
Seien
b^:
Raumbedarf o d e r P r e i s p r o E i n h e i t v o n Gut i
b^:
Gesamt lägerkapazitat o d e r B u d g e t
:
Wir
gleichzeitig
Losgröße
minimieren d i e Kosten
^ c^, e i n e s Z y k l u s p r o Z e i t e i n h e i t
i
(vgl.
(2.1)):
(15.1)
u n t e r der Nebenbedingung
N
y b.x. < b
L
l l " o
i =l
v
(15.2)
'
m i t t e l s d e r Methode d e r L a g r a n g e M u l t i p l i k a t o r e n :
Die
N e b e n b e d i n g u n g ( 1 5 . 2 ) w i r d vermöge des L a g r a n g e - M u l t i p l i k a t o r s ß a n
die
Z i e l f u n k t i o n a n g e k o p p e l t . D i e so e r w e i t e r t e F u n k t i o n heißt L a g r a n g e
Funktion L
40
- k.X.
_ h.
+
ß
> -y
o
L
T
wegen M i n !
L i s t e i n e konkave F u n k t i o n ,
,,
,
dx.
1
b.x.
l l
(15.3)
> 0
deshalb
k.X.
h.
2
x.
2
M
i s t für e i n Extremum h i n r e i c h e n d
i
(15.4)
Für ß = 0, d.h. wenn d i e Budgetbeschränkung n i e w i r k s a m i s t , w i r d a u s
( 1 3 . 4 ) w i e d e r d i e a l t e WILSON-Formel ( 2 . 2 ) . D e r V e r g l e i c h d i e s e r
beiden
F o r m e l n z e i g t , daß s i c h d i e Budgetbeschränkung i n Form erhöhter L a g e r k o s t e n a u s w i r k t . Wenn man a l s L a g e r k o s t e n
n u r d e n Z i n s a n s e t z t , z u dem
s i c h d a s K a p i t a l r e n t i e r t , u n d wenn b^ d e r K a p i t a l e i n s a t z p r o E i n h e i t
von G u t i i s t , dann führt d i e Budgetbeschränkung z u e i n e r Erhöhung d e r
nominalen
Zinsen.
I n t e r p r e t i e r t man d i e N e b e n b e d i n g u n g ( 1 5 . 2 ) a l s Platzbeschränkung, dann
ist
i h r e A u s w i r k u n g e i n e zusätzliche P l a t z m i e t e v o n 2ß p r o E i n h e i t s -
flache.
Wann f i n d e t b e i a l l e n Gütern e i n e R e d u k t i o n d e r B e s t e l l m e n g e ( u n d d a m i t
des L a g e r s ) um d i e s e l b e n P r o p o r t i o n e n
b. - h.
l
l
denn m i t b .
s t a t t ? Dafür i s t h i n r e i c h e n d
,
= a h . , a € R, i = l , 2 , . . . , N
I
wird
(15.4) z u
v
i
2k.X.
l l
x. =
l
>lh (l+2aJ3)
i
J
41
Das O p t i m i e r u n g s p r o b l e m
( 1 5 . 1 ) , ( 1 5 . 2 ) läßt s i c h a u c h a l s N i c h t 1 i n e a r e s
Programm f o r m u l i e r e n
x
r
x
NB:
N
u
k.X.
N
f
Min
1
1
h.
,
1
+
x.
l
y b.x.
1)
i.L.= l
J
2)
1
1
x . > 0,
x.
l
2
< b
_
O
i = 1,2...,N.
Da j e t z t d e r O p t i m i e r u n g s b e r e i c h a u f x^ > 0 eingeschränkt i s t ,
könnte
a u c h e i n Randextremum a u f t r e t e n , a b e r das i s t i n d e r o b i g e n Z i e l f u n k t i o n n i e der F a l 1 .
Bestimmung v o n ß ' E s g i l t ^
Daraus
> 0. Da a l l e x.. > 0, i s t s o g a r
= 0.
folgt
X.k.b
2
I i i
i=l
h.
2
1
*
i
ßh
J e größer b , d.h. j e schwächer d i e N e b e n b e d i n g u n g w i r k t , d e s t o
wird ß .
kleiner
42
b
b
o
Abb.
Bei b
Q
15.1:
Zusätzliche K o s t e n ß i n Abhängigkeit vom B u d g e t
> b w i r d d a s B u d g e t n i c h t mehr v o l l
Beispiel:
Lagerkosten
r
:
Zinsen
h. = r a .
l
l
:
Kapitalbindungskosten
b. = a .
l
l
:
prop.
a
x
^ ^^
i
D
:
0
beansprucht.
Bestellkosten
Budgetbesehränkung
Es i s t
X.k.
l l
x.
l
1
<
r
2"
+
— u
ß a
i
X.k.
l l
>i a .
l
+ ß
ß i s t d i e K n a p p h e i t s r e n t e , d i e a u f das K a p i t a l g e z a h l t w i r d .
43
—
y a.x. =
L
i=l
J
1
+
l P
l
y
.L
i
>lX.k.a.
I
i
i
y^TOTaI
Z,
i=l
i
i
X.k.
l
o
l
a.
x. =
i ~ N
y >JX.k.a.
£
J JJ
j=l
>JX.k.a.
.
3> a . x . =
l
l
I
i
i
-T?
N
,
b
o
y ^X.k.a.
L
J JJ
j=l
Aus d e r l e t z t e n G l e i c h u n g i s t e r s i c h t l i c h , daß s i c h h i e r d i e Verhältn i s s e a . x . / a . x . d e r e i n z e l n e n Losgrößen z u e i n a n d e r n i c h t ändern, wenn
i i JJ
man d a s B u d g e t b
§16
Bis
Q
erhöht.
BEKANNTE NICHTKONSTANTE NACHFRAGE
j e t z t wurde d i e N a c h f r a g e
a l s ausschließlich k o n s t a n t über e i n e n
u n e n d l i c h langen Zeitraum b e t r a c h t e t . B e i Handelslagern
t r i f f t dies nur
i n Ausnahmefällen z u . E h e r i s t e i n e d e r a r t i g e S i t u a t i o n b e i F e r t i g u n g s lägern g e g e b e n , wo z. B. K a u f t e i l e a u f L a g e r g e h a l t e n werden, d i e zum
Einbau
i n e i n S e r i e n p r o d u k t d i e n e n . Aber auch d o r t i s t e i n e
konstante
Produktionsrate s e l t e n . Wir lassen deshalb diese einschneidende
setzung f a l l e n . S e i
Voraus-
44
:
N a c h f r a g e n i n d e n v o r uns l i e g e n d e n P e r i o d e n
i = 1,2...,n.
Die Nachfrage i s t a l s o b i s z u r Periode n bekannt.
Beispiel:
Automobilwerk
Auf Käuferwunsch k a n n d e r PKW m i t einem hölzernen S p o r t l e n k r a d a u s g e rüstet werden. Aus d e r Stücklistenauflösung d e s F a h r z e u g p r o g r a m m e s für
das v o r l i e g e n d e Q u a r t a l e r g i b t s i c h d e r tägliche B e d a r f
rädern. S i e w e r d e n b e i m Z u l i e f e r e r b e s t e l l t .
an obigen
Lenk-
Was i s t d i e o p t i m a l e
Los-
größe?
Man könnte d i e s e s P r o b l e m a l s g a n z z a h l i g e s O p t i m i e r u n g s p r o b l e m
P l a n u n g s h o r i z o n t n f o r m u l i e r e n . D i e s wäre j e d o c h e i n e
Fehlspezifika-
t i o n , denn b e r e i t s nach einem B r u c h t e i l des P l a n u n g s h o r i z o n t s
neue I n f o r m a t i o n über d e n B e d a r f
e i n e v e r g e b l i c h e Mühe, d i e s e s P r o b l e m e x a k t
Für e i n e p r o b l e m g e r e c h t e
liegt
für d i e Z e i t n a c h n v o r . W i r h a b e n es
genau genommen m i t einem r o l l i e r e n d e n P l a n u n g s h o r i z o n t
deshalb
mit
z u t u n . E s wäre
lösen z u w o l l e n .
M o d e l l i e r u n g g i b t e s z w e i Möglichkeiten".
a) E n t w e d e r man weiß, w i e s i c h d a s P r o b l e m i n d e r Z u k u n f t
verhält, d.h.
man k a n n z u m i n d e s t W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n für zukünftige N a c h f r a g e n
a n g e b e n . D e r a r t i g e M o d e l l e werden später
b) Oder man b e t r a c h t e t es a l s e i n e n d l o s e s
lange e i n e B e s t e l l u n g a u s r e i c h e n s o l l .
s o , daß d i e D u r c h s c h n i t t s k o s t e n m i n i m a l
Bestand
a u f N u l l abgesunken i s t ,
behandelt.
P r o b l e m . Man f r a g t , w i e
D i e s e n Z e i t r a u m T wählt man
werden. J e d e s m a l ,
wenn d e r
w i e d e r h o l t man d i e s e n V o r g a n g . Im
n a c h h i n e i n b e t r a c h t e t i s t d i e s e Methode s i c h e r n i c h t o p t i m a l , a b e r
sie
i s t p r a k t i k a b l e r a l s d i e e x a k t e Methode, w e i l man m i t e i n e r
neuen E n t s c h e i d u n g
horizont abgelaufen
n i c h t zu warten b r a u c h t , b i s der ganze
ist.
In der L i t e r a t u r
Planungs-
i s t d i e s e Methode a l s
SILVER-MEAL H e u r i s t i k b e k a n n t (SILVER & MEAL ( 1 9 7 3 ) ) .
Die Z i e l f u n k t i o n l a u t e t a l s o "minimiere
ersten
d i e D u r c h s c h n i t t s k o s t e n des
Bestellzyklus"
c ( T ) -» M i n
T
(16.1)
45
c(T)
Beachte^
= I +
+ A ^ f T - 1) + ... + X j ]
.
(16.2)
d i e Menge X^ w i r d i P e r i o d e n l a n g g e l a g e r t . D i e M i n i m i e r u n g
geschieht
i n d e r d i s k r e t e n V a r i a b l e n T. D i e O p t i m a l i t a t s b e d i n g u n g e n
lauten
c ( T ) - c ( T - 1) < 0 ;
(16.3)
c ( T + 1) - c ( T ) > 0 .
Sie
s i n d jedoch nur notwendig,
aber n i c h t h i n r e i c h e n d , da (16.2) i . a .
n i c h t konvex i s t .
T
D i e Konvexität i s t g e s i c h e r t ,
falls ^
^ i X ^ monoton i s t , d.h. für
i=l
T
(T + 1 ) X
Beispiel:
Y i
i=l
i X
:
T
=
1
>
2
n
'
1
2
3
4
5
6
7
8
5
3
6
2
4
3
4
7
12
6
4
3
2.4
2
1.7
1.5
5
11
29
37
57
75
103
159
0.5
0 55
0 97
0 93
1.14
1.25
1.47
1.99
12.5
6 55
4 97
3 93
3.54
3.25
3.18
3.49
k/T
l
>
S i e k = 12, h = 0.1, n = 8
T
f
T + 1
l
X
i
c(T)
T = 7
für h = 1 e r g e b e n
c(T)
|
s i c h zwei l o k a l e
17
11.5
T = 2
13.7
Minima!
12.3
13.8
14.5
16.4
21.4
46
J e t z t b e t r a c h t e n w i r das Problem
i n kontinuierlicher
Zeit.
T
1
c(T) = ± [k + h / t X ( t ) d t ]
o
Minimierung
.
bezüglich T:
T
de '
— = 0:
dT
U
T^XfT) - / t X ( t ) d t
T
Ij = h [ T X ( T ) - i / t X ( t ) d t ]
i [ k + / t X ( t ) d t ] o= hTX(T)
o
Durchschnittskosten
b e z o g e n a u f d i e Z e i t , für
die d i e Bestellung ausreichen s o l l
Grenzkosten des
Bestellzyklus
D i e s e G l e i c h u n g o f f e n b a r t d a s ökonomische P r i n z i p :
Im Kostenminimum müssen d i e D u r c h s c h n i t t s k o s t e n g l e i c h
den G r e n z k o s t e n
sein.
A n d e r e V e r f a h r e n s i n d z.B. d a s V e r f a h r e n d e r g l e i t e n d e n w i r t s c h a f t l i c h e n Losgröße ( M i n i m i e r u n g d e r Stückkosten e i n e s L o s e s ) und d a s
" P a r t - P e r i o d - V e r f a h r e n " v o n DeMATTEIS & MENDOZA ( 1 9 6 8 )
kriterium:
b e i d e r o p t i m a l e n Losgröße s i n d d i e B e s t e l l - und d i e L a g e r -
k o s t e n g l e i c h groß). L e t z t e r e s l i e f e r t
(vgl.
(Minimierungs-
i n der Regel bessere
Ergebnisse
OHSE ( 1 9 7 0 ) ) .
U n t e r s u c h u n g e n v o n KNOLMAYER (1985) haben g e z e i g t , daß b e i N a c h f r a g e r a t e n , d i e um e i n e n k o n s t a n t e n M i t t e l w e r t
MEAL angegebene H e u r i s t i k
schwanken, d i e v o n SILVER und
d i e besten Ergebnisse
liefert.
47
Von
S I L V E R und MILTENBURG ( 1 9 8 4 ) stammen z w e i M o d i f i k a t i o n e n d i e s e s
Verfahrens.
D i e e i n e wurde für d e n F a l l monoton f a l l e n d e r
e n t w i c k e l t u n d d i e a n d e r e für d e n F a l l
sporadischer
Nachfrage
Nachfrage.
Es g i b t natürlich a u c h S i t u a t i o n e n , i n denen es s i n n v o l l
i s t , das L o s -
größenproblem e x a k t z u lösen, z.B. wenn e i n Z w e i g w e r k i n n a h e r
g e s c h l o s s e n werden s o l l .
Das P r o d u k t i o n s p r o g r a m m i n d i e s e r
Zukunft
Auslaufphase
l i e g t f e s t und d a m i t a u c h d i e B e d a r f s r a t e v o n R o h m a t e r i a l i e n i n d e n
verschiedenen
Perioden. E i n e r o l l i e r e n d e Planung
i s t h i e r n i c h t ange-
b r a c h t . A l s Lösungsverfahren kommt d i e Dynamische O p t i m i e r u n g
- für d i e s e P r o b l e m s t e l l u n g f o r m u l i e r t v o n WAGNER & WHITIN
Im a l l g e m e i n e n
schneidet jedoch der Algorithmus
i n Frage
(1958).
v o n WAGNER u n d WHITIN
s c h l e c h t e r a b a l s d i e SILVER-MEAL H e u r i s t i k (BLACKBURN & MILLEN
( 1 9 8 0 ) ) . J e d o c h h a t i h n CHAND ( 1 9 8 2 ) s o w e i t m o d i f i z i e r t , daß e r n a c h
eigenen
§17
Ist
Angaben d e r SILVER-MEAL H e u r i s t i k überlegen w i r d .
FESTE LIEFERZEIT T
dieLieferzeit T nicht Null,
b e k a n n t , so i s t z w i s c h e n
s o n d e r n p o s i t i v , a b e r k o n s t a n t und
d e n Z e i t p u n k t e n d e r B e s t e l l u n g und d e n Z e i t e n
des m a x i m a l e n L a g e r b e s t a n d e s
zu unterscheiden. Offenbar
muß d i e B e -
s t e l l u n g j e t z t r Z e i t e i n h e i t e n v o r dem L e e r w e r d e n d e s L a g e r s e r f o l g e n .
Der
Lagerbestand
i s t zum o p t i m a l e n B e s t e l l z e i t p u n k t
y = Ä • T.
Wenn d i e L i e f e r z e i t r länger i s t a l s d i e Dauer e i n e s
dann werden z u jedem Z e i t p u n k t B e s t e l l u n g e n a u s s t e h e n
Zyklus
und z u b e s t i m m t e n
Z e i t e n mehr a l s e i n e . Wenn d a s n i c h t e r l a u b t i s t , muß man s t e t s d i e
Menge AT b e s t e l l e n , u n d zwar i n dem A u g e n b l i c k , wo d i e l e t z t e
lung e i n g e t r o f f e n i s t . D i e Kosten
Bestel-
erhöhen s i c h d a d u r c h gegenüber dem
F a l l m i t mehreren ausstehenden B e s t e l l u n g e n . Firmen lehnen
im a l l g e -
48
meinen v o r z e i t i g e L i e f e r u n g e n
ebenso ab w i e s i e verspätete
d u r c h V e r t r a g s s t r a f e u.a. a u s z u s c h a l t e n
und
Zuverlässigkeit v o n L i e f e r a n t e n
Lieferungen
v e r s u c h e n . D i e Pünktlichkeit
i n J a p a n w i r d v o n d e n USA-Automo-
b i l f i r m e n a l s e i n Produktionsvorteil ihrer japanischen
Konkurrenten
angeführt.
Seltene
Nachfrage
B e i e i n e m s e l t e n n a c h g e f r a g t e n Gut s t e l l t
Gut
überhaupt a u f L a g e r h a l t e n
s i c h d i e F r a g e , ob man
dieses
soll.
a) n i c h t a u f Lager h a l t e n : Es entstehen d i e S t r a f k o s t e n p r o A b s a t z i n
Höhe v o n g r
b) a u f L a g e r h a l t e n " . E s e n t s t e h e n d i e L a g e r k o s t e n p r o A b s a t z i n Höhe
von
h/Ä.
F i x e B e s t e l l k o s t e n b l e i b e n für den V e r g l e i c h außer a c h t .
nicht bevorratet
Das G u t w i r d
für gT < h/Ä, d.h.
XT
<
(17.1)
-
E i n e d e r a r t i g e S i t u a t i o n i s t im V e r s a n d h a n d e l g e g e b e n . J e d e r Sammelbes t e l l e r kann a l s V e r k a u f s s t e l l e angesehen werden. I n d i e s e r
der
Dezentralisierung
i s t d i e Verkaufsrate
sehr gering. D i e eingesparten
Extremform
p r o V e r k a u f s s t e l l e und Gut
L a g e r h a l t u n g s k o s t e n werden t e i l w e i s e a l s
P r e i s v o r t e i l a n d e n Kunden w e i t e r g e g e b e n .
A u c h im A r z n e i m i t t e l h a n d e l
t r i f f t dieses Modell
z u . D i e Nachfrage nach
e i n e r bestimmten A r z n e i b e i e i n e r V e r k a u f s s t e l l e (Apotheke) i s t g e r i n g
und
dieLieferzeit
i s t s e h r k u r z (wenige S t u n d e n ) . Aus d i e s e m G r u n d
h a l t e n d i e Apotheken nur e i n Kernsortiment auf Lager.
49
§18
SICHERHEITSBESTAND BEI STQCHASTISCHER LIEFERZEIT
(AUCH JUST-IN-TIME PRODUKTIV)
Wir
setzen d i e Behandlung des F a l l e s konstanter
fort.
und bekannter N a c h f r a g e
Es s e i j e t z t d i e L i e f e r z e i t r eine Z u f a l l s v a r i a b l e m i t
E r w a r t u n g s w e r t \x . Würde man d e n B e s t e l l p u n k t s^ = ÄJJ^ f e s t l e g e n ( d i e s
i s t g e r a d e d i e N a c h f r a g e wahrend d e r e r w a r t e t e n
L i e f e r z e i t u^),
dann
hätte man b e i s y m m e t r i s c h e r L i e f e r z e i t v e r t e i l u n g u n m i t t e l b a r v o r dem
E i n t r e f f e n d e r L i e f e r u n g g e n a u s o o f t p o s i t i v e Bestände w i e
Fehlbestände. D i e s
i s t n u r d a n n o p t i m a l , wenn L a g e r k o s t e n s a t z
h und
F e h l m e n g e n s a t z g g l e i c h groß s i n d . D u r c h Anheben d e s B e s t e l l p u n k t e s a u f
S
2 ^
S
w
r c
l* *
m
a
n
^
a s
Fehlmengenrisiko
r e d u z i e r e n . D i e Menge s ^ -
i s t
der S i c h e r h e i t s b e s t a n d . E r d i e n t dazu, d i e Abweichungen d e r L i e f e r z e i t e n um d i e e r w a r t e t e
L i e f e r z e i t hinaus abzufangen.
Sicherheitsabstand,
m die L i e f e r v e r z ö erung e zu ü b e r rucken
Abb.
18.1: L a g e r v e r l a u f m i t u n d ohne S i c h e r h e i t s b e s t a n d
Urtv.-Bfcfofoek I
Flensburg I
50
Wir
nehmen a n , daß m i t dem L i e f e r a n t e n e i n e L i e f e r z e i t u
vereinbart
T
wurde. D u r c h u n v o r h e r g e s e h e n e S i t u a t i o n e n k a n n es j e d o c h z u Verzög e r u n g e n kommen ( z . B .
b e i Produktionsengpaß, s c h l e p p e n d e r
g u n g ) o d e r z u frühzeitigen L i e f e r u n g e n
Spediteurs).
Zollabferti-
( i n f o l g e der Tourenplanung des
Auch d i e B e a r b e i t u n g d e r L i e f e r u n g
im W a r e n e i n g a n g u n d i n
d e r Qualitätskontrolle k a n n Schwankungen u n t e r l i e g e n . D i e s e A b w e i c h u n gen
s i n d u n v o r h e r s e h b a r und w e r d e n d e s h a l b im M o d e l l
e i n e r zufälligen Störgröße
e^_:
a l sRealisation
betrachtet.
zufällige A b w e i c h u n g e n vom v e r e i n b a r t e n
Liefertermin,
Zufalls-
größe m i t V e r t e i l u n g s f u n k t i o n P ( e )
D i e gesamte L i e f e r z e i t T
T = u
+ a
T
(18.1)
V
T
'
i s t d a n n e i n e zufällige Größe.
Das
Problem der unsicheren
Man l e g t e i n e n p r o z e n t u a l e n
L i e f e r z e i t w i r d m e i s t h e u r i s t i s c h gelöst.
SERVICEGRAD f e s t
SERVICEGRAD ß = E { b e f r i e d i g t e N a c h f r a g e e i n e r P e r i o d e }
E{Gesamtnachfrage e i n e r Periode}
z.B.
ß = 97%. D i e F e h 1 m e n g e n w a h r s e h e i n 1 i c h k e i t i s t
W k e i t ( y < 0 ) = 1 - ß/100.
Der
x
Sicherheitsbestand
vorgegebene S e r v i c e g r a d
(18.2)
s ^ - s^ s o l l g e r a d e so groß s e i n , daß d e r
bzw. d i e gewünschte F e h l m e n g e n w a h r s c h e i n l i c h -
k e i t erreicht wird.
K e n n t man d i e V e r t e i l u n g s f u n k t i o n P(fc } d e r Störvariablen e , so läßt
s i c h a u s (18.2 ) d e r S i c h e r h e i t s b e s t a n d
bekannt. Fehlmengen t r e t e n a u f ,
Bevorratungsreichweite
ist
a b l e i t e n . D e r Wert s^ =
falls dieLieferzeit
i s t
länger a l s d i e
51
^
S
2
d.h.
B e i f e s t e r n s ^ i s t d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t für d a s A u f t r e t e n v o n F e h l mengen
S
Wkeit(y
< 0) = W k e i t ( d
2
> ^ - JL^) .
T
i - p ( ^ - ^
Wir
T
(18.3)
) .
wählen s ^ s o , daß d i e s e F e h l mengenwahr sehe i n l i c h k e i t d e n
gewünschten Wert annimmt, d.h. , daß s i e ( 1 8 . 2 ) erfüllt. E s muß a l s o
gel ten
S
1 - ß/100 = 1 -
2
-
v)
r
t
bzw.
S
2
ß/100 = P ( ^ - u.).
(18.4)
Den B e s t e l l p u n k t s ^ erhält man a u s d e r / 3 % - Q u a n t i l e n
der Verteilungs-
f u n k t i o n P ( e ^ ) . I s t z. B. d i e Störgröße N ( 0 , a ^ ) - n o r m a l v e r t e i 1 t ,
w i r d aus (18.4)
S
2
ß/100 = N ( ^ - J I )
T
und d u r c h S t a n d a r d i s i e r u n g a u f d i e
N(0,1)-Normalverteilung
dann
52
S e i tßy
für
P%-Quantile
der N ( 0 , 1 ) - N o r m a l v e r t e i l u n g ,
dann e r g i b t s i c h
s^ d i e Bedingung
_2
Xa
s
fc
o2 = oo/
ß % Xa
T
+ X
(18.5)
UT
SB
Da Xu
T
= s, i s t , e r h a l t e n w i r für den S i c h e r h e i t s b e s t a n d SB
1
den
Ausdruck
(18.6)
Lager y
Abb.
18.2:
S i c h e r h e i t s b e s t a n d und D e f i z i t w a h r s c h e i n l i c h k e i t
b e i B e s t e l l p u n k t s^. D i e D i c h t e f u n k t i o n v o n
ist
aus d e r Z e i c h e n e b e n e h e r a u s g e k l a p p t .
53
Für e i n i g e S e r v i c e g r a d e
werden d i e zugehörigen F r a k t i l e n b e i
normalverteilter Lieferzeit
angegeben.
T a b e l l e 18.1:
Servicegrad
ß%
fc
ß%
90
1.2816
95
1.6449
96
1.7507
97
1.8808
98
2.0537
99
2.3263
99 5
2.5758
99 6
2.6521
99 7
2.7478
99 8
2.8782
99 9
3.0902
Nur Lieferverzögerungen
O f t m a l s w e r d e n d u r c h d i e Störeinflüsse n u r Verlängerungen d e r
L i e f e r z e i t hervorgerufen
ist
und k e i n e Verkürzungen. D i e Gesamt l i e f e r z e i t
dann
T = a + e
T
wobei u. d i e v e r e i n b a r t e L i e f e r z e i t und e
eine Z u f a l l s v a r i a b l e i s t , d i e
T
n u r n i c h t n e g a t i v e W e r t e annehmen k a n n m i t e i n e r V e r t e i l u n g s d i c h t e , d i e
z.B. f o l g e n d e n V e r l a u f h a t
54
Dichte
-
Quantile
2
e
T
V/o
Abb.
18.3:
Verteilungsdichte
einer
zufälligen Lieferverzögerung a
W i l l man s i c h g e g e n ß% a l l e r Verzögerungsfälle a b s i c h e r n ,
Sicherheitsbestand
h a t man
einen
a n z u l e g e n , d e r für den Z e i t r a u m b i s z u r ß%-Quantile
a u s r e i c h t , d.h. b i s z u e^..
ß%
SB
= Xe
(18.7)
ß%
Beachte-' Im G e g e n s a t z z u ( 1 8 . 6 ) i s t h i e r d i e V e r t e i l u n g d e r
Lieferverzögerung n i c h t n o r m i e r t .
Deshalb t r i t t
i n ( 1 8 . 7 ) d e r Term cr^
nicht a l s M u l t i p l i k a t o r auf.
Sicherheitsbestand
Betrachten
b e i Just-In-Time
Produktion
w i r a l s Güter j e t z t E i n b a u t e i l e , d i e v o n e i n e r Z u l i e f e r f i r m a
h e r g e s t e l l t und a u f dem Endmontageband e i n g e b a u t werden. F a l l s e s w i r t s c h a f t l i c h o d e r wegen d e r b e e n g t e n Platzverhältnisse i n d e r Montageh a l l e g a r n i c h t a n d e r s möglich i s t , w i r d d i e P r o d u k t i o n
der Fremdteile
55
so a u f d e n E i n b a u z e i t p u n k t
a u s g e r i c h t e t , daß s i e spätestmöglieh b e g o n -
nen w i r d , d i e T e i l e ohne Z e i t v e r z u g s p e d i t i e r t werden und am M o n t a g e b a n d " g e r a d e r e c h t z e i t i g " b e r e i t s t e h e n . D i e z e i t l i c h e P l a n u n g verläuft
im P r i n z i p n a c h f o l g e n d e n
Zulief erer'
Schema
Materialbeschaffung
Grobplanung
Feinplanung
Steuerung
Zei t
Hersteller:
Bekanntgabe
des P r o d u k t i o n s programms
Meldung
des T a g e s b e d a r f s,
genaue F e s t legung der
Varianten
Meldung des
Wochenbedarf s
D i e w i c h t i g e l e t z t e Phase e r f o r d e r t e i n e enge K o m m u n i k a t i o n und hohe
D i s z i p l i n b e i d e r E i n h a l t u n g d e r P r o d u k t i o n und T r a n s p o r t e :
ArbeitsVorbereitung
P r o d u k t i o n und
Kontrolle
Transport
Zei t
endgültige
Festlegung
aller Teileda t en,
Abruf termin
BereitStellung
am Montageband
Einbau
Dennoch k a n n e s z u Lieferverzögerungen kommen. S i e müssen d u r c h
einen
S i c h e r h e i t s b e s t a n d am Montageband a b g e f a n g e n werden. E r b e r e c h n e t
sich
w i e v o r h i n n a c h d e r F o r m e l ( 1 8 . 7 ) . Es i s t j e d o c h z u b e a c h t e n , daß h i e r
im G e g e n s a t z z u L a g e r h a 1 t u n g s m o d e l l e n d i e A b r u f t e r m i n e
gesteuert
nicht
bestands-
s i n d , s o n d e r n vom Produktionsfluß b e i m H e r s t e l l e r a b g e l e i t e t
werden. Man w i l l
deshalb
a l s S i c h e r h e i t k e i n Mengen- s o n d e r n e i n Z e i t -
p o l s t e r . A n s t e l l e des S i c h e r h e i t s b e s t a n d e s
Abruftermins
um d i e Z e i t s p a n n e
fc .
RO/
tritt
eine Vorverlegung
des
Natürlich e r g i b t s i c h a l s K o n s e -
q u e n z des frühzeitigen A b r u f s a u c h e i n e frühzeitige A n l i e f e r u n g und
d a m i t e i n B e s t a n d am Montageband.
56
Viele
nen
i n der P r a x i s r e a l i s i e r t e n Modelle
Servicegrad,
a r b e i t e n m i t einem vorgegebe-
der kostenminimal einzuhalten i s t . In der OR-Literatur
f i n d e t man a u c h a u f k o m p l i z i e r t e r e s t o c h a s t i s c h e S a c h v e r h a l t e
te
Servicegradmodelle,
erweiter-
so z.B. v o n H. SCHNEIDER, CH. SCHNEEWEIß,
J.ALSCHER u n d M. KÜHN ( s i e h e ALSCHER & KUHN & SCHNEEWEIß ( 1 9 8 6 ) u n d d i e
d o r t angegebene L i t e r a t u r ) .
Der
S e r v i c e g r a d muß j e d o c h
erwarteten
des
sehr
sorgfältig gewählt w e r d e n , w e i l e r d i e
G e s a m t k o s t e n beeinflußt. S t r e n g genommen müßte d i e F i x i e r u n g
Servicegrades
a u f e i n e n b e s t i m m t e n Wert s e l b s t w i e d e r d a s E r g e b n i s
e i n e r O p t i m i e r u n g s r e c h n u n g s e i n (was i s t d e r o p t i m a l e
Servicegrad?).
L e t z t e n d l i e h hängt d e r S e r v i c e g r a d b e i e i n e m L a g e r h a l t u n g s p r o b l e m ,
bei
dem d i e K o s t e n m i n i m i e r t werden s o l l e n , d a v o n a b , w i e t e u e r L a g e r d e f i zite
s i n d . Es i s t deshalb
s i n n v o l l , wo immer es möglich i s t ,
anstatt
mit einem vorgegebenen S e r v i c e g r a d g l e i c h m i t Fehlmengenkosten z u a r b e i t e n . Das b e d e u t e t a u c h k e i n e Einschränkung d e r A l l g e m e i n h e i t ,
S e r v i c e g r a d und F e h l m e n g e n k o s t e n s i n d z u e i n a n d e r
denn
äquivalent. E i n e m g e -
gebenen Fehlmengenkostensatz i s t e i n bestimmter S e r v i c e g r a d b e i optimal e n Losgrößen z u g e o r d n e t und u m g e k e h r t .
In den folgenden
haltungsmodelle
K a p i t e l n werden ausschließlich s t o c h a s t i s c h e L a g e r diskutiert,
i n denen m i t F e h l m e n g e n k o s t e n g e a r b e i t e t
w i r d . D e r Anwender s o l l t e s i c h n i c h t dem h e i l s a m e n Zwang e n t z i e h e n ,
s i c h genaue Gedanken über s e i n e K o s t e n z u machen. Manchesmal i s t e s
n i c h t möglich, d i e F e h l m e n g e n k o s t e n e x a k t
i s t aber d i e Festlegung
z u erheben. I n d i e s e n
eines Servicegrades
Fällen
e b e n s o willkürlich w i e d i e
willkürliche Bestimmung d e r F e h l m e n g e n k o s t e n . I n d i e s e n S i t u a t i o n e n i s t
es s i n n v o l l e r , S e r v i c e g r a d bzw. F e h l m e n g e n k o s t e n s a t z i n S i m u l a t i o n s r e c h n u n g e n a l s P a r a m e t e r z u v a r i i e r e n und s i c h d a n n anhand d e r E r g e b n i s s e auf einen konkreten
Wert a l s p l a u s i b l e n Wert f e s t z u l e g e n .
KAPITEL I I : D A S W I L S O N M O D E L L M I T
POISSON NACHFRAGE
§19 POISSON PROZEß
Vorbereitend
z u den nachfolgenden L a g e r h a l t u n g s m o d e l l e n m i t s t o c h a -
s t i s c h e r N a c h f r a g e w i r d d e r POISSON PROZESS eingeführt. E r g e h t zurück
auf
BORTKIEWITZ, d e r d i e Z a h l d e r d u r c h Hufschläge getöteten L e u t n a n t s
i n d e r preußischen Armee
Wir
l e i t e n den Poisson
t e i l e n her.
untersuchte.
Prozeß am B e i s p i e l d e r N a c h f r a g e n a c h E r s a t z -
Eine d e r a r t i g e Nachfrage entsteht
immer dann, wenn e i n T e i l
ausfäl1t.
Ein einziges
Teil:
Wahrscheinlichkeit
e i n e s A u s f a l l e s während A t :
Wahrscheinlichkeit,
n
p*At ;
#
k e i n A u s f a l l während A t :
1 - p At .
Teile:
U n t e r d e n Annahmen
a) d i e T e i l e b e e i n f l u s s e n s i c h g e g e n s e i t i g n i c h t
b) d i e A u s f a l l w a h r s c h e i n l i c h k e i t p i s t b e i jedem T e i l g l e i c h
ist die
Wahrscheinlichkeit,
Sehr v i e l e
U
u Ausfälle i n A t :
(^)(pAt) (l - pAt)
Teile:
Annahme:
#
n -» °°, p -» 0, a b e r n»p e n d l i c h :
Wahrscheinlichkeit,
n p = X = const.
kein Ausfall
i n At:
p (At)
o
v
p
0
(At) = lim (^)(pAt) (l - pAt)
r
i •
1im
_
v
1
(1 -
^
n
x *.A
n
At)
J
-XAt
= e
n
J
n
U
.
58
B e o b a c h t u n g d e r Ausfälle über d i e Z e i t :
Annalimen:
a) u n e n d l i c h e Grundgesamtheit
b ) d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß e i n b e l i e b i g e s T e i l
im Z e i t r a u m A t
ausfällt, s e i X A t ,
c ) d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß mehrere T e i l e i n A t a u s f a l l e n
( A t << a), s e i vernachlässigbar g e r i n g ,
d) e i n z e l n e Ausfälle s i n d v o n e i n a n d e r unabhängig.
Wir
wissen bereits
(19.1)
-Xt
P (0
= e
o
und b e r e c h n e n j e t z t d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t v o n u Ausfällen i n [ o , t ] ,
u = 1,2,..:
t -
At
kein
kein
Ausfall
T
Ausfall
Ausfal1,
Lage v o n A t b e l i e b i g i n [ o , t ]
P (t)
= / e"
:
P
2
(
t
)
=
J P
(
X T
T
)
0
Xe"
X
p
l
(
X ( t
t
-
"
T )
T
)
dr
d
T
= / Xe"
dr =
Xte"
X t
=
T
T
= J( e~^ -y X»X(t - T \) e~M^ )^ dr
v
a l l g e m e i n u Ausfälle i n [ o , t ] :
X t
J
t)
= ^(X'
e
-Xt
59
(19.2)
u € IN
o
POISSON PROZESS
Wenn a l s o d a s z e i t l i c h e A u f t r e t e n d e r N a c h f r a g e d u r c h e i n e n
Prozeß b e s c h r i e b e n
das:
wird
dann b e d e u t e t
N a c h f r a g e n a c h j e w e i l s einem Stück, wobei d i e Z e i t z w i s c h e n
aufeinanderfolgenden
(wie
(sog. Poisson Nachfrage),
Poisson
N a c h f r a g e n e x p o n e n t i a l v e r t e i l t i s t (19.1). Es i s t
bisher)
X: k o n s t a n t e
Wichtige
Nachfragerate
Eigenschaft
Eine konstante
der Poisson
Nachfragerate
Nachfrage
bedeutet,
e i n e N a c h f r a g e im nächsten A u g e n b l i c k
daß d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t für
unabhängig d a v o n i s t , w i e v i e l
Z e i t s e i t der l e t z t e n Nachfrage v e r s t r i c h e n i s t . Diese
losigkeit"
"Gedächtnis-
i s t b e i k o n t i n u i e r l i c h e r Z e i t b e t r a c h t u n g e i n m a l i g . Es g i b t
keinen weiteren
Eigenschaft.
stochastischen k o n t i n u i e r l i c h e n Nachfragetyp mit dieser
D i e Gedächtnislosigkeit b e d e u t e t nämlich
(19.3)
P ( t + At) = p ( t ) p ( A t ) .
Q
Dies
zwei
Q
o
i s t d i e definierende Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
Verwendung:
Aus
der H e r l e i t u n g i s t unmittelbar
ersichtlich,
daß d i e Annahme e i n e r
P o i s s o n N a c h f r a g e v o r a l l e m b e i einem s e h r großen Kundenstamm
zutrifft,
wo d e r e i n z e l n e Kunde s p o r a d i s c h und unabhängig v o n d e n a n d e r e n Kunden
bestellt.
Hierunter
fällt a u c h d i e s o g . s e l t e n e N a c h f r a g e
(lumpy
demand).
Poisson Verteilung:
B e s c h r e i b t d i e N a c h f r a g e e i n e n P o i s s o n Prozeß, so i s t d i e i n e i n e r
Zeiteinheit
t = 1 auftretende
Nachfrage Poisson
verteilt
60
u
(19.4)
u € IN
u!
D i e P o i s s o n V e r t e i l u n g gehört z u r s o g . F A M I L I E DER BINOMIALVERTEILUNGEN. H i e r z u zählen d i e
P
Bernoulli Verteilung:
Q
= 1 - p; p
= p; 0 < p < 1;
x
Die B i n o m i a l v e r t e i l u n g :
n . u,n-u
Pu.n = <u> < ~ >
die negative Binomialverteilung:
P
die geometrische V e r t e i l u n g :
P
r
x
p
X
n
P
U
= (" )(-p) (l
" P)
n
= (1 " P ) P
u
Z u r bequemen B e r e c h n u n g v o n E r w a r t u n g s w e r t u. und V a r i a n z o
benützen
w i r d i e Methode d e r e r z e u g e n d e n F u n k t i o n .
Methode d e r e r z e u g e n d e n F u n k t i o n
S e i p^, p^,... e i n e d i s k r e t e V e r t e i l u n g m i t einem p o s i t i v e n Träger. D i e
Funktion
CO
G(x) =
l
P x
U
u
u=o
heißt ERZEUGENDE FUNKTION. E s i s t
G
'
( x ) l
x=l
G'(x)|
x = 1
=
1
u
p
u
=
m
l
=
E r w a r tungswer t
^
(19.5)
= ix
m
2
Da CT = mg -
°
2
2
G
m
2 " l '
, erhält man für d i e V a r i a n z a
x
= "( )l =l
x
+
G
x
G
2
x
'< )lx=l " t ' ( ) l = l
x
] 2
(19.6)
61
Bei der Poisson
Verteilung i s t
2
G(x)
Beim P o i s s o n
^ e - V . e M - D
=
1
r
=
*
*
= X
o
Prozeß i s t
co
,
G(x
u
5i^l_ -^ u
t)
=
e
u=o
x
=
e
Xt(x-l)
a
t
=
X
t
Bei der Binomialverteilung i s t
G ( x ) = (1 - p + p x )
Bei der negativen
G(x) =
• '
v
v
n
*
o
u = np
Binomialverteilung i s t
k
np
(|^-)
1 - px'
1 - p
= n p ( l - p)
2
j i p ^
1 - p
_ p _
1 - p'
+
v
Bei der geometrischen Verteilung i s t
p
1 - P
1 - px
G(x)
u
p
-1 - p
2
(1 " P )
Die
erzeugende F u n k t i o n
b e s i t z t d i e Eigenschaften:
a)
D i e Z u o r d n u n g e i n e r V e r t e i l u n g <p z u i h r e r e r z e u g e n d e n F u n k t i o n i s t
eineindeutig.
b)
Die Faltung
der Verteilungen
, ^
z w e i e r unabhängiger
v a r i a b l e n h a t a l s erzeugende Funktion
Funktionen der einzelnen
*1
c)
W
*2
S e i v = f (w),
G
Zufalls-
das Produkt d e r erzeugenden
Verteilungen
(x) • G
(x)
w Z u f a l l s v a r i a b l e m i t V e r t e i l u n g <p^, dann i s t d i e
62
erzeugende Funktion der V e r t e i l u n g
G (x)
y
Mit
d i e Funktion G (x)
v
= G (f(x))
w
H i l f e dieser Eigenschaften
lassen s i c h d i e Verwandtschaften
innerhalb der F a m i l i e der Binomialverteilungen aufzeigen.
Die letzte
E i g e n s c h a f t b e n u t z e n w i r z u r H e r l e i t u n g d e r e r s t e n b e i d e n Momente d e s
stotternden Poisson
Prozesses.
Zusammengesetzter P o i s s o n
Prozeß
B e i m P o i s s o n Prozeß b e d e u t e t e i n E r e i g n i s " N a c h f r a g e n a c h e i n e m Stück".
B e i m z u s a m m e n g e s e t z t e n P o i s s o n Prozeß können p r o E r e i g n i s a u c h m e h r e r e
( o d e r k e i n ) Stück n a c h g e f r a g t
sen
i s t wie vorher
werden. D i e Z e i t z w i s c h e n z w e i E r e i g n i s -
e x p o n e n t i a l v e r t e i l t . D i e Anzahl
der
nachgefragten
Stücke p r o E r e i g n i s g e h o r c h t s e l b s t e i n e r V e r t e i l u n g .
Beispiel:
E i n B i e r f a h r e r v e r k a u f t von seinem L a s t k r a f t w a g e n
a u s B i e r . D a z u führt
e r a n d e n Haustüren Verkaufsgespräche. D i e Dauer e i n e s Gespräches i s t
e x p o n e n t i a l v e r t e i l t . A l s E r e i g n i s betrachten w i r d i e Beendigung
eines
Verkaufsgespräches.Sie h a t d e n V e r k a u f v o n u Kästen B i e r ,
u = 0,1,2,..., zum E r g e b n i s . S e i
w^:
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß a u f g r u n d e i n e s Verkaufsgespräches u Kästen
B i e r v e r k a u f t werden.
1.
Fall:
Sei w
u
B e r n o u l l i v e r t e i l t , d.h.
w^:
Gespräch e r f o l g r e i c h , V e r k a u f e i n e s
W:
Gespräch v e r g e b e n s , k e i n V e r k a u f
q
w
n
w
^ ).
1
1
= 1 - w
o
Kastens
=: w
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß v o n n Gesprächen u e r f o l g r e i c h s i n d
w
w
(n)
. (n-1) ^
(n-1)
= (1 - w)w
+ WW
.
u
u
u-1
v
J
v
v
(n)
v
J
V
J
J
,n. u,.n-u
= ( )w (1 - w)
~.
. ,
^ .,
Binomialverteilung
63
p ( t ) - ' W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß b i s z u r Z e i t t
u
u Kasten verkauft
sind
n
\
(n) ( X t ) - X t
) w
,
e
L
u
n!
v
p (t) =
*u
'
v
J
N
/
T
da m i n d e s t e n s u Gespräche n o t w e n d i g s i n d
co
Y
2
e
xi
( X t ) ,TI. u , .
n!
u
"
-X*t
6
(
- X t u,, ,u
M
)
u!
<»
>
)
w ( 1
A
W
n-u
)
-u
' ) ,
(n - u ) !
n
(
L
w
n
v
(Xt) "
u
J
n=u
fl
- w)Xt
u
p (t) =
Diese
(wXt)
-wXt
r^— e
Wahrscheinlichkeiten beschreiben
POISSON PROZESS ( m i t B e r n o u l l i
Die erzeugende Funktion
^•^P.Bern.
(19.7)
, u € IN
einen
zusammengesetzten
Verteilung).
lautet
G
G
= P.( Bern.
= e
X t
<*>•<>
G
C Bern.W
"
^
x t r i - w + wx - in
= e
_
L
J
w X t [ x - 1]
D i e zugehörige V e r t e i l u n g i s t d i e z u s a m m e n g e s e t z t e
(mit B e r n o u l l i
p
1
u
=
J
]i^
-
o^
-
Xwt
POISSON VERTEILUNG
Verteilung)
— —
u!
e
Ii
= a
= Xw
64
2.
Fall:
Sei
w
w
u
geometrisch
U
= (1 - w)w ,
v
u
J
verteilt:
0 < w < 1.
Der z u s a m m e n g e s e t z t e
n
w^ ^,
Prozeß heißt dann s t o t t e r n d e r P o i s s o n
Prozeß
d.h. d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß i n n Gesprächen u Kästen B i e r
v e r k a u f t w e r d e n , b e r e c h n e n w i r über d i e e r z e u g e n d e
Funktion
W
G(x)
= \ "
.
'geom.
1 - wx
v
Die erzeugende F u n k t i o n der n-fachen F a l t u n g der geometrischen
Verteilung i s t
[G(x)
]
'geom.
L
v
n
W
n
= [! "
]
l - wx
J
L
.
J
V e r g l e i c h t man d i e s e n A u s d r u c k m i t d e r e r z e u g e n d e n F u n k t i o n d e r
negativen
B i n o m i a l v e r t e i l u n g , so s i e h t man: d i e n - f a c h e F a l t u n g b e i
geometrischer
V e r t e i l u n g l i e f e r t eine negative Binomialverteilung mit
der Potenz -n.
NR-
n
r lr
U
z;
z
-1 +
"
i !
1
+
n
(
+
n+
+
x
z
)
2
+
+ (
+• ••
+
2!
00
V .n+u-lv
= z < u
u=o
u
) z
•
Also i s t
CO
(1 - wx)
=
2 (
)
u
w
x
u=o
und
deshalb
CO
rnf ^
i
[G(x)
]
geom.
L
v
y
J
n
=
^ /n+u-L
.n u u
/ (
) ( 1 - w) w x
L
u
u=o
n
v
}v
7
= w
P
/-^
u > =
( t
oo
xi
Y (^t)
Z n!
6
(n)
u
v
7
~ X t ,n+u-K
u
(
}
( 1
.n u
r i
_
W
)
W
n
+
u
(
1
n
!
z
U
- )
+
- l)!u!
65
(19.8)
STOTTERNDER POISSON PROZESS
(mit geometrischer V e r t e i l u n g )
Die erzeugende Funktion
G(x.t)
lautet
e
Xwt(f^t
st.P.
geom.
=
wXt
1
2 _ w ( l + w)Xt
(1 - w)
A n d e r s a l s im F a l l
a
des r e i n e n P o i s s o n Prozesses
(o
= u.) i s t h i e r
> u..
F a l l s d e r Bedingungskomplex auf eine P o i s s o n V e r t e i l u n g h i n w e i s t , d i e
2
e m p i r i s c h e n Daten aber auf o
< u. schließen l a s s e n , k a n n e s s i c h um
e i n e gemischte P o i s s o n V e r t e i l u n g handeln.
Gemischte Poisson V e r t e i l u n g
Bei
der gemischten P o i s s o n V e r t e i l u n g i s t d i e Rate X s e l b s t
wieder
v e r t e i l t mit
<p(X)
dX:
( v e r a l l g e m e i n e r t e ) W a h r s c h e i n l i c h k e i t s d i c h t e v o n X.
Dann i s t
00
11
u
P
u
=
X
-X
/ uT " *
e
u € IN
dX
( X )
GEMISCHTE POISSON VERTEILUNG
Die erzeugende F u n k t i o n
lautet
00
G(x)
= / e
gem.P.
^
v
y
n
X
(
x
~ ^ G ( X ) dX
'
v
(19.9)
66
G(X)
i s t d i e e r z e u g e n d e F u n k t i o n d e r V e r t e i l u n g v o n X.
CO
Ii = / XG(X) dX
o
a
2
= j X G ( X ) dX < u.,
2
weil
G
2
< G
für
o < G < 1.
§20 ALLGEMEINE BEMERKUNG ZUM ZUFALL
Landläufig w i r d a u f Z u f a l l m i t A b e r g l a u b e o d e r F l u c h t i n s I r r a t i o n a l e
r e a g i e r t . W i s s e n s c h a f t l i c h w i r d der Z u f a l l durch den B e g r i f f der
W a h r s c h e i n l i c h k e i t e r f a s s t . Den Anstoß z u s t r e n g e n
Betrachtungen
mathematischen
gab CHEVALIER DE MERE, a l s e r PASCAL i n e i n e m B r i e f b a t ,
A u s s a g e n über d i e G e w i n n a u s s i c h t e n
K a r t e n s p i e l s z u machen (RENYI
Für d i e L a g e r h a l t u n g
eines v o r z e i t i g
abgebrochenen
(1969)).
e r g i b t s i c h e i n e neue S i t u a t i o n : d i e b i s h e r i g e n
E n t s c h e i d u n g s k r i t e r i e n K o s t e n und Gewinn für d i e Wahl d e r b e s t e n
H a n d l u n g s w e i s e s i n d j e t z t vom Z u f a l l abhängig. D a d u r c h i s t e s möglich,
daß s i c h d i e E n t s c h e i d u n g
e i n e s Dummkopfes im N a c h h i n e i n
e r w i e s e n h a t und d i e E n t s c h e i d u n g
a l s d i e beste
e i n e s Verständigen f a l s c h l a g . D i e s
w i r d j e d o c h d i e Ausnahme s e i n . A u f l a n g e S i c h t w i r d s i c h e i n e
f i z i e r t e Entscheidungsregel
G e s e t z d e r großen Z a h l e n ) .
stets a l sd i e bessere
erweisen
quali-
(nach
dem
"Glück h a t a u f d i e Dauer n u r d e r Tüchtige."
D a r i n l i e g t d i e w e s e n t l i c h e R e c h t f e r t i g u n g des Operations
Research
im
Risikobereich!
Für e i n e n Prozeß, d e s s e n F o r t e n t w i c k l u n g e i n e m zufälligen Einfluß
unterliegt,
i s t es g e r a d e z u t y p i s c h , daß a u c h b e i d e r F e s t l e g u n g a u f
e i n e bestimmte Verhaltensweise
d.h.
( A k t i o n ) das z u e r z i e l e n d e E r g e b n i s ,
d i e über d i e gewählte A k t i o n g e s t e u e r t e zukünftige E n t w i c k l u n g d e s
Prozesses,
e i n e zufällige Größe i s t .
lung s e i bekannt.
Deren W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i -
67
D i e Wahl e i n e r A k t i o n
läßt s i c h s o m i t zurückführen a u f d i e Wahl d e r
Wahrscheinlichkeitsverteilung
d e s zugehörigen E r g e b n i s s e s .
Deshalb
j e t z t e i n K r i t e r i u m für d i e Präferenz e i n e r V e r t e i l u n g v o r e i n e r
t e n g e s u c h t . Ursprünglich v e r w e n d e t e man d a s
wird
zwei-
ERWARTUNGSWERT-KRITERIUM.
Sei
P :
a
z u A k t i o n a gehörige V e r t e i l u n g d e s E r g e b n i s s e s x
Dann i s t b e i m
Erwartungswertkriterium
a^ b e s s e r a l s a ^ , f a l l s Ep
{x} > Ep
a
l
a
{x} .
2
E i n E i n w a n d g e g e n d i e s e s K r i t e r i u m i s t d a s s o g . PETERSBURGER
PARADOX:
Man w e r f e e i n e Münze so o f t , b i s zum e r s t e n m a l "Wappen" e r s c h e i n t . I s t
n
d i e s b e i m n - t e n Wurf, so e r h a l t e man v o n d e r Bank d e n G e w i n n x = 2 .
B e i p r o b ( W a p p e n ) = p r o b ( K o p f ) = 0 . 5 b e s i t z t d i e V e r t e i l u n g (j) d e s Gewinns b e i d e r A k t i o n a^ = ' s p i e l e das S p i e l ' den u n e n d l i c h e n E r w a r tungswert
oo
E
l (|)
{x} =
p
a
l
n
• 2
n
= 1 + 1 + ... .
n=l
D i e A k t i o n a ^ = ' s p i e l e n i c h t ' b r i n g t k e i n e n E r t r a g . N a c h dem E r w a r tungswertkriterium
müßte e i n S p i e l e r a u c h b e i e i n e r n o c h so h o c h v o n
d e r Bank g e f o r d e r t e n
Teilnahmegebühr zum S p i e l b e r e i t s e i n . Tatsächlich
i s t a b e r n i e m a n d b e r e i t , e i n e n a u c h n u r mäßig h o h e n E i n s a t z z u b e z a h len.
M i t H i l f e d e s v o n DANIEL BERNOULLI (1738) eingeführten und n a c h ihm
benannten K r i t e r i u m s d e r Nutzenerwartung kann das obige Paradox a u f g e löst werden. A n s t e l l e d e r G e w i n n a u s z a h l u n g i n G e l d b e w e r t e t man d e n
NUTZEN d e s G e l d e s .
68
iNutzen
Nutzen
u(x)
Geld x
Abb. 2 0 . 1 : N u t z e n f u n k t i o n u
u(x):
Nutzen des E r g e b n i s s e s x
E i n e N u t z e n f u n k t i o n w i r d , wenn überhaupt, n u r b e i k l e i n e n A u s z a h l u n g e n
linear sein.
I n s g e s a m t i s t s i e n a c h oben beschränkt. S o l a n g e s i e unbe-
schränkt b l i e b e ,
ließen s i c h immer neue P a r a d o x e n k o n s t r u i e r e n . N a c h
a l l g e m e i n e n ökonomischen Überlegungen w i r d d i e N u t z e n f u n k t i o n a l s
k o n k a v angenommen.
Der e r w a r t e t e N u t z e n i s t
E
(u(x)} = /u(x)dP (x) ,
p
a
und n a c h dem N u t z e n k r i t e r i u m i s t
a^ b e s s e r a l s a ^ , f a l l s Ep
a
( u ( x ) } > Ep
l
a
2
{u(x)} .
69
Woher
gut
weiß man, daß d i e E n t s c h e i d u n g e n
anhand d e s BERNOULLI-PRINZIPS
s i n d ? Zunächst v e r s u c h t man, e i n i g e möglichst e i n l e u c h t e n d e
Konse-
q u e n z e n a u s d i e s e m P r i n z i p h e r z u l e i t e n . J e mehr p l a u s i b l e K o n s e q u e n z e n
man f i n d e t ,
umso p l a u s i b l e r w i r d d a s B e r n o u l 1 i - P r i n z i p s e l b s t .
JOHN V. NEUMANN und OSKAR MORGENSTERN h a b e n e i n A x i o m e n s y s t e m für
r a t i o n a l e s V e r h a l t e n begründet, d i e d a s B e r n o u l l i - P r i n z i p
d i e sog. Nutzenaxiomatik.
auch h i e r Z w e i f l e r g i b t
implizieren,
D i e s e Axiome s i n d s e l b s t p l a u s i b e l ,
E i n e ausführliche D a r s t e l l u n g d e r E n t s c h e i d u n g s t h e o r i e u n t e r
bzw.
obwohl e s
(ALLAIS).
Risiko
U n s i c h e r h e i t f i n d e t man i n H. SCHNEEWEISS (1967) und DE GROOT
(1970).
§21
Z I N S , KONTINUIERLICHE VERZINSUNG, GEGENWARTSWERT
Zins
Warum g i b t e s e i n e n Z i n s ? O f f e n s i c h t l i c h i s t a u c h b e i I n f l a t i o n s r a t e
Null
e i n e G e l d e i n h e i t h e u t e mehr w e r t a l s i n e i n e m J a h r . Der G r u n d
hierfür l i e g t d a r i n , daß d i e Verfügung über G e l d e i n e n E r t r a g
e i n b r i n g t , d e r d a n n a l s Z i n s i a u s g e z a h l t w e r d e n kann. B e i Z e i t u m k e h rung w i r d aus der V e r z i n s u n g d i e D i s k o n t i e r u n g .
heute
Verzinsung
1
p
'=
1
I T T
Diskontierung
)
i n einem J a h r
1 + i
1
i:
Zins;
1 + i:
Zinsfaktor;
l/(l+i):
D i s k o n t f a k t o r p; z u r B e r e c h n u n g d e s G e g e n w a r t s w e r t e s e i n e s
zukünftigen E r t r a g e s .
Kontinuierliche
Verzinsung
i i s t üblicherweise d e r J a h r e s z i n s . B e i halbjährlicher A u s z a h l u n g
2
wächst d a s K a p i t a l um d e n F a k t o r (1 + i / 2 ) , b e i n A u s z a h l u n g e n p r o
70
J a h r um (1 + i / n ) . Im Grenzübergang erhält man d i e k o n t i n u i e r l i c h e
Wachs t u r n s r a t e d e s K a p i t a l s
. n
l i m (1 + -) = e
nnoo
k o n t i n u i e r l i c h e Verzinsung:
1
Wegen
e
1
= 1 + i + ~- +
. > 1 + i
i s t d i e k o n t i n u i e r l i c h e V e r z i n s u n g höher a l s d i e d i s k r e t e .
Umgekehrt
e n t s p r i c h t einem J a h r e s z i n s i e i n e Zinsintensität r < i .
Zinsintensität r :
1 + i = e
(21.1)
.2
r = ln(l + i ) = i -
.3 _
J-+i-+
Der D i s k o n t f a k t o r p e r g i b t s i c h a u s ( 2 1 . 1 ) z u
1
-r
— = e
1 + i
(21.2)
Gegenwartswert
W i r b e t r a c h t e n j e t z t e i n e n S t r o m zukünftiger Z a h l u n g e n , d i e z u äquid i s t a n t e n Z e i t p u n k t e n ( J a h r e s e n d e ) t = 0,1,2,3,... e i n g e h e n . Für d a s
E n t s c h e i d u n g s p r o b l e m i s t es n o t w e n d i g , d e n Z a h l u n g s s t r o m i n B e z u g a u f
e i n e n b e s t i m m t e n Z e i t p u n k t z u b e w e r t e n . Üblicherweise wählt man d a z u
den E n d p u n k t
o d e r (häufiger) den G e g e n w a r t s z e i t p u n k t . Im l e t z t e n
e r r e c h n e t man den s o g . G e g e n w a r t s w e r t
Fall
( s o n s t den E n d w e r t ) . D e r Gegen-
w a r t s w e r t w i r d i . a . v o r g e z o g e n , w e i l w i r j e t z t h a n d e l n müssen. S e i
z^: Z a h l u n g s ström, t = 0,1
G>
Gegenwartswert.
T
T
Er i s t d e f i n i e r t a l s
T
71
Neben dem G e l d v o l u m e n i s t a u c h d i e d u r c h s c h n i t t l i c h e
Zahlung
C: D u r c h s c h n i t t s w e r t
e i n e w i c h t i g e Kenngröße d e s Z a h l u n g s s t r o m e s .
C i s t die
d u r c h s c h n i t t l i c h e Zahlung pro Z e i t e i n h e i t
T
T
TT
l
Z
t
t=o
Z w i s c h e n C u n d G b e s t e h t e i n Zusammenhang.
G
C = lim
2
T
p-»l 1 + p + p + . . . + p
lim
p-»l
— 1 - P G .
T+l
p
1
B e i stationären M o d e l l e n m i t u n e n d l i c h e m
Planungshorizont i s t der
Z a h l u n g s s t r o m u n e n d l i c h l a n g . Dann i s t
(21.3)
V
§22
J
p->l
LAGERHALTUNG BEI POISSON NACHFRAGE UND SOFORTIGER LIEFERUNG
Eines der einfachsten stochastischen Lagerhaitungsmodelle i s t d i e
L a g e r h a l t u n g b e i P o i s s o n Nachfrage und s o f o r t i g e r L i e f e r u n g .
Modell
Dieses
i s t v o r a l l e m d e s h a l b i n t e r e s s a n t , w e i l es m i t Methoden
b e h a n d e l t w i r d , d i e s i c h v o n d e n b i s h e r i g e n völlig u n t e r s c h e i d e n
( D y n a m i s c h e O p t i m i e r u n g ) . Da für d i e N a c h f r a g e e i n Poisson-Prozeß
u n t e r s t e l l t w i r d , s p i e l t d i e Z e i t vor der l e t z t e n Nachfrage
keine
Rolle.
D i e L a g e r h a l t u n g w i r d a l s e i n Geschäft b e t r a c h t e t , d a s e i n e n G e w i n n
a b w i r f t . Der Gegenwartswert
Anfangsbestand
zukünftiger Gewinne i s t abhängig vom
y: G = G ( y ) . W i r f o r m u l i e r e n G ( y ) r e k u r s i v i n d e r Z e i t ,
72
indem w i r d i e Z u k u n f t
Zeitspanne
braucht
i n e i n e u n m i t t e l b a r v o r uns l i e g e n d e
kleine
A t und d i e R e s t s p a n n e z e r l e g e n . Wegen d e r P o i s s o n N a c h f r a g e
t n i c h t e x p l i z i t a l s Argument v o n G geführt z u werden. E s i s t
für a l l e y
G(y)
= -hyAt
+
(1 - X A t ) G ( y ) e ~
2P
r A t
+
3)
+ X A t [ b + Max {-k - a ( D - y + 1) + G ( D ) e "
4) 5 )
6)
1) L a g e r k o s t e n
r A t
| G(y-1)e~
7)
r A t
}]
(22.1)
8)
während A t
2) W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß k e i n e N a c h f r a g e i n A t a u f g e t r e t e n i s t
3) G e g e n w a r t s w e r t n a c h A t
4) W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß N a c h f r a g e i n A t a u f g e t r e t e n i s t
5) G e w i n n a u s dem
Verkauf
6) B e s t e l l k o s t e n
7) Gegenwartswert nach A t , f a l l s B e s t e l l u n g
8) Gegenwartswert nach A t , f a l l s k e i n e B e s t e l l u n g
Beachte:
B e i Poisson Nachfrage w i r d pro E r e i g n i s nur eine E i n h e i t
nachgef r a g t .
Die Rekursion
( 2 2 . 1 ) f o r m u l i e r t d a s " P r i n z i p d e r Optimalität" d e r
Dynamischen Optimierung
(1957),
(BELLMAN's PRINCIPLE OF OPTIMALITY, BELLMAN
BECKMANN ( 1 9 6 8 ) ) .
D i e s e G l e i c h u n g kommt so z u s t a n d e :
Der
gegenwärtige L a g e r b e s t a n d
i s t y. Der G e g e n w a r t s w e r t G ( y ) i s t d e r
a u f d i e G e g e n w a r t b e z o g e n e Wert a l l e r zukünftigen K o s t e n
und Erträge.
Sie
stehen auf der r e c h t e n S e i t e von (22.1), aber j e t z t a u f g e t e i l t i n
die
Zeitspanne
Zeitspanne
A t und d i e R e s t s p a n n e . Zunächst f a l l e n für e i n e
At d i e Lagerkosten
kleine
a n (Term 1 ) . Am Ende v o n A t Z e i t e i n h e i t e n
a d d i e r e n w i r z u den b i s d a h i n a n g e f a l l e n e n L a g e r k o s t e n
d i e Gewinne d e r
R e s t s p a n n e . D e r e n Wert hängt d a v o n a b , ob n a c h A t e i n e N a c h f r a g e
auftritt
oder
o d e r n i c h t und ob man, f a l l s e i n e a u f g e t r e t e n i s t , b e s t e l l t
nicht.
73
Fall
1: k e i n e N a c h f r a g e a u f g e t r e t e n : Terme 2 ) und 3)
Fall
2'
Nachfrage a u f g e t r e t e n m i t W a h r s c h e i n l i c h k e i t XAt
Fall
2a'- Losgröße D b e s t e l l e n : Terme 6) und 7 )
Fall
2b: n i c h t s b e s t e l l e n : Term 8 )
I n jedem F a l l
müssen a u c h d i e K o s t e n und Gewinne d e r R e s t s p a n n e a u f d i e
—r At
Gegenwart d i s k o n t i e r t werden; d e s h a l b
tierung der Lagerkosten
der Faktor
d.h. d i e Z i n s k o s t e n ,
so i n t e r p r e t i e r e n , daß d i e
bereits i n h enthalten
D i e Lösung d i e s e r F u n k t i o n a l g l e i c h u n g
zugehörige o p t i m a l e
Entscheidung.
optimale
ist).
(22.1) b e s t i m m t für j e d e s y e i n e
Das i s t d i e j e n i g e A k t i o n , d i e d a s
Maximum a u f d e r r e c h t e n S e i t e v o n (22.1) l i e f e r t .
gleichung
. Die Diskon-
h y i n n e r h a l b des Z e i t r a u m e s A t w i r d n i c h t
durchgeführt (man k a n n d i e L a g e r k o s t e n
Diskontierung,
e
Da d i e F u n k t i o n a l -
für a l l e zulässigen y gelöst w i r d , erhält man z u jedem y e i n e
H a n d l u n g s a n w e i s u n g und d a m i t i n s g e s a m t e i n e E n t s c h e i d u n g s r e g e 1
oder S t r a t e g i e .
Im v o r l i e g e n d e n
riert.
Fall
i s t d i e Entscheidungsregel
bereits vorstruktu-
D i s t j e t z t n i c h t d i e Losgröße, s o n d e r n d e r B e s t a n d , a u f d e n d a s
L a g e r aufgefüllt w i r d . Wie e i n e k u r z e Ü b e r l e g u n g z e i g t , r e n t i e r t
sich
e i n e B e s t e l l u n g e r s t dann, wenn d a s L a g e r a u f N u l l a b g e s u n k e n i s t .
Würde man nämlich b e i y
> 0 b e s t e l l e n , dann würde man e i n e n
konstanten
" B o d e n s a t z " y ^ im L a g e r h a l t e n , d e n man n i e a n g r e i f e n würde. A u f g r u n d
d i e s e r Ü b e r l e g u n g w i r d D d o c h w i e d e r d i e Losgröße und a u s ( 2 2 . 1 ) w i r d
G(y)
-rAt
= - h y A t + (1 - X A t ) G ( y ) e
G ( l ) = - h A t + (1 - X A t ) G ( l ) e
-rAt
-rAt
+ XAt(b + G ( y - l ) e
), y > 1,(22.2)
-rAt
).
+ X A t ( b - k - aD + G ( D ) e
(22.3) i s t d i e Randbedingung z u r D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g
Approximiert
e
-rAt
man
d u r c h 1 - r A t , erhält man
G(y)
= -hyAt + G ( y ) - G ( y ) ( X
+ X A t G ( y - 1) + o ( A t )
+ r ) A t + XAtb +
2
(22.2).
(22.3)
74
G(l)
= - h A t + G ( l ) - G ( 1 ) ( X + r ) A t + X A t ( b - k - aD) +
+ G(D)XAt + o ( A t )
u n d d a r a u s m i t d e r Abkürzung p
2
,
= ^
X
und u n t e r Vernachlässigung d e r
2
Terme o ( A t )
G ( y ) = " £ h y + pb + pG(y - 1)
G(l)
,
(22.4)
= - 2 h + pb + p ( - k - aD + G ( D ) )
.
(22.5)
( 2 2 . 4 ) i s t e i n e D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g 1. Ordnung m i t d e r R a n d b e d i n g u n g
( 2 2 . 5 ) . D i e Lösung d i e s e r D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g erhält man d u r c h s u k zessives
Einsetzen
,
phD ^ , ,
ph(D - 1) ^
, ,
G(D) = pb + p(pb + p(pb L
ph(D - 2 )
+
L
M
+ ... + p ( p b - £h • 2 + p G ( l ) ) . . . ) ) =
D
D
i
- p-
L
1
"
"
1
p
1=0
^
D-l
"
l
p
Wir
5
(
ß
- OP
1
+ P
D _ 1
( k - aD)|.
^ i=o
i n t e r p r e t i e r e n d i e s e F o r m e l . Es i s t
mittleres Intervall
r
7
zwischen zwei Nachfragen
: der auf das I n t e r v a l l
A
1
r- anwendbare Z i n s s a t z
A
p = — - —
r
X
: D i s k o n t f a k t o r für d a s Z e i t i n t e r v a l l
p^
: D i s k o n t f a k t o r für e i n e n
1
+
Zyklus
: G e g e n w a r t s w e r t a l l e r Gewinne
1 - p
1
D
^
X
(22.6)
75
*
{
}
: Gegenwartswert a l l e r
Zyklerikosten
d
i - p
D-1
^
^ ( D - i ) p * : m i t t l e r e Lagerkosten eines Zyklus ( i n n e r h a l b des Zyklus
i=o
diskontiert)
L e g e n w i r j e t z t d e n E n t s c h e i d u n g s z e i t p u n k t g a n z a n d e n A n f a n g , wo n o c h
k e i n Bestand vorhanden i s t . Dort g i l t
G ( 0 ) = - k - aD + G ( D ) .
Wir
s e t z t e n G(D) a u s ( 2 0 . 6 ) e i n u n d e r h a l t e n
-k - aD - ^ )
G(O) =
(D - i ) p
^ - g
i
+
p
r
H
•
(
2
2
-
7
)
1 - p
Der Z a h l e r Z d e s e r s t e n B r u c h s a u f d e r r e c h t e n S e i t e v o n ( 2 2 . 7 )
repräsentiert d i e K o s t e n p r o Z y k l u s . Z / ( l - fP)
= Z(l +
+
P^+(p^)^ •••)
i s t d e r G e g e n w a r t s w e r t a l l e r Z y k l e n k o s t e n . D e r Term p b / ( l - p ) i s t d e r
G e g e n w a r t s w e r t a l l e r Gewinne.
(Beachte: es geht k e i n e N a c h f r a g e
v e r l o r e n . ) E r i s t unabhängig v o n D.
Nur d i e K o s t e n s i n d v o n D abhängig. Das läßt d a r a u f schließen, daß man
d a s P r o b l e m a u c h e i n f a c h e r hätte f o r m u l i e r e n können, nämlich a l s
Kostenminimierungsproblem a n s t a t t a l s Gewinnmaximierungsproblem.
Wie d a s K o s t e n m i n i m i e r u n g s p r o b l e m genau
l a u t e t , wollen w i r j e t z t aus
(22.7) e n t w i c k e l n .
D-1
Die
Summe
^ (D - i ) p * läßt s i c h umformen
i=o
D-1
l
D-1
(D - O p
1
l
=
i=o
D-2
p
J
+
j=o
1
=
" P
1-p
l
o
p
j
j=o
D
1
+
l =
j
+ ... +
,
D-1
" P
+
1 - p
P
j=o
+
1
,
" P =
1 - p
76
Damit w i r d
(20.7) zu
1
—
p
(1 - p ) ( l
- p )
(1-p)
const.
Der
const.
l e t z t e Term i n d i e s e r G l e i c h u n g i s t e i n e K o n s t a n t e , ebenso d e r
G e g e n w a r t s w e r t d e r Gewinne p b / ( l - p ) , so daß
( 2 2 . 8 ) d i e Form
G(0) = K o n s t a n t e annimmt. Der v o n D a b h a n g i g e Term
subsummiert a l l e n e g a t i v e n G l i e d e r
i n d e r G e w i n n f u n k t i o n G ( 0 ) . E r repräsentiert d e s h a l b a l l e K o s t e n .
Mit
k + aD = : K l a u t e t d a s so e r h a l t e n e K o s t e n m i n i m i e r u n g s p r o b l e m
K X ( 1 - p) + hpD
=
Ml
bzw.
" P)(l
_
M
- P )
.
n
D
nach V e r e i n f a c h u n g
C
=
K X ( 1 - p)
+
h p D ^
M
1 - p
.
(22.9)
n
D
dC
C i s t k o n v e x . D e s h a l b w i r d d a s Minimum b e s t i m m t d u r c h 377 = 0 .
dJJ
substi tuieren
-r
p := e
und
dC
dD
erhalten
! „
=
0
[aX(l
aX(l
~
D
D
- p) + h p ] ( l - p ) - r p [ ( k + a D ) X ( l - p) + hpD] = 0
- p)[l- p
D
D
- rDp ] + hp[l - p
D
D
D
- rDp ] = rp kX(l
- p)
Wir
77
[aX(l
D
- p) + h p ] [ l - p
D
D
- rDp ] = rp kX(l
- p)
rkX
p " - 1 - rD =
aX + h
1 - P
e
rkX
- 1 - rD =
(22.10)
aX + h
e
r
- 1
rD
Wir
entwickeln e
i n eine Taylorreihe
rV
rV
+
2
rkX
3!
aX + h
e
Für r «
1 i s te
r
- 1
- 1 £ r und man e r h a l t d i e Näherung
aXr + h
2Xk
aXr + h
(22.11)
D i e s e s E r g e b n i s z e i g t , daß s i c h d e r d u r c h den Z i n s
hervorgerufene
E f f e k t a l s Erhöhung d e s L a g e r k o s t e n s a t z e s v o n h a u f a X r + h i n t e r pretieren
Zinsen
läßt. D i e o p t i m a l e Losgröße w i r d umso k l e i n e r , j e höher d i e
sind.
Im L i m e s p -» 1 i s t
2Xk
h
D
(22.12)
Das E r g e b n i s im n i c h t d i s k o n t i e r t e n
Fall
läßt s i c h a u c h d i r e k t a u s
( 2 2 . 8 ) h e r l e i t e n . Aus ( 2 1 . 3 ) w i s s e n w i r
C
(
V
T
- ») =
}
l
i
m
P"»l
H
"
P^pr
78
Also
wird
D-1
k + aD + £
l i m (1 - p ) G ( 0 ) = l i m (1 - p) • [
p-»l
p-»l
-
p
^ (D-i)p
1
igS
1 - p
'
D-1
+
aD + ^
X
B
h
~
(1 - p ) G ( 0 ) = pb
D^T
P
1 + p + p
+ ... + p
z
u
( D
l i m (1 - p)G (0) = b - j j - a - £ -
*
1
X )
H
p-»l
= K o n s t a n t e - C,
.
l.p = 1
und w i r e r h a l t e n d a s zum d e t e r m i n i s t i s c h e n M o d e l l äquivalente
der
Kostenminimierung
M
M
.
^
n
C
^
l , p
woraus e b e n f a l l s
§23
Problem
u
= 1
=
M
.
^
n
, k ^ h ( D + 1) ,
* D
2X
>
+
•
(22.12) f o l g t .
POISSON NACHFRAGE, KEINE DISKONTIERUNG
Im v o r i g e n P a r a g r a p h e n h a b e n w i r d e n F a l l
ohne D i s k o n t i e r u n g
gewissermaßen "über d i e Hintertüre" d u r c h d i e G r e n z w e r t b i l d u n g p
1
m i t b e h a n d e l t . J e t z t w o l l e n w i r das entsprechende M o d e l l m i t H i l f e des
P r i n z i p s d e r Optimalität
Der F a l l
ohne D i s k o n t i e r u n g enthält b e g r i f f l i c h e S c h w i e r i g k e i t e n , d a
sämtliche G e g e n w a r t s w e r t e
Es z e i g t
formulieren.
v o n Erlös u n d K o s t e n u n e n d l i c h groß w e r d e n .
s i c h , daß i n d i e s e m F a l l d i e M i n i m i e r u n g d e r K o s t e n z u w a c h s r a t e
e i n e g e e i g n e t e Z i e l f u n k t i o n d a r s t e l l t . Das d a r a u s e n t s t e h e n d e M o d e l l
w i r d i n diesem A b s c h n i t t behandelt.
79
Unter
der bisherigen
Annahme, daß k e i n e Fehlmengen z u g e l a s s e n w e r d e n ,
i s t e s vernünftig, d i e Gewinne a u s den V e r k a u f e n außer a c h t z u l a s s e n .
Wegen f e h l e n d e r D i s k o n t i e r u n g w i r k e n s i c h V e r s c h i e b u n g e n
Realisierungszeitpunkten
b e i den
d e r Gewinne s o w i e s o n i c h t a u s . W i c h t i g i s t n u r
d e r G e s a m t g e w i n n . Da d e r Gesamter lös v o n d e r L a g e r h a l t u n g s p o l i t i k
beeinflußt w i r d ,
9
:
$(y)
l
:
nicht
wählen w i r e i n e n K o s t e n a n s a t z . S e i
Planungshorizont
K o s t e n f u n k t i o n ( e n g l . LOSS FUNCTION) b e i L a g e r a n f a n g s b e s t a n d
und P l a n u n g s h o r i z o n t 9
l(y)
:
liml (y),
Q
f a l l s er
Da im n i c h t d i s k o n t i e r t e n F a l l
zur Z e i t t s i n d , wird
existiert.
d i e Kosten auf lange S i c h t
proportional
I g ( y ) für s e h r große 9 a s y m p t o t i s c h
wachsen.
Abb. 2 3 . 1 :
asymptotisch l i n e a r e Gesamtkosten
linear
y
80
Im
stationären F a l l
C:
i s t deshalb
Kostenzuwachs p r o Z e i t e i n h e i t
e i n e k o n s t a n t e Größe. E s g i l t
l (y)
=CÄt
e
Aus
e
(y) .
A t
(23.1)
dem r e k u r s i v e n A n s a t z ( b e a c h t e : m i t zunehmender
verkürzt s i c h d e r
l (y)
l _
+
für 9
Kalenderzeit
Planungshorizont)
= h y A t + (1 - X A t ) l _
Ä t
(y) + XAtl _
1 (1) = hAt + ( 1 - X A t ) l _
Ä t
( l ) + X A t [ k + aD + l _
0
e
0
A t
( y - 1) .
y > 1
(23.2)
Q
wird
CAt
CAt
Hier
e
A t
(D)] .
dann
+ l _
0
+ l _
e
( y ) = h y A t + (1 - X A t ) l _
Ä t
Ä
t
0
(l)
= h A t + (1 - X A t ) l _
e
A t
Ä t
(y) + X A t l ^ J y
-
1) ,
y
> 1
( l ) + X A t [ k + aD + l _
0
Ä t
(23.3)
(D)] •
i s t w i e d e r u n t e r s t e l l t , daß e r s t b e i y = 0 b e s t e l l t w i r d . Der
V e r s u c h muß z e i g e n ,
ob d i e s e r n a i v e A n s a t z g e l u n g e n i s t , d.h. ob s i c h
d a r a u s vernünftige R e s u l t a t e
Wir
0
stellen
für 1 und D a b l e i t e n
lassen.
( 2 3 . 3 ) i n d e r Form d a r
CAt
+ XAtl _
CAt
+ XAtl _
0
0
Ä t
Ä t
( l ) = h A t + X A t ( k + aD) + X A t l _
0
(2)
= 2hAt + X A t l _
0
Ä t
(D)
(l)
.
CAt
A t
(23.4)
+ XAtl _
0
A t
( D ) = DhAt + X A t l _
0
A t
(D
- 1)
.
B e i Summierung d i e s e r G l e i c h u n g e n f a l l e n d i e 1-Terme weg. E s b l e i b t
D
DC = h
^ i + X ( k + aD)
i=l
,
81
also
h(D
2
Dies
+ 1) ^ Xk
+ Xa
D
i s t d i e stationäre K o s t e n r a t e
heit).
Siegilt
es z u
(Kosten eines Zyklus p r o Z e i t e i n -
minimieren:
h(D
Dieselbe
(23.5)
+ 1)
2
+
Xk
+ Xa
D
-» M i n
D
Z i e l f u n k t i o n h a t t e n w i r s c h o n im d e t e r m i n i s t i s c h e n M o d e l l . E s
g i l t a l s o a u c h b e i P o i s s o n N a c h f r a g e ohne D i s k o n t i e r u n g d i e WILSON
Formel
2Xk
h
(23.6)
Wie läßt s i c h C im s t o c h a s t i s c h e n S i n n e i n t e r p r e t i e r e n ?
Die verschiedenen
Lagerbestände y = 1,2,...,D s i n d d i e möglichen
Zustände d e s S y s t e m s . D i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t TT^ , d a s S y s t e m im Z u s t a n d
y z u f i n d e n , i s t wegen d e r k o n s t a n t e n
Nachfragerate
X = const
für
a l l e Zustände g l e i c h
= 1,2,
Schreiben
D.
w i r n u n ( 2 3 . 5 ) i n d e r Form
D
(23.7)
C = h
1)
2)3)
1)
mit Wahrscheinlichkeit
1/D i s t d e r L a g e r b e s t a n d y
2)
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , d a s S y s t e m im Z u s t a n d y = 1 z u f i n d e n
3)
m i t R a t e X w i r d y = 0 und es i s t d i e Z a h l u n g k + aD fällig,
82
so läßt s i c h ( 2 3 . 7 ) a l s d e r E r w a r t u n g s w e r t d e r K o s t e n
eines
Zyklus
interpretieren
D
y=i
c^:
m i t t l e r e Kosten
eines Zyklus pro Z e i t e i n h e i t
im Z u s t a n d y.
D i e Zu S t a n d s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n ir^ ( i m v o r l i e g e n d e n F a l l
i s t TT^ = g )
s i n d abhängig v o n d e r Losgröße D.
D i e Methode, d a s o p t i m a l e D über d i e M i n i m i e r u n g
v o n (23.7) z u f i n d e n
n e n n t man d i e METHODE DER ZUSTANDSWAHRSCHEINLICHKEITEN. (Darüber mehr
i n §31.)
I n t e r e s s a n t i s t , daß im v o r l i e g e n d e n F a l l b e i d e Ansätze z u r s e l b e n
Zielfunktion,
§24
Sei
nur i n verschiedener Gestalt,
führen.
REKURRENTER PROZEß
j e t z t X = X ( t ) v o n d e r Z e i t abhängig, d i e s e i t dem l e t z t e n
verstrichen
zutreffen,
Ereignis
i s t . D i e s e S i t u a t i o n k a n n z.B. a u f e i n e n Z e i t u n g s k i o s k
d e r a n e i n e r Straßenbahnhaltestelle s t e h t .
D i e Kundschaft
b i l d e n hauptsächlich d i e Straßenbahnfahrer. I n d e r R e g e l
Straßenbahn unpünktlich. Das I n t e r v a l l z w i s c h e n
stochastisch.
Unter
ist die
z w e i Ankünften i s t dann
d e r o b i g e n Annahme i s t d i e A n k u n f t s w a h r s e h e i n 1 i c h -
k e i t abhängig v o n d e r s e i t d e r l e t z t e n A n k u n f t
verstrichenen Zeit.
J e länger d i e Straßenbahn a u f s i c h w a r t e n läßt, d e s t o größer w i r d d i e
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß s i e im nächsten A u g e n b l i c k
Der
Zustandsraum i s t j e t z t
Lager
y und Z e i t
IgCy^)
1
kommt.
zweidimensional:
t s e i t der l e t z t e n Nachfrage.
Es i s t
K o s t e n f u n k t i o n b e i Lager anfangsbestand y und P l a n u n g s h o r i z o n t
9, w o b e i s e i t d e r l e t z t e n N a c h f r a g e d i e Z e i t t v e r s t r i c h e n
ist.
83
W i r nehmen w i e d e r
a n , daß d i e K o s t e n f u n k t i o n b e i f e s t e m y für 9 -»
00
l i n e a r m i t d e r Z e i t wächst, und zwar m i t d e r R a t e C. Dann führt d e r
Ansatz
" G e s a m t k o s t e n morgen = G e s a m t k o s t e n h e u t e + C" a n a l o g z u ( 2 3 . 1 )
auf d i e G l e i c h u n g
l (y.
e
Entsprechend
l (y.t
e
t + Ät) = l _ . ( y . t ) + C A t .
e
(24.1)
Ä (
(23.2) l a u t e t d e r r e k u r s i v e Ansatz
+ A t ) = hyAt + [1 - X ( t ) A t ] l _
0
Ä t
( y , t + At) +
+ X ( t ) A t M i n { l . (y - 1,0), Min{k + a x + 1
.(x,0)}}
U-At
~
U-At
I
x>0
y>l
ö
Q
A+
x
, (24.2)
X 1
da j e t z t e i n e Nachfrage a u f g e t r e t e n i s t
l (l.t
U
Q
+ A t ) = hAt + [1 - X ( t ) A t ] U , ( l , t + A t ) +
o~"A t
A
+ X ( t ) A t M i n {k + a x + 1 , ( x , 0 ) }
U—At
x>0
Q
A
.
(24.3)
V A
Wegen d e r S t a t i o n a r i t a t
d e r Kostenzuwächse ( 9 -» °°) b r a u c h e n w i r d e n
P l a n u n g s h o r i z o n t 9 n i c h t mehr e x p l i z i t z u berücksichtigen u n d v e r z i c h t e n d e s h a l b v o n n u n a n a u f d e n I n d e x 9 bzw. 9 - A t .
D i e F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n (24.2) (24.3) s i n d d i s k r e t i n y und k o n t i n u i e r l i c h i n t . E s w i r d im f o l g e n d e n d u r c h Rechnung g e z e i g t , daß s i e
s i c h für A t
0 s o umformen l a s s e n , daß d i e K o s t e n f u n k t i o n 1 n u r n o c h
i n Abhängigkeit v o n y im Z e i t p u n k t t = 0 a u f t r i t t . Der Prozeß
s i e r t demnach n u r z u d e n U b e r g a n g s z e i t p u n k t e n
sind dies d i e Erneuerungszeitpunkte,
interes-
(für d i e F u n k t i o n X ( t )
d o r t w i r d X ( t ) auf den S t a r t w e r t
X ( 0 ) zurückgesetzt) E i n d e r a r t i g e r Prozeß heißt r e k u r r e n t e r Prozeß.
Wir
t r e f f e n wieder
d i e Annahme". B e s t e l l m e n g e
f 0
x(y) = \
[ D
für
y > 0 ,
für
y = 0 .
Dann w i r d a u s ( 2 4 . 2 ) u n t e r Verwendung v o n ( 2 4 . 1 ) :
y
~^ ' *
+
At^
+
^
y
,
t
^
+
M t ) l ( y . t + A t ) = h y - C + X ( t ) l ( y - 1.0)
84
und
für A t -» 0 w i r d d a r a u s d i e l i n e a r e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g
-
a
i
^
>
t
}
+
X ( t ) l ( y , t ) = hy - C + X ( t ) l ( y - 1,0) .
Zwischenrechnung: Wir leisen (24.4) durch I n t e g r a t i o n . Nochmals
(24.4)
(24.4):
-1 + X ( t ) l = hy - C + X ( t ) l ( y - 1,0).
Die
Integration wird
l e i c h t , wenn d i e l i n k e S e i t e d i e A b l e i t u n g
e i n e s P r o d u k t e s l»f i s t .
Um d i e s z u e r r e i c h e n , m u l t i p l i z i e r e n w i r (24.4) m i t f ( t ) ,
integrierenden
dem s o g .
Faktor
t
-/ X ( x ) d x
f(t) = e °
Die
l i n k e S e i t e d e r o b i g e n G l e i c h u n g w i r d damit z u
-If + lXf,
und
d a s i s t wegen d e r s p e z i e l l e n G e s t a l t v o n f i d e n t i s c h m i t d e r
A b l e i t u n g von l f
-if
Damit w i r d
+
ixf = - | ^ i f ) .
(24.4) z u
- I ^ l f ) = [hy - C + X ( t ) l ( y - l , 0 ) ] f ,
und
es b l e i b t n u r n o c h d i e r e c h t e S e i t e z u i n t e g r i e r e n . Man erhält
mittels partieller
Integration
85
t
-/ X ( x ) d x
n
/ f ( t ) d t = / 1-e °
o
O
v
'
t
-/ X ( x ) d x
m
= t f ( t ) |" + / t X ( t ) e °
O
v
dt
s
1)
^
2)
3) =: a
1) W a h r s c h e i n l i c h k e i t ,
daß k e i n E r e i g n i s b i s z u r Z e i t t e i n t r i t t
2) W a h r s c h e i n l i c h k e i t ,
daß e i n E r e i g n i s z u r Z e i t t e i n t r i t t
3) E r w a r t u n g s w e r t des Z e i t i n t e r v a l l e s b i s zum nächsten E r e i g n i s
Die
I n t e g r a t i o n d e r gesamten G l e i c h u n g
ergibt
t
-/ X ( x ) d x
- l f | " = ( h y - C ) a + l ( y - 1,0) / X ( t ) e °
o
t
-/ X ( x ) d x
-lf|"
Wir
setzen
= ( h y - C)a
+ l(y - l,0)(-l)e °
|"
l ( y , o 5 ) * 0 = 0 v o r a u s und e r h a l t e n a l s Lösung v o n ( 2 4 . 4 )
l ( y . O ) = ( h y - C)a - l ( y - 1,0) .
Damit i s t j e t z t d i e Z e i t t e l i m i n i e r t und w i r e r h a l t e n d a s Z w i s c h e n ergebnis
l(y)
= ( h y - C ) o - l ( y - 1) .
S c h r e i b t man d i e R e k u r s i o n
l(y)
(24.5)
( 2 4 . 5 ) a u s , erhält man
= a ( h y - C ) + l ( y - 1) =
= a ( h y - C ) + ( h ( y - 1) - C) + [... + a ( 2 h - C + 1 ( 1 ) ) ]
...]]
.
86
und d e s h a l b g i l t
insgesamt
l(y) = a
( h i - C) + 1 ( 1 )
(24.6)
1 < y < D
i=2
1 ( 1 ) = a ( h - C) + k + aD + 1(D) .
(24.6) i s t e i n System von D Gleichungen
1(1),1(2)1(D),C.
i n den D + 1 Unbekannten
D i e Losgröße D w i r d a l s gegeben a n g e s e h e n u n d
s p a t e r d u r c h M i n i m i e r e n b e s t i m m t . Aus dem gewählten O p t i m i e r u n g s k r i t e r i u m " m i n i m i e r e d e n stationären K o s t e n z u w a c h s p r o Z e i t e i n h e i t "
f o l g t , daß d a s o p t i m a l e D n u r v o n den r e l a t i v e n W e r t e n v o n 1 z u e i n a n d e r
abhängt. Da d e s h a l b e i n e s d e r l ( y ) willkürlich gewählt werden
kann,
setzen w i r
1(1)
:= o ( h - C )
und e r h a l t e n
Y
l(y) =a
( h i - C)
i=l
bzw.
ahy(y
, 1 < y < D .
i(y)
(24.7)
i ( i ) = a ( h - C)
Bei P o i s s o n Nachfrage i s t
X t
a = / tXe~ dt =
1
und ( 2 4 . 7 ) w i r d z u
l(y) =
h y (
^
+
x
X )
- £
.
K y < D
1(1) = i ( h - C ) .
Diese S p e z i a l i s i e r u n g
i s t jedoch n i c h t w e s e n t l i c h .
(24.8)
87
l ( y ) heißt WERTFUNKTION d e r D y n a m i s c h e n O p t i m i e r u n g .
der G l e i c h u n g e n
i n diesem F a l l
( 2 4 . 6 ) e l i m i n i e r t man d i e l ( y ) und g e l a n g t d a m i t a u c h
( v g l . (23.5)) z u r K o s t e n f u n k t i o n
C = ^ L 1 I
woraus
D u r c h Summieren
+
X k
+
X
(24.9)
a
s i c h d i e o p t i m a l e Losgröße
D
=
2Xk
(24.10)
ergibt.
§25
OPTIMALITÄTSBEWEIS
O b i g e E r g e b n i s s e wurden u n t e r d e r Annahme e i n e r f e s t
vorgegebenen
S t r u k t u r d e r o p t i m a l e n B e s t e l l r e g e l v o n d e r Form " b e s t e l l e D,
y = 0" h e r g e l e i t e t .
optimiert.
falls
Nur i n n e r h a l b d i e s e s Typs e i n e r B e s t e l l r e g e l
wurde
Annahmen und a u c h E r g e b n i s s e s c h e i n e n p l a u s i b e l . E s f e h l t
j e d o c h n o c h d e r B e w e i s , daß d i e o p t i m a l e B e s t e l l r e g e l a u c h d i e
vorgegebene S t r u k t u r b e s i t z t .
D i e n i c h t v o n v o r n e h e r e i n a u f e i n e n bestimmten Typ von B e s t e l l r e g e l
f e s t g e l e g t e optimale Wertfunktion gehorcht
den F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n
l ( y ) + CAt = hyAt + [1 - X A t ] l ( y ) + XAtMin { l ( y - l ) , M i n
x
{k + a x +
+ l(x)}}, y>l,
1(1) + C A t = h A t + [1 - X A t ] l ( l ) + X A t M i n {k + a x + l ( x ) }
x
(25.1)
.
W i r z e i g e n n u n , daß u n s e r e R e s u l t a t e ( 2 4 . 8 ) , ( 2 4 . 9 ) , ( 2 4 . 1 0 ) d i e s e
F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n erfüllen. Dazu s e t z e n w i r 1, C u n d D a u s ( 2 4 . 8 ) ,
(24.9) u n d ( 2 4 . 1 0 ) i n ( 2 5 . 1 ) e i n .
88
l(x)
eingesetzt:
D i e M i n i m i e r u n g Min{ }
x
Min{k + a x +
x
dx
=
a
+
2X^
X
X
+
X
=
2X " X
_ C _ 1 _
" h
2
X
~ X^"
liefert
(konvex!)
°
X
%
C aus (24.9) e i n g e s e t z t :
_
"
X
D
+
2
1
+
x = |(D
^
h
hD
^)
+
_ I _ ^
2
h
a
.
(25.2)
D aus (24.10) e i n g e s e t z t :
1
x = |(D
Damit
2
D
§-) = D
+
wird
Min
x
{k + a x + l ( x ) }
=0
Min
{ l ( y - 1 ) . 0 } = l ( y - 1) .
und
y > 1
denn
i
( y )
y- M y ^ _ i i _
=
[
c
]
t
y
>
1
< o
A l s o erfüllt d i e B e s t e l l r e g e l
P r i n z i p der Optimalitat
" b e s t e l l e D, f a l l s y = 0" i n s g e s a m t d a s
(25.1).
Es b l e i b t noch z u z e i g e n ,
e i n z i g e Lösung d e r F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n
Sei
x = D' <
eine weitere
n
1
D
2
daß s i e d i e
(25.1) i s t .
B e s t e l l m e n g e . D' i n ( 2 5 . 2 )
eingesetzt
89
führt z u dem W i d e r s p r u c h
D' = g r > D .
(25.3)
E b e n s o führt d i e Annahme x = D' > D zum W i d e r s p r u c h .
i s t d i e e i n z i g e r e e l l e Lösung v o n ( 2 5 . 1 ) . Da
n
a b e r y und D a u f g a n z z a h l i g e Werte eingeschränkt s i n d , können z w e i
Bemerkung 1:
D
b e n a c h b a r t e B e s t e l l m e n g e n D^, D^,
Bemerkung 2:
(D^ = D^ + 1) o p t i m a l s e i n .
E s läßt s i c h z e i g e n , daß d i e R e c h e n s c h r i t t e
1) Wähle D'
2) b e r e c h n e
aus
damit
l(y)|^
(
( 2 4 . 8 ) , ( 2 4 . 9 ) und
3) b e r e c h n e
u n d C(D')
(24.10)
d a m i t x = x ( D ' ) a u s (25.2)
zu e i n e r Verbesserung
C(x(D')) < C(D'),
''x(D') i s t b e s s e r a l s D'
s o l a n g e D' ^ D
ist.
'' führen, d.h.
D i e o p t i m a l e Lösung D
erhält
man n a c h e n d l i c h v i e l e n V e r b e s s e r u n g s s c h r i t t e n ( e i n z i g e V o r a u s s e t z u n g :
h, k, a s i n d a l l e
nichtnegativ).
D i e s e Methode d e r D y n a m i s c h e n O p t i m i e r u n g n e n n t man ENTSCHEIDUNGSITERATION. E i n e s e h r ausführliche D a r s t e l l u n g d i e s e r Methode f i n d e t man i n
BECKMANN (1968) u n d HOWARD ( 1 9 6 5 ) .
KAPITEL I I I :
S T O C H A S T I S C H E
E I N P E R I O D E N -
M O D E L L E
§26
DAS ZEITUNGS J^GENPROBLEM
M o d e l l m i t p r o p o r t i o n a l e n Fehlmengenkosten
Bis
j e t z t waren d i e L a g e r h a l t u n g s m o d e l l e durch e i n e k o n t i n u i e r l i c h e Be-
s t a n d süber wachung g e k e n n z e i c h n e t .
Z u jedem b e l i e b i g e n Z e i t p u n k t
konnte
e i n e B e s t e l l u n g a u f g e g e b e n werden. Im G e g e n s a t z d a z u s t e h e n d i e P e r i o denmodelle.
ten
anderes
Das
B e s t a n d s i n s p e k t i o n und/oder B e s t e l l u n g s i n d n u r z u d i s k r e -
Z e i t p u n k t e n , d.h. z u B e g i n n e i n e r P e r i o d e möglich. S o f e r n n i c h t s
gesagt w i r d , s i n d d i e Perioden a l l e g l e i c h lang.
e i n f a c h s t e Periodenmodell
s i c h das Entscheidungsproblem
Lagerhaltungsprobleme
i s t das E i n p e r i o d e n m o d e l l . H i e r e r s t r e c k t
n u r über e i n e e i n z i g e P e r i o d e . D e r a r t i g e
t r e t e n a u f , wenn man d i e Güter n a c h A b l a u f d e r
P e r i o d e n i c h t mehr v e r k a u f e n k a n n . H i e r z u zählen z.B. M o d e a r t i k e l , R e i seangebote
u n d K a r t e n k o n t i n g e n t e für Großveranstaltungen u n d a u c h T a -
g e s z e i t u n g e n . Für l e t z t e r e f o r m u l i e r e n w i r d a s a l s Z e i t u n g s j u n g e n p r o b1em b e k a n n t e Grundmode11.
Der Z e i t u n g s j u n g e k a u f t frühmorgens e i n e n Stoß T a g e s z e i t u n g e n u n d v e r s u c h t , s i e während d e s Tages z u v e r k a u f e n . D i e übrig g e b l i e b e n e n k a n n
e r n u r m i t e i n e m V e r l u s t zurückgeben. H a t e r s i c h m i t z u w e n i g
eingedeckt, entgeht
sei
ihm e i n Gewinn. D i e N a c h f r a g e
i h r e V e r t e i l u n g bekannt.
Zeitungen
i s t ungewiß, j e d o c h
S e i n Entscheidungsproblem
lautet: Wieviele
Z e i t u n g e n k a u f e i c h , um meine G e w i n n e r w a r t u n g z u m a x i m i e r e n ?
Seien
x:
Bestand an Zeitungsexemplaren,
d e n s i c h d e r Z e i t u n g s j u n g e früh-
morgens z u l e g t
p^:
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß u E x e m p l a r e v e r k a u f t werden
P(u):
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß d i e N a c h f r a g e
(echt) k l e i n e r a l s u i s t
91
Erwartungswert von u
V e r l u s t p r o n i c h t v e r k a u f t e m aber b e v o r r a t e t e m Exemplar
V e r l u s t p r o Exemplar
b e i Fehlmenge ( e n t g a n g e n e r G e w i n n u n d
Kundenarger).
I n t y p i s c h e n E n t s c h e i d u n g s s i t u a t i o n e n i s t g >> h.
Die
En t s che i dungs v a r i a b l e i s t d e r A n f a n g s b e s t a n d x. U n t e r d e r ( n i c h t
einschränkenden) Annahme, daß a l l e e v t l .
am Ende d e r P e r i o d e a u f t r e t e n ,
e n t s t e h e n d e n Fehlmengen e r s t
läßt s i c h d a s P r o b l e m v e r e i n f a c h e n . E s
genügt dann, d i e S i t u a t i o n am Ende d e r P e r i o d e z u b e t r a c h t e n . D i e z e i t
l i e h e V e r t e i l u n g d e s Gewinnes während d e r P e r i o d e
k a n n außer a c h t
b l e i b e n . D i e Große x i s t s o z u wählen, daß d e r e r w a r t e t e N u t z e n a u s de
S i t u a t i o n am P e r i o d e n e n d e maximal
wird:
Max E { N u t z e n am P e r i o d e n e n d e } .
x
Die
Nutzenfunktion hat h i e r d i e folgende Gestalt:
Nutzen
x - u
Steigung g
Abb.
Die
26.1 N u t z e n f u n k t i o n d e s Z e i t u n g s j u n g e n
am P e r i o d e n e n d e
Z i e l f u n k t i o n i s t demnach
X
x
03
u=o
u=x+l
92
oder
M ii n { h
x
03
^ (u - x ) p } .
^ (x - u ) p + g
u
(26.1)
u
u=x+l
Da man i n d e r P r a x i s n i c h t g e r n e m i t u n e n d l i c h e n Summen a r b e i t e t , i s t
e s nützlich, d i e Z i e l f u n k t i o n u m z u s c h r e i b e n . W i r v e r w e n d e n d i e I n t e graldarstellung
Min { h / ( x - u)dP(u) + g / (u - x ) d P ( u ) }
M i n { ( h + g ) / ( x - u ) p d u + g(p. - x ) } .
x
o
u
Mittels partieller
Integration
x
( h + g ) / ( x - u ) p du = ( h + g ) ( x - u ) P ( u ) |
o
^
v
'
X
x
+ ( h + g) / P(u)du
o
= 0, d a P ( u ) = 0
erhält man d i e Z i e l f u n k t i o n
Min{
x
( h -f g ) / P ( u ) d u + g ( p - x ) }
o
2
Sie
A
u
s
d
i s t konvex, da — ^
dx
h
{
}
=
0
f
o
l
g
(26.2)
X
/P(u)du = P
o
x
> 0 ist.
t
(h + g ) P ( x ) - g = 0
x
p
= (Hl—)
v
(26.3)
y
h + e:
D i e s e Lösung i s t l e i c h t z u e r m i t t e l n . Dazu muß man n i c h t d i e g a n z e
Verteilungsfunktion
P kennen. E s genügt d i e I n f o r m a t i o n über P i n d e r
93
Umgebung d e s P u n k t e s ^ jjj ^ . Der e i n f a c h s t e Weg z u r Bestimmung v o n x
ist
folgender:
Wegen
P(x) =
ist
1 - P(x) =
JJ-S—
.
h + g
S e i g = 10h. Dann i s t 1 - P ( x ) = y y = 9%. A l s o muß x s o gewählt w e r d e n ,
daß man a n 9% a l l e r T a g e z u w e n i g Z e i t u n g e n h a t .
Wir
f r a g e n nun:
Wie
muß d i e N a c h f r a g e b e s c h a f f e n
s e i n , daß s i c h d i e E i n d e c k u n g m i t
e i n e m A n f a n g s b e s t a n d x > 0 l o h n t ? E i n e Eckenlösung x = 0 t r i t t a u f ,
wenn g / ( h + g ) g e r a d e d e n k r i t i s c h e n Wert P ( 0 ) e r r e i c h t .
Das
Geschäft l o h n t s i c h e r s t b e i
>
p
5rT7 (°)Wenn a l s o im o b i g e n B e i s p i e l a n höchstens 9 1 % a l l e r Tage überhaupt
Nachfrage a u f t r i t t ,
Modell
eine
s o l l man d a s Geschäft a u f g e b e n .
m i t n i c h t p r o p o r t i o n a l e n Fehlmengenkosten
Um d i e Rechnung z u v e r e i n f a c h e n ,
kontinuierliche
wurde d a s z u l a g e r n d e
Gut w i e e i n e
V a r i a b l e behandelt (z.B Öl). Wir wollen d i e s
beibe-
h a l t e n . Tatsächlich b e z o g e n s i c h d i e e r s t e n Anwendungen v o n O p e r a t i o n s
Research und S t a t i s t i k
auf Lagerhaltungsprobleme b e i der Versorgung von
S c h i f f e n u.a. m i t T r e i b s t o f f
für e i n e
längere S e e f a h r t .
In diesen
Fällen h a t e s w e n i g S i n n , Fehlmengen m i t p r o p o r t i o n a l e n K o s t e n z u
b e w e r t e n . Wenn a u f h o h e r See d r e i o d e r fünf E i n h e i t e n e i n e s
wichtigen
Gutes f e h l e n , i s t d i e s beide Male g l e i c h schlimm. Deshalb i s t h i e r d e r
Ansatz angebracht:
x
Min
x
G:
konstanter
b i g e r Höhe.
0 0
{ h / (x - u ) d P ( u ) + G / dP(u)} .
o
X
(26.4)
K o s t e n w e r t für d a s A u f t r e t e n v o n F e h l m e n g e n i n b e l i e -
94
Die
optimale
Losgröße x b e s t i m m t s i c h a u s d e r B e d i n g u n g ^
{
} = 0,
d.h.
hP(x)
- Gp
= 0 .
x
S e i d i e N a c h f r a g e z.B. e x p o n e n t i a l v e r t e i 1 t m i t dem E r w a r t u n g s w e r t
P(x)
= 1 - e
_ X x
1/X:
. Dann i s t
h(l - e"^) - GXe"^ = 0
h = (h + G X ) e
x = 1 •
X
l n
(y
_ X x
X
P)
In h
.
(26.5)
D u r c h g e e i g n e t e Wahl d e r E i n h e i t läßt s i c h s t e t s h > 1 e r r e i c h e n .
Deshalb besagt (26.5),
a l s der erwartete
daß d i e B e v o r r a t u n g s m e n g e s t e t s größer s e i n muß
Verbrauch.
§27 AUSWERTUNG VON P ( x ) = r - f —
_ _
h + g
v
Eine der wichtigsten
ß
i n der Praxis auftretenden
ist d i e Poissonverteilung
N a c h f r a g ev e r t e i l u n g e n
( s i e h e §19). B e t r a c h t e t
man d a s A u f t r e t e n d e r
N a c h f r a g e i n großen Zeiträumen, g e h t d i e P o i s s o n v e r t e i l u n g
Normalverteilung
über m i t d e r D i c h t e
_1
p(x)dx =
2
1
e
o
Ii'
Erwartungswert
er •
Varianz.
(x-p)
o
2
2
dx
i n eine
95
Im m i t t l e r e n
B e r e i c h läßt s i c h d i e N o r m a l v e r t e i l u n g g u t a p p r o x i m i e r e n
durch d i e
LOGISTIK:
P(x) =
v
J
;
,
-mx
1 + e
m Z 1.6
U
P(x,u,a) =
1 + e"
Der
.
.
r
(27.1)
°
W e r t m ~ 1.6 kommt so z u s t a n d e :
v e r t e i l u n g b e i x = 0 i s t 1/ J2xr
Die Dichte der
Standardnormal-
. Die Dichte der S t a n d a r d l o g i s t i k b e i
x = 0 ist
,
d
dx
1
1
1
-mx
me
, ,
-mx. 2
(1 + e
)
i
, -mx
1 + e
~
'x=0
A
'x=0
4
Da b e i d e D i c h t e n g l e i c h groß s e i n s o l l e n , f o l g t d a r a u s
m = —
£ 1.6 .
Für d a s Z e i t u n g s j u n g e n p r o b l e r n
l a u t e t d i e B e d i n g u n g für d i e o p t i m a l e
Losgröße b e i Verwendung d i e s e r
J
m(x-p)
1 + e
und
s
h + g
Approximation
1
+
L
h
o
g
deshalb
m(x-ix)
ö
_ g
" h
x = ]i + - I n J
m
h
(27.2)
D i e o p t i m a l e Losgröße x i s t e i n e l i n e a r e F u n k t i o n v o n u. u n d o u n d e i n e
zunehmende F u n k t i o n v o n ^ . Man
sieht
96
g { ^ } h
=>
x { | } n .
(27.3)
Untersuchen w i r nun d i e Kosten. S e i
l(x):
E r w a r t u n g s w e r t d e r K o s t e n des E i n p e r i o d e n m o d e l l s b e i o p t i m a l e r
Losgröße x.
B e i m M o d e l l m i t p r o p o r t i o n a l e n F e h l mengenkos t e n s i n d d i e e r w a r t e t e n
K o s t e n gemäß
(26.2)
x
l ( x ) = (h + g) / P(u)du + g(p - x) .
o
und
speziell
bei logistisch
verteilter
x
l ( x ) = (h + g) /
x
1
i
1 + e
(27.4)
Nachfrage
dy + g ( u - x ) =
-(y-uO
m
x
(h + g)
—
e
I jf °-
dy + g ( p - x )
~(y-v)
o
1 + e
"(x-n)
(h + g)
l
l n [ l + e°
] + g(fi - x)
Man g e h t b e i d e r Verwendung d e r L o g i s t i k d a v o n a u s , daß e i n e n e g a t i v e
N a c h f r a g e vernachlässigt werden k a n n .
S e t z t man j e t z t
für d a s o p t i m a l e x den A u s d r u c k
l
In
l(x)
= (h + g)
= ? [ ( h
1
m
[
L
h
l n
+
l
ln[l + e
g)
L±JL
h
ft
]
- g
m ^ - g l n g ]
+
g
ln
&
(27.2) e i n , erhält man
h_l_£]
g
J
l
In f =
97
und
schließlich
l ( x ) = ( h + g ) ^ [- —
m
h + g
v
y
v
&
;
lnr —
" TT—~—
h + g
h + +g g
L
Nun weiß man, daß d i e ENTROPIE e i n e r
e
p
P > = " 1
p
< r 2
p
i
n
l
n
p
(27.5)
lnr—^—]
h + g
J
Wahrscheinlichkeitsverteilung
i •
p.. > 0, ^ p,. = 1, am größten w i r d b e i G l e i c h v e r t e i l u n g p^ = ... = P
D e s h a l b nimmt d i e K o s t e n f u n k t i o n
an,
l ( x ) b e i f e s t e m a i h r e n m a x i m a l e n Wert
h + g
für h = g, und man k a n n a l l g e m e i n
Der
feststellen:
Erwartungswert der Kosten l ( x ) s t e i g t an,
f a l l s h -* g b e i f e s t g e h a l t e n e m
(27.6)
h+g.
Außerdem i s t für g > h
U- > 0
oh
Wir
•
falls
h + g
d.h.
n
und
| i> 0
9g
ö1
zeigen nur ^ > 0 durch D i f f e r e n z i e r e n von
öh
m
L
h + g
+ ( h • g ) £ [-
> 0
m h + g
> 0
h
ln
h + g
h + g
—
(h+g)'
(27.5).
h
+
g
Ti + g
(h
+
g )
J
2
h
+
g
98
Da d i e F u n k t i o n l ( x ) b e i V e r t a u s c h e n v o n h und g unverändert
gilt
bleibt,
auch
2!>o.
Dazu e i n B e i s p i e l . S e i o = 1 und
a)
h = g = l ;
b)
h = 0.1; g = 10 .
In
b e i d e n Fällen i s t d a s g e o m e t r i s c h e M i t t e l v o n h und g g l e i c h
Eins,
aber
a)
l ( x ) = 0.77;
b)
l ( x ) = 0.317 .
h 4= g b e d e u t e t , e s g i b t
s t i g e Eindeckungen.
nun:
j
e
für d a s E i n p e r i o d e n m o d e l l günstige u n d ungün-
Das E r g e b n i s ( 2 7 . 6 ) d e r o b i g e n U n t e r s u c h u n g
besagt
d e u t l i c h e r s i c h d i e günstigen v o n d e n ungünstigen i n d e n K o s t e n
u n t e r s c h e i d e n , d e s t o größer i s t d i e E f f i z i e n z e i n e r o p t i m a l e n B e s t e l l regel. Dies g i l t
§28
b e i jeder beliebigen Nachfrageverteilung.
ZEITLICHE STRUKTUR DES ZEITUNGSJUNGENFROBLEMS
Optimale
Periodenlänge
B e t r a c h t e n w i r a n s t e l l e d e s Z e i t u n g s j u n g e n e i n e n Eisverkäufer i n einem
Fußbai 1 S t a d i o n . E r v e r k a u f t während d e s S p i e l e s u n d a u c h s c h o n v o r h e r
Eis,
d a s e r i n e i n e m B a u c h l a d e n m i t s i c h führt. D u r c h d i e f r e i e Wahl
des V e r k a u f b e g i n n s k a n n e r ( i n G r e n z e n ) d i e Länge d e r V e r k a u f s p e r i o d e
f r e i wählen. G i b t e s für i h n e i n e o p t i m a l e Periodenlänge i n d i e s e m
Einperiodenproblem?
W i r h a t t e n v o r h i n P o i s s o n N a c h f r a g e u n t e r s t e l l t , d i e w i r dann m i t t e l s
d e r L o g i s t i k a p p r o x i m i e r t e n . Beim P o i s s o n Prozeß s i n d
und S t r e u u n g p r o p o r t i o n a l z u r Z e i t
( v g l . §19)
Erwartungswert
99
= a
2
= XT,
d.h.
-
•
Die Lager- und Fehlmengenkosten s i n d e b e n f a l l s
hj, = hT;
g
T
proportional
zu T
= gT.
D a m i t e r h a l t man für d i e E i n p e r i o d e n k o s t e n b e i l o g i s t i s c h
verteilter
N a c h f r a g e ( 2 7 . 5 ) den zeitabhängigen A u s d r u c k
l ( x ) = (h
T
+
g)T ^
exp[- ^
Die e r w a r t e t e n Gesamtkosten pro Z e i t
In
*
-
in g-t-]
sind
4
D i e o p t i m a l e Periodenlänge b e i l o g i s t i s c h v e r t e i l t e r N a c h f r a g e i s t
Hierbei
wurde j e d o c h e i n e g r o b e V e r e i n f a c h u n g
zufällige E r e i g n i s
vorgenommen: Das
" e i n e Nachfrage t r i t t a u f " w i r d exakt a u f das
Per iodenende ge1egt.
G e n a u e r wäre e s , das z e i t l i c h e A u f t r e t e n d e r N a c h f r a g e i n n e r h a l b d e r
P e r i o d e z u berücksichtigen.
Genauerer
Ansatz
Wir u n t e r s t e l l e n wieder
eine P o i s s o n Nachfrage.
Periodenlänge (genau e i n e Z e i t e i n h e i t ) war
Im M o d e l l m i t f e s t e r
100
](x)
Y
= (h + g)
p
u
( )
+
x
SO* " ) •
u=0
Jetzt
i s t P(u) =
p
u
t
( )
u
n
d
= / { ( h + g) l
l (x)
T
u n d
V- =
d i e
P (u) + g(n
t
Kostenfunktion
t
- x)}dt
lautet
.
(28.1)
u=0
Bei
P o i s s o n Nachfrage mit Rate X i s t
i X t ^
fi
Mit
= Xt
d i e s e n Ausdrücken w i r d d i e Z i e l f u n k t i o n
l (x)
T
t
-Xt
= /
l
( h + g)
°
l
u=o
e"
X t
Llt
(28.1) zu
U / X t
j=o
(28.2)
d t - g x T
°
Zwischenrechnung: Es i s t
} l ^
u
e
- X t
v
d
t
=
_ l i X T i i
...
e
- X T
+
} i X ^ i
(j-l)'
- X t
d
t
(fortgesetztepartielle Integration)
£ El " P (J)3
T
Mit
e
H i l f e d i e s e r Z w i s e h e n r e c h n u n g w i r d aus
(28.2)
101
1 (
T
X )
(
=
h
+ g)
l
£ [1 - p
u=o
t
(
J
)]
+
g
A
|1
-
g
x T
(28.3)
j=0
Näherung
Wir
approximieren
d i e P o i s s o n V e r t e i l u n g für große XT d u r c h d i e
Logistik
(28.4)
P (u)
T
1 + e
Dann w i r d a u s ( 2 8 . 3 )
v
,
x
u
u=o
r=o
d r du + gX 7)
g x T
1 + e
Wir
(28.5)
setzen
"(r - Hj.)
u
dr = u - - l n
>
1 + e
" ^T
}
1 + e
in
(28.5) e i n und e r h a l t e n
l (x)
T
h +
X
"(u " M )"
T
J
\
u=o I
m
1 + e
l
du + gX ^
g x T .
(28.6)
Nun w i r d d i e s e K o s t e n f u n k t i o n
4^- = 0
dx
bezüglich x ( b e i f e s t e m
liefert
h + g
X
-(X
x - - ln
m
1 + e
- Hj.)
gT = 0
T) m i n i m i e r t .
102
gXT
r --— = x
n + g
0
o
m
.
1 + e
In
m
m,
x
/
= x - - ln
m
+ 1
x
e
™(x - i^y
In
Es i s t
+
1 + e
= XT u n d a = 4XT
, deshalb
- —
•XT
v <p
-r
h
=
h + g
4XT ,
ln
m
^
1 + e
(x - XT)
n[XT
D i e Auflösung n a c h x l i e f e r t d i e o p t i m a l e Losgröße
x =
4XT ,
ln
m
nvfXT •
E i n e Plausibilitätsbetrachtung
1 + g/h
(28.7)
+ XT
1
- 1
zeigt'.
Wächst g/h, so wächst a u c h d i e o p t i m a l e Losgröße x.
Man k a n n d i e P o i s s o n V e r t e i l u n g
i n der Zielfunktion
(28.2) auch d u r c h
die Normalverteilung approximieren:
m i t u. = X t ; o - J x T . D i e o p t i m a l e Losgröße x läßt s i c h dann
nicht
mehr e x p l i z i t
angeben.
jedoch
103
§29
EXAKTER ANSATZ
Wir wollen j e t z t den exakten Ansatz b e i Poisson Nachfrage h e r l e i t e n .
Seien wie v o r h i n
u:
Nachfrage innerhalb T
p ^ ( T ) : W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß u Stück nachgefragt werden i n [o,T]
p
x:
u
(T) = £ f £ " *
u!
T
e
Anfangsbestand
Es t r e t e n 2 F a l l e auf: u < x und u > x
Bestand
Bestand
Abb. 29.1".
Lager S i t u a t i o n e n für d i e zwei Fälle
Für d i e Lager- und Fehlmengenkosten während der Periode T e r g i b t s i c h
der
Ausdruck
h • T
f u (x)
' = <'
X
+
x
-
u
für
u < x
(29.1)
v
hx
x _ g(u-x)
u - x
— . - T + ^-—t- •
2
u
2
u
t
_
..
• T , fur u > x
r
x
Der Erwartungswert d i e s e r Einperiodenkosten b e i Anfangsbestand x i s t
104
co
u
- 1 f (x) i ^ P - . " "
IM
(29.2)
u
U=X+1
oo
+
l
f
2
J
u=x+l
^ _ üU l _
P
u
(T)
.
(29.3)
wobei A l ( x ) d i e e r s t e D i f f e r e n z l ( x + l ) - l ( x ) b e d e u t e t .
Es i s t j e t z t A l ( x ) z u b e r e c h n e n .
Diese Aufgabe s t e l l t
sich bei vielen
L a g e r h a 1 t u n g sp r o b lernen, b e i denen d e r L a g e r b e s t a n d e i n e
Variable i s t . Falls
l(x) nicht
diskrete
i n verschiedenen I n t e r v a l l e n unter-
s c h i e d l i c h d e f i n i e r t i s t und f a l l s d i e Summationsgrenzen n i c h t v o n x
abhängen, läßt s i c h d e r D i f f e r e n z e n o p e r a t o r A u n t e r d a s Summenzeichen
ziehen. Diese Voraussetzungen
s i n d j e d o c h wegen ( 2 9 . 1 ) n i c h t
gegeben.
W i r z e i g e n , daß man h i e r d e n n o c h so v e r f a h r e n k a n n ( v g l . S A S I E N I e t .
al.
S. 3 0 5 f f ) .
D i e F u n k t i o n f d e r L a g e r - und F e h l m e n g e n k o s t e n
s e t z t s i c h stückweise
aus d e n b e i d e n für a l l e x - W e r t e d e f i n i e r t e n T e i 1 f u n k t i o n e n f i und f 2
zusammen
x
J
f i1, u ( )
v
f
Mit
u
v
für
u < x
für
u > x
(x) =
}
f
0
2,u
v
(x)
J
,
d e r Abkürzung
f
u
(
= f (x) i * E £ e "
u
u!
X )
läßt s i c h ( 2 9 . 2 ) s c h r e i b e n a l s
00
l(x)
=
l
u=o
f (x) .
u
X T
105
Nun g i l t
b e i b e l i e b i g e n monoton wachsenden S u m m a t i o n s g r e n z e n a ( x ) u n d
b(x)
b(x+l)
?
Y
l ( x + 1) =
( X + 1 )
U
u=a(x+l)
b(x)
b(x+l)
a(x+l)-l
a(x)
b(x)+l
a(x)
und d e s h a l b a u c h
b(x)
b(x+l)
l
Al(x) =
l
Af (x) +
u
a(x)
a(x+l)-l
l
f (x+l) u
b(x)+l
?( ) • ( ')
u
x+1
a(x)
Wegen
f (x) = {
u
f.
(x),
1, u
f
(x),
2, u '
v
für
u < x
für
u > x
J
0
v
ist
Kx)
2
=
f
l
)
U
l
2,uW
u=b(x)+l
+
M
f
u=o
wobei h i e r b ( x ) = x.
Z u r E r m i t t l u n g v o n AI wenden w i r ( 2 9 . 4 ) a u f d i e b e i d e n Summen d e r
rechten S e i t e an und e r h a l t e n
b(x)
l
Al(x) =
Af
l i U
(x)
+
l
Af
(x)
2 ,
u<
u=b(x)+l
u=o
b(x+l)
+
l
$1.
b(x)+l
~
?
X + 1
^
Da b ( x ) = x i s t , beschränkt s i c h d i e l e t z t e Summe a u f
29 4
106
- (x+1) - f
^(x+l)
l,x+l
2,x+l
v
n
J
v
J
S i e b e s i t z t d e n Wert N u l l , denn w i e man a u s ( 2 9 . 1 ) e r k e n n t , g i l t
für
u = x + 1 d i e Gleichung f, (x) = f ( x ) .
l,u
'
2,u
n
to
v
v
J
Man d a r f a l s o d e n D i f f e r e n z e n o p e r a t o r u n t e r d a s Summenzeichen z i e h e n .
D i e Optimalitätsbedingung für d i e s e s d i s k r e t e P r o b l e m
lautet
Al(x-l) < 0 < Al(x) .
D i e s führt z u
f
X
l
Al(x) = (h + g)T
u
oo
l
( x + \)
p (T)
+
^ u=o
Die Minimierung
p (T) 1
-Sijj—
- gT .
(29.5)
u=x+l
der erwarteten Einperiodenkosten
bedeutet:
wähle d e n g e r i n g s t e n g a n z z a h l i g e n Wert x, d e r d i e B e d i n g u n g erfüllt
(29.6)
M(x) > r - f —
'
h + g
v
wobei
l
l
X
M(x) =
00
p (T)
u
+
(x
+
I)
u=o
und s p e z i e l l
„
( x ) =
P (T)
J L j -
u=x+1
b e i Poisson Nachfrage
l
Ml! e
W
+
(x i)
u=o
+
l
£lf
e ^
T
.
(29.7)
u=x+l
W i l l man n e b e n d e r o p t i m a l e n Losgröße a u c h d e n Z i e l f u n k t i o n s w e r t l ( x )
selbst ermitteln,
s t a r t e t man am b e s t e n b e i k = 0 u n d b e r e c h n e t d e r
R e i h e n a c h d e n Wert M ( k ) für k = 1,2,... s o l a n g e , b i s d i e B e d i n g u n g
( 2 9 . 6 ) zum e r s t e n m a l
erfüllt i s t .
Das zugehörige k i s t d i e o p t i m a l e
Losgröße x . D i e W e r t e M ( k ) v e r w e n d e t man z u r B e r e c h n u n g v o n l ( x ) .
107
Es i s t
Al(x)
= ( h + g ) T M ( x ) - gT
D a r a u s erhält man s e h r
.
leicht l ( x ) :
x-1
l ( x ) = 1(0) +
l
Al(k) .
k=o
Da
_
T
S
e
T
(Poisson)
u=o
ist
X
2
l(x) =
+
"
X
Y Al(k).
(29.8)
k=o
Dies
i s t d e r E r w a r t u n g s w e r t d e r L a g e r - und K n a p p h e i t s k o s t e n
für e i n e
P e r i o d e d e r Länge T.
Optimale
Bis
Periodenlänge
j e t z t war d i e Periodenlänge T f e s t . Nun b e r e c h n e n w i r näherungs-
w e i s e im l e t z t e n S c h r i t t d i e m i n i m a l e n D u r c h s c h n i t t s k o s t e n e i n e r
Periode pro Zeiteinheit.
,
l (x)
T
Min c(T) = Min { £ + - ~ r — }
(29.9)
E i n f a c h s t e r Weg: E s i s t c ( T ) e i n e k o n v e x e F u n k t i o n m i t l i m c ( T ) = °°.
108
c (T)
T
Abb. 2 9 . 2 :
O p t i m a l e Periodenlänge
W i r b e r e c h n e n für d r e i v e r s c h i e d e n e Werte
von T
, T^, T^, d i e i n d e r Nähe
l i e g e n s o l l e n , d i e D u r c h s c h n i t t s k o s t e n c ( T ^ ) , c{T^),
C
(T )
u n <
3
*
a p p r o x i m i e r e n c ( T ) d u r c h e i n e F u n k t i o n vom T y p f ( T ) = ^ + ß + nr • T.
D i e s e i s t d u r c h d i e d r e i Punkte ( ^ . c ^ ) ) ,
(T »c(T )),
2
2
(T
3 >
c(T )
3
e i n d e u t i g b e s t i m m t . Das Minimum l i e g t b e i
(29.10)
§30
ÜBERBUCHEN BEI RESERVIERUNG
E i n S t a n d a r d b e i s p i e l für U b e r b u c h e n
großen H o t e l
i s t d i e Hotelreservierung:
I n einem
s o l l während d e r H o c h s a i s o n e i n e Tagung a b g e h a l t e n werden.
D i e Besucher melden
beim Hotelmanager
i h r e Teilnahme beim V e r a n s t a l t e r an. D i e s e r h a n d e l t
e i n e Preisermäßigung a u s u n d b u c h t für d i e a n g e m e l -
d e t e n T e i l n e h m e r d i e Ubernachtungen.
109
Der H o t e l m a n a g e r
weiß a u s E r f a h r u n g , daß b e i größeren V e r a n s t a l t u n g e n
s t e t s e i n i g e angemeldete
T e i l n e h m e r ohne v o r h e r i g e Absage n i c h t e r -
s c h e i n e n ( s o g . no s h o w s ) . E s k a n n für i h n d e s h a l b r e n t a b e l
w e n i g e r Zimmer f r e i z u h a l t e n a l s g e b u c h t
sein,
sind. S e i
b:
g e b u c h t e Zimmer ( j e d e r T e i l n e h m e r b u c h t e i n E i n z e l z i m m e r )
x:
f r e i g e h a l t e n e Zimmer
h:
(Kapazität)
K o s t e n für d i e F r e i h a l t u n g e i n e s Zimmers b e i N i c h t e r s c h e i n e n . D e r
n i c h t e r s c h i e n e n e G a s t z a h l t n u r d e n ermäßigten P r e i s . Hätte man
gewußt, daß e r n i c h t kommt, hätte man das Zimmer zum n o r m a l e n
P r e i s v e r m i e t e n können, h i s t g l e i c h dem T a g u n g s r a b a t t .
g:
Fehlmengenkosten.
Der angemeldete
Gast t r i f f t
e i n , a b e r d a s Zimmer
i s t b e r e i t s a n jemand a n d e r e n v e r m i e t e t . Das H o t e l muß d i e K o s t e n
für d i e e x t e r n e U n t e r b r i n g u n g des G a s t e s , i . a . i n e i n e r höheren
P r e i s k l a s s e , übernehmen.
u:
Z a h l d e r tatsächlich e r s c h e i n e n d e n T a g u n g s t e i l n e h m e r
q:
W a h r s c h e i n l i c h k e i t für d a s N i c h t e r s c h e i n e n e i n e s G a s t e s
B e i b Buchungen l a u t e t d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß u Gäste kommen
P
u ; b
= 0(1
- q)V"
U
(30.1)
und d i e k u m u l i e r t e W a h r s c h e i n l i c h k e i t P ( u ; b ) = W a h r s c h e i n l i c h k e i t ,
N a c h f r a g e < u b e i b Buchungen
u
P(u;b) =
J
y=o
"
q
)
Y
q
l
"
y
•
{
3
°'
2
)
Das v o r l i e g e n d e O p t i m i e r u n g s p r o b l e m i s t vom Typ d e s Z e i t u n g s j u n g e n p r o blems. D i e E n t s c h e i d u n g s v a r i a b l e x i s t d e r v o r z u h a l t e n d e B e s t a n d an
Zimmern für d i e Tagung ( L a g e r be s t a n d ) . D e r o p t i m a l e B e s t a n d i s t l a u t
(26.3)
(30.3)
110
D i e oben zugrunde g e l e g t e B i n o m i a l v e r t e i l u n g b e s i t z t den E r w a r t u n g s w e r t
und
d i e Streuung
H = b ( l - q) ;
o
2
= b q ( l - q) .
Wenn b groß i s t , a p p r o x i m i e r t man d i e s e V e r t e i l u n g d u r c h d i e
Normalverteilung
(sog. Normalapproximation).
Dann w i r d a u s ( 3 0 . 3 )
x - b ( l - q)
g + h '
J
^ b q ( l - q)
N i s t d i e V e r t e i l u n g s f u n k t i o n der s t a n d a r d i s i e r t e n Normalverteilung.
Approximiert
aus
man d i e N o r m a l v e r t e i l u n g d u r c h d i e L o g i s t i k ,
der obigen
Beziehung
1
1
m
[x - b(l-q)]
m
e
Wir
- ~
^ ( i q
1 + ^
[x " b(l-q)]
q
)
= |
lösen d i e s e G l e i c h u n g n a c h x a u f und e r h a l t e n für d i e o p t i m a l e
Losgröße f o l g e n d e
Formel
= S E i i
m
Auch h i e r g i l t
l
n
S
h
+
b ( l - q)
wieder
x
d.h.
erhält man
{ | }
M
l {
| }
1
überwiegen d i e F e h l mengenkos t e n , w i r d d i e B e v o r r a t u n g
a l s der erwartete Absatz.
größer s e i n
Sind hingegen d i e Lagerhaltungskosten
a l s d i e F e h l mengenkos t e n , i s t es umgekehrt.
größer
KAPITEL IV:
S T O C H A S T I S C H E
M O D E L L E
K O N T I N U I E R L I C H E R
§31
METHODE DER
ZUSTANDSWAHRSQHEINLICHKEITEN
I n §23 i s t u n s b e r e i t s e i n L a g e r h a l t u n g s m o d e l l
mit kontinuierlicher
Überwachung b e g e g n e t . D o r t wurde e i n e P o i s s o n N a c h f r a g e
zeigte
MIT
Ü B E R W A C H U N G
u n t e r s t e l l t . Es
s i c h , daß u n t e r d i e s e r s p e z i e l l e n Annahme d i e o p t i m a l e B e s t e l l -
menge D d i e s e l b e war w i e b e i m d e t e r m i n i s t i s c h e n M o d e l l m i t k o n s t a n t e r
N a c h f r a g e r a t e . D wurde d u r c h d i e WILSON F o r m e l
bestimmt. D i e I n t e r p r e -
t a t i o n d e r Z i e l f u n k t i o n C i m s t o c h a s t i s c h e n S i n n führte z u r Methode d e r
Zustandswahrschein1ichkeiten.
Wir w o l l e n i n diesem K a p i t e l
das Modell m i t k o n t i n u i e r l i c h e r
Über-
wachung bezüglich Nachfrageprozeß u n d L i e f e r z e i t v e r a l l g e m e i n e r n .
verwenden w i r u.a. wieder
Dabei
d i e Methode d e r Z u s t a n d s w a h r s e h e i n I i c h k e i t e n .
D i e G r u n d i d e e d i e s e r Methode läßt s i c h i n d r e i S c h r i t t e n
skizzieren.
1. S c h r i t t : F e s t l e g u n g d e r S t r u k t u r d e r o p t i m a l e n B e s t e l l r e g e l i n
p a r a m e t r i s i e r t e r Form ( h i e r z.B. " b e s t e l l e D, f a l l s y = 0"; D i s t d e r
P a r a m e t e r m i t n o c h unbekanntem O p t i m a l w e r t ) .
2. S c h r i t t ^ H e r l e i t u n g d e r stationären Z u s t a n d s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n .
Sei
7 r
t
y ( ) d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß s i c h d a s S y s t e m z u r Z e i t
Zustand
t im
y b e f i n d e t . Dann heißt
D
T
D
< >:= l i m < > ( t )
T
V
d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t des Zustands
V
y u n t e r Verwendung d e r f i x e n
Losgröße D.
Im a l l g e m e i n e n hängt d i e stationäre V e r t e i l u n g T T ^ ^ v o n d e r A n f a n g s verteilung
T T ^ ( O ) u n d vom P a r a m e t e r D d e r B e s t e l l r e g e l a b . E s läßt
s i c h z e i g e n , daß b e i dem v o r l i e g e n d e n L a g e r h a l t u n g s m o d e l l
und d e r
112
Bestellregel
" b e s t e l l e D, f a l l s y = 0" d i e G r e n z v e r t e i l u n g TT
;
e x i s t i e r t u n d unabhängig v o n d e r A n f a n g s v e r t e i l u n g T T ^ ( O ) i s t .
3. S c h r i t t : M i n i m i e r u n g d e r e r w a r t e t e n K o s t e n p r o Z e i t e i n h e i t , d.h. d e s
stationären
Erwartungswertes
(31.1)
y
C :
Kosten pro Z e i t e i n h e i t
Im F a l l
im Z u s t a n d y.
der Poisson Nachfrage
i s t i n zufällig h e r a u s g e g r i f f e n e r Z e i t
d e r L a g e r b e s t a n d g l e i c h v e r t e i l t ( v g l . §23).
J e t z t v e r a l l g e m e i n e r n w i r d e n Nachfrageprozeß. W i r nehmen a n , daß
nacheinander KaufInteressenten e i n t r e f f e n . S e i
p^:
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß e i n Kunde u E i n h e i t e n k a u f t ,
u = 0,1,2,...
Für d i e Kundenankünfte u n t e r s t e l l e n w i r e i n e n P o i s s o n Prozeß. D a m i t
b e s c h r e i b t d e r Nachfrageprozeß e i n e n z u s a m m e n g e s e t z t e n P o i s s o n Prozeß
( v g l . §19).
E i n e z e i t l i c h e B e t r a c h t u n g , d.h. e i n e K o s t e n r e k u r s i o n t -> t + A t i s t
kompliziert.
Da e s b e i d e r Z i e l f u n k t i o n a b e r n u r a u f d i e E r w a r t u n g s -
w e r t e ankommt, k a n n man s o t u n , a l s ob d i e Kundenankünf t e genau 1/X
Zeiteinheiten
auseinander
liegen. Dies i s t der Erwartungswert
eines
Z w i s c h e n a n k u n f t s i n t e r v a l l s . Dadurch v e r e i n f a c h t s i c h d e r s t o c h a s t i s c h e
Prozeß z u e i n e r M a r k o v k e t t e , b e i d e r z u jedem E r e i g n i s
einem L a g e r z u s t a n d i n e i n e n anderen
findet .
e i n Ubergang von
(bei u = 0 i n denselben) s t a t t -
113
u=3
Abb.
31.1:
Zustands - Ubergangsdiagramm
I s t d i e N a c h f r a g e größer a l s d e r B e s t a n d , d a n n i s t d e r neue Z u s t a n d
y = 0 und d i e n i c h t b e f r i e d i g t e Nachfrage geht
Für d i e B e s t e l l r e g e l
verloren.
legen w i r wieder d i e bekannte
Struktur
zugrunde
0, für y > 0 ,
Bestellmenge z(y) =
D, für y = 0 .
In diesem Markovkettenmodell
f i n d e n d i e Übergänge n a c h j e w e i l s
Z e i t e i n h e i t e n s t a t t . Für d e n Z u s t a n d y = 0 g i l t
Das S y s t e m
1/X
folgende Vereinbarung:
v e r h a r r t 1/X Z e i t e i n h e i t e n i n d i e s e m Z u s t a n d u n d d i e B e s t e l -
l u n g w i r d e r s t am Ende d e r P e r i o d e a u f g e g e b e n
(bei sofortiger
Liefe-
r u n g ! ) . Somit e n t s t e h e n i n d i e s e r P e r i o d e k e i n e L a g e r k o s t e n .
Für d i e stationären Z u s t a n d w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n g e l t e n d i e Bestimmungsgleichungen:
00
1*1
l
P
u
(31.2)
;
U=l
0 < y < D-1
^ n\ = 1
i=o
(Normierungsgleichung)
(31.3)
(31.4)
114
Das
s i n d EH-2 G l e i c h u n g e n für
D+l U n b e k a n n t e ;
eine Gleichung i s t jedoch
l i n e a r a b h a n g i g , d e n n ( 3 1 . 2 ) , ( 3 1 . 3 ) l e g e n d i e W e r t e TT^,
y = 0,1,2
D nur r e l a t i v
zueinander fest.
D e s h a l b benötigt man
noch
d i e Normierungsgleichung (31.4).
Geometrische V e r t e i l u n g der
Nachfrage
S e i d i e N a c h f r a g e u e i n e s Kunden g e o m e t r i s c h v e r t e i l t :
U
p
= (1 - p ) p ;
0 < p < 1
,
u = 0,1,2..
Dann i s t
*
= 0
D
-
00
}\
P)
l
U=l
1=0
= (1
oo
l
- p)
TT.p
1
i=o
TT
l
p
U
u=o
l
(1 - p )
Ä
u
P
TT.p -y
1
i=y
=
(1 - p ) 7 T
y
+
P
( l " p)
^
TT.P
i-(y+i)
TT
=
TT
y
i=y+l
y+i
V i
y = 0,1
=
(1 - P )
I^P
7T
1
Insgesamt:
TT
, für y =
D
D,
TT
y
(1 - p ) 7 r , für
D
0 < y <
D-1.
o
=
(1 -
p)7T
E
,D-2
115
M i t H i l f e d e r N o r m i e r u n g s b e d i n g u n g (31.4) k a n n j e t z t TT^ b e r e c h n e t
werden^
D
2 ^
=
1
*
1
* 'D
. " 1 + D - Dp
'
D i e stationären Z u S t a n d s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n
l
1 + D - Dp
TT
—
also
, für y = D ,
(31.5)
\
y
1 - P
1 + D - Dp
J e t z t kann d i e Z i e l f u n k t i o n
Die Kosten C
lauten
im Z u s t a n d y
, für 0 < y < D-1
i n Abhängigkeit v o n D f o r m u l i e r t
werden.
sind
y
hy
, für 1 < y < D
k + aD
, für y = 0 .
(31.6)
Die erwarteten Kosten pro Z e i t e i n h e i t
(31.1) werden
im v o r l i e g e n d e n
F a l l zu
D-1
hDir
D
+ h ^ yir + ( k + aDJir^ -> M i n
D
y=l
Setzt
man für d i e Z u s t a n d s w a h r s e h e i n l i c h k e i t e n d i e g e f u n d e n e n
Werte
( 3 1 . 5 ) e i n , e r h a l t man d i e Z i e l f u n k t i o n
k + a D +
Der e r s t e
h
D(IzIl
hD
1 + D(l-p)
-> M i n
D
(31.7)
B r u c h b e s i t z t e i n e Ähnlichkeit z u r Z i e l f u n k t i o n
(2.1) des
WILSON M o d e l l s . Für d i e o p t i m a l e Losgröße D* läßt s i c h a u s ( 3 1 . 7 )
g e s c h l o s s e n e r Ausdruck angeben. D i e Z i e l f u n k t i o n
kein
( 3 1 . 7 ) läßt s i c h a b e r
116
l e i c h t a u s w e r t e n . Es w i r d e m p f o h l e n , d i e A u s w e r t u n g m i t d e r g a n z z a h l i g e n WILSON Losgröße z u b e g i n n e n u n d i n e i n e r g a n z z a h l i g e n
Umgebung
f o r t z u s e t z e n , b i s man d e n m i n i m a l e n Wert g e f u n d e n h a t .
§32
POISSON NACHFRAGE, EXPONENTIELLE LIEFERZEIT
Nun b e t r a c h t e n w i r M o d e l l e
mit Lieferzeit.
S e i d i e N a c h f r a g e P o i s s o n v e r t e i l t und d i e L i e f e r z e i t
exponentialver-
teilt.
X:
Nachf r a g e r a t e
p:
Lieferrate
Da d i e L i e f e r z e i t größer N u l l
i s t , w i r d e s i . a . n i c h t mehr o p t i m a l
s e i n , e r s t b e i y = 0 z u b e s t e l l e n . Man w i r d e i n e B e s t e l l u n g b e r e i t s b e i
y = s > 0 aufgeben.
D i e Losgröße s e i D. Dann i s t a b dem Z e i t p u n k t , z u dem B e s t a n d zum
erstenmal
d e n Wert s annimmt, d i e Größe
S = s + D
der maximale Lagerbestand.
Da d e r L a g e r b e s t a n d k o n t i n u i e r l i c h überwacht w i r d , w i r d e i n e
Bestellung
genau b e i y = s aufgegeben. B i s z u ihrem E i n t r e f f e n kann das Lager
z w i s c h e n z e i t l i c h w e i t e r abgesunken s e i n . Es i s t aber n i c h t e r l a u b t ,
e i n e w e i t e r e B e s t e l l u n g v o r z u n e h m e n , ehe d i e l e t z t e B e s t e l l u n g
einge-
troffen i s t .
Die B e s t e l l r e g e l
i s t vom T y p e i n e r
(s,D)
a u c h Zwei-Behälter-Regel
sogenannten
- Politik ,
(Two-Bin-Policy)
genannt.
S i e wurde früher v o n d e n Heringsverkäufern p r a k t i z i e r t . S i e h a t t e n e i n
offenes
Faß u n d e i n n o c h g e s c h l o s s e n e s
Faß i n R e s e r v e . S o b a l d d a s
o f f e n e Faß l e e r w a r , wurde d a s z w e i t e Faß geöffnet u n d g l e i c h z e i t i g e i n
n e u e s Faß b e s t e l l t .
117
Bei Modellen mit L i e f e r z e i t
ist
sinnvollerweise
D > s .
(32.1)
Denn wäre D < s u n d d a s L a g e r b i s zum E i n t r e f f e n d e r L i e f e r u n g a u f
y = 0 a b g e s u n k e n , d a n n wäre d e r neue L a g e r b e s t a n d n a c h E i n t r e f f e n d e r
Lieferung
Abb.
Der
y = D < s u n d man müßte s o f o r t w i e d e r b e s t e l l e n .
32.1:
Operationscharakteristik eines Lagers b e i
(s,D) - P o l i t i k . B = B e s t e l l u n g ; L = L i e f e r u n g ;
L - B = Lieferzeit.
i n f o l g e v o n L a g e r d e f i z i t e n e n t g a n g e n e Umsatz gehe v e r l o r e n
(LOST
SALES).
Wie
groß s i n d d i e Z u s t a n d s w a h r s e h e i n l i c h k e i t e n
zerlegen
den L a g e r b e r e i c h
1. T e i l b e r e i c h :
Der
i n einzelne
i n diesem Modell? Wir
Teilbereiche:
y = 0
Z u s t a n d y = 0 nimmt a l s R a n d p u n k t e i n e b e s o n d e r e S t e l l u n g
ein.
118
Das Z u s t a n d - U h e r g a n g s d i a g r a m m
bezogen a u f e i n e n k l e i n e n Z e i t r a u m At
s i e h t w i e f o l ^ t aus
1-MAt
Abb. 32.2
D i e P f e i l b e w e r t u n g e n s i n d d i e U b e r g a n g s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n . D i e Wahrscheinlichkeit,
zu befinden,
s i c h n a c h e i n e r k l e i n e n Z e i t s p a n n e A t im Z u s t a n d
i s t u n t e r Berücksichtigung d e r Ubergange
7T (t + A t ) = [1 - jiAt]ir ( t ) + X A t i r ( t ) .
Q
Mit
1
y = 0
i n n e r h a l b At
(32.2)
A t -» 0 w i r d d a r a u s
Ar
(t)
- u7T (t) + X i r ^ t ) .
Q
dt
Im stationären F a l l
(32.3)
i s t l i m TT ( t ) = 0, d.h.
o
v
J
tHOO
(32.4)
1
2. T e i l b e r e i c h :
X
O
1 < y < s .
Das Z u s t a n d s - U b e r g a n g s d i a g r a m m
1 - X A t _ pAt
1-AAt-pAt
besitzt die Gestalt
1-XA t - p A t
Abb. 3 2 . 3
119
D i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t des V e r h a r r e n s i n einem Z u s t a n d i s t h i e r
1 - X A t - jiAt,
d.h. w e d e r d i e a u s s t e h e n d e B e s t e l l u n g i s t e i n g e t r o f f e n ,
n o c h e i n e N a c h f r a g e i s t a u f g e t r e t e n . Das g i l t
a u c h für d e n Z u s t a n d
y = s. D o r t wurde e i n e B e s t e l l u n g spätestens z u B e g i n n d e s I n t e r v a l l s
At gemacht. E s i s t
TT ( t + A t ) = [ 1 - X A t - n A t ] i r ( t ) + X A t 7 r
Daraus w i r d
y + 1
(t)
.
(32.5)
im stationären F a l l
X + p
TT
x
y+i
3. T e i l b e r e i c h :
TT
y
,
1 < y < s .
(32.6)
s < y < D .
A u c h d i e s e Zustände können n u r v o n höheren Beständen a u s e r r e i c h t
werden, w i e d a s Z u s t a n d s - U b e r g a n g s d i a g r a m m z e i g t
XAt
XAt
y+1
1-AAt
1-AAt
Abb.
32.4
D i e R e k u r s i o n s g l e i chung für d i e Zus t a n d s wahr sehe i n 1 i c h k e i t e n l a u t e t
TT (t + A t ) = [1 - XAt]7T (t) + X A t 7 T
y
Die
y
y + 1
(t) .
(32.7)
stationäre Lösung i s t
TT
1
y i
+
=
(32.8)
TT
y
120
4. T e i l b e r e i c h :
D < y < S
D i e s e Zustände können s o w o h l i n f o l g e e i n e r N a c h f r a g e a l s a u c h a u f g r u n d
e i n e s B e s t e i l e i n g a n g e s angenommen werden:
y-D
y-1
XAt
XAt
y+l
y
1-XAt
Abb. 32.5
Demnach g i l t
i r ( t + Ät) = [1 - X A t J i r ( t ) + X A t ? T
y
woraus
y + 1
( t ) + u A t 7 T _ ( t ) , (32.9)
y
D
folgt
TT = TT . + £ TT
.
y
y+l
X y-D
n
5. T e i l b e r e i c h :
(32.10)
y = S.
Der o b e r e R a n d p u n k t d e s Z u s t a n d s r a u m e s k a n n n u r über e i n e n W a r e n e i n g a n g
erreicht
werden.
XAt
S-D
1-XAt
Abb. 32.6
121
Es i s t
7Tg(t + A t ) = [ 1 - XÄt]TTg(t) + ^ A t 7 r _ ( t )
s
D
(32.11)
und
1
l
Zusammenfassend
gilt
u.
X
1
-
;
X
0 < y < s
y
TT
=
y+i
TT
y = 0
o
v
y+1
TT
(32.12)
— — TT
TT
s < y < D
y
TT
=
y
,
1
y+1
D < y < S
+ ~ IT _
X
y-D
y = s .
" X ^S-D
Wir
setzen
X
V
1 + P
und s t e l l e n d i e Z u s t a n d s w a h r s e h e i n 1 i c h k e i t e n
i n Abhängigkeit v o n TT^
dar.
TT
=
y-1
er
y
TT
P
0 < y < s
O
s
7r
y
=
a
p
TT
—
o
;
s < y < D
(32.13)
1
s
y-D-l
TT
= - [ a - er
]TT
y
p
o
r
n
D < y < S-l
J
s-l
a
S
y = s
2
o
.
122
Uber d i e N o r m i e r u n g s b e d i n g u n g
TT =
o
±
s
D ^
/ TT = 1 w i r d schließlich TT f e s t g e l e g t
y
L, y
o
y
.
(32.14)
1
+
Im nächsten S c h r i t t w e r d e n m i t H i l f e d e r Z u s t a n d s w a h r s e h e i n I i c h k e i t e n
die Durchschnittskosten C pro Zeiteinheit
im stationären F a l l
berech-
net .
S
C = 7r Xg + 7 T
o
X [ k + aD] + h
s + 1
^ y7r
(32.15)
y
y=i
s
= TT Xg +
o
TT
&
—
o p
X [ k + aD] + hTT ß ,
o
L
J
wobei
s
ß
TT
q
=
%
+
^
2
D
s
"
2
s
" °]
+
S
a [ a ( s + D) - s - 2D] + D .
aus (32.14) e i n g e s e t z t , e r g i b t
C = ^ + a X
D
schließlich
( g - a ) X - fs
D ^
1
+
(32.16)
+ ßh
.
(32.17)
+
Nun v e r s u c h e n w i r , d i e o p t i m a l e n Werte s , D
z u b e s t i m m e n . Am e h e s t e n
i s t d i e s n o c h im G r e n z f a l l u. >> X möglich.
Grenzfal1:
p >> X
Aus p >> X f o l g t p << 1 u n d d a r a u s a >> 1. D i e Z i e l f u n k t i o n
(32.17)
g e h t über i n
r
-* ^
C -> —
+
lim C
= C* =
a
h
* o.
+ aX +
5
J^W[ D
* one
9
m + a ( s + D) - s - 2D(
+ 2Ds - 2s - D] +
( a - 1)
!
C
+ aX + | ( D + 2s + 1) .
(32.18)
123
D i e n o t w e n d i g e n B e d i n g u n g e n für e i n Optimum l i e f e r n
D =
2kX
h
(32.19)
(32.20)
s = 0
Bezüglich s l i e g t
e i n Randextremum v o r . W i r e r h a l t e n a l s o im G r e n z f a l l
]i >> X w i e e r w a r t e t
Reservierter
d i e R e s u l t a t e des M o d e l l s
ohne L i e f e r z e i t a u s §22.
Lagerraum
I n a l l e n a n d e r e n Fällen muß man d i e Lösungen D, s e n t w e d e r m i t numer i s c h e n Methoden bestimmen
h i e r a n a l y t i s c h e Methoden
oder das M o d e l l
so v e r e i n f a c h e n ,
daß a u c h
zum Z i e l e führen. D i e Q u e l l e d e r S c h w i e r i g -
k e i t e n i s t d e r T e r m ß.
Die Durchschnittskosten
C i n (32.15) hängen v o n a l l e n Lagerbeständen
y = 0,1,2,...,S a b . W e s e n t l i c h
Lagerhaltungskosten
k a n n z.B. d e r F a l l
e i n f a c h e r w i r d d a s P r o b l e m , wenn d i e
am M a x i m a l b e s t a n d gemessen werden: h ( s + D) . Das
s e i n , wenn man k e i n e i g e n e s L a g e r unterhält, s o n d e r n
i n e i n e m e x t e r n e n L a g e r Stellfläche r e s e r v i e r t . S i e muß so groß s e i n ,
daß s i e d e n M a x i m a l b e s t and aufnehmen k a n n . Dann l a u t e t d i e Z i e l f u n k t i o n
C = 7T gX + 7 T
Q
g + 1
X [ k + aD] + h ( s + D) .
Nach k u r z e r Z w i s c h e n r e c h n u n g erhält man
C = Xa +
X ( g - a ) p + kXa'
p + Da
Hier
tritt
+ h ( s + D) .
(32.21)
S
d e r Term ß n i c h t mehr a u f . D a d u r c h w i r d d i e M i n i m i e r u n g v o n
C bezüglich s u n d D e i n f a c h e r , a b e r man k a n n a u f n u m e r i s c h e
nicht verzichten.
Verfahren
124
§33
POISSON NACHFRAGE. FESTE L I E F E R Z E I T r
Wir b e t r a c h t e n e i n Lagerha1tungsmodel1 m i t k o n t i n u i e r l i c h e r
Überwa-
chung, P o i s s o n N a c h f r a g e und f e s t e r L i e f e r z e i t r . Z u r F o r m u l i e r u n g des
M o d e l l s v e r w e n d e n w i r j e t z t BELLMANs P r i n z i p d e r Optimalität. Künftige
Kosten
werden n i c h t
diskontiert.
B e o b a c h t e n w i r im Z e i t p u n k t t d e n L a g e r b e s t a n d
e i n e r a u g e n b l i c k l i c h e n A k t i o n den Bestand
y, s o können w i r m i t
frühestens a b dem Z e i t p u n k t t
+ T b e e i n f l u s s e n . Auf d a s , was v o r h e r g e s c h i e h t , b e s i t z e n w i r k e i n e n
Einfluß mehr. D e s h a l b s e t z e n w i r d i e j e n i g e n K o s t e n
e i n e r A k t i o n verbunden s i n d ,
l ( y ) an, d i e m i t
d i e im Z e i t p u n k t t + r
entstehen.
t und t + T können a b e r n o c h a u s s t e h e n d e a l t e B e s t e l l u n g e n
Der
Lagerbestand
y
t
+
T
Zwischen
eintreffen.
i s t a l s o zum e i n e n v o n y^, zum a n d e r n v o n d e n
n o c h a u s s t e h e n d e n Mengen u n d zum d r i t t e n v o n d e r E n t s c h e i d u n g
p u n k t t abhängig. W i r d e f i n i e r e n
deshalb
im Z e i t -
im v o r l i e g e n d e n M o d e l l a l s
ZUSTANDSGRÖßE y
y: B e s t a n d
(engl.:
p l u s ausstehende B e s t e l l u n g e n
s t o c k on hand p l u s o n o r d e r )
Nichtbefriedigte
N a c h f r a g e w i r d zurückgestellt (BACKORDER C A S E ) .
y
t
Lieferzeit T
t
Abb.
t +
Es
Lagerbestand
T
33.1: K o s t e n werden b e i L i e f e r z e i t r auf
die Zeit
Der
l ( y ) , Kosten, d i e
i h i e r beginnen
y zur Zeit
t + T bezogen
t + T i s t e i n e Zufallsgröße.
i s t d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t (Lager = y - u z u r Z e i t
zur Z e i t t )
t + T
| Lager
= y
125
= Wahrscheinlichkeit
= ^~p~—
e ^
T
(Nachfrage = u i n der Z e i t T)
b e i P o i s s o n Nachfrage.
D i e e r w a r t e t e n L a g e r - u n d F e h l mengenkos t e n z u r Z e i t
t + T sind
y
l
f(y) = h
e~
(y - u)
XT
u=o
Wie
+ g
l
(u-y)
e~
Xr
.
(33.1)
u=y+l
i n §26 g e z e i g t wurde ( v g l . ( 2 6 . 1 ) , ( 2 6 . 2 ) ) ,
läßt s i c h d i e s e r A u s -
d r u c k umformen z u
y
f ( y ) = ( h + g)
l
P
u
+ g(u - y) .
u=o
wobei
P
=
u
\ W .
L l
.
!
B e a c h t e : D a m i t d e r m i t H i l f e d e r I n t e g r a l d a r s t e l l u n g gewonnene A u s d r u c k
(26.2) auch b e i d i s k r e t e r Nachfrage verwendet
werden kann,
i s t die
d i s k r e t e V e r t e i l u n g s f u n k t i o n i n d e r Form P^ = P ( u < x ) e n t g e g e n d e r
üblichen K o n v e n t i o n P^ = P ( u < x ) f e s t g e l e g t .
Um d i e S c h r e i b w e i s e z u v e r e i n f a c h e n , d e f i n i e r e n w i r für d a s f o l g e n d e
d i e N a c h f r a g e r a t e X a l s N a c h f r a g e p r o Z e i t e i n h e i t T . Dann b r a u c h e n w i r
T i n d e r N o t a t i o n n i c h t e x p l i z i t aufzuführen.
P r i n z i p d e r Optimalität
Seien
C:
Bei
Durchschnittskosten pro Zeiteinheit.
stationärem K o s t e n z u w a c h s
werden a u s d e n G e s a m t k o s t e n
1, wenn man
den G e g e n w a r t s z e i t p u n k t um A t i n d i e V e r g a n g e n h e i t zurückverlegt, d i e
K o s t e n 1 + C A t . N a c h dem O p t i m a l i t a t s p r i n z i p v o n BELLMAN g i l t d i e
Rekursion
126
(33.2)
l ( y ) + C A t = f ( y ) A t + [1 - X A t ] l ( y ) +
+ X A t M i n {kö(x - y + l ) + a ( x - y + 1) + l ( x ) }
x>y-l
für s < y < S. S t r e i c h t man l ( y ) a u f b e i d e n S e i t e n und d i v i d i e r t
At, e r h a l t
durch
man
X l ( y ) + C = f ( y ) + X M i n {k<5(x - y + 1) + a ( x - y + 1) + l ( x ) }
x>y-l
(33.3)
für s < y < S.
Struktur der optimalen
Politik
W i r b e g i n n e n u n s e r e B e t r a c h t u n g b e i m A n f a n g s l a g e r b e s t a n d y = S. Im
L a u f e d e r Z e i t s i n k t e r a b . Früher oder später, wenn überhaupt e i n
L a g e r geführt w i r d , muß w i e d e r b e s t e l l t werden. D i e s g e s c h i e h t b e i
y = s. D i e B e s t e l l m e n g e
i s t S - s = D. D i e S t r u k t u r d e r B e s t e l l r e g e l
i s t a l s o vom T y p ( s , D ) . D e m z u f o l g e k a n n man ( 3 3 . 3 ) a u f g l i e d e r n i n
X 1 ( S ) + C = f ( S ) + X 1 ( S - 1)
X 1 ( S - 1) + C = f ( S - 1) + X 1 ( S - 2 )
X l ( s + 1) + C = f ( s + 1) + X [ k + aD + 1 ( S ) ]
.
Die Addition dieser Einzelgleichungen l i e f e r t
S
(33.4)
f ( y ) + Xk + XaD
y=s+l
H i e r s i n d d i e D u r c h s c h n i t t s k o s t e n C pro Z e i t e i n h e i t eine Funktion der
S t r u k t u r p a r a m e t e r s u n d D. Das O p t i m i e r u n g s p r o b l e m
lautet
s+D
f (y) + —
D
y=s+i
+ Xa
->
Min
s.D
(33.5)
D i e K o n s t a n t e X a beeinflußt s und D n i c h t . W i r g e h e n d e s h a l b z u d e n um
127
d i e p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n b e r e i n i g t e n D u r c h s c h n i t t s k o s t e n c über
und
v e r w e n d e n d e r E i n f a c h h e i t h a l b e r für d i e Summe d i e I n t e g r a l d a r s t e l -
lung
ji
S +
D
/ f(x)dx
+
£SJ
(33.6)
Min
s,D
D i e für e i n Optimum n o t w e n d i g e n B e d i n g u n g e n ~ ~ = 0 und gg- = 0
liefern
f ( s + D) = f ( s )
D - f ( s + D) -
s+D
/ f ( x ) d x - Xk = 0.
S e z t man d i e e r s t e i n d i e z w e i t e G l e i c h u n g e i n , w i r d
( s + D ) f ( s + D) - s f ( s ) x = s+D
xf |
=
Die P a r t i e l l e
s+D
/ f ( x ) d x = Xk
s
s+D
/ f ( x ) d x = Xk .
s
Integration
den n o t w e n d i g e n
daraus
/ f d x = x f - / x f ' d x führt schließlich z u
Optimalitatsbedingungen
s+D
/ x f ' ( x ) d x = Xk
s
(33.7)
(33.8)
f ( s + D) = f ( s )
Man k a n n d i e s e z w e i G l e i c h u n g e n n u m e r i s c h
lösen. E i n e Näherungslösung
a u f a n a l y t i s c h e m Weg erhält man, wenn man d i e o b i g e n b e i d e n O p t i m a l i tätsbedingungen i n e i n e T a y l o r r e i h e e n t w i c k e l t und d a s
Gleichungssystem
i n s u n d D löst. Man erhält e x p l i z i t e F o r m e l n für s und D. Zu d e m s e l b e n
Resultat,
jedoch b e i geringerem
R e c h e n a u f w a n d , g e l a n g t man, wenn man
d i e Z i e l f u n k t i o n (33.6) e r s t d u r c h e i n e T a y l o r r e i h e a p p r o x i m i e r t und
dann d i e p a r t i e l l e n A b l e i t u n g e n z u N u l l s e t z t . Es i s t
f
(x) = f(X) + (x -
x)f • (x)
+ (x -
x) ^ r ^ 2
+
(33.9)
128
Wir
integrieren
s+D
/ f(x)dx
gliedweise
= Df(X) + f'(X)
+ ^4p-
= Df (X)
+
f
X
' ( )
6
S
s+D
f • m
/ (x - X)dx +
^
+
D
2
/ ( x - X) clx +
D[D + 2 ( s - X ) ] +
D[D
2
2
+ 3D(s - X) + 3 ( s - X ) ] +
b r e c h e n n a c h dem G l i e d 2. Ordnung i n x ab und e r h a l t e n
Zielfunktion
c
J£+
+
Die
f(X) +
f
X
"( )
9c
Bedingung — = 0
os
[D + 2 ( s - X ) ] +
[D
9c
Bedingung — = 0
!*
Setzt
+
i
m
2
2
+ 3 D ( s - X) + 3 ( s - X ) ] .
(33.10)
liefert
D + 2 ( s - X) = -2
Die
a l s angenäherte
(33.11)
f "(X)
ergibt
+
D
LJhL LJ!±,
+
a
-x)
=
0
.
(33.12)
man h i e r d i e G l e i c h u n g ( 3 3 . 1 1 ) , aufgelöst n a c h s - X, e i n , erhält
man für D e i n e n v o n s unabhängigen A u s d r u c k
3 12kX
J f"(X)
(33.13)
129
(33.11)
liefert
(33.14)
Beachte:
D i e Poisson-Verteilungsannahme
s t e c k t i n der Formulierung des
P r i n z i p s d e r Optimalität ( 3 3 . 2 ) . Da d i e P o i s s o n V e r t e i l u n g e i n e
diskre-
te V e r t e i l u n g i s t , müßte man a n s t e l l e v o n f , f ' d i e e r s t e n bzw. z w e i t e n D i f f e r e n z e n q u o t i e n t e n v o n f verwenden. E i n f a c h e r i s t d i e Approximat i o n durch
eine stetige Verteilung.
Approximation
durch d i e Normalverteilung
Für große X läßt s i c h d i e P o i s s o n V e r t e i l u n g g u t d u r c h e i n e N o r m a l v e r teilung approximieren. S e i
V e r t e i l u n g s f u n k t i o n der s t a n d a r d i s i e r t e n
Normalverteilung, f a l l s d i e Poisson Verteilung
den E r w a r t u n g s w e r t X b e s i t z t .
Dann i s t
f'(x)
=
x
(h + g ) N (
-) - g:
>Jx
f'(X)
=
f.
=
( X
D =
)
3
1
>J
2
h - g.
1LU8L
sfX
k
^
^X
h + e;
h
g + h
J2n\
2
J _
;
D
2
(33.15)
+
x
(33.16)
Wegen er = ^TX f o l g t a u s ( 3 3 . 1 5 )
D ~ er .
(33.17)
130
Approximation durch d i e L o g i s t i k
W i r a p p r o x i m i e r e n nun d i e P o i s s o n V e r t e i l u n g d u r c h d i e L o g i s t i k . S e i
L(X;X,CT)
;
7—r-r-
=
m
-
x
m =
(33.18)
—
^
X
( " )
1 + e
d i e V e r t e i l u n g s f u n k t i o n e i n e r nach der L o g i s t i k v e r t e i l t e n
Zufalls-
v a r i a b l e n m i t E r w a r t u n g s w e r t X u n d S t a n d a r d a b w e i c h u n g CT. E s i s t d a n n
r
f ( x ) = (h + g)
(
x
)
h
+ e°
U
g(X - x) ;
CT
1 + e
f
In
(x X
h + g
m(x-X)
f(x)
f'(X)
2
* _ )i
=
=
h - e
L ± J L
_ i _
a
427
Da f ' ( X ) u n d f ' ' ( X ) b e i N o r m a l v e r t e i l u n g und L o g i s t i k i d e n t i s c h s i n d ,
e r h a l t e n w i r für D w i e d e r d i e F o r m e l ( 3 3 . 1 5 ) .
S e t z e n w i r nun f ( x ) i n d i e notwendige O p t i m a l i t a t s b e d i n g u n g (33.8) e i n ,
wird
daraus
s+d
r
(
h
+
g> l
l
n
{
x
CT< - )i
e
1 +
n,
( s
_
x )
j - g° •
e°
D i s t a u s ( 3 3 . 1 5 ) b e k a n n t . Dann k a n n man d e n A u s d r u c k
m p
a 2
A = e
b e r e c h n e n , u n d m i t d e r w e i t e r e n Abkürzung
^
3
3
1
9
)
131
2 " >
X
"(s +
V = e
(33.20)
w i r d a u s (33.19)
2g_
1 + A-V
A
woraus
h +
S =: Z .
folgt
Nachdem n u n V b e r e c h n e t
i s t , k a n n man d e n Wert v o n s b e s t i m m e n . W i r
lösen ( 3 3 . 2 0 ) n a c h s a u f und e r h a l t e n
(33.21)
s = - In V + X - m
z
mit o
=
NTx"
und m =
Wie ausführliche B e i s p i e l r e c h n u n g e n z e i g e n ,
l i e f e r n d i e beiden
NäherungsformeIn ( 3 3 . 1 6 ) und ( 3 3 . 2 1 ) g u t e Schätzwerte für d e n o p t i m a l e n
Wert s . D i e Näherungsforme1 ( 3 3 . 1 5 ) für D j e d o c h führt i n d e n
überwiegenden Fällen z u e i n e r Unterschätzung d e s o p t i m a l e n W e r t e s D .
Es e m p f i e h l t s i c h d e s h a l b e i n e N a c h k o r r e k t u r
v o n D. S i e k a n n a u f
f o l g e n d e Weise geschehen:
Es i s t z u e r w a r t e n ,
daß d i e F u n k t i o n f i h r Minimum i n d e r Nähe v o n s +
g annimmt. D e r Wert X, um d e n f ( x ) i n e i n e T a y l o r r e i h e e n t w i c k e l t wurde
(33.9), kann w e i t v o n d e r Minimumstelle
auf e i n e bessere A p p r o x i m a t i o n
entfernt sein.
In der Hoffnung
k a n n man f ( x ) a n s t a t t im P u n k t X im
Punkt s + ^ i n e i n e T a y l o r r e i h e e n t w i c k e l n . D i e Rechnung
a u f k o m p l i z i e r t e Ausdrücke.
führt
jedoch
132
Abb. 33.1
Man k a n n j e d o c h im S i n n e e i n e r N a c h k o r r e k t u r
wenn man, nachdem man D u n d s m i t t e l s
b e r e i t s berechnet
den Wert v o n D v e r b e s s e r n ,
( 3 3 . 1 5 ) und ( 3 3 . 1 6 ) o d e r
hat, e i nverbessertes D = D
berechnet
(33.21)
nach der
neu
Formel
12kX
neu
Kos t e n f u n k t i on
Für d i e K o s t e n f u n k t i o n
gilt
c = ^
+
I
= ^
+
I[xf(x)
kX
X
/ f(x)dx
s
| J
+
D
-
s+D
/ x f'(x)dx]
s+D
+
( s + D ) f ( S * D) - s f ( 3 ) _ 1
D
/
x
r
(
x
kX
)
d
x
(vgl.
(33.7))
133
Mit
(33.8) w i r d
daraus
(33.22)
c = f ( s ) = f ( s + D)
§34
POISSON NACHFRAGE, STQCHASTISCHE LIEFERZEIT. EINE BESTELLUNG
B e i v o l l k o m m e n e r K o n k u r r e n z i s t d i e L i e f e r t r e u e e i n w i c h t i g e r F a k t o r im
W e t t b e w e r b . D e r L i e f e r a n t w i r d bemüht s e i n , L i e f e r t e r m i n e möglichst
einzuhalten.
Für d i e L a g e r h a l t u n g
l i e g t deshalb d i e Stochastik
sächlich i n d e r N a c h f r a g e . I n M o n o p o l s i t u a t i o n e n
o d e r d o r t , wo Güter
z u g e t e i l t werden, i s t es eher umgekehrt. D i e S t o c h a s t i k
geringen
zeit.
Wir
Teil
haupt-
l i e g t n u r zum
i n d e r N a c h f r a g e , zum größeren T e i l a b e r i n d e r L i e f e r -
Häufig i s t d i e s i n Entwicklungsländern z u b e o b a c h t e n .
s t e l l e n nun e i n Modell
mit s t o c h a s t i s c h e r L i e f e r z e i t auf.
Der Be-
s t a n d w i r d k o n t i n u i e r l i c h überwacht. S o l a n g e e i n e B e s t e l l u n g n o c h a u s steht, darf keine weitere
B e s t e l l u n g a u f g e g e b e n werden. L i e f e r z e i t u n d
N a c h f r a g e s e i e n unabhängig v o n e i n a n d e r . B e i d e b i l d e n e i n e n
zeß.
D i e s e s L a g e r h a i t u n g s m o d e l 1 wurde b e r e i t s i n §30 b e h a n d e l t .
wurde d i e Methode d e r Z u s t a n d s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n
suchte,
sem
gen.
Poisson
Pro-
Dort
a n g e w e n d e t . Man v e r -
F o r m e l n für s u n d D h e r z u l e i t e n , was a b e r n i c h t g e l a n g .
P a r a g r a p h e n w i r d d e r Weg über d a s Optimalitätsprinzip
In die-
eingeschla-
Seien
jiAt:
Wahrscheinlichkeit,
XAt:
Wahrscheinlichkeit,
At
daß e i n e a u s s t e h e n d e L i e f e r u n g
im Z e i t r a u m
eintrifft
nachgefragt
daß im Z e i t r a u m A t e i n e E i n h e i t d e s G u t e s
wird
t:
Z e i t seit der letzten Bestellung
t = 0:
es s t e h t k e i n e B e s t e l l u n g aus
l(y,t):
Wertfunktion
im stationären F a l l .
134
Nichtdiskontierter
Wir
formulieren
stationären
Sei
Fall
n u n das P r i n z i p d e r Optimalität für d e n
undiskontierten
Fall.
t = Q:
l ( y . O ) + C A t = h y A t + [1 - X A t ] l ( y . O ) +
+ X A t M i n { M i n {k + aD + l ( y - l , A t ) } | l ( y - l . O ) } .
D
T
bestellen
'
nicht bestellen
1
—
woraus
X l ( y . O ) + C = hy + X M i n { M i n { . } | l ( y - l . O ) }
D
(34.1)
folgt.
Bei
einem hohen Lageranfangsbestand w i r d
lohnen. Je n i e d r i g e r
wird
der Entscheidung
dieser
' n i c h t b e s t e l l e n ' . Ab e i n e m
e s günstiger s e i n z u b e s t e l l e n . Da d a s L a g e r
n u i e r l i c h überwacht w i r d ,
Mit
nicht
jedoch der Lageranfangsbestand i s t , desto geringer
der Kostenvorteil
Punkt y = s w i r d
sich eine Bestellung
konti-
b e s t e l l t man s o f o r t b e i y = s d i e Menge D.
Plausibi1itätsbetrachtung r e c h t f e r t i g e n w i r a l s o a u c h b e i
diesem M o d e l l m i t L i e f e r z e i t d i e (s,D) - P o l i t i k .
Sei
t > 0:
Solange eine Lieferung
n o c h a u s s t e h t , d a r f man k e i n e e r n e u t e
Bestellung
aufgeben. Diese S i t u a t i o n b i r g t deshalb keinen Entscheidungsspielraum.
Man b r a u c h t n i c h t
kursion
lautet
d a s P r i n z i p d e r Optimalität anzuwenden. D i e K o s t e n r e -
(siehe
§23)
l ( y , t ) + C A t = h y A t + [1 - X A t - p A t ] l ( y , t + A t ) +
+ XAtl(y-l,t+At)
+ uAtl(y+D,0)
(34.2)
135
D i e R a n d b e d i n g u n g für y = 0 i s t im LOST SALES F a l l g e g e b e n
durch
1 ( 0 , t ) + CÄt = X A t G + [ 1 - X A t - u A t ] l ( 0 , t + A t ) +
+ XAtl(0,t+At) + uAtl(D.O)
Hierbei
G:
.
(34.3)
sind
S t r a f k o s t e n für d i e Enttäuschung e i n e s n i c h t b e l i e f e r t e n Kunden;
unabhängig v o n d e r Z e i t
(Dimension:
Kosten).
Im L i m e s A t -» 0 w i r d a u s ( 3 4 . 2 ) d i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g
-
a
l
^
,
t
:
)
+ [X +
l ( y . t ) = hy + X l ( y - l . t ) - C +
(34.4)
+ ul(y+D,0),
t > 0
mit der Randbedingung
9
-
Das
1
^
,
t
)
= -C
Optimierungsproblem
+
XG - p [ l ( 0 , t ) - 1 ( D , 0 ) ]
.
(34.5)
läßt s i c h a l s o i n Form e i n e s l i n e a r e n
Differentialgleichungssystems beschreiben,
d a s man d u r c h I n t e g r a t i o n
l o s e n kann.
Diskontierter
Fall
—r t
Wir
i n t e r e s s i e r e n u n s für l ( s , 0 ) . S e i r d i e Zinsintensität u n d e
A b z i n s u n g s f a k t o r vom Z e i t p u n k t
t auf den Z e i t p u n k t N u l l
der
( s i e h e §21).
Mit
q(T)dT:
Dichte der L i e f e r z e i t v e r t e i l u n g
erhält man
s
0 0
T=0
l ( s , 0 ) = k + aD +
/ q(T)
U
T
t=0
/
J f(s-u)
u=o
=: F ( s )
e"
X t
e"
r t
dt dr +
136
s - u + D,0)dT +
+
Für y > s g i l t
l(D.O)dT .
d i e f o l g e n d e Überlegung: D i e m i t t l e r e V e r w e i l z e i t
(34.6)
des
S y s t e m s im Z u s t a n d y i s t i . Für d i e s e Z e i t f a l l e n d i e L a g e r k o s t e n h y
A
an.
D a n a c h s i n k t d a s L a g e r a u f y - 1. D i e ab d a n n e n t s t e h e n d e n K o s t e n
r
l ( y - l . O ) w e r d e n m i t dem F a k t o r e ~ ^ =: p
l(y.O) =
Spezialfall:
lager
Die
;
y
Lieferabrufe
produzieren, u n t e r l i e g t d i e Liefermenge unserer
W i r nehmen a n , daß d a s G u t vom Produktionsläger zum
L i e f e r z e i t e n t s t e h t d a d u r c h , daß s i c h d i e B e s t e l l u n g
rungsaufträgen e i n r e i h e n
zur Auslieferung
als
vorliegenden
auf
Vertriebs-
kommende Menge k a n n im l e t z t e n A u g e n b l i c k n o c h
so a k t u a l i s i e r e n ,
Augenblick
daß m i t dem E i n t r e f f e n d e r L i e f e r u n g d a s L a g e r
y = S aufgefüllt w i r d . U n t e r d i e s e r
Gleichung
AusliefeAusliefe-
muß und d e s h a l b e i n e Z e i t u n b e a r b e i t e t b l e i b t .
abgeändert werden. Dann k a n n man d i e B e s t e l l m e n g e im l e t z t e n
stets
Kon-
s p e d i t i e r t wird.
rungsauftrag i n eine Warteschlange von b e r e i t s
Die
(34.7)
> s
E i g e n p r o d u k t i o n oder J u s t - I n - T i m e
Wenn w i r s e l b e r
trolle.
pl(y-l.O)
diskontiert:
Annahme verändert s i c h d i e
(34.6) zu
00
l ( s , 0 ) = k + aD + F ( s )
+ 1(S,0)
Jq(r)e
o
dr
a
a'
E r w a r t u n g s w e r t d e s D i s k o n t f a k t o r s über d i e L i e f e r z e i t .
(34.8)
137
Die
Gleichung
( 3 4 . 7 ) b l e i b t unverändert. I n s b e s o n d e r e g i l t
für y = S
S
l(S.O) = £
J
D
y +
p l(s,0)
.
(34.9)
y=s+l
S e t z t man h i e r
aus,
l ( s , 0 ) gemäß G l e i c h u n g
( 3 4 . 8 ) e i n u n d w e r t e t d i e Summe
erhält man
1(S)
=
J-g-h
1 -
p
a
[^§tU_
Siftli]
S
s
p " [ k + aD + F ( s ) ]
+
[
. (34.10)
J
Das z w e i t e A r g u m e n t r = 0 i n d e r K o s t e n f u n k t i o n 1 w i r d n i c h t mehr
mitgeführt, w e i l
T
d i e R e k u r s i o n e n (34.9) und (34.10) s i c h s t e t s a u f
= 0 beziehen.
Auch h i e r
i s t e s n i c h t möglich, F o r m e l n für d i e o p t i m a l e n W e r t e s ,S
a n z u g e b e n . Man g e w i n n t s i e d u r c h M i n i m i e r u n g v o n ( 3 4 . 1 0 )
h j-sij+ii
{
1 -
p
_ sis+a
]
+
p S
-
S [ k
+
^
+
F
a
(
s
)
]
_
M
i
n
_
s,S
w o b e i man s i c h w i e d e r a u f g a n z z a h l i g e Werte s,S beschränken k a n n .
§35
POISSON NACHFRAGE, STOCHASTISCHE LIEFERZEIT,
MEHRERE BESTELLUNGEN
Wir
w e i t e n j e t z t das L a g e r h a l t u n g s m o d e l l a u f den F a l l
a u s , daß e i n e
neue B e s t e l l u n g a u f g e g e b e n w e r d e n d a r f , n o c h b e v o r e i n e z u d i e s e m
Z e i t p u n k t noch ausstehende L i e f e r u n g e i n g e t r o f f e n i s t .
behandeln w i r den F a l l :
Die
Lieferzeit T i s t exponentialvertei1t
Die
L i e f e r z e i t v e r t e i l u n g b e s i t z t d i e Dichte
q ( T ) d r = }ie ^ dr
r
.
Zunächst
138
Die E x p o n e n t i a l v e r t e i l u n g h a t den V o r t e i l ,
braucht,
daß man n i c h t z u w i s s e n
w i e l a n g e e i n e L i e f e r u n g s c h o n a u s s t e h t . W i r u n t e r s t e l l e n , daß
alle Lieferzeiten identisch verteilt
sind (gleicher Lieferant).
Wegen d e r P o i s s o n N a c h f r a g e s i n d a l l e B e s t e l l u n g e n v o n e i n a n d e r s t o c h a s t i s c h unabhängig. Aus d i e s e m G r u n d e i s t d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t d e s
Eintreffens von Bestellungen
a)
falls
b)
f a l l s m Bestellungen ausstehen:
eine Bestellung aussteht:
Die
Zahl
m:
ausstehende
pAt ,
mpAt .
Bestellungen
w i r d n e b e n dem B e s t a n d y d i e z w e i t e Zustandsgröße i n d i e s e m L a g e r h a i tung smodel 1 . D e s h a l b b r a u c h e n w i r d i e ausstehenden
n i c h t dem B e s t a n d
y:
jetzt
Bestellungen
hinzuzuschlagen.
w i e d e r p h y s i k a l i s c h e r B e s t a n d (bzw. F e h l m e n g e n ) .
D i e L a g e r - bzw. F e h l m e n g e n k o s t e n
sind
(35.1)
oder
J e d e e i n z e l n e B e s t e l l u n g b e s i t z e d i e Losgröße D. Das P r i n z i p d e r O p t i malität l a u t e t ohne D i s k o n t i e r u n g
l(y,m) + C A t = <Ky)At + m p A t l
(y+D,m-l) + [1 - mpAt - X A t ] l ( y , m ) +
+ X A t M i n {k + aD + l ( y - l , m + l )
bzw.
| l(y-l.m)}
(35.2)
n a c h U m s t e l l u n g , Kürzen u n d D i v i s i o n d u r c h A t
(X + m p ) l ( y , m ) + C = <p(y) + m p l ( y + D,m - 1) +
+ X M i n {k + aD + l ( y - l , m + l )
| l(y-l,m)} .
(35.3)
139
Dies
i s t eine schwierige Differenzengleichung.
Wir weichen deshalb auf
e i n e h e u r i s t i s c h e Lösung a u s , z.B. indem w i r äquidistante B e s t e l l p u n k t e
s ,s ,...
1
0
einführen.
S
Abb.
35.1'-
m e h r e r e äquidistante B e s t e l l p u n k t e
und
u n s a u f e i n e m a x i m a l e Z a h l v o n B e s t e l l m e n g e n M f e s t l e g e n , S = MD.
Das
P r o b l e m "bestimme M und D
M
kann m i t H i l f e der Zustandswahrsehein-
l i c h k e i t e n gelöst werden.
L i e f e r z e i t r b e l i e b i g v e r t e i l t - keine Uberkreuzungen
Die L i e f e r z e i t s e i j e t z t b e l i e b i g v e r t e i l t .
Keine Uberkreuzungen bedeu-
t e t : was e h e r b e s t e l l t wurde, kommt e h e r a n .
B e i f e s t e r L i e f e r z e i t r benützten w i r d i e I d e e ,
Zeitpunkt T Z U beziehen.
d i e Lagerkosten
a u f den
W i r w o l l e n a u c h h i e r so v o r g e h e n . Da r
c h a s t i s c h i s t , w i r d auch d i e Nachfrage u i n n e r h a l b von r e i n e
sto-
Zufalls-
variable. Sei
p(u) :
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß i n n e r h a l b d e r L i e f e r z e i t d i e
Nachfrage u a u f t r i t t .
B e i Poisson Nachfrage m i t der Rate X i s t
P(u)
= /
o
T
q(T)dT
(35.4)
140
Beispiel:
T i s t Gsunma v e r t e i l t :
q(T)dr = ü
d
T
P(u)
(X „)
u +
+
NR:
/ ß ^ T V ^ d r
J
+ 1
(
U !
J !
= i !
p(u) = I H J L I Ü
= (~ i
o
+ 1 )
X
)
f
u
(
—M—)J
U
) ( - p ) d - P)°'
+ 1
+1
=
•
(
D i e s i s t e i n e n e g a t i v e B i n o m i a l v e r t e i l u n g m i t Exponent
Wahrscheinlichkeit
3
5
5
)
- ( j + 1 ) und
p = X/(X+p). B e i P o i s s o n N a c h f r a g e w i r d a l s o d i e
N a c h f r a g e i n n e r h a l b d e r L i e f e r z e i t T , wobei r Gamma v e r t e i l t i s t , z u
e i n e r e x p o n e n t i a l v e r t e i 1 t e n Zufallsgröße.
Der E r w a r t u n g s w e r t d e r L a g e r - und F e h l m e n g e n k o s t e n
f ( y ) bezogen a u f den
Erwartungswert von T i s t
y
f(y)
= h
oo
J
( y - u)p(u) + g
u=o
Das
J
(u - y)p(u) .
(35.6)
u=y+1
P r i n z i p d e r Optimalität l a u t e t
l ( y ) + CAt = f ( y ) A t + [1 - X A t ] l ( y ) +
+ XAt Min {k6(x-y+l) + a(x-y+l) + l ( x ) } .
x>y-l
(35.7)
141
Es
i s t jetzt viel
e i n f a c h e r g e w o r d e n , v e r g l i c h e n m i t ( 3 4 . 2 ) . Das
liegt
d a r a n , daß j e t z t a l l e b i s a u f d i e l e t z t e n o c h a u s s t e h e n d e B e s t e l l u n g
i g n o r i e r t w e r d e n . D i e e r w a r t e t e n K o s t e n hängen n u r v o n d e r l e t z t e n
B e s t e l l u n g ab ( k e i n e Uberkreuzung!).
" f e s t e L i e f e r z e i t " w i r d q(r)
g e w o r d e n . Im G r e n z f a l l
lichen
Dafür i s t j e t z t f k o m p l i z i e r t e r
zu einer uneigent-
Verteilung.
Nachdem ( 3 5 . 7 ) m i t dem P r i n z i p d e r Optimalität ( 3 3 . 2 ) i d e n t i s c h i s t ,
führt d i e M i n i m i e r u n g d e r K o s t e n p r o Z y k l u s a u f d i e s e l b e n F o r m e l n w i e
beim M o d e l l m i t f e s t e r L i e f e r z e i t
(§33), a b e r m i t d e r a n d e r e n
Formel
( 3 5 . 5 ) für p ( u ) .
Beispiel mit Diskontierung
Wir b e t r a c h t e n i n diesem
r
:
B e i s p i e l den d i s k o n t i e r t e n F a l l .
Seien
Zinsintensität;
—r t
e
e"
:
r A t
Diskontfaktor;
~
(1 - r A t ) für A t «
Im d i s k o n t i e r t e n F a l l
1 .
l a u t e t das Optimalitätsprinzip für k l e i n e s A t
l ( y ) = f ( y ) A t + (1 - X A t ) ( l - r A t ) l ( y ) +
+ X A t ( l - r A t ) M i n {kö(x-y+l) + a ( x - y + l ) + l ( x ) } .
x>y-l
Vernachlässigt man d i e Terme höherer Ordnung i n A t , w i r d
Hv)
= XTr"
f
(
y
)
+
X+T
M
i
X
n
{
k
^-
X
ö
(
x
" y
+
1)
+
a ( x - y + 1) +
daraus
l(x)}.
(35.8)
D i e s e F o r m u l i e r u n g w e i s t f o r m a l k e i n e U n t e r s c h i e d e mehr a u f z u
L a g e r h a i t u n g s m o d e l l e n m i t p e r i o d i s c h e r Überwachung ( v g l - d a z u d a s
Optimalitätsprinzip i n d e r F o r m u l i e r u n g ( 3 6 . 4 ) ) .
Solchen Modellen
i s t das nächste K a p i t e l g e w i d m e t .
KAPITEL V:
S T O C H A S T I S C H E
P E R I O D I S C H E R
M O D E L L E
MIT
Ü B E R W A C H U N G
D i e s e s K a p i t e l k a n n unabhängig v o n d e n v o r a n g e h e n d e n K a p i t e l n g e l e s e n
werden.
§36
ARROW-HARRIS-MARSCHAK MODELL
M i t d e r Einführung d e r e l e k t r o n i s c h e n D a t e n v e r a r b e i t u n g
i s t eine
konti-
n u i e r l i c h e B e s t a n d s f o r t S c h r e i b u n g m e i s t k e i n P r o b l e m mehr. Dennoch h a l t e n v i e l e U n t e r n e h m e r a n e i n e r p e r i o d i s c h e n I n s p e k t i o n und E n t s c h e i d u n g
f e s t . Manchmal l i e g t d a s d a r a n ,
daß A b s p r a c h e n m i t dem L i e f e r a n t e n g e -
t r o f f e n w u r d e n , d i e e i n e B e s t e l l u n g immer n u r z u b e s t i m m t e n
(meist
gleichabständigen) Z e i t p u n k t e n e r l a u b e n . Z w e i a u f e i n a n d e r f o l g e n d e
mög-
l i c h e B e s t e l l Z e i t p u n k t e d e f i n i e r e n e i n e P e r i o d e . H i e r i s t e s dann überflüssig, d e n B e s t a n d
während d e r P e r i o d e z u v e r f o l g e n , w e i l man d i e s e
I n f o r m a t i o n n i c h t ausnützen k a n n . E s genügt e i n e B e s t a n d s i n s p e k t i o n
( p h y s i k a l i s c h o d e r buchmäßig) j e w e i l s z u P e r i o d e n b e g i n n .
Mehrperiodenmodelle m i t s t o c h a s t i s c h e r Nachfrage e r f o r d e r n eine
flexi-
b l e r e B e s t e l l r e g e l a l s M o d e l l e m i t k o n t i n u i e r l i c h e r Überwachung. Man
w i r d d i e Losgröße i n Abhängigkeit vom v o r g e f u n d e n e n L a g e r b e s t a n d
wählen.
D e s h a l b e r f o r d e r n d e r a r t i g e M o d e l l e a l s Lösungsweg d i e D y n a m i s c h e O p t i mierung. B e i d e r s t r e n g e n Behandlung d i e s e s Problems i s t d i e Dynamische
Optimierung
e r s t m a l i g angewendet worden. Das f o l g e n d e
i s t zugleich eine
Einführung i n d i e D e n k w e i s e d e r D y n a m i s c h e n O p t i m i e r u n g .
(Das d e r DO
z u g r u n d e l i e g e n d e P r i n z i p d e r Optimalität wurde i n d e n v o r a n g e g a n g e n e n
P a r a g r a p h e n b e r e i t s mehrmals f o r m u l i e r t ; e i n e Rechenmethode d e r DO
wurde s c h o n i n §25 v e r w e n d e t . ) E i n i g e A l g o r i t h m e n d e r s t o c h a s t i s c h e n DO
sind
Das
im K a p i t e l V I b e s c h r i e b e n .
Grundmodell der Lagerhaltung
m i t p e r i o d i s c h e r Überwachung wurde v o n
d e n A m e r i k a n e r n KENNETH ARROW. TED HARRIS u n d JACOB MARSCHAK f o r m u l i e r t
und
i s t n a c h i h n e n AHM-Mode 11 b e n a n n t . (ARROW & HARRIS & MARSCHAK
(1951)).
143
Es g e l t e n d i e f o l g e n d e n
Voraussetzungen:
1. P e r i o d i s c h e I n s p e k t i o n und
Entscheidung
2. D i e N a c h f r a g e i s t zufällig und i n a l l e n P e r i o d e n unabhängig und
identisch verteilt.
3. U n b e f r i e d i g t e N a c h f r a g e am Ende e i n e r
a) geht v e r l o r e n
(LOST SALES)
b) w i r d vorgemerkt
(BACKORDER)
Periode
4. L i e f e r u n g e n e r f o l g e n s o f o r t . D i e L i e f e r z e i t
5. E n d l i c h e r o d e r u n e n d l i c h e r
i s t Null.
Planungshorizont.
6. D i s k o n t i e r u n g
Seien
p
:
n
:
y
:
D i s k o n t f a k t o r für e i n e
Periode
Planungshorizont
Lagerbestand
zu Beginn
einer Periode, unmittelbar v o r der
Entscheidung
x
:
Bestand
zu Beginn
der Periode u n m i t t e l b a r nach d e r
Entscheidung
x - y:
Bestellmenge
u
:
Nachfrage,
Zufallsvariable
P(u)
:
V e r t e i l u n g s f u n k t i o n der Nachfrage mit Dichte
f(x)
:
E r w a r t u n g s w e r t d e r L a g e r - und F e h l m e n g e n k o s t e n für e i n e
P ^
u
u
Periode
a
:
proportionaler Bestellkostensatz
k
:
fixe Bestellkosten.
B i s h e r wurde d i e K o s t e n f u n k t i o n m i t 1 b e z e i c h n e t .
Optimierung
i s t e s üblich, d i e W e r t f u n k t i o n m i t v z u b e n e n n e n . Da b e i
Periodenmodellen
d i e DO e i n e überragende R o l l e s p i e l t , übernehmen w i r
d i e s e S c h r e i b w e i s e . An d i e S t e l l e v o n 1 t r i t t
v
v
Wertfunktion
:
I n d e r Dynamischen
Kosten,
j e t z t v:
( b i s h e r 1)
d i e n a c h dem Ende d e s P l a n u n g s h o r i z o n t s
entstehen
144
V
Q
= 0:
nach Voraussetzung
(solange n i c h t s anderes
festgelegt
ist).
D i e f o l g e n d e A b b i l d u n g z e i g t d i e O p e r a t i o n s c h a r a k t e r i s t i k des Lagers
b e i Anwendung d e r s o g . ( s , S ) - P o l i t i k
( v g l . 39.1). D i e durchgezogene
L i n i e s t e l l t den z e i t l i c h e n L a g e r v e r l a u f d a r . D i e g e s t r i c h e l t e n
Linien
g e b e n w e i t e r e mögliche Lagerverläufe a n .
Der Wert s i s t d i e B e s t e l l g r e n z e und S i s t d e r Auffüllpunkt d e s L a g e r s .
Die ( s , S ) - P o l i t i k besagt:
I s t zum I n s p e k t i o n s z e i t p u n k t y < s, dann w i r d
d e r L a g e r b e s t a n d d u r c h e i n e B e s t e l l u n g a u f S angehoben.
(Lieferzeiten
werden im A u g e n b l i c k vernachlässigt.)
Abb.
36.1:
O p e r a t i o n s c h a r a k t e r i s t i k im AHM - M o d e l l
B e i L a g e r k o s t e n s a t z h und Fehlmengenkostensatz
L a g e r - und
g sind d i e erwarteten
Fehlmengenkosten
f(x) = h
x
/ ( x - u)dP(u) + g
O
oo
/ ( u - x)dP(u) =
X
145
(§26)
=
(h+g)
x
/ P(u)du + g(u - x)
o
.
(36.1)
u i s t der Erwartungswert der Nachfrage.
A l s Z i e l f u n k t i o n wählen w i r w i e d e r gemäß dem B E R N O U L L I - P r i n z i p d e n
E r w a r t u n g s w e r t a l l e r K o s t e n während d e s g e s a m t e n P l a n u n g s h o r i z o n t s . W i r
z e r l e g e n d i e s e K o s t e n i n d i e K o s t e n d e r u n m i t t e l b a r v o r uns l i e g e n d e n
P e r i o d e ( E i n p e r i o d e n k o s t e n ) und d i e K o s t e n des R e s t p r o b l e m s .
Dessen
P l a n u n g s h o r i z o n t i s t um e i n e P e r i o d e v e r m i n d e r t u n d d e r A n f a n g s b e s t a n d
für d a s R e s t p r o b l e m i s t i d e n t i s c h m i t dem B e s t a n d am Ende d e r e r s t e n
P e r i o d e . Für
v (y):
gilt
E r w a r t u n g s w e r t a l l e r K o s t e n b e i A n f a n g s l a g e r b e s t a n d y,
P l a n u n g s h o r i z o n t n u n d o p t i m a l e r Bestandsführung
d i e R e k u r s i o n ( b e i gegebener
a ) im BACKORDER F a l l :
Randbedingung
v (y) = V
Q
= 0)
n = 1,2,3
00
v (y)
= Min {k6(x - y) + a ( x - y) + f ( x ) + p
x>y
n
/ v ^ f x - u)dP(u)}
o
(36.2)
b ) im LOST SALES F a l l :
v
n
(y)
=
M
i
n
x>y
n
= 1,2,3,...
{kö(x - y ) + a ( x - y ) + f ( x ) + p
x
/ v ^ ( x - u)dP(u) +
o
+ [1 - P ( x ) ] v ^ ( 0 ) }
n
1
.
(36.3)
An dem AHM - M o d e l l h a t s i c h e r s t m a l s d i e T h e o r i e d e r D y n a m i s c h e n
O p t i m i e r u n g h e r a u s g e b i l d e t ( d u r c h RICHARD BELLMAN). Man n e n n t d e s h a l b
den o b i g e n R e k u r s i o n s a n s a t z d a s BELLMANsche P R I N Z I P DER OPTIMALITÄT u n d
d i e b e i d e n G l e i c h u n g e n ( 3 6 . 2 ) , (36.3) d i e BELLMANschen F u n k t i o n a l gleichungen.
146
Es
i s t y der Lagerbestand
die
unmittelbar vor der Entscheidung.
F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n auch bezogen auf e i n e n
z:
Lagerbestand
nach d e r
f o r m u l i e r e n (BECKMANN
Man k a n n
Zustand
Entscheidung
(1968)):
00
v (z)
n
= f(z) + p
/ M i n {k6(x - y) + a ( x - y )
o x-y
+ v
Ax
n-1
+ x - y - u)}dP(u) . (36.3)
Für n u m e r i s c h e Zwecke i s t d i e s e Form u.U. v o r t e i l h a f t e r , w e i l d e r
Z u s t a n d s r a u m k l e i n e r i s t . Das w i r d a b e r h i e r n i c h t w e i t e r
§37
verfolgt.
DAS AHM - MODELL IM STATIONÄREN F A L L
Im stationären F a l l w i r d d a s AHM - M o d e l l
e i n e r a n a l y t i s c h e n Behandlung
l e i c h t e r zugänglich. Außerdem v e r e i n f a c h e n s i c h d i e F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n , w e i l d e r I t e r a t i o n s i n d e x n wegfällt.
W i r h a t t e n b i s h e r im stationären F a l l
benutzt,
schon e i n i g e Male den A n s a t z
d i e p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n aus der zu minimierenden
K o s t e n f u n k t i o n h e r a u s z u n e h m e n . Auf l a n g e S i c h t muß nämlich d e r
W a r e n e i n g a n g s ström g l e i c h dem W a r e n a u s g a n g s s t r o m s e i n , d.h. d i e
erwartete
stationäre B e s t e l l m e n g e
im BACKORDER - F a l l
i s t g l e i c h dem
E r w a r t u n g s w e r t u d e r N a c h f r a g e i n e i n e r P e r i o d e und d a m i t unabhängig
von
der Bestei1regel.
D i e s e Überlegung w o l l e n w i r n u n a u f d a s stationäre AHM - M o d e l l
übertragen. D i e W e r t f u n k t i o n
lautet
(BACKORDER - F a l l ) zunächst
CO
v ( y ) = M i n {kö(x - y ) + a ( x - y ) + f ( x ) + p
x>y
Um d e n G e g e n w a r t s w e r t a l l e r
diskontiert.
/ v ( x - u)dP(u)} .
o
(37.1)
K o s t e n e n d l i c h z u h a l t e n , wurde m i t p < 1
147
Wir b e r e i n i g e n nun v um d e n E r w a r t u n g s w e r t a l l e r p r o p o r t i o n a l e n B e stellkosten.
jeden
Periode
I n g u t e r Näherung w i r d angenommen, daß z u B e g i n n e i n e r
der erwartete
Absatz p der Vorperiode
b e s t e l l t wird.
Dann i s t d e r E r w a r t u n g s w e r t a l l e r p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n
au
Wir
(37.2)
1 " P
setzen d i e bereinigte Wertfunktion v ( y )
v(y)
== v ( y ) - a (
in d i e Funktionalgleichung
T
^
7
-
(37.3)
y)
(37.1) e i n
00
v(y) + a (
x
^
- y ) = M i n {k<5(x - y ) + a ( x - y ) + f ( x ) + P
x>y
+ a ( j ^
Min
x>y
x +
^
/ [ v ( x - u)
o
u)]dP(u)}
{kö(x - y ) + a x - pax + f ( x ) + a p y _
+ pap - a y +
f(x)
+ p / v ( x - u)dP(u)}
o
und
e r h a l t e n ( i m BACKORDER F a l l )
v ( y ) = M i n {kö(x - y ) + f ( x ) + p / v ( x - u ) d P ( u ) }
x>y
o
(37.4)
mi t
(37.5)
f ( x ) = a x ( l - p) + f ( x )
Im LOST SALES - F a l l
läßt s i c h d i e s e r T r i c k n i c h t anwenden, d a d o r t d i e
m i t t l e r e Bestellmenge pro Periode
f rage.
geringer
i s t a l s d i e erwartete
Nach-
148
I n d e n f o l g e n d e n P a r a g r a p h e n beschäftigen u n s d i e b e i d e n F r a g e n :
1.
Wie läßt s i c h im E i n z e l f a l l
e i n e k o n k r e t e Lösung g e w i n n e n ?
2.
Wie s i e h t d i e S t r u k t u r d e r o p t i m a l e n Lösung a u s , f a l l s
man
überhaupt v o n e i n e r S t r u k t u r s p r e c h e n k a n n ?
§38
STANDARDISIERUNG
U n t e r g e w i s s e n V o r a u s s e t z u n g e n läßt s i c h d a s AHM - M o d e l l
standardi-
sieren.
Voraussetzung (VI):
Die Nachfrage u b e s i t z e eine
standardisierbare
W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g v o n d e r Form
P(u;u.,cr) = Q (
U
^) .
Dann s e t z e n w i r
u = ]i + oe
(38. 1)
u.:
Erwar tungswer t d e r Nachfrage u
o'
Standardabweichung von u
e'
Z u f a l l s v a r i a b l e m i t u. = 0, a - 1
( s t o c h a s t i s c h e Komponente d e r N a c h f r a g e )
q(
£
a
) = P( )
Voraussetzung (V2):
Die
f i x e n B e s t e l l k o s t e n k s e i e n v o n d e r Form
k = k a .
o
Das
v(y)
(38.2)
P r i n z i p d e r Optimalität läßt s i c h folgendermaßen
formulieren
= M i n {kö(x - y ) + a ( x - y ) + h / ( x - u ) q ( ^ ^ ) d ( ^ )
x>y
u=o
+
CO
+ g / (u - x ) q ( ^ Z _ ü
x
u
) d (
) }
+
p / (x - u)q(^)d(J).
V
(38.3)
149
Die rechte S e i t e wird unter der Voraussetzung
( V 2 ) p r o p o r t i o n a l z u er.
Um d i e s z u z e i g e n , führen w i r f o l g e n d e V a r i a b l e n t r a n s f o r m a t i o n
£ '=
durch
;
(38.4)
CT
TJ : = l
.
(38.5)
Außerdem i s t de = d ( - ) und w i r d e f i n i e r e n
:= v ( y ) .
C7Ü(T?)
(38.6)
Dann w i r d a u s ( 3 8 . 3 )
ov(r\)
= Min
f>T7
{k aö(f
- r/) + a a ( f - v)
+ cr£(£)
+
°
+ p / ov(£
- e ) p ( e ) de} .
(38.7)
Der F a k t o r o kürzt s i c h weg, und man e r h a l t d i e STANDARDISIERTE
GLEICHUNG
1,(17)
= Min ( k ö ( h ) + a ( f - n ) + f ( f ) +
(38.8)
+ P / u(f-e)p(e)d£}
Die Herleitung
zeigt:
1. D i e e r w a r t e t e n L a g e r - u n d K n a p p h e i t s k o s t e n s i n d p r o p o r t i o n a l z u r
Standardabweichung
d e r N a c h f r a g e und unabhängig v o n d e r e n
Erwar-
t u n g s w e r t . M i t wachsendem a nimmt f z u .
2. Man löst e i n für a l l e m a l d a s s t a n d a r d i s i e r t e P r o b l e m
dene Kostensätze
h
o
-, — und l e i t e t a u s d e r o p t i m a l e n P o l i t i k
g
g
m i t H i l f e d e r Rücktransformation
x = p + cf
die
für v e r s c h i e -
o p t i m a l e P o l i t i k des gegebenen Problems ab:
*
s , S
150
s = u. + as
S = u. + öS
Dabei s i n d
§39
Wir
j e d o c h d i e V o r a u s s e t z u n g e n ( V I ) und ( V 2 ) z u prüfen.
EXPCTgJfTIALVERTEILTE NACHFRAGE
versuchen, unser b i s h e r i g e s
1. D i e S t r u k t u r
Lösungsschema b e i z u b e h a l t e n :
der optimalen B e s t e l l r e g e l
i n parametrisierter
Form
vorgeben;
2. H e r l e i t u n g
d e r K o s t e n f u n k t i o n v;
3. D i e M i n i m i e r u n g v o n v bezüglich d e r P a r a m e t e r d e r B e s t e l l r e g e l
die
Es
optimale Bestellregel
fest.
w i r d j e d o c h n u r dann zum Z i e l
erfüllt
legt
führen, wenn d i e z w e i V o r a u s s e t z u n g e n
sind:
stationäres M o d e l l ,
-
d i e o p t i m a l e B e s t e l l r e g e l b e s i t z t d i e angenommene
parametrisierte
Struktur.
Zunächst p o s t u l i e r e n
w i r wieder d i e Struktur
mieren nur innerhalb dieser
global
Struktur.
optimale Bestellregel
Annahme: d i e B e s t e l l r e g e l
der B e s t e l l r e g e l
und o p t i -
( S p a t e r w i r d s i c h z e i g e n , daß d i e
d i e unterstellte Struktur
besitzt.)
s e i eine (s,S) - P o l i t i k
s < y < S:
tue
nichts
y < s:
fülle a u f S a u f
(39.1)
151
F a l l s der Anfaiigsbestand y > S i s t ,
auf
S gefallen
i s t . Von d a ab g i l t
w a r t e t man s o l a n g e , b i s d e r B e s t a n d
d i e ( s , S ) - P o l i t i k und S i s t d e r
m a x i m a l e L a g e r b e s t a n d . D i e W e r t f u n k t i o n , eingeschränkt a u f d i e K l a s s e
der
(s.S) - P o l i t i k e n ,
HY)
v(y)
lautet
( i m BACKORDER - F a l l )
+ P / v ( y - u)dP(u)
(39.2)
y > s
= 1
k + f ( S ) + p / ( S - u)dP(u)
o
V
Die
für
, für
(39.3)
y <
p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n werden i n d i e s e m M o d e l l außer a c h t
g e l a s s e n . E s h a t s i c h i n §37 g e z e i g t , daß d i e s k e i n e r e l e v a n t e
Ein-
schränkung b e d e u t e t . Den Z u s t a n d s r a u m s e t z e n w i r a l s k o n t i n u i e r l i c h
v o r a u s , so daß im P u n k t y = s d i e b e i d e n A l t e r n a t i v e n ( b e s t e l l e n ,
nicht
b e s t e l l e n ) g l e i c h g u t s i n d . Für y = s s i n d a l s o (39.2) und ( 3 9 . 3 )
identisch.
Für y < s i s t d i e W e r t f u n k t i o n ( 3 9 . 3 ) unabhängig v o n y. I n s b e s o n d e r e
gilt
v
D e s h a l b läßt s i c h
(y)
= v(s)
,
y < s.
(39.2) auch s c h r e i b e n a l s
(39.4)
Für y = s w i r d d a r a u s v ( s ) = f ( s ) + p v ( s ) ,
oder
(39.5)
S o w e i t g e l t e n d i e Überlegungen a l l g e m e i n . Nun v e r s u c h e n w i r , d i e
Integralgleichung
Hier i s t
( 3 9 . 4 ) für e x p o n e n t i a l v e r t e i 1 t e N a c h f r a g e z u lösen.
152
P(u)
= 1 - e
p ( u ) d u = ae
E{u}
Die erwarteten
a
U
du,
= n = i
L a g e r - und F e h l m e n g e n k o s t e n
sind
f ( x ) = f ( x ) + a x ( l - p)
0
f ( x ) = (h + g)[x - i ( l - e " ^ ) ] + g ( i - x) .
Wir
s e t z e n s i e i n ( 3 9 . 4 ) e i n , führen d o r t im I n t e g r a l
transformation
e
. Das
(39.6)
die Variablen-
f = y - u d u r c h und m u l t i p l i z i e r e n d i e G l e i c h u n g m i t
ergibt
y{y)e^
= (h • g ) [ y e
- lie^
a y
+ ccp j v ( f ) e
s
a ?
- 1)]
8
+
df + a p v ( s ) e
a S
e
^
( a - g - p)ye^
+
.
+
(39.7)
Mit der D e f i n i t i o n
w(y)
wird
•= v ( y ) e
a y
daraus
w(y)
= (h
+
g)[ye
a y
- i(e
a y
- 1)]
+
J e*
y
+
(a - g - p ) y e ^
y
+ ap j w ( f ) d f + a p w ( s ) .
s
Durch D i f f e r e n t i a t i o n
führen w i r d i e s e I n t e g r a l g l e i c h u n g i n e i n e
Differentialgleichung
der folgenden
w'(y)
Form über
- a p w ( y ) = [ a y ( h + a - p) + a -
p]e
a y
153
M i t dem i n t e g r i e r e n d e n F a k t o r e
wird daraus d i e D i f f e r e n t i a l -
g1e i c h u n g
^
W
( y ) e -
a
p
y
)
= [ a y ( h + a - p) + ( a - p ) ] e
t t ( 1
"
p
)
y
.
(39.8)
Wir i n t e g r i e r e n (39.8) und gewinnen d u r c h M u l t i p l i k a t i o n m i t
e x p ( a p y - cty) d i e ursprüngliche K o s t e n f u n k t i o n v zurück. Im z w e i t e n
Schritt
s e t z e n w i r d i e Randbedingung (39.5) e i n und e r h a l t e n d i e
g e s u c h t e Lösung für v .
Im d r i t t e n S c h r i t t
i s t v bezüglich y = S u n d s z u m i n i m i e r e n
Min v ( y ) = v(S)
S
y
Min v ( y )
s
dv
D i e für d i e M i n i m a n o t w e n d i g e n B e d i n g u n g e n
dv
= 0 u n d g^- = 0 führen
j e d o c h a u f t r a n s z e n d e n t e G l e i c h u n g e n , so daß k e i n e e x p l i z i t e n Lösungen
für s u n d S angegeben w e r d e n können.
Um d i e s e s Z i e l d e n n o c h z u e r r e i c h e n , m o d i f i z i e r e n w i r d i e K o s t e n s t r u k tur. S e i j e t z t
f ( x ) = h x + g / ( f - x ) e * d f = h x + ge
x
X
.
(39.9)
Außerdem s e i d e r E r w a r t u n g s w e r t d e r N a c h f r a g e p = 1, was s i c h d u r c h
e i n e U m s k a l i e r u n g d e r N a c h f r a g e e i n h e i t e n ohne Einschränkung e r r e i c h e n
läßt. Dann i s t et = 1. D i e L a g e r k o s t e n werden a u f d e n A n f a n g d e r P e r i o d e
b e z o g e n u n d d i e Fehlmengenkos t e n a u f das Ende. Lagermengen
y > 0 werden
a l s o m i t höheren K o s t e n b e w e r t e t a l s b i s h e r . A n s t e l l e v o n ( 3 9 . 7 ) e r h a l ten w i r nun
154
/v
v ( y ) = hy + g e "
y
+ y-ß—<hse
D i e Lösung d i e s e r G l e i c h u n g
v(y)
^rS--^^
P
(1 - P )
s
y ^
/ v(f)e ~
y
f
+ g)e" + p
df .
(39.10)
lautet
[—^S*¥-7l
2
y
(1 - P )
2
1
e
(
p
-
1
)
(
y
_
S
)
•
(39.11)
P
"
v i s t k o n v e x i n y und s. S = y i s t d e r o p t i m a l e A n f a n g s b e s t a n d ,
deshalb
l i e g t d a s Minimum v o n v b e i S
v ' ( S ) = 0.
(39.12)
S e t z t man i n ( 3 9 . 2 ) , ( 3 9 . 3 ) e i n m a l y = S u n d e i n m a l y = s e i n und
s u b t r a h i e r t man d i e b e i d e n Ausdrücke, so e r h a l t
man
v ( s ) - v ( S ) = k.
(39.13)
Wir verwenden d i e s e b e i d e n G l e i c h u n g e n
v o n s u n d S bzw. D = S - s .
(39.12), (39.13) z u r Berechnung
E s i s t für y = S
v-(s) = r ^ r (p - n c(1 -- p)
^*
+
e(P
p
p
"
1 ) ( s
"
s )
•
Wegen v ' ( S ) = 0 f o l g t
D = S - s = y±—
Aus
(39.14)
(39.13) w i r d
Ph
( 1 - P )
oder
S
l n [ p + (1 - p) S e " ] .
+
2
i £ !
1
"
P
h D _ _ r
l
~
P
Ph
( 1 - P )
+
2
s£L]
1
_
(
e
P
p
_
1
)
D
= k
(39.15)
155
[P
+
(1 - P>
5 e" ]
S
- (1 - p)D - [ Ü ^ i
e"
S
+
p
»
(1 - p ) '
^
(39.16)
M i t d e r Abkürzung
q
w i r d aus
:= p + (1 - p) S
5
e
(39.14)
D =
ln q
1 " P
und
( 3 9 . 1 6 ) nimmt d i e Form a n
q = 1 + (
X
P
h
^
D i e Werte s, D können nun w i e f o l g t g e f u n d e n werden:
i t e r a t i v aus G l e i c h u n g
(39.17)
k + ln q .
Zuerst
( 3 9 . 1 7 ) b e s t i m m t . Dann i s t s, S und D
wird
q
gegeben
durch
s - in
h*(q
D
- P) •
- p) *
1
In q
1 " P
S = s +
D.
(39.18)
(39.19)
(39.20)
156
§40
OPTIMALITÄT DER ( s ,S ) - P O L I T I K
n n'
v
B e i d e n M o d e l l e n m i t k o n t i n u i e r l i c h e r Bestandsüberwachung l a g d i e
Optimalität e i n e r
(s,D) - P o l i t i k
(S = s + D) a u f d e r Hand. D a d u r c h
v e r e i n f a c h t e s i c h d i e a n a l y t i s c h e Lösungsfindung beträchtlich.
Entsprechendes
a u c h für AHM - M o d e l l e ?
Wir b e t r a c h t e n d a s AHM - M o d e l l im BACKORDER F a l l .
Optimalität
Gilt
Das P r i n z i p d e r
lautet
00
v ( y ) = M i n {kö(x - y ) + a ( x - y ) + f ( x ) + p / v ^ f x - u ) d P ( u ) } , ( 4 0 . 1)
x>y
o
n
u = 1,2...,N.
D u r c h A u s w e r t u n g d i e s e r R e k u r s i o n läßt s i c h s t e t s e i n e Lösung f i n d e n .
Man s t a r t e t m i t e i n e m vom P r o b l e m h e r z u d e f i n i e r e n d e n A n f a n g s w e r t
und b e r e c h n e t n a c h e i n a n d e r
o
1
2
V
Q
d i e Kette
n
N
Man n e n n t d i e s d i e WERTITERATION d e r D y n a m i s c h e n O p t i m i e r u n g . Für j e d e
P e r i o d e erhält man e i n e e i g e n e o p t i m a l e B e s t e l l r e g e l . B e i u n e n d l i c h e m
P l a n u n g s h o r i z o n t i s t noch e i n geeignetes A b b r u c h k r i t e r i u m zu d e f i n i e ren.
( B e i m stationären M o d e l l w i r d man j e d o c h a u f a n d e r e
ausweichen.)
z.B.
Verfahren
D i e W e r t i t e r a t i o n i s t numerisch sehr aufwendig.
Variiert
y z w i s c h e n -1000 und +1000, so muß für j e d e s n d i e M i n i m i e r u n g s -
o p e r a t i o n 2001 mal durchgeführt werden. B e i e i n e m e i n z i g e n M i n i m i e r u n g s s c h r i t t w i r d d i e r e c h t e S e i t e v o n ( 4 0 . 1 ) d u r c h s c h n i t t l i c h 1000 mal
ausgewertet.
Bei vorgegebener
S t r u k t u r der optimalen B e s t e l l r e g e l
Rechenaufwand beträchtlich r e d u z i e r e n . B e i e i n e r
( s ,S ) - S t r u k t u r
v
z.B.
läßt s i c h a b e r d e r
n
n
J
würde man z u e r s t d i e M i n i m i e r u n g b e i y = -1000 vornehmen. D o r t
weiß man, daß s i c h e r b e s t e l l t w i r d . D i e s e r M i n i m i e r u n g s s c h r i t t l i e f e r t
S . Für a l l e r e s t l i c h e n Bestände y = -999,-998,... r e d u z i e r t s i c h d a n n
n
J
d i e M i n i m i e r u n g a u f den V e r g l e i c h d e r b e i d e n A l t e r n a t i v e n
"bestelle
157
n i c h t " und "fülle d a s L a g e r a u f S
a u f " . Sobald s bekannt i s t ,
n
n
entfäl1t für d i e n o c h v e r b l e i b e n d e n y - Werte y = s ,,,s ,...,S d i e
n+1 n+2
n
M i n i m i e r u n g ganz.
&
i0
Unter
diesem G e s i c h t s p u n k t gewinnt d i e Frage
P o l i t i k o p t i m a l " an Bedeutung. S i e s o l l
Um d a s P r o b l e m
"Wann i s t e i n e (
s
n
'S ) ~
n
im f o l g e n d e n u n t e r s u c h t werden.
t r a n s p a r e n t e r z u g e s t a l t e n , s c h r e i b e n w i r ( 4 0 . 1 ) um. W i r
z i e h e n d i e K o s t e n - a y v o r d i e M i n i m i e r u n g und e r h a l t e n
v ( y ) = - a y + M i n {k<5(x - y ) + a x + f ( x ) + p / v
n
*>y
v
( x - u)dP(u)} . (40.2)
x
J l
,
=: H ( x )
n
v
}
J e t z t spalten w i r d i e Funktionalgleichung i n d i e beiden
(I)
Alternativen
und ( I I ) a u f
v(y)
[ H (y) ,
= -ay + \
[ k + Min H (x) ,
x>y
f a l l s keine Bestellung ( I )
n
;
(40.3)
falls Bestellung (II) ;
und g e w i n n e n d i e E n t s c h e i d u n g s r e g e l
{
< k =>
tue n i c h t s ;
(40.4)
> k => b e s t e l l e x - y .
Für AH^ = k s i n d b e i d e A l t e r n a t i v e n g l e i c h g u t und man k a n n e i n e v o n
b e i d e n b e l i e b i g wählen. I n d i e s e r Form b i e t e t s i c h e i n e p h y s i k a l i s c h e
I n t e r p r e t a t i o n des M o d e l l s a n . Um den B e s t a n d y d u r c h e i n e n
Eingriff
v o n außen ( B e s t e l l u n g ) z u bewegen, i s t d e r K r a f t a u f w a n d
k z u r Über-
w i n d u n g d e r H a f t u n g nötig. E i n E i n g r i f f
falls dieser
lohnt s i c h nur,
Aufwand g e r i n g e r i s t a l s d i e d u r c h d i e i n Gang gekommene Bewegung
f r e i g e s e t z t e E n e r g i e AH.
158
Abb.
40. 1
Physikalische
Zur
Interpretation:
Uberwindung s e i n e r H a f t r e i b u n g
erfährt
d e r M a s s e p u n k t y e i n e n Stoß k und r u t s c h t
n a c h x*. D a b e i w i r d d i e p o t e n t i e l l e E n e r g i e
AH f r e i g e s e t z t .
Für w e l c h e y s i c h e i n e
ab.
Bestellung
l o h n t , hängt v o n d e r G e s t a l t v o n H^
Dazu d i e z w e i f o l g e n d e n B e i s p i e l e Abb. 40.2 und Abb. 4 0 . 3 . D i e
Bestellbereiche
s i n d j e w e i l s s c h r a f f i e r t . Das g l o b a l e Minimum v o n H^
b e i S^ b e s t i m m t - a b g e s e h e n v o n einem e v e n t u e l l höheren A n f a n g s b e s t a n d das
Lagermaximum.
Abb.
40.2:
( s ,S ) - P o l i t i k
n n
v
7
159
Abb.
40.3:
kompliziertere
D i e s e Überlegung macht z w e i D i n g e
1. F a l l s k = 0 i s t ,
Politik
deutlich
w i r d man b e i j e d e r B e s t a n d s i n s p e k t i o n d e n B e s t a n d
a u f d e n o p t i m a l e n Wert h o c h s e t z e n ,
f a l l s e r davon abgewichen i s t ,
a u c h wenn d i e A b w e i c h u n g s e h r g e r i n g i s t .
2.
Ist H
k o n v e x , dann b e s i t z t d i e o p t i m a l e P o l i t i k e i n e ( s ,S ) n
^
n
n
Struktur.
J
D i e Konvexitätsforderung v o n
restriktiver
i s t jedoch ungeeignet,
i s t a l s notwendig
weil
( s i e h e Abb. 40.2; d o r t i s t
s i eerstens
nicht
k o n v e x und d e n n o c h i s t e i n e ( s ,S ^ - P o l i t i k o p t i m a l ) u n d w e i l s i c h
n n'
z w e i t e n s d i e Konvexität n i c h t a u f H - v e r e r b t . D i e s s i e h t man a n dem
n+1
v
folgenden
Beispiel.
Für n = 1 i s t
H (y)
(I)
2
v ( y ) = -ay +
x
k +
H ^ }
(II)
160
Ist
f ( x ) k o n v e x =>
= ay + f ( y ) e b e n f a l l s konvex.
V- h a t z.B. d e n V e r l a u f
Abb. 40.4:
Beispiel
für
nichtkonvexes,
a b e r k - k o n v e x e s v.^
1
i s t k o n v e x , v ^ ^ i s t e i n e l i n e a r e F u n k t i o n m i t S t e i g u n g - a . Für
manche W e r t e v o n a i s t v ^ n i c h t k o n v e x für a l l e y. D a m i t i s t a b e r a u c h
H ( y ) = ay + f ( y ) + p /
2
V
l
( y - u)dP(u)
n i c h t mehr k o n v e x für a l l e y.
Man kommt j e d o c h zum Z i e l , wenn man d e n Konvexitätsbegriff i n
g e e i g n e t e r Weise v e r a l l g e m e i n e r t .
161
Def.
4 0 . 1 : E i n e a u f dem r e e l l e n
H(y)
k > 0
H ( y + a)
f u r a l l e y € [ y ~ ; y ] und b e l i e -
gilt:
- H ( y ) - ctH'(y) + k > 0.
+
4 0 . 2 : E i n e a u f dem r e e l l e n
differenzierbare
Intervall [y~;y ] definierte
a l l e y € [ y ~ ~ ; y ] , ß > 0 und b e l i e b i g e a,
+ a)
nicht-
F u n k t i o n H ( y ) heißt k-KONVEX, f a l l s
+
H(y
Funktion
+
heißt k-KONVEX, f a l l s
b i g e a,
Def.
I n t e r v a l l [ y ;y^] d e f i n i e r t e
k > 0
für
gilt:
- H(y) + q [ ( y ) " j j ( " P ) ] + k > 0 .
H
y
Zunächst i s t z u z e i g e n , daß b e i f e s t e m n d i e o p t i m a l e B e s t e l l r e g e l
(s
eine
,S ) - S t r u k t u r b e s i t z t , f a l l s H ( v ) k - k o n v e x i s t . Wie man i n Abb.
n
n
v
n
40.2
sieht,
liegt
J
e i n e o p t i m a l e P o l i t i k vom Typ (
s
n
«
s
n
)S
e
n
a
u
d
a
n
n
v o r
•
wenn H ^ ( y ) l i n k s v o n y = s ^ n i e mehr u n t e r d a s N i v e a u H ( S ^ ) + k fällt
n
oder es e r r e i c h t :
f < k + H ( S ) , für s
n
H (y)
[ > k
n
H (S ),
+
n
< y < S
;
n
n
(40.5)
für y < s
.
n
D i e s e n t s p r i c h t genau d e r E n t s c h e i d u n g s r e g e l
(40.4). D i e Bedingung
( 4 0 . 5 ) i s t m i t S i c h e r h e i t erfüllt, wenn H ( y ) monoton fällt für a l l e
n
y
< s^, d.h. wenn
H'(y)
n
< 0
für
y < s .
n
(40.6)
k - k o n v e x e F u n k t i o n e n H ( y ) erfüllen d i e s e F o r d e r u n g
n
hierfür führen w i r d u r c h W i d e r s p r u c h :
Dazu nehmen w i r d a s G e g e n t e i l a n :
D i e k-konvexe F u n k t i o n H ( y ) b e s i t z e l i n k s von s
n
H
y
n^ l^'
(40.5).
y
<
l
V
H
n
( y
l)
>
k
( 4 0 . 6 ) . Den B e w e i s
e i n r e l a t i v e s Maximum
n
+
W
(
s
i
e
h
e d
i
e
folgende
Abbildung
162
Abb. 4 0 . 5 :
Zum B e w e i s d e r o p t . ( s ,S ) - P o l i t i k ,
H
n
falls
k-konvex i s t .
s ^ s e i d e r größte y-Wert, b e i dem H ^ ( y ) d a s N i v e a u ^ ( s ^ ) = H ( S ^ ) + k
überschreitet ( H ^ ( s ^ ) < 0 ) . Wegen d e s r e l a t i v e n Maximums b e i y^ k a n n
H
n
n i c h t k - k o n v e x s e i n , denn d i e D e f i n i t i o n s u n g l e i c h u n g
erfüllt. Wählen w i r S
n
= y
\
J
n
+ a, so g i l t
< -k
nämlich
&
H (S ) - H ( y j - a H ' f y J
i s t nicht
+ k < 0
=0
E s e r g i b t s i c h a l s o e i n W i d e r s p r u c h z u r V o r a u s s e t z u n g d e r k-Konvexität
v o n H . D e s h a l b k a n n e i n e k - k o n v e x e F u n k t i o n H für y < s
n
n
n
kein
J
r e l a t i v e s Extremum b e s i t z e n . Wegen H ' ( s ) < 0 i s t a l s o H ( y ) monoton
n n
n
f a l l e n d für a l l e y < s , d.h. «die ( s ,S ) - P o l i t i k i s t o p t i m a l .
" n
n
n
&
J
v
v
J
J
w
J
163
Im w e i t e r e n S c h r i t t
H
1
n+1
vererbt
w i r d nun g e z e i g t , daß d i e k-Konvexität v o n
auf
wird.
S a t z 40.1: Es l i e g e
d a s oben b e s c h r i e b e n e M o d e l l z u g r u n d e . S e i H^(y)
k - k o n v e x . Dann i s t H ( y ) k-konvex für a l l e n € IN.
n
w
}
Beweis:
n = 1-
H^(y) k-konvex nach V o r a u s s e t z u n g
n > 1:
S e i H (y) k-konvex
=> (
s
n
'^ ) - P o l i t i k
i s t o p t i m a l , d.h. z u r B e r e c h n u n g v o n
n
können w i r d i e ( s ,S ) - P o l i t i k benützen. Danach i s t
n
n
v
J
f H (y) ,
(*)
für y > s
[ k + H (S ) ,
Wir
berechnen
1. s
;
n
v ( y ) = -ay +
v
n
für y < s
(y)•
< y < S :v ( y ) = - a y + H ( y ) i s t k - k o n v e x .
~ n n
n
J
n
w
J
J
V J
J
2. y < s ^ < y + a < S^: E s muß g e z e i g t werden, daß
v (y
n
+ a)
- v (y) - ov (y) + k > 0 .
n
n
(*) e i n g e s e t z t
-a(y
gilt
liefert
+ a ) + H ( y + a ) + a y - k - H ( S ) + a a + k > 0
n
'
n
n
v
J
v
J
v
y
H ( y + a ) - H (S ) > 0. D i e s i s t s t e t s
n
n T\ ~
w
J
v
richtig,
J
&
da
H (S ) = M i n H ( y ) .
n r\
n
y
v
J
v
7
3. y < y + a < s : v ( y ) =
n_ n
w
a l s o auch k-konvex.
J
-ay + k + H (S ) i s t l i n e a r ,
n
n
J
v
y
v
n
(y)
164
=>
v
i
n
(y)
s
t
x
~ u)
k-konvex
00
v
/
o
=>
n
H
n
+
1
(
(y)
d P
u
( )
i
s
t
k-konvex
a
= ~ Y +
+ / v (x-u)dP(u)
n
i s t k-konvex, da ay
und f ( x ) konvex s i n d .
Da H ( x ) = a x + f ( x ) k - k o n v e x i s t ,
Das
wurde d a m i t i n s g e s a m t
i n § 36 e n t w i c k e l t e AHM - M o d e l l
besitzt
gezeigt:
(BACKORDER F a l l )
für j e d e P e r i o d e e i n e o p t i m a l e
Bestellregel
vom T y p e i n e r ( s ,S ) - P o l i t i k .
Der e n t s c h e i d e n d e
Punkt h i e r b e i
i s t d i e G e s t a l t der erwarteten
Lager-
und F e h l m e n g e n k o s t e n . S i e s e i n o c h m a l s a n g e g e b e n :
00
HY)
y
= h / (y - u)dP(u) + g / (u - y)dP(u) .
o
y
S o w o h l d i e Lagerbestände a l s a u c h d i e F e h l m e n g e n w e r d e n m i t e i n e m
p r o p o r t i o n a l e n K o s t e n s a t z h bzw. g b e l e g t . Ursprünglich a r b e i t e t e n
ARROW, HARRIS, MARSHAK, KARLIN, SCARF, BECKMANN u . a . m i t F e h l m e n g e n k o s t e n , d i e für a l l e F e h l m e n g e n g l e i c h h o c h w a r e n ( z u g e s c h n i t t e n a u f
d i e S i t u a t i o n i n d e r NAVY, v g l . §26.2). Zwangsläufig s c h l u g e n h i e r
Bemühungen um o p t i m a l e
( s ,S ) - P o l i t i k e n
n
n
v
alle
fehl.
J
Später w u r d e n z a h l r e i c h e V e r a l l g e m e i n e r u n g e n
der obigen Funktion f ( y )
a n g e g e b e n , u n t e r d e n e n d e n n o c h d i e ( s ,S ) - P o l i t i k e n o p t i m a l b l e i b e n
n n
( z . B . VEINOTT ( 1 9 6 6 ) , SCHAL ( 1 9 7 6 ) ) .
v
165
§41
ELIMINATION DER PROPORT KRALEN BESTELLKOSTEN BEI
ENDLICHEM PLANUNGSHORIZOST
Wir
versuchen, d i e proportionalen Bestellkosten a ( x - y ) i n d i e Lager-
und
F e h l m e n g e n k o s t e n z u i n t e g r i e r e n . Das wäre s o f o r t möglich, wenn d i e
proportionalen B e s t e l l k o s t e n eine
l i n e a r e Funktion
des Bestandes x
wären, w i e d a s b e i d e n L a g e r - bzw. F e h l mengenkos t e n h x , - g x d e r F a l l
ist.
Um d i e s z u e r r e i c h e n wählen w i r d e n
v
Ansatz:
=
n
(y)
v
y
n
( )
+ ay - au ,
u. = E{u} .
Bei v (y) sind j e t z t d i e proportionalen
Bestellkosten
a(x - y ) + ay - aji .
( 4 1 . 1)
I d e e : D e r Term a y fällt weg u n d e s b l e i b t a x . au. i s t e i n k o n s t a n t e r
Korrekturterm.
M i t diesem Ansatz f o r m u l i e r e n w i r das P r i n z i p d e r
Optimalität. I n d e n F u n k t i o n e n v ( y ) g e h o r c h t e s d e r G l e i c h u n g
(36.2).
D a r a u s w i r d m i t dem o b i g e n A n s a t z
v ( y ) = M i n {kÖ(x - y ) + a x - a y + f ( x ) +
x>y
+ P / C
v
n
_i(
x
u
~ ) ~ a ( x - u ) + a u J d P ( u ) } + a y - ajj.
= M i n {k<5(x - y ) + a ( l - p ) ( x - ;i) + f ( x ) + p / v _ ( x
x>y
n
x
- u)dP(u)} +
+ paji
Es b l e i b t r e c h t s n o c h e i n R e s t term pau. s t e h e n .
Um i h n a u c h n o c h
n i e r e n z u können, e r w e i t e r n w i r d e n A n s a t z um e i n e n v a r i a b l e n
elimi-
Korrek-
t u r term,
e r w e i t e r t e r Ansatz:
und
v
=
n
(y)
v
n
(y)
+
a
( y ~ ^)
+
^
n
'
gehen damit e r n e u t i n d i e F u n k t i o n a l g l e i c h u n g
(41-2)
(36.2):
166
v ( y ) = M i n {kö(x
x>y
- y ) + a ( x - p) + b
+ P / [> _l
( x
+ f(x)
- u) - a ( x - u) + a u -
n
M i n {k<5(x - y ) + a ( l - p ) ( x - }i)
+
Der R e s t t e r m b
Dazu muß
P
J
V
n-l
(
x
"
u
+ pau - pb
muß
'^
n-1
d
P
^
u
^
+ b
R
+ f(x)
+ pau -
pb _
n
1
zum V e r s c h w i n d e n g e b r a c h t w e r d e n ,
1
n
)
b^^dPCu)}
gelten
b
n
ajx)
= p(b
n-1
r v
1
= p[P
n
P b
u
0
b
n
_
-
- ap) - a j i ]
2
1-p
PaM j - ^ y
W i r wählen a l s S t a r t w e r t
b
=0
und
erhalten
o
K
b
n
1 - P
= -pau. -r
n
1-p
Damit i s t d e r R e s t t e r m
(41.3)
eliminiert.
Im l e t z t e n S c h r i t t i n t e g r i e r e n w i r d i e B e s t e l l k o s t e n i n d i e K o s t e n
f ( x ) . D i e neu e n t s t e h e n d e F u n k t i o n s e i f ( x ) .
f(x)
Es
:= a ( l - p ) ( x
-
fi)
+
f(x)
war
f ( x ) = ( h + g) / P ( u ) d u + g ( u - x )
o
Also i s t
(41.4)
167
f ( x ) = (h + g) / P(u)du + [ g - a ( l - p ) ] ( p - x )
o
v
'
(41.5)
v
=
Wir
:
g
definieren
h
:= h + a ( l - p)
(41.6)
g
:= g - a ( l - p)
(41.7)
a l s neue Kostensätze für d i e L a g e r - bzw. Fehlmengen und e r h a l t e n d a s
Ergebnis
(41.8)
f. .(x) = f ( x )
v (y)
= v ( y ) + a ( y - i i ) - pap.
R
n
v (y)
n
\ ~ ~
= M i n {kö(x - y ) + f ( x ) + p / v ^ x
x>y
o
n
V e r g l e i c h mit der E l i m i n a t i o n der proportionalen
stationären M o d e l l
Die
Für n -»
- u ) d P ( u ) } . (41.10)
B e s t e l l k o s t e n beim
(§37)
o b i g e Methode läßt s i c h a u c h a u f den F a l l n =
00
(41.9)
00
ausdehnen.
w i r d aus (41.3)
lim b
n
=: b =
1 - p
t
und a u s ( 4 1 . 2 )
v(y)
:
= v ( y ) + a ( y - p) + b
(41.11)
168
= v ( y ) + ay -
B e i m stationären M o d e l l
au
(41.12)
i n §(37) v e r w e n d e t e n w i r e i n e
Transformation
:
v ( y ) = v ( y ) + ay
1-P *
D o r t war
f(x)
:= f ( x ) + a ( l - p ) x .
Der U n t e r s c h i e d d e r b e i d e n Ansätze b e s t e h t d a r i n , daß b e i m stationären
Modell d i e m i t t l e r e n Bestellkosten
a u j e w e i l s a u f d a s Ende d e r P e r i o d e
b e z o g e n s i n d , so daß s i e d i s k o n t i e r t w e r d e n .
Deshalb der konstante
Korrekturterm
POM
1 - p *
B e i dem im v o r l i e g e n d e n P a r a g r a p h e n gewählten A n s a t z
sind d i e mittleren
B e s t e l l k o s t e n p r o P e r i o d e auf den Anfang d e r P e r i o d e bezogen,
deshalb
h i e r der Korrekturterm
au
1
" P
Der U n t e r s c h i e d b e i d e n G e s a m t k o s t e n i n b e i d e n M o d e l l e n b e s t e h t
l i c h d a r i n , daß b e i dem v o r l i e g e n d e n M o d e l l d i e m i t t l e r e n
a u e i n m a l öfter a u f t r e t e n ,
nämlich z u r B e v o r r a t u n g
de. D i e s z e i g t a u c h d i e f o l g e n d e f o r m a l e
Der V e r g l e i c h
der beiden Transformationen
Äv :- v ( y ) - v ( y ) = a u ;
Af
:= f ( y ) - f ( y ) = a n ( l - p) .
für d i e e r s t e
Betrachtung.
zeigt
letzt-
Bestellkosten
Perio-
169
Der U n t e r s c h i e d Av d e r W e r t f u n k t i o n e n erklärt s i c h vollständig a u s d e n
u n t e r s c h i e d l i c h e n E i n p e r i o d e n k o s t e n . E s i s t nämlich d e r G e g e n w a r t s w e r t
der
i n a l l e n P e r i o d e n a u f t r e t e n d e n D i f f e r e n z e n Af
00
Af
^ p
n
= ap,
n=o
e x a k t d i e D i f f e r e n z Av.
Der V o r t e i l d e s i n d i e s e m P a r a g r a p h e n gewählten A n s a t z e s l i e g t
darin,
daß s i c h d i e E l i m i n a t i o n d e r p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n s e h r schön
interpretieren
läßt a l s e i n e M o d i f i k a t i o n d e r L a g e r - und
Fehlmengen-
kostensätze h und g.
§42
SCHRANKEN FÜR ( s ,S )
n n'
v
s
Es w e r d e n i n d i e s e m P a r a g r a p h e n S c h r a n k e n für d i e ( « ^ ) ~ P o l i t i k e n
n
n
hergeleitet.
s < s <i
<
S < S < S
.
(42.1)
D i e s i s t für n u m e r i s c h e Zwecke nützlich. Man k a n n s i c h b e i d e r
Minimumsuche M i n { } a u f x - W e r t e beschränken, d i e i n n e r h a l b d e r
x>y
Intervalle
[ s . s ] bzw. [ S , S ] l i e g e n .
Außerdem werden d i e S c h r a n k e n für
den B e w e i s e i n e r o p t i m a l e n ( s , S ) - P o l i t i k des stationären M o d e l l s
v e r w e n d e t . Davon a b e r später.
1. S c h r a n k e S
Der Auffüllpunkt S^ d e s E i n p e r i o d e n m o d e l l s w i r d e i n e u n t e r e S c h r a n k e S
für d i e Auffüllpunkte S
a l l e r M e h r p e r i o d e n m o d e l l e , n > 1, s e i n .
170
Dafür läßt s i c h e i n e p l a u s i b l e Begründung angeben:
Wegen d e r F i x k o s t e n k > 0 w i r d man s i c h b e i einem M e h r p e r i o d e n m o d e l 1
b e r e i t s zu Beginn der ersten Periode
ten.
B e i einem E i n p e r i o d e n m o d e l l
für d i e f e r n e r e Z u k u n f t
fällt d i e s e B e v o r r a t u n g
Daß d i e s e p l a u s i b l e Annahme r i c h t i g
eine
( s ,S ) - P o l i t i k
n
n
i s t , d.h.
,
f + H (y)
v (y)
n
für y > s
n
= -ay
;
n
I + k + H (S }
n n
L
Wir
weg.
i s t , w i r d j e t z t s t r e n g bewiesen. Es
i s t b e r e i t s g e z e i g t , daß für a l l e P e r i o d e n
optimal
bevorra-
v
führen d e n B e w e i s am M o d e l l
.
J
(42.2)
für y < s
" n
.
J
m i t p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n durch.
v ( y ) i s t d i f f e r e n z i e r b a r m i t Ausnahme a n d e r S t e l l e y = s .
n
n
w
J
J
Für n = 1 i s t
H ^ y ) = ay + f ( y )
(42.3)
:
= G(y)
G(y) s i n d d i e Einperiodenkosten.
S i e s i n d unabhängig v o n n. Nehme
s e i n Minimum a n d e r S t e l l e S^ a n , d.h.
G'(y) < 0
Wir
z e i g e n nun i n d u k t i v : H ^ ( y ) < 0
Hj(y)
Sei
< 0
für a l l e y < S .
für a l l e y < S^, n € IN.
für a l l e y < S^ i s t b e r e i t s g e z e i g t .
H ^ f y ) < 0 für a l l e y <
v (y)
n
f"
= <
a
+
H
n ^
n
Dann i s t wegen ( 4 2 . 2 )
1\ <
-a < 0
für a l l e y < S
(42.4)
171
Mit
H
erhalt
n + 1
( y ) = G'(y) + p / v ( x - u)dP(u)
n + 1
( y ) < G'(y) - pa < 0
n
man
H
für a l l e y <
A l s o nimmt H ( y ) s e i n Minimum b e i y >
m i e r e n d e Wert v o n
.
(42.5)
a n für a l l e n € IN. D e r m i n i -
i s t d e r o p t i m a l e Auffüllpunkt S^ i n d e r n - t e n P e -
r i o d e rückwärts gezählt ( d . h . e r s t e P e r i o d e e i n e s n - P e r i o d e n m o d e l l s ) .
Es
i s t also
S- < S
1 - n
(Schranke
für a l l e n € IN.
v o n IGLEHART).
B e r e c h n u n g v o n S^:
H ( S ) = Min H ( x )
1
1
a x + f ( x ) -> M i n
x
x
x
a x + ( h + g ) / P ( u ) d u + g ( u - x ) -» M i n
o
«
1
a + (h + g)P(x) - g = 0
l
g + h
}
'
D i e S c h r a n k e S läßt s i c h j e d o c h n o c h v e r b e s s e r n , wenn man zum M o d e l l
m i t e l i m i n i e r t e n p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n übergeht. D o r t i s t
^(y)
= f(y)
v (y) = j
n
> < 0
für a l l e y < S
x
.
i s t d e r M i n i m i e r e r v o n H ^ ( y ) = f ( y ) . Nach obigem B e w e i s s c h e m a erhält
172
H (y) < f'(y) < 0
für a l l e y < S
A l s o i s t a u c h S- e i n e u n t e r e S c h r a n k e
1
für S
][
.
n
für a l l e n € IN
S. < S
1
n
( S c h r a n k e v o n VEINOTT), j e d o c h i s t S^ schärfer a l s S^ , w i e d i e
Berechnung
zeigt:
H ( S ) = M i n H ( x ) <=>
x
1
1
f ( x ) -> M i n
x
f ( x ) + a ( l - p ) ( x - p ) -> M i n
( h + g ) P ( x ) - g + a ( l - p) = 0
_s
-
- p - l g - a ( l - p)>
1 *"
g + h
'
(42.6)
(
1
J
Da d i e V e r t e i l u n g s f u n k t i o n P ( u ) d e r N a c h f r a g e s t e t s monoton wächst,
ist
H i e r z e i g t s i c h d e r V o r t e i l d e r v o n BECKMANN v o r g e s c h l a g e n e n E l i m i n a t i o n d e r p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n ( v g l . §36).
I n d e r Abb. 42.1 w i r d d e r S a c h v e r h a l t
Funktion
graphisch dargestellt. Die
f h a t i h r Minimum w e i t e r r e c h t s a l s f , fällt a b e r dafür
links
davon f l a c h e r a l s f
(Grund: g = g - a ( l
- p ) < g , d.h. d i e F e h l m e n g e n k o s t e n
sind geringer).
173
f(s )
2
y
Abb. 4 2 . 1 :
H
n
untere Schranke S
fällt l i n k s v o n S- s t e i l e r a b a l s f .
1
Da e s n u r a u f d i e N i v e a u d i f f e r e n z e n AH bzw. A f , A f ankommt, s i n d H^ u n d
f i n d e r o b i g e n A b b i l d u n g s o v e r s c h o b e n , daß d e r e n M i n i m a a u f g l e i c h e r
Höhe m i t f ( S ) l i e g e n . Dann l i e g t H
1
l i e g t dann auch H
n
2. S c h r a n k e
n
über f für a l l e y < S ^
Ebenso
über f für a l l e y < S- .
1
s'
Wir s c h r e i b e n das P r i n z i p d e r O p t i m a l i t a t
vjy)
i n d e r Form
= Min (H (y) k + Min H (x)}
x>y
n
und z e i g e n zunächst
v (y)
n
< vjy') + k .
für y < y' .
(42.7)
174
Es i s t v ( y ) < k + M i n H ( x ) < k + M i n H y'
n
~
n
~
. , n
x>y
x>y
u
;
v
}
KJ
}
< k + v y'
n
~
w
J
für v < y'
~ J
Mit H i l f e dieser Ungleichung erhalten w i r
H (y)
n
- H ( y ' ) = f ( y ) - f ( y ' ) + P / [ v ^ y - u) - v
n
n - 1
(y'
- u)]dP(u)
< k
für y < y', a l s o
H (y)
- H ( y ' ) < f ( y ) - f ( y ' ) + pk.
n
y < y' .
n
(42.8)
W i r s e t z e n y = s , y' = S :
n
n
J
J
H ( s ) - H (S )
n n
n n
v
y
v
<
y
f ( s ) - f ( S ) + pk
n
v
J
K
n
J
r
k, d.h. b e s t e l l e n
k(l
- p)
<
f(s ) - f(S ) ;
n
n
bestellen:
f(s ) > f(S ) +
n
n
(42.9)
(1 - p ) k
M i t d i e s e r v o n VEINOTT angegebenen U n g l e i c h u n g i s t es g e l u n g e n , d e n
Zusammenhang z w i s c h e n s
&
n
und S , d e r a u s d e r N i v e a u d i f f e r e n z AH = k
n
n
der r e k u r s i v e n Funktionen H
r e s u l t i e r t , auf d i e Niveaudifferenz
n
Af = (1 - p ) k d e r v o n n unabhängigen K o s t e n f zurückführen.
AH
= k
n
Af = (1 - p ) k
\
rj
b e i s ,S .
n n
D a m i t w i r d b e i gegebenem S über (42.9) a u c h e i n e o b e r e S c h r a n k e s
bestimmt
175
s i s t d i e k l e i n s t e Z a h l < S, für d i e g i l t :
(42.10)
f(s)
Dazu d i e f o l g e n d e
< f ( S ) + (1 - p ) k
.
Abbildung.
Abb.
42.2:
Schranke s
Da (1 - p ) k > 0 im d i s k o n t i e r t e n F a l l und außerdem f ' ( y ) < 0
für a l l e y < S, erhält man zusätzlich d a s E r g e b n i s
s < S .
(42.11)
176
3. S c h r a n k e s:
E s war K T ( y ) < f ' ( y ) für a l l e y < S, n € IN ( v g l .
H (y)
n
- H (S) > f(y) - f(S)
n
,
(42.5)). Daraus
y < S
d.h. z u r E r z e u g u n g d e r N i v e a u d i f f e r e n z k i s t bezüglich
notwendige Spanne [ y , S ] k l e i n e r
Abb.
folgt
d i e dazu
a l s d i e bezüglich f . D i e s w i r d a u c h i n
42.3 e r s i c h t l i c h
f(S)
Abb.
42.3:
untere Schranke s
Es i s t d e s h a l b s i n d e r o b i g e n A b b i l d u n g e i n e u n t e r e S c h r a n k e für s
s i s tdie kleinste
Z a h l < S, für d i e g i l t :
(42.12)
f(s)
< f(S) + k .
177
4. S c h r a n k e S:
Zunächst k a n n u n m i t t e l b a r
e i n e o b e r e S c h r a n k e S für S^
abgeleitet
werden a u s : f ( S ) = f ( S ) + k. E s läßt s i c h a b e r e i n e n o c h schärfere
S c h r a n k e f i n d e n . Da d i e Spanne
differenz
[s,s] d e f i n i e r t i s tdurch d i eNiveau-
pk bezüglich f , muß a u c h d i e Spanne
N i v e a u d i f f e r e n z bezüglich f f e s t g e l e g t
[S,S]durch diese
sein. Also e r h a l t e n w i r S aus:
f ( S ) = f ( S ) + pk.
S i s t d i e k l e i n s t e Zahl
> S, für d i e g i l t :
(42.13)
f(S)
> f ( S ) + pk
Zusammenf a s s u n g :
D i e P a r a m e t e r s ,S s i n d d e f i n i e r t über d i e F u n k t i o n e n H :
n n
n
H (S .) = M i n H ( x )
n n
n '
x
v
y
v
=>
S
n
,
H ( s ) = H ( S ) + k = > s
.
n n
n n
n
v
J
Bestelle
v
y
für a l l e y < S , d i e d i e U n g l e i c h u n g erfüllen
H ( y ) - H (S ) > k
n
n n ~
w
J
v
J
Schwierigkeiten bereiten d i e rekursiv
.
definierten
F u n k t i o n e n H . Es i s t
n
bestimmten Werte s , S
g e l u n g e n , d i e über d i e D i f f e r e n z e n i n H
n
n
abzuschätzen über D i f f e r e n z e n i n d e n E i n p e r i o d e n k o s t e n
l e t z t e r e n können S c h r a n k e n s, s, S, S a n g e g e b e n
s = k l e i n s t e g a n z e Z a h l , für d i e g i l t :
s = k l e i n s t e ganze Z a h l
n
f. M i t H i l f e der
werden:
f(s) < f(S) + k ;
< S, für d i e g i l t :
f ( i ) < f ( S ) + k ( l - p) ;
S = k l e i n s t e ganze Z a h l , d i e f ( S ) = Min f ( y ) m i n i m i e r t ;
y
S = k l e i n s t e g a n z e Z a h l > S, für d i e g i l t :
f ( S ) > f ( S ) + pk.
178
D i e g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g d i e s e r E r g e b n i s s e s i e h t wie f o l g t aus
f(y)
I \
I \
I \
I
\
I
I
k <
\
I
A
/
/
\
/
\
I
f
k ( 1
"
p )
i
(S)
1
1
1
1
1
1
1
1
Als
*1
1
1
I
1
1
1
1
1
1
s
S
1
Abb. 42.4:
> kp
/
1
1
1
1
1
s
/
/
1 — - \
>
1
S
S c h r a n k e n d e r ( s ,S ) - P o l i t i k e n
Nebenprodukt l i e f e r t e n d i e Beweise d i e Ergebnisse
s < S,
f(s )
n
> f ( S ) + (1 - p ) k .
n
Bemerkung: B e i d e n B e w e i s e n wurde v o n f bzw. f n u r v o r a u s g e s e t z t , daß
ein
e i n z i g e s Minimum e x i s t i e r t ( a n d e r S t e l l e S^ bzw. S^) u n d daß d i e
Funktionen
l i n k s vom Minimum monoton f a l l e n u n d r e c h t s d a v o n monoton
s t e i g e n . F u n k t i o n e n d i e s e r A r t heißen
unimodal.
179
f(x)
X
Abb.
42.5:
Graph e i n e r unimodalen F u n k t i o n
mit
f(x)
e i n e m Minimum a l s E x t r e m w e r t
Deshalb g e l t e n die obigen Resultate
Einperiodenkosten ( S p e z i a l f a l l
von
n i c h t nur
für
Modelle mit
konvexen
unimodal), sondern allgemein
mit
u n i m o d a l e n K o s t e n . S t r e n g genommen s i n d d i e L a g e r k o s t e n a u c h n i c h t
proportional
z u r Menge y.
Handhabungskos t e n , z.B.
Abb.
s i n d nur
die Zugriffskosten,
zienten Lagerorganisation
k o s t e n s i e h t dann so
Proportional
degressiv.
Der
die Zinskosten.
steigen bei einer
typische
Verlauf
aus
42.6:
degressive
Lagerkosten.
der
Die
effiLager-
180
D i e s führt a u f e i n e n i c h t k o n v e x e
Erwartungswertes
aber unimodale F u n k t i o n des
d e r L a g e r u n g s - und F e h l m e n g e n k o s t e n f .
I n d e r O r i g i n a l a r b e i t v o n VEINOTT und WAGNER i s t d i e H e r l e i t u n g d e r
S c h r a n k e n für s , S a n einem AHM-Modell für d e n d i s k o n t i e r t e n und
n
n
nichtdiskontierten Fall
Lieferzeit
(p = 1) s o w i e für d e n F a l l m i t k o n s t a n t e r
durchgeführt. E s g e l t e n s t e t s d i e s e l b e n G l e i c h u n g e n
für d i e
Schranken.
§43
Mit
OPTIMALITÄT DER ( s , S ) - P O L I T I K IM STATIONÄREN MODELL
den v o r b e r e i t e n d e n Untersuchungen d e r l e t z t e n Paragraphen i s t es
jetzt
möglich z u b e w e i s e n , daß für d a s stationäre AHM - M o d e l l m i t
F i x k o s t e n e i n e ( s , S ) - P o l i t i k o p t i m a l i s t . B e i m AHM - M o d e l l ohne
B e s t e l l k o s t e n berechnet
man d i e o p t i m a l e B e s t e l l r e g e l vom T y p e i n e r
(S) - P o l i t i k über d i e M i n i m i e r u n g
d e r E i n p e r i o d e n k o s t e n . Da d i e s e
n i c h t vom P l a n u n g s h o r i z o n t n abhängen, i s t d i e ( S ) - P o l i t i k
optimale P o l i t i k
fixe
auch
im stationären M o d e l l .
B e i m AHM - M o d e l l m i t f i x e n B e s t e l l k o s t e n hängt d i e o p t i m a l e B e s t e l l r e g e l vom T y p e i n e r ( s ,S ) - P o l i t i k v o n d e r P e r i o d e n z a h l n ab.
n
n
v
J
D e s h a l b i s t d e r B e w e i s , daß a u c h im stationären F a l l e i n e ( s , S ) - P o l i t i k optimal
i s t , h i e r s c h w i e r i g e r z u führen. W i r w o l l e n a n d i e s e r
Stel-
l e n u r d i e w e s e n t l i c h e n S c h r i t t e erwähnen ( d e r B e w e i s b a s i e r t a u f dem
B a n a c h s c h e n F i x p u n k t s a t z , v g l . COLLATZ ( 1 9 6 8 ) ) .
1. Der L i m e s v ( y )
:= l i m v ( y ) e x i s t i e r t ;
d i e Folge
gleichmäßig a u f jedem e n d l i c h e n I n t e r v a l l .
y
m a X
V
- {' n+l
s<y<S
( y )
"
V ) I* -
P
maX
- {l
s<y<S
v
Es g i l t
(y)
n
{v } k o n v e r g i e r t
~
V
nämlich
( y
n-l )l
für a l l e n € IN (KONTRAKTIONSBEDINGUNG), und d e s h a l b
}
auch
431
( )
181
™*x_ {|v
s<y<S
n
+ 1
( y ) " v (y)|} < p
1
n
n
max_ {|v ( y ) | ) .
3"<y<S
(43.2)
Es genügt, d i e M a x i m i e r u n g a u f d e n B e r e i c h s < y < S einzuschränken,
denn für y < s i s t
v
n
( y ) l i n e a r m i t S t e i g u n g - a für a l l e n, und
Lagerbestände y > S können im stationären F a l l n i c h t a u f t r e t e n .
2. U n t e r
der w e i t h i n g e t r o f f e n e n Voraussetzung
V
Q
= 0 i s t {v^} e i n e
monoton wachsende F o l g e , d.h.
v
n + 1
(y)
> v (y)
n
für a l l e y,n
.
(43.3)
3. D i e F u n k t i o n v ( y ) erfüllt d a s P r i n z i p d e r Optimalität. E s i s t
L(x.y.v)
die
:= a ( x - y ) + f ( x ) + p / v ( x - u ) d P ( u )
o
r e c h t e S e i t e d e r BELLMANschen F u n k t i o n a l g l e i c h u n g . Wegen d e r
M o n o t o n i e d e r F o l g e {v^} i s t
v ( y ) = Min
x>y
n
00
Für n -»
gilt
{ L f x . y . v ^ ) } < Min {L(x,y,v)}
x>y
also
v(y) < Min L(x,y,v)
x>y
.
A n d e r e r s e i t s läßt s i c h a u s d e r M o n o t o n i e v o n {v^} e b e n f a l l s
v(y) >
Min
L(x,y,v )
S>x>y
>
Min
S>x>y
{ l i mL(x,y,v }
(43.4)
folgern
182
Aufgrund
d e s LEBESGUEschen S a t z e s v o n d e r monotonen K o n v e r g e n z d a r f
man d i e G r e n z w e r t b i l d u n g
u n t e r das I n t e g r a l z i e h e n u n d erhält
v(y) >
Min {L(x,y,v)} = Min {L(x,y,v)}
v
>y
S>x>y
"
Zusammen m i t ( 4 3 . 4 ) b e d e u t e t d i e s
.
(43.5)
x
Ö\
J
v(y) = Min (L(x,y,v)}
x>y
.
(43.6)
4. v ( y ) i s t d i e e i n z i g e Lösung d e r BELLMANschen F u n k t i o n a l g l e i c h u n g
(43.6).
5. D i e F o l g e n
{ s ^ } , {^ ) s i n d a u f [ s , s ] ,
n
[ S , S ] beschränkt. S i e e n t -
h a l t e n d e s h a l b k o n v e r g e n t e T e i l f o l g e n . J e d e r L i m e s s, S d i e s e r
T e i l f o l g e n beschreibt eine optimale B e s t e l l r e g e l
für d a s stationäre
Modell.
§44
E I N E METHODE ZUR BERECHNUNG VON s UND S
Diskontierter
Wir
Fall
s c h r e i b e n d a s P r i n z i p d e r O p t i m a l i t a t i n d e r Form
f
v(y) =
(y)
+
P / v ( y - u)dP(u),
für
y > s;
°
k + f ( S ) + p / v(S - u)dP(u),
o
für
y < s.
D i e so d e f i n i e r t e F u n k t i o n a l g l e i c h u n g für v läßt s i c h a u c h i t e r a t i v w i e
folgt
e n t w i c k e l n (der Anfangsbestand
sei S):
v(S) = erwartete Kosten + erwartete Kosten + erwartete Kosten
d e r 1. P e r i o d e
d e r 2. P e r i o d e
d e r 3. P e r i o d e
+
183
Solange
der Lagerbestand
n i c h t a u f bzw. u n t e r s a b g e s u n k e n i s t , d.h.
solange d i e k u m u l i e r t e Nachfrage
überschritten h a t , e n t s t e h e n
d e n B e t r a g D n i c h t e r r e i c h t bzw.
i n den e i n z e l n e n P e r i o d e n nur d i e erwar-
t e t e n L a g e r - und F e h l m e n g e n k o s t e n f .
E r s t b e i y < s f a l l e n d i e f i x e n B e s t e l l k o s t e n k u n m i t t e l b a r und d a n a c h
die
n
p^ ^
x
F o l g e k o s t e n v(S) an. S e i e n
: W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß i n n e r h a l b v o n n P e r i o d e n genau d i e
Nachfrage
u = x auftritt;
V e r t e i l u n g s f u n k t i o n der Nachfrage
i n n P e r i o d e n , d.h. d i e
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß i n n e r h a l b v o n n P e r i o d e n höchstens d i e
Nachfrage
u < x auftritt.
i s t d i e n-fache
Faltung von P
(n - 1)
o
Sei
ferner
n
C r ^ ( D ) : W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß d i e k u m u l i e r t e N a c h f r a g e
(n + l ) - t e n P e r i o d e d e n B e t r a g D m i n d e s t e n s
Q^ (D)
n)
= / [1 - P(D - u ) ] d P
genau i n d e r
erreicht
(n - 1)
(44.1)
o
Dann i s t
v(S) = f ( S ) + p / f ( S - u)dP(u) + p
o
2
( 2
/ f(S- u)dP ^(u) +
o
y b l e i b t über s i n P e r i o d e
+ p [k + v(S)] Q
( 1 )
2
1,2,3,...
(D) + p [k + v(S)]Q
y < s i n P e r i o d e 1,2,3,
( 2 )
(D)
+ ...
184
U n t e r Verwendung d e r f o l g e n d e n D e f i n i t i o n für d i e n u l l t e
p
, n
{ 0 )
U
Faltung
f 1 d u , für u = 0;
d u := \
[ 0
, für u > 0;
ist
D
f(S) =
-
(
l
(44.2)
\
J
p° / f ( S ) d P ° u ,
o
und man erhält
v(S)
=
^ p
n
/ f(S- u)dP
( u ) + [k + v ( S ) ] J> p Q
( n )
n
( u )
(D)
.
(44.3)
U n t e r d e r Annahme, daß b e s t e l l t w i r d , n o c h ehe F e h l m e n g e n a u f t r e t e n ,
ist
v(0) = k + v ( S )
und (44.3)
läßt s i c h n a c h v(0) auflösen
k + ^ p
v(0)
=
—
n
=
n
/ f(S- u)dP
( n )
(u)
°
1 - l
n
( n
p Q )(D)
n=l
n
J e t z t führen w i r d i e im Nenner a u f t r e t e n d e n Terme Q ^ ^ ( D ) ,
n = 1,2,3....noch a u f V e r t e i l u n g s f u n k t i o n e n
P ^ ^ ( D ) zurück. Aus (44.1)
n
wird
Q
( n )
(D) = / d P
= P
( n _ 1 )
( n _ 1 )
( u ) - / P(D - u ) d P
( n
( D ) - P >(D)
D e s h a l b w i r d d e r Nenner z u
( n
"
185
1 - I
n
p Q
( n )
( D ) =1-1
n + 1
p
n=l
[P
( n )
(D) -
p(
n + 1
^(D)]
n=o
CO
1 - p (°)(D) -}
P
P
( n )
(D) ( p
n
+
1
-
n
P
)
n=l
1 - pp(°)(D)
(1 - p) I
+
n
p P^(D)
n=l
= ( 1 - p) I
n
pV >(D)
und für v ( 0 ) e r h a l t e n w i r
D
v
k +
2 P
n
-
( \
f
/
o
(
s
W
- u)dP (u)
n=o
v(0) =
(44.4)
I
(i-p)
n
P
n
/ dp( >( )
o
U
n=o
Die Minimierung
der Z i e l f u n k t i o n
Min v
S.D
l i e f e r t d i e optimalen
(0)
b
,
U
Werte S und D, s = S - D, d e r stationären ( s , S )
Politik.
Nichtdiskontierter
Fall
Im n i c h t d i s k o n t i e r t e n F a l l
i s t v := l i m v
n
und a l s O p t i m i e r u n g s k r i t e r i u m
b e k a n n t l i c h unbeschränkt
t r e t e n a n s t e l l e des Gegenwartswertes der
G e s a m t k o s t e n d i e D u r c h s c h n i t t s k o s t e n C bzw. c p r o P e r i o d e ,
die
p r o p o r t i o n a l e n B e s t e l l k o s t e n außer a c h t
daß z w i s c h e n
(21.3):
f a l l s man
läßt. Im §21 wurde g e z e i g t ,
d i e s e n b e i d e n K r i t e r i e n f o l g e n d e r Zusammenhang b e s t e h t
186
c = l i m (1 - p ) v
C = l i m (1 - p ) v
p-»l
p
Angewandt a u f d i e Z i e l f u n k t i o n
i n ( 4 4 . 4 ) erhält man d a s K o s t e n k r i -
terium
Fall
für d e n n i c h t d i s k o n t i e r t e n
oo
k + ^
D
/ f(S- u)dP
( n )
(u)
n=o
oo D
l
/dp( >(u)
(44.5)
n
n=o
Nichtdiskontierter
F a l l mit diskreter
Wenn w i r b i s h e r m i t D u r c h s c h n i t t s k o s t e n
Nachfrage
pro Periode
h e i t ) im stationären F a l l g e r e c h n e t h a t t e n ,
(d.h.
pro Z e i t e i n -
dann w a r e n s t e t s
Zustands-
w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n m i t im S p i e l . Das t r i f f t a u c h j e t z t w i e d e r z u . Aus
d e r o b i g e n Z i e l f u n k t i o n ( 4 4 . 5 ) läßt s i c h d a s zwar n i c h t
werden s i e a b e r im F a l l
d i s k r e t e r N a c h f r a g e n so umformen, daß a n s t e l l e
der F a l t u n g e n
nur noch Z u s t a n d s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n
Zunächst w i r d
( 4 4 . 5 ) für d e n d i s k r e t e n F a l l
n
p^ ^:
u
ersehen. Wir
auftreten.
formuliert. Sei
Wahrscheinlichkeit,
daß d i e N a c h f r a g e über n P e r i o d e n
u ist;
P^ ^(D): Wahrscheinlichkeit,
als D i s t .
daß d i e N a c h f r a g e über n P e r i o d e n
kleiner
n
M i t d i e s e n B e z e i c h n u n g e n w i r d a u s (44.5)
D-1
u=o
2 P
n=o
( n )
(D)
(44.6)
187
J e t z t w e r d e n d i e Z u s t a n d s w a h r s c h e i n l i c h k e i t e n ir
y
TT :
y
bestimmt.
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß im stationären F a l l d e r
L a g e r a n f a n g s b e s t a n d d e n Wert y b e s i t z t .
Nach dem E i n t r e f f e n e i n e r e v t l .
aufgegebenen
B e s t e l l u n g kann der
L a g e r a n f a n g s b e s t a n d z w i s c h e n s und S l i e g e n :
s + 1 < y < S.
B e t r a c h t e n w i r z u e r s t d i e S i t u a t i o n y = S. S i e k a n n n u r v o r l i e g e n , wenn
entweder
d e r A n f a n g s b e s t a n d i n d e r V o r p e r i o d e b e r e i t s S war und k e i n e
Nachfrage a u f g e t r e t e n i s t
oder es t r a t
i n d e r V o r p e r i o d e e i n e N a c h f r a g e a u f , und d e r B e s t a n d
fiel
d a d u r c h a u f s o d e r d a r u n t e r ; hierfür i s t d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t
S
l
7r [l - P(y - s ) ] .
y
y=s+l
Da d i e s e b e i d e n E r e i g n i s s e unabhängig v o n e i n a n d e r s i n d ,
i s t die
Z u s t a n d s w a h r s c h e i n l i c h k e i t ir^ d i e Summe a u s b e i d e n o b i g e n W a h r s c h e i n 1ichkei ten
S
^S
Nun z u r B e r e c h n u n g
nehmen a n , daß
=
V o
+
1
V
y=s+l
1
"
P
(
Y
"
S ) ]
'
( 4 4
'
? )
d e r Zus t a n d s w a h r sehe i n l i c h k e i t e n TT^, y < S. W i r
S - s > 2. Nur i n d i e s e m F a l l
e x i s t i e r t e i n Anfangs-
b e s t a n d y < S. Zum A n f a n g s b e s t a n d y < S g e l a n g t man vom A n f a n g s b e s t a n d
y + u d e r V o r p e r i o d e und N a c h f r a g e u a u s .
S
TT =
y
y
L
i=y
TT.p.
;
l l-y
für s < y < S .
(44.8)
188
D i e Lösung d i e s e r G l e i c h u n g e n ( 4 4 . 7 ) und ( 4 4 . 8 ) e r h a l t man d u r c h
f o l g e n d e Überlegung. I n d e n Z u s t a n d y < S g e l a n g man zum e r s t e n M a l
nach n P e r i o d e n von S aus m i t W a h r s c h e i n l i c h k e i t
3
für 1 < y < s
S-y
Deshalb i s t
CO
TT
y
=
y
L
TT~
S
n
K
p £ ^ , für s < y < S
S-y
J
(44.9)
n=l
Mit
1, für u = o
><°>
=
o, für u > o
d a r f d i e Summe b e i n = o b e g i n n e n , und u n t e r Verwendung d e r Normierungsbedingung
L
y
y=s+i
e r h a l t e n w i r d i e Lösung
00
TT = TT-,
y
S - U
n=o
l
für u = 0,...,s.
R
p( )(D)
n=o
Dabei i s t
1
»o _ 1 - p
n=o
so daß TTg e i n f a c h g e s c h r i e b e n werden
kann
(44.10)
189
(44.11)
l
P
S e t z t man d i e s e b e i d e n E r g e b n i s s e
( n )
(D)
i n die Zielfunktion(44.6) e i n ,
g e w i n n t man d i e D a r s t e l l u n g
c = k ( l - P )TT
o
+
S
^
*
Hy)
(44.12)
Y=s+1
Spezialfall:
Bei
geometrische
geometrischer
Nachfrageverteilung
Nachfrageverteilung i s t
0 < p < 1 ,
Die erzeugende F u n k t i o n
u € IN
( v g l . §19) l a u t e t
G(x)geom
und
q = 1 - p ,
1 - px
d i e erzeugende F u n k t i o n der n-fachen F a l t u n g i s t
Wir w o l l e n nun d i e Z u s t a n d s w a h r s e h e i n l i c h k e i t e n
berechnen. Es i s t nach
Def i n i t i o n
CO
V
2
P
(n) u
x
U
.-.n
= C ( )]
•
r n f
G
X
B i l d e t man m i t d i e s e r G l e i c h u n g
n = 1,2,3,..., erhält man
d i e Summe über a l l e
Faltungen
190
00
CO
1
I
00
( " V
P
I
=
n = l u=o
[G(x)f
n=l
1
1 - G(x)
1
1 -
1
- 1
- L
1 - px
9 _ i _
p 1 - X
=
also
00
00
V
z
u=o
I
V
(n) u
z u
=
n=l
p
V q
z
u=o
x
Der K o e f f i z i e n t e n v e r g l e i c h
n
( )
*U
x
u
liefert
3
p
n=l
E i n s e t z e n i n (44.9) e r g i b t
TT
=
y
9
7T [1 - P ]
S
*o p
C
L
J
TT = TT^q = c o n s t .
y
S
M
Aus d e r N o r m i e r u n g s b e d i n g u n g
S-l
1 - 7T
S
0
erhalt
=
)
Z.
y=s+l
TT
y
man
1
"S " 1 + (D - l ) q
,
s < y < S.
191
\
= 1 + (D - l ) q
•
Damit w i r d d i e Z i e l f u n k t i o n
s < y < S .
(44.12) z u
k ( l - q) + f ( S )
q
"
1 + (D - l ) q " 1 + (D ~
- ll))qq
+
C
(44.17)
S-l
V
~
Z
y=s+l
{
)
l Y j
A l s L a g e r - und Fehlmengenkos t e n f wählen w i r
f ( y ) = hy + g
^
(u - y ) p
u
.
(44.18)
u=y+l
D i e F u n k t i o n f ( y ) i s t k o n v e x , so daß w e i t e r h i n e i n e o p t i m a l e
(s,S) -
P o l i t i k g a r a n t i e r t b l e i b t , v e r a n s c h l a g t aber b e i den L a g e r u n g s k o s t e n
d e n ungünstigsten
Fall.
M i t der geometrischen V e r t e i l u n g w i r d daraus
f ( y ) = hy + S E _
Wir
.
s e t z e n d i e s e n Wert i n d i e Z i e l f u n k t i o n e i n und e r h a l t e n
S-l
Q x 1
S+l
kp + hS + g E _
v
+ qh
J
S-l
.
„
y+l
y + qg
y=s+l
1 + (D - l ) q
2
E
1 T
y=s+l
S+l
k p + h[S + q ( D - l ) s + q D ( ^ ) ] + g[^p
+
S+2
P
1
I P
S+l
]
1 + (D - l ) q
D
kp + h ^ + g
c = h ( s + 2)
+
s
+
2
2-^-
1 + (D - l ) q
(44.19)
192
Bestimmung v o n s'
s i s t d i e k l e i n s t e ganze Z a h l ,
für d i e d i e e r s t e D i f f e r e n z v o n c i n s
größer o d e r g l e i c h N u l l i s t :
g
V =
Das
h
j£
(P - 1 )
+
1 + (D - l ) q •
i s t gleichbedeutend mit
p
Daraus
S
> | [ 1 + (D - l ) q ] > p
S
+
(44.20)
1
erhalten wir
l o g ^ [1 + (D - l ) q ]
(44.21)
log P
Bestimmung v o n D:
D i s t d i e k l e i n s t e ganze Z a h l ,
D i f f e r e n z v o n c i n D größer o d e r g l e i c h N u l l
schritten erhalt
9
h[33.
für d i e d i e e r s t e
i s t . Nach e i n i g e n Rechen-
man
(D - 1) + q ( D - 1) + 1] > q p k + g p
S + 1
s+1
E r s e t z t man p
durch d i e Approximation (44.20), wird
D(D - 1)
daraus
= ff
B e d e n k t man, daß p/q g e r a d e d e r E r w a r t u n g s w e r t u. d e r N a c h f r a g e i s t ,
ergibt
sich
D(D - 1) = 2 j S i
(44.22)
193
für den F a l l
Dieses Ergebnis i s t ähnlich der Wilson Formel D
n
mit d e t e r m i n i s t i s c h e r Nachfragerate u. .
D i e obigen Ergebnisse b a s i e r e n darauf, daß d i e Zustandswahrs c h e i n l i c h k e i t e n ir^ für y < S i d e n t i s c h s i n d (siehe (44.17)).
D i e s i s t nur b e i der geometrischen Nachfrageverteilung und der
BinomialVerteilung richtig.
I s t \i k l e i n , so s i n d d i e Wahr-
s c h e i n l i c h k e i t e n TT auch b e i anderen V e r t e i l u n g e n f a s t i d e n t i s c h
y
und d i e Formeln (44.21), (44.22) s t e l l e n gute Näherungen dar.
§45
AHM - MODELL MIT LIEFERZEIT
B i s h e r wurde davon ausgegangen, daß der Lagerbestand zu Beginn einer
Periode ohne Z e i t v e r l u s t aufgefüllt werden konnte. Diese I d e a l i s i e r u n g
i s t nur b e i großen Periodenlängen v e r t r e t b a r . In der Regel muß man mit
L i e f e r z e i t e n rechnen, s e l b s t wenn d i e Ware aus dem eigenen Haus kommt.
Was wir mit L i e f e r u n g bezeichnen, umfaßt eine Reihe von E i n z e l a k t i v i täten, von der Kommissionierung über das Beladen, den Transport, das
Entladen, d i e Wareneingangskontrolle b i s zur Einlagerung, d i e a l l e eine
gewisse Zeitspanne benötigen.
Wir verallgemeinern deshalb das AHM
- Modell auf den F a l l mit n i c h t
vernachlässigbarer L i e f e r z e i t . Es wird s i c h zeigen, daß das e r w e i t e r t e
Modell den Rahmen des AHM
- Typs n i c h t sprengt. Das i s t jedoch ( b e i
e i n e r e i n z i g e n Ausnahme) nur um den P r e i s der Vergrößerung des Zustandsraumes um mindestens eine Dimension möglich. S e i
T
:
Lieferzeit.
Grundlegend für a l l e Modelle mit L i e f e r z e i t i s t d i e Überlegung, daß d i e
Kosten e r s t auf den Zeitpunkt bezogen werden, zu dem d i e ( e v t l . ) bes t e l l t e Menge e i n t r i f f t . Auf den Lagerverlauf vor diesem Zeitpunkt hat
man keinen Einfluß, w e i l s i c h eine gegenwärtige A k t i o n e r s t nach r
Perioden auswirkt.
194
Bestand
y
Bestand
y
t
U
+ z " (
t
1
t
T
)
1
t + T
Bestellung z
Zeit
>
Lieferung
A b b i l d u n g 45.1
D i e i n d e r o b i g e n A b b i l d u n g angegebene M e n g e n b i l a n z
V
= v + z ~ U ( T ) i s t r i c h t i g , wenn man d i e n o c h
t+T
t
J
J
v
J
ausstehenden
B e s t e l l m e n g e n dem p h y s i s c h e n L a g e r b e s t a n d hinzuschlägt. Das i s t a u c h
sinnvoll,
denn z u r Z e i t
t + T i s t a u c h d a s verfügbar, was z u r Z e i t t
noch a u s s t a n d . Deshalb b e z e i c h n e n w i r i n M o d e l l e n m i t L i e f e r z e i t
y:
vorhandener
plus ausstehender Bestand
(STOCK ON HAND PLUS ON
ORDER)
z:
Bestellmenge .
1. F a l l :
Lieferzeit r = 1
D i e b e s t e l l t e Menge w i r d z u B e g i n n d e r nächsten P e r i o d e g e l i e f e r t .
BACKORDER - F a l l :
CO
v ( y ) = M i n (kö(z) + f ( y ) + p / v ^ f y + z - u ) d P ( u ) } .
z>0
o
n
Wegen z = x - y w i r d
daraus
CO
v ( y ) = M i n {kö(x - y ) + f ( y ) + p / v ^ ^ x - u ) d P ( u ) }
x>y
o
n
. (45.1)
LOST SALES - F a l l :
v ( y ) = Min {k5(x - y) + f ( y ) + p / ^
x>y
o
n
+ pv
n - 1
(
x - u)dP(u)
( x - y ) [ l - P(y)]} .
(45.2)
195
Hier
i s t zu beachten,
Lieferung e i n t r i f f t .
daß F e h l m e n g e n a u f t r e t e n können, n o c h b e v o r d i e
Deshalb
i s t e i n e Fehlmenge gegeben b e i y - u < 0
und n i c h t b e i x - u < 0. Wegen x > y t r e t e n a l s o F e h l m e n g e n m i t e i n e r
größeren W a h r s c h e i n l i c h k e i t e i n a l s b e i m M o d e l l m i t L i e f e r z e i t T = 0
1 - P(y) > 1 - P(x) .
Das
besagt, d i e Bestandsfluktuation wird b e i Modellen mit L i e f e r -
z e i t größer a l s b e i M o d e l l e n ohne L i e f e r z e i t . D i e s g i l t a u c h d a n n ,
wenn d i e L i e f e r z e i t
verteuert
2. F a l l :
T
fest,
d.h. verläßlich i s t . D i e L i e f e r z e i t
i . a . ( d . h . wenn g > h i s t ) d i e L a g e r h a l t u n g .
= 2.
Beträgt d i e L i e f e r z e i t
z w e i P e r i o d e n , muß man s i c h d i e B e s t e l l m e n g e d e r
V o r p e r i o d e merken. S e i
y:
Lagerbestand p l u s ausstehende Bestellmenge der v o r l e t z t e n
Periode
z^:
Bestellmenge der Vorperiode
z:
a k t u e l l e Bestellmenge, z = x - y .
D i e E n t s c h e i d u n g über d i e a k t u e l l e B e s t e l l m e n g e hängt v o n d e n z w e i
Zustandsgrößen y u n d z^ a b . Das P r i n z i p d e r Optimalität
lautet
im BACKORDER - F a l l :
00
^
v (y,
n
Z l
(y + ^
) = Min (k5(z) + f(y) + p / C
z
o
- u.z)dP(u)}
,
(45.3)
im LOST SALES - F a l l :
y
v J y . Z j ) = M i n {kö(z) + f ( y ) + p / v ^ C y
z
o
Ä
+ Zj - u.z)dP(u)
+ p v _ ( z , z ) [ l - P(y)]}
n
1
1
.
(45.4)
196
3. F a l 1 :
T
= m
D i e L i e f e r z e i t r s e i j e t z t a l l g e m e i n m P e r i o d e n l a n g , m € IN .
Wir b e z e i c h n e n m i t
y:
Lagerbestand p l u s ausstehende
B e s t e l l m e n g e d e r m-ten V o r p e r i o d e
z., :
Bestellmenge der i-ten Vorperiode.
Z u r Z u s t a n d s b e s c h r e i b u n g d e s Systems r e i c h t d i e i n s g e s a m t
ausstehende
B e s t e l l m e n g e a l s e i g e n e Z u s t a n d s v a r i a b l e n i c h t a u s . Um d i e E n t w i c k l u n g
des L a g e r b e s t a n d e s y
Bestellung z
-» y a n g e b e n
z u können, muß j e d e e i n z e l n e
n o t i e r t werden, d i e b i s zum E i n t r e f f e n d e r ältesten
B e s t e l l u n g z ^ aufgegeben
wurde. W i r haben d e s h a l b e i n e n V e k t o r v o n m
Zus tänden
y
(
Sie
'
z
z
l '
z
2
m - l
}
'
werden r e k u r s i v f o r t g e s c h r i e b e n n a c h d e n F o r m e l n
y -» y + z ^ _ ^ - u
(
Das
z
r 2
V i )
z
P r i n z i p der Optimalitat
(Lagerbilanz)
•* ( - i
2
V 2
2
}
•
lautet
im BACKORDER - F a l l :
v
n
(
y , z
i
V i '
=
{
M i n
k(5
( )
z
+
z
00
+ f(y) + P / V
o
x
( y + z _
m
x
- u,z,z ...,z _ )dP(u)}
r
m
2
im LOST SALES - F a l l :
v (y,z ...,z
n
r
m - 1
) = M i n {kö(z) +
z
y + f(y) + P / _!(y
o
v
n
+
V - l " u,z,z
r
. . . ,z _ )dP(u)
m
2
,
(45.5)
197
4. F a l l :
Lieferzeit r nicht ganzzahlig
D i e L i e f e r z e i t r muß k e i n e g a n z e Z a h l s e i n . Für 0 < r
T < m ändert s i c h im BACKORDER - F a l l
< 1 bzw. m - 1 <
n i c h t s . D i e Formeln
(45.1),
( 4 5 . 3 ) und ( 4 5 . 5 ) b l e i b e n gültig. Man r u n d e t d i e L i e f e r z e i t a u f .
LOST SALES - F a l l
Im
e r g i b t s i c h jedoch e i n Unterschied.
Da d i e älteste n o c h a u s s t e h e n d e L i e f e r u n g b e r e i t s v o r dem Ende d e r
gegenwärtigen P e r i o d e e i n t r i f f t ,
zugeschlagen
Bestand
werden. A n s t e l l e v o n (45.6) muß e s dann heißen
v (y,z ,...,z _ )
n
k a n n s i e zum v e r k a u f b a r e n
1
m
1
= M i n (kö(z) + f ( y )
y+z, m-l
+
„
y+
u
z
p / vi( vr ' i
dp
u
v> ()
2
B e r e i t s für T = 2 w i r d d i e Z a h l d e r möglichen Zustände s e h r groß.
Deswegen s i n d a u c h h i e r Näherungen n o t w e n d i g .
Näherung
W i r ändern d i e Periodenlänge so a b , daß s i e i d e n t i s c h i s t m i t d e r
L i e f e r z e i t . Damit haben w i r e i n M o d e l l m i t L i e f e r z e i t e i n e
Periode. Durch d i e s e Umskalierung
t e i l u n g der Nachfrage.
als
(lange)
d e r Z e i t ändert s i c h a u c h d i e V e r -
B e i e i n e r L i e f e r z e i t von r = m Perioden
tritt
G e s a m t n a c h f r a g e über m P e r i o d e n d i e N a c h f r a g e u ^ + u ^ + ... +
a u f . Da d i e N a c h f r a g e n i n d e n e i n z e l n e n P e r i o d e n s t o c h a s t i s c h a l s
unabhängig angenommen w e r d e n , i s t d i e V e r t e i l u n g s f u n k t i o n d e r Gesamtnachfrage
m
P^ ^(u):
d i e m - fache F a l t u n g der V e r t e i l u n g s f u n k t i o n P(u).
V e r t e i l u n g s f u n k t i o n der Nachfrage innerhalb der Periode
( b e i L i e f e r z e i t m).
r
198
Die Lagerungs-
f
( m )
und F e h l m e n g e n k o s t e n
( y ) = (h + g)
/ P
( m )
s i n d dann d e f i n i e r t a l s
(u)du
+ g(mM - x )
und d i e W e r t f u n k t i o n erfüllt d i e R e k u r s i o n im BACKORDER - F a l l :
v ( y ) = M i n {kö(x - y ) + f
x>y
( m )
( y ) + p / v ^ ^ x - u)dP
o
( m )
( y ) + p jf v ^ x
o
n
( m )
(u)}
,
(45.8)
im LOST SALES - F a l l :
v ( y ) = M i n {kö(x - y ) + f
x>y
n
+ P v ^ ^ x - y)[l- P
Bei
( m )
-
u)dP
( m )
(u)
(y)]} .
(45.9)
d i e s e m Näherungsmodell i s t f o l g e n d e s z u b e a c h t e n : D u r c h d i e V e r -
längerung d e r P e r i o d e n d a u e r w i r d sowohl S a l s a u c h D größer w e r d e n .
D a d u r c h s t e i g e n d i e mengenabhängigen K o s t e n . D i e f i x e n B e s t e l l k o s t e n k
s i n d d a v o n unberührt. S i e b l e i b e n k o n s t a n t . D e s h a l b b e s i t z t e i n e V e r längerung d e r P e r i o d e n d a u e r d e n E f f e k t e i n e r r e l a t i v e n V e r k l e i n e r u n g
d e r f i x e n B e s t e l l k o s t e n und e s i s t im E i n z e l f a l l
z u prüfen, ob man dann
n i c h t b e s s e r g a n z a u f d i e f i x e n B e s t e l l k o s t e n im M o d e l l
verzichtet.
F a l l s m groß und k im ursprünglichen M o d e l l b e r e i t s k l e i n
ist,
em-
p f i e h l t s i c h e i n M o d e l l ohne f i x e B e s t e l l k o s t e n a l s Näherung. D o r t i s t
m
eine S ^ ' - P o l i t i k optimal mit
s
(m)
=
p
(m)"
1
( : r
_S_^
)
(
4
5
1 0 )
h + g
S o w e i t e s g e h t , s o l l t e man j e d o c h Vergrößerungen d e r P e r i o d e
vermeiden,
denn d a m i t w i r d a u c h d i e V a r i a n z d e r P e r i o d e n n a c h f r a g e größer, was w i e derum d i e L a g e r h a l t u n g s k o s t e n i n d i e Hohe t r e i b t
( v g l . §38).
199
Stochastisehe L i e f e r z e i t
T
Wir b e t r a c h t e n h i e r n u r d e n e i n f a c h s t e n F a l l :
e s s t e h t immer n u r
höchstens e i n e B e s t e l l u n g a u s . S e i
q
:
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß d i e L i e f e r z e i t g l e i c h T i s t ;
Q(T):
V e r t e i l u n g s f u n k t i o n der L i e f e r z e i t ;
v^(y.T.z^):
Wertfunktion b e i Planungshorizont
n P e r i o d e n , L a g e r b e s t a n d y und s e i t r
a u s s t e h e n d e r B e s t e l l m e n g e z^.
Perioden
T i s t j e t z t e i n e zusätzliche Zustandsgröße.
Für d i e F u n k t i o n a l g l e i c h u n g d e r W e r t f u n k t i o n benötigt man d i e
Übe r g a n g swahr s che i n 1 i c h k e i t en
9 ^
r +
:
U b e r g a n g s w a h r s c h e i n l i c h k e i t vom Z u s t a n d " n a c h r P e r i o d e n n o c h
a u s s t e h e n d " zum Z u s t a n d " i n P e r i o d e T+1 g e l i e f e r t " .
Es i s t
q
r
r+l
r+l
" Q(T) '
1
T > 0;
(45.11)
T = 0 .
(45.12)
S o l a n g e e i n e B e s t e l l u n g n o c h u n t e r w e g s i s t , d a r f k e i n e neue B e s t e l l u n g
a u f g e g e b e n w e r d e n . L e t z t e r e s i s t e r s t b e i z^ = 0 e r l a u b t . D e s h a l b
d e r t s i c h d a s P r i n z i p d e r Optimalität i n d i e b e i d e n
( y » i ' ) = Hy)
z
n
CO
^
ss
v
T
+ P<P
t+1
/
o
glie-
Gleichungen
^
v
n
_i
( y
+
z
i " u.o.o)dP(u)
oo ^
+ p[l - *
T + 1
]
/ v ^ y
- U.ZJ.T +l)dP(u)
(45.13)
vjy,0,0)
= M i n {k<5(x - y ) + f ( y )
x>y
00
+ P<P /
o
X
v
n
x
_ ! (
" u.O.O)dP(u)
00
+ p[l-
im BACKORDER - F a l l
/N
/ v ^ ^ y - u,x - y . l ) d P ( u ) }
o
und i n d i e z w e i G l e i c h u n g e n
y /S
/ v
o
/V
v (y,z ,T) = f(y) +
n
1
+ P^
+
T + 1
P
9
t
+
1
n - 1
(y
(45.15),
(45.14)
(45.16)
+ Z j - u.O.O)dP(u)
[1 - P(y)]v _ (z .0.0)
n
PC - V i ^ V i
1
+ P[l- f
]
T
+
1
]Cl
1
( y
1
u
z
"- r
T +
l
d?
n
) ()
" P ( y ) ] v _ ( 0 . z . T + 1) .
n
1
1
(45.15)
v (y.O.O) = Min {k6(x - y) + f ( y )
x>y
n
+ Pf
x
y ~
/ v ^ ^ x - u.O.O)dP(u)
o
+ WjCl
+ p[l-
- P(y)] v _ ( x
n
V l
]
x
y ~
/ v ^ C y
o
- y .0,0)
- u.x - y . l ) d P ( u )
+ p [ l - - ^ [ l - P(y)] v^jCO.x - y.l)}
im LOST SALES
-Fall.
(45.16)
201
§46
AUTÖKORRELIERTE NACHFRAGE
Zwar h a t d i e P l a n n i n g R e s e a r c h C o r p o r a t i o n d e r US Navy AHM - M o d e l l e
m i t k o n s t a n t e m E r w a r t u n g s w e r t d e r N a c h f r a g e a k z e p t i e r t . V o n M.J.
BECKMANN wurde e i n R e c h e n s c h i e b e r e n t w i c k e l t , a u f dem s i c h d i e ( s , S ) P o l i t i k e i n s t e l l e n läßt. P a r a m e t e r s i n d p, g/h und k. ( S i e h e h i e r z u
§38:
Standardisierung.) Modelle,
z u d e r e n Lösung j e d e s m a l
e i n stocha-
s t i s c h e s D y n a m i s c h e s Programm z u lösen i s t , w a r e n zum d a m a l i g e n Z e i t p u n k t n o c h s e h r r e c h e n a u f w e n d i g . Für manche Anwendungen i s t j e d o c h d i e
Annahme e i n e r stationären N a c h f r a g e v e r t e i l u n g z u u n r e a l i s t i s c h .
M i t w a c h s e n d e r Leistungsfähigkeit d e r Computer w i r d es zunehmend
t e r , r e a l i s t i s c h e r e , aber auch r e c h e n i n t e n s i v e r e
z u v e r w e n d e n . H i e r h e r gehört a u c h d e r F a l l ,
ihre Vorgeschichte
p(u)du
= p(u|u u
r
u^:
bedingt
leich-
Lagerhaltungsmodelle
daß d i e N a c h f r a g e u
i s t , a l s o eine bedingte
Dichte
durch
besitzt
u )du
2 >
k
Nachfrage der i - t e n
Vorperiode.
S p e z i e l l b e t r a c h t e n w i r d e n MARKOV F a l l
p(u)du
(46.1)
= p(u|u )du .
1
D i e l e t z t e Beobachtung u^ w i r d a l s Z u s t a n d s v a r i a b l e
tät s g l e i c h u n g e n
i n die Optimali-
aufgenommen. S i e l a u t e n
v ( y , u ) = M i n {kö(x - y ) + a ( x - y ) + f ( x , u ) +
x>y
n
1
x
CO
u
u
+ P / v ^ C * " « )
o
d p
u
( l
u
1
)}
n
.
= 1.2,...
(46.2)
202
wobei
x
Was g e w i n n t man d u r c h d i e Hinzunahme d e r l e t z t e n B e o b a c h t u n g ? Um
Frage z u beantworten,
diese
f a s s e n w i r d e n MARKOV Prozeß e n g e r .
Sei
1)
p H u ^ d u
d.h.
= #(u ~ H f U j ) ) ,
d e r E r w a r t u n g s w e r t ji w i r d d u r c h d i e l e t z t e
Beobachtung
bedingt.
2)
\i l i n e a r :
u.
Ein
\i = p, + ct(u^ - u^)
langfristiger
Mittelwert.
i n der Zeitreihenanalyse
der s i c h h i e r a u s ergebende
häufig u n t e r s t e l l t e r
Nachfrageprozeß i s t
S p e z i a l f a l l des a u t o k o r r e l i e r t e n
Prozesses
e r s t e r Ordnung, d e r s o g . A R ( 1 ) - Prozeß. E r genügt d e r Prozeßgleichung
u
\a\ < 1,
mit
t
- Li = a f u
t-1
o
für a l l e
(46.4)
v
t unabhängig und i d e n t i s c h (0,o~ ) - n o r m a l v e r t e i l t
Verteilungsfunktion
^ ( e ) . Es i s t
k-1
u
t
= a (u
t-k
t-i
i=o
00
Im e i n g e s c h w u n g e n e n Z u s t a n d , d.h. für t -» i s t
00
(46.5)
i=o
E{u
1
} = — ^ — E{e\
t
1 - a
t
J
1
J
+ u = u
o
o
203
al = E { ( u
-
t
uf}
i=o
1
1 -
=>
Beachte,
o
a
> o
2
2
für
2
lexI < 1 .
(46.6)
\a\ < 1 a u c h d e r n i c h t b e d i n g t e Prozeß {^ )
daß für
t
stationär
2
2
i s t m i t E { u } = u und E { [ u - u ] } = a
. A b e r d u r c h d i e Aufnahme d e r
t
o
t
o
u
1
J
l L
J
1
l e t z t e n B e o b a c h t u n g u ^ i n e i n Gedächtnis, d.h. d u r c h d i e F o r m u l i e r u n g
a l s A R ( 1 ) - Prozeß, w i r d d i e S t r e u u n g
den
§47
der Nachfrage
i n der v o r l i e g e n -
P e r i o d e g e r i n g e r , w i e (46.6) z e i g t .
LAGERHALTUNG MIT PROGNOSE
D i e Einführung d e s AHM - L a g e r h a l t u n g s m o d e l l s
k a n n manchmal
daran
s c h e i t e r n , daß im M o d e l l e i n stationärer Nachfrageprozeß u n t e r s t e l l t
wird. Meist
Nachfrage
l i e g t aber
Prognosen g i l t
findet
I n f o r m a t i o n über d e n zukünftigen V e r l a u f d e r
vor, aufgrund
d e r e r man K u r z f r i s t p r o g n o s e n e r s t e l l t .
Diese
e s im M o d e l l z u berücksichtigen. D e r a r t i g e S i t u a t i o n e n
man z.B. v o r , wenn m i t e i n e m H a u p t k u n d e n
AbrufVereinbarungen
g e t r o f f e n wurden.
I n d e r P r a x i s g e h t man häufig s o v o r , d a ß man im e r s t e n S c h r i t t d i e
Nachfrageprognosen e r s t e l l t ,
stand f e s t l e g t ,
Nachfrage
f e s t l e g t und anhand e i n e s d e t e r m i n i s t i s c h e n M o d e l l s d i e
optimale B e s t e l l r e g e l
allerdings
im z w e i t e n S c h r i t t e i n e n S i c h e r h e i t s b e -
im d r i t t e n S c h r i t t d i e P r o g n o s e a l s d e t e r m i n i s t i s c h e
berechnet.
D i e s e s s t u f e n w e i s e V o r g e h e n führt
z u Lösungen, d i e i n d e r R e g e l
suboptimal
sind.
204
O p t i m a l e Lösungen e r h a l t man, wenn man d i e P r o g n o s e n
Programmierungsansatz
i n den Dynamischen
i n t e g r i e r t . Dies verlangt eine Neuformulierung
des Optimalitätsprinzips.
W i r u n t e r s c h e i d e n z w e i v e r s c h i e d e n e P r o g n o s e a r t e n : d i e exogene und d i e
endogene P r o g n o s e . B e i d e r endogenen P r o g n o s e
l e i t e t man d i e P r o g n o s e -
werte a l l e i n e aus der i n der Vergangenheit beobachteten Nachfrage ab.
H i e r h e r gehört a u c h d a s a u t o r e g r e s s i v e Schema a l s S p e z i a l f a l l . W i r
f a s s e n d i e zurückliegenden B e o b a c h t u n g e n
u ^ , u^,••.
zu einer
suffi-
z i e n t e n S t a t i s t i k w- zusammen und r e c h n e n s t a t t m i t d e r b e d i n g t e n
Dichte
p(u|u u ,...)
l f
mit
der bedingten Dichte
p(u|w
Die
2
)
a u s d e n V e r g a n g e n h e i t s w e r t e n u^.u^,... e x t r a h i e r t e I n f o r m a t i o n w
w i r d a l s P r o g n o s e für d i e i n d e r gegenwärtigen P e r i o d e a u f t r e t e n d e
N a c h f r a g e u angesehen.
für u b e k a n n t
Wenn dann am Ende d e r P e r i o d e d e r e x a k t e Wert
i s t , wird mit H i l f e einer Prognoseformel
w = g(u,w )
(47.1)
e i n e neue P r o g n o s e e r r e c h n e t . W i c h t i g i s t , daß s i c h d i e neue P r o g n o s e w
r e k u r s i v a u s d e r a l t e n P r o g n o s e w^ und d e r a k t u e l l e n B e o b a c h t u n g d e r
Nachfrage u gewinnen
stizierens
läßt. Damit i s t es möglich, d e n Prozeß d e s P r o g n o -
i n d a s P r i n z i p d e r Optimalität z u i n t e g r i e r e n . Es l a u t e t
v ( y , w ) = M i n {kö(x - y ) + a ( x - y ) + f ( x , w )
x
n
1
1
(47.2)
205
Beispiel:
E x p o n e n t i e l l e Glättung e r s t e r
Ordnung
Die s u f f i z i e n t e S t a t i s t i k w i s t e i n gewichtetes M i t t e l a l l e r
Beobach-
t u n g e n u ^ . u ^ , . . • , w o b e i d i e k P e r i o d e n zurückliegende B e o b a c h t u n g m i t
dem F a k t o r a
, 0 < a < 1, g e w i c h t e t w i r d :
p ( u | u u , . . .)
r
2
00
W
I
k=o
l = (!-«>
Die Prognoseformel
lautet
< -)
47
( v g l . §6)
w = aw
+ (1 - a ) u .
1
(47.4)
F o r m u l i e r t man s i e abhängig v o n t
OT
+ (1
Vi =t
so e r k e n n t man, daß im stationären
a)u
" t+i •
Zustand
w = u
i s t und s i c h d e s h a l b w vernünftigerweise a l s P r o g n o s e e i n e s n i c h t p e r i o d i s c h e n stationären P r o z e s s e s i n t e r p r e t i e r e n läßt.
D i e P r o g n o s e i s t b e i stationärem Nachfrageprozeß { u ) e r w a r t u n g s t r e u :
t
CO
E{w}
=
l
(1 - a)
c f a i u ^ J
k=o
und b e s i t z t e i n e V a r i a n z
00
Var{w} = (1
_
a
) ^ ^
a
^
a
u
k=o
(1 - a)
,
2
1 - a
2
die geringer i s t a l s
.
3
2
u
,
2
u
= n =
E{u}
206
B e d i n g t e r Erwartungswert a l s Prognose
D i e o b i g e P r o g n o s e i s t zwar e r w a r t u n g s t r e u ,
Prognosen m i t minimaler
mel
aber n i c h t
varianzminimal.
V a r i a n z bekommt man, wenn man a l s
Prognosefor-
d e n b e d i n g t e n E r w a r t u n g s w e r t wählt, was z.B. im a u t o r e g r e s s i v e n
Schema g e s c h e h e n i s t .
Exogene P r o g n o s e
B e i d e r e x o g e n e n P r o g n o s e l i e g t d i e Q u e l l e d e r I n f o r m a t i o n außerhalb
des M o d e l l s . D i e s e S i t u a t i o n l i e g t z.B. v o r , wenn P r o g n o s e u n d B e standsführung i n v e r s c h i e d e n e n
A b t e i l u n g e n e i n e s Unternehmens d u r c h g e -
führt werden. D i e P r o g n o s e a b t e i l u n g
erstellt
Grundlage von b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e n
ihre Prognosedaten auf der
und v o l k s w i r t s c h a f t l i c h e n
mendaten. Für d e n L a g e r h a l t e r h a t d i e P r o g n o s e d e n C h a r a k t e r
Rah-
einer
Zufallsvariablen:
w^
i s t d i e jüngste P r o g n o s e . S i e b e z i e h t s i c h a u f d i e N a c h f r a g e
der v o r l i e g e n d e n
Periode,
u
h a t d i e D i c h t e p(u|w^)du.
w
i s t d i e noch zu e r s t e l l e n d e
P r o g n o s e für d i e zukünftige
P e r i o d e , w i s t i n d e n Augen des L a g e r h a l t e r s e i n e Z u f a l l s v a r i a b l e , d a ihm d e r Prognosemechanismus v e r b o r g e n i s t .
#(w)dw
Das
i s t d i e D i c h t e v o n w.
D y n a m i s c h e Programm
lautet
v ( y , w ) = M i n {k<5(x - y ) + a ( x - y ) + f ( x , yt )
x>y
n
1
+ p //
Der
v
n
_ (
1
x
~ u , w ) p ( u | w ) ^ ( w ) d u dw}. ( 4 7 . 5 )
1
V o r t e i l d i e s e s M o d e l l s gegenüber dem M o d e l l ohne P r o g n o s e
darin,
daß s i c h j e t z t
vermöge w^ d i e V e r t e i l u n g
liegt
d e r N a c h f r a g e mehr um
i h r e n k u r z f r i s t i g e n E r w a r t u n g s w e r t k o n z e n t r i e r e n läßt ( f a l l s d i e P r o gnose g u t i s t ! ) .
D i e s e r Gewinn g e h t a b e r t e i l w e i s e w i e d e r
verloren,
da
207
bezüglich w neue U n s i c h e r h e i t i n s M o d e l l g e t r a g e n w i r d . Das drückt
im D o p p e l i n t e g r a l
sich
i n ( 4 7 . 5 ) a u s . D i e äußere I n t e g r a t i o n glättet d i e Ko-
s t e n u n t e r s c h i e d e z w i s c h e n günstigen und ungünstigen Zuständen. D i e K o stenkurve v wird
flacher.
R e d u k t i o n d e s Zustandsräumes
Unter den zwei
Voraussetzungen
VI)
p ( u | W j ) = <p(u - W j ) = <p(fc) m i t k o n s t a n t e r V a r i a n z ,
V2)
w unabhängig v o n u und w^
läßt s i c h d a s D y n a m i s c h e Programm i n n u r e i n e r
einzigen
Zustandsvariablen formulieren.
W i r s c h r e i b e n d a s P r i n z i p d e r Optimalität n e u , indem w i r d i e V a r i a b l e
e := u - Wj
(= P r o g n o s e f e h l e r )
verwenden.
v ( y , w ) = M i n {k<5[x - w
x>y
n
1
1
x-w^
h /
(x - w
+ p // v
x
- (y - w ^ ]
+ a[x - w
x
- e)<p(e)d£ + g /
[e x-w^
j[x - w
1
- (y -
(x -
w^]
w^MeOde
- £,w]<p(e)#(w)de dw} .
(47.6)
W i r g e h e n z u d e n n e u e n Zustandsgrößen
r
:= y -
l
•= x - Wj ;
W
l
;
(47.7)
über, r u n d f s i n d Nettobestände, d.h. Bestände, b e r e i n i g t um d e n
S c h a t z w e r t w^ d e r N a c h f r a g e u.
r:
Nettoanfangsbestand v o r der Bestellung
f N e t t o a n f a n g s b e s t a n d n a c h d e r B e s t e l l u n g , d.h.
f =r +z .
(47.8)
208
Mit
d i e s e n n e u e n Zustandsgrößen w i r d a u s ( 4 7 . 6 )
Min
y - w
{k5(f - r ) + a ( f - r )
1
+ h / ( f - e)<p(e)de + g / (e - £ M e ) d ( e )
+
P //
v
n
_iCf
(47.9)
" £.v>(£)*(w)de dw} .
£ - e - w
D i e r e c h t e S e i t e hängt n i c h t mehr v o n w^ a b . D e s h a l b k a n n man a u f d i e
z w e i t e Z u s t a n d s v a r i a b l e w^ v e r z i c h t e n u n d d a s P r i n z i p d e r Optimalität
i n der e i n z i g e n Zustandsvariablen "Nettobestand"
v
(r) = Min {kö(f - r) + a(f - r )
£
+ h / ( f - e)<p(e)de +
-00
+ p // v
Wie
formulieren
g
/ (
f
fc
- f Me)d(e)
j ( f - e - w)<p(e)#(w)de dw} .
(47.10)
r e a l i s t i s c h s i n d d i e b e i d e n V o r a u s s e t z u n g e n V I u n d V2?
D i e N o r m a l v e r t e i l u n g erfüllt V I , denn e s i s t
1
n(u|w )
e
x
2TT
,
,2
ö (u - w )
= n ( u - w^) .
O
2
Eine konstante
Varianz a
wird i n VI e b e n f a l l s v e r l a n g t . Dies w i r d i n
u
d e r R e g e l a k z e p t i e r t b e i Gütern m i t s e h r g e r i n g e m M a r k t w a c h s t u m . B e i
2
großem M a r k t w a c h s t u m würde s i c h a u c h
vergrößern.
Außerdem dürfen d i e P r o g n o s e n w u n d w^ n i c h t a u t o k o r r e l i e r t
sein.
209
A l s d r i t t e s d a r f d i e Nachfrage u n i c h t d i e Prognose b e e i n f l u s s e n .
Damit
s i n d Güter a u s g e s c h l o s s e n , d e r e n O u t p u t s t e l l v e r t r e t e n d für e i n e
Schlüsselindustrie
ist.
I s t w z.B. d i e Änderung d e s B r u t t o s o z i a l p r o d u k t s , so i s t d e r o b i g e
A n s a t z g e e i g n e t für Güter, d i e dem A k z e l e r a t i o n s p r i n z i p u n t e r l i e g e n ,
z.B.
Investitionsgüter u n d E r s a t z t e i l e .
Exogene
Prognose m i t S e l b s t a n p a s s u n g
Für manche Güter, w e l c h e d i e o b i g e n B e d i n g u n g e n n i c h t erfüllen, w i r d
d i e P r o g n o s e w v o n d e r a l t e n P r o g n o s e w^ und v o n d e r a u g e n b l i c k l i c h e n
N a c h f r a g e u abhängen, w b e s i t z t dann e i n e b e d i n g t e D i c h t e
#(w|w^,u)dw .
M i t i h r läßt s i c h d a s P r i n z i p d e r O p t i m a l i t a t i n d e r Form s c h r e i b e n
v
n^
y
r
W
i'
=
M
i
n
{
k
6
( ~ y)
x
+
a
(
x
~ y)
+
x>y
00
x
+ h / (x - u)p(u|w ) + g / (u - x)p(u|w ) +
-co
X
1
+ p //
v
n
_ i (
x
~ u,w)p(u,Wj)#(w|wj,u)du
1
dw} .
Auf d i e s e Weise i s t e i n A d a p t i o n s m e c h a n i s m u s i n s Dynamische
aufgenommen.
(47.11)
Programm
Kapitel VI:
N U M E R I S C H E
V E R F A H R E N
I n d e n v o r a n g e g a n g e n e n K a p i t e l n wurden z a h l r e i c h e G r u n d m o d e l l e
der
Lagerhaltung - insbesondere der s t o c h a s t i s c h e n Lagerhaltung - vorgestellt.
I n d e r P r a x i s müssen d i e s e M o d e l l e m e i s t d e n s p e z i e l l e n
Bedürfnissen e n t s p r e c h e n d m o d i f i z i e r t werden. D a d u r c h können s i e s i c h
so verändern, daß d i e v o r g e s c h l a g e n e n Lösungsmethoden
ungeeignet
werden, z.B. b e i k o m p l i z i e r t e n R a b a t t s t a f f e i n und T r a n s p o r t k o s t e n . E s
werden d e s h a l b i n diesem K a p i t e l numerische
Verfahren v o r g e s t e l l t , mit
d e r e n H i l f e man m i t Ausnahme d e s l e t z t e n V e r f a h r e n s (FEDERGRUEN &
ZIPKIN
§48
(1984)) sehr a l l g e m e i n e Modelle berechnen
kann.
WERTITERATION
A l l e L a g e r h a l t u n g s m o d e l l e , d i e s i c h m i t H i l f e d e s BELLMANschen P r i n z i p s
d e r Optimalität f o r m u l i e r e n l a s s e n , können m i t d e r Methode d e r W e r t i t e r a t i o n d e r D y n a m i s c h e n O p t i m i e r u n g gelöst werden. S i e i s t d i e r e k u r s i v e Auswertung d e r F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n d e r Dynamischen Optimierung.
A l l g e m e i n e s Schema d e r W e r t i t e r a t i o n
1. S c h r i t t :
Starte mit V
Q
= 0 o d e r einem dem P r o b e l m
a n d e r e n V e k t o r , n = 1 und e i n e r
2. S c h r i t t :
Berechne
3. S e h r i 1 1 :
A b b r u c h k r i t e r i u m erfüllt?
4. S c h r i t t :
angemessenen
Abbruchschranke.
v n a u s dem P r i n z i p d e r Optimalität.
nein:
s e t z e n := n+1 und gehe n a c h 2;
ja'-
gehe n a c h 4.
Stop.
A b b r u c h k r i t e r i e n können s e i n
a) b e i e n d l i c h e m P l a n u n g s h o r i z o n t das E r r e i c h e n d i e s e s H o r i z o n t s
b) b e i u n e n d l i c h e m P l a n u n g s h o r i z o n t :
211
- e i n e maximale
Iterationszahl
- d i e U n t e r s c h r e i t u n g e i n e s a b s o l u t e n Mindestzuwachses
II v - - v
|| < a ,
" n+1
n "
abs
- d i e U n t e r s c h r e i t u n g e i n e s r e l a t i v e n MindestZuwachses
II V
V
7
i " n
II "V
i II < V
i
- d i e U n t e r s c h r e i t u n g e i n e r Mindeständerung d e s Zuwachses
(speziell
im u n d i s k o n t i e r t e n F a l l )
I iiII v + i- - v
i
n
Unendlicher
II -ii II v
ii
n
n
- _v j M, iII | < r .
n
Planungshorizont
Für d i e f o l g e n d e n Überlegungen i n n e r h a l b d i e s e s P a r a g r a p h e n w i r d e i n
unendlicher Planungshorizont vorausgesetzt.
Lagerhaltungsmodelle
m i t i d e n t i s c h e r N a c h f r a g e v e r t e i l u n g i n den
e i n z e l n e n P e r i o d e n l a s s e n s i c h a l s homogene MARKOVsche
prozesse
Fall
Entscheidungs-
f o r m u l i e r e n . Für n u m e r i s c h e Zwecke müssen w i r d e n d i s k r e t e n
voraussetzen.
Seien
i:
Zustand,
i = 1.2.....N
d:
Entscheidung,
<5:
Bestellregel
d,. i s t d i e E n t s c h e i d u n g
Ö = (d^,...,d^)
(5
im Z u s t a n d i
i s t j e t z t n i c h t mehr d a s
Kroneckersymbol!)
pf .
a^"-
:
Übe r g a n g s wahr sehe i n l i c h k e i t v o n i n a c h j b e i E n t s c h e i d u n g
Erwartungswert
d e r E i n p e r i o d e n k o s t e n , a u s g e h e n d vom Z u s t a n d i
bei Entscheidung
Wir
d^
d. .
s e t z e n d i e K o s t e n a l s n e g a t i v e Größen a n und e r h a l t e n d a m i t e i n
Maximierungsproblem
(48.1)
n=
bzw.
1,2,3,...,
V
q
g e g e b e n , p < 1,
i nvektorieller
Schreibweise
212
v
= max ( a , + pP.v A
_
5
Ö n-l
1
n
r
J
v
(48.2)
J
o
mi t
'11
*N
Bei einer
Nl
'12
IN
N2
NN
( s , S ) - B e s t e l l r e g e l i s t P~ v o n f o l g e n d e r G e s t a l t
s,S
t
Der K a s t e n
1
bedeutet d i e V e r t e i l u n g
(p(l),p(2),...,p(u^^))
Matrix sind mit Null
t
der Nachfrage
u. A l l e a n d e r e n P o s i t i o n e n d e r
besetzt.
Z u r V e r e i n f a c h u n g führen w i r f o l g e n d e abkürzende S c h r e i b w e i s e n e i n
a) f a l l s d i e Entscheidung
im j e w e i l i g e n Z u s t a n d
f e s t i s t und n i c h t
ma-
213
x i m i e r t w i r d , dann t r i t t a n s t e l l e der W e r t f u n k t i o n v d i e F u n k t i o n w
w
d
n
v
(i) = a
l
+ p
J
y pl.wj n - 1- ( j ) ,
d
L
K
J
i
und
w i r kürzen d i e s e G l e i c h u n g w i e f o l g t ab
w ( i ) = 1(d,i,w
-)
n
n - l
v
J
v
y
bzw. i n v e k t o r i e l l e r
w
= L(<5,w
-)
Schreibweise
;
b) b e i m M a x i m i e r u n g s s c h r i t t s c h r e i b e n w i r a n s t e l l e von
jetzt
v ( i ) = max 1 ( d , i , v _)
n
,
n - l
a
v
bzw.
}
v
y
;
vektoriell:
v
n
= max L(<5,v
v
r
o
-)
x\-\
}
;
w o r a u s u n t e r Verwendung v o n
U '• = max L
5
die
Kurzform
v
n
= Uv
n-1
entsteht.
M i t d i e s e r S c h r e i b w e i s e w i r d d a s a l l g e m e i n e Schema d e r W e r t i t e r a t i o n im
diskontierten Fall,
d.h. für p < 1 und b e i u n e n d l i c h e m
zu folgendem Algorithmus:
Planungshorizont
214
W e r t I t e r a t i o n im d i s k o n t i e r t e n F a l l , u n e n d l i c h e r
(= 0 ) , a , > 0.
abs
1. S c h r i t t :
Starte mit v
2. S c h r i t t :
B e r e c h n e Uv
3. S c h r i t t :
|| Uv - v|| > a ^
ja:
o
Planungshorizont
(Maximierungsschritt).
?
s e t z e v := Uv u n d gehe n a c h 2;
n e i n : gehe n a c h 4.
4. S c h r i t t :
Als
Stop.
Norm w i r d d i e Supremumnorm ||v|| = max ( v ( i ) }
i
verwendet.
Für d i e K o n v e r g e n z d e r o b i g e n W e r t i t e r a t i o n i s t h i n r e i c h e n d , wenn d i e
I t e r a t i o n s m a t r i x pP e i n e n betragsgrößten E i g e n w e r t
Betrag nach k l e i n e r
Lemma 46.1:
I
d e r dem
i s t a l s eins.
D i e M a t r i x pP b e s i t z t
|x|
besitzt,
e i n e n betragsgroßten
Eigenwert
= p.
'max
Beweis:
Es
T
i s t ( 1 . . . . . 1 ) =: e
|x|
E i g e n v e k t o r v o n P zum E i g e n w e r t
< max > |p. .| = 1
i
J
1. Wegen
(Eigenwertabschatzung)
1 J
i s t X = 1 betragsgrößter E i g e n w e r t
Eigenwert
Bei
v o n pP.
v o n P. D a m i t i s t p betragsgrößter
q.e.d.
d i s k o n t i e r t e n Optimierungsproblemen i s t d i e Konvergenz d e r
W e r t i t e r a t i o n demnach g e s i c h e r t .
Außerdem g i l t d a s
N
Lemma 4 6 . 2 :
Für p < 1 i s t L k o n t r a h i e r e n d , d.h. für a l l e u , v € IR u n d
für a l l e Ö g i l t
II L(ö,u) - L(ö,v) II < p|| U - v II ,
0 < p < 1 .
215
Beweis:
|| L(ö.u) - L(ö.v) || = II a
g
+ pP^u - a
g
- pP^v ||
= II p P ( u - v ) || < P || P
6
= p|| u - v II .
ö
|| || u - v||
q.e.d.
A l s Nächstes w i r d g e z e i g t , daß s i c h d i e K o n t r a k t i o n s e i g e n s c h a f t v o n L
a u f U überträgt.
N
Lemma 4 6 . 3 :
Für p < 1 i s t U k o n t r a h i e r e n d , d.h. für a l l e u,v € R
II Uu - Uv II < p||u - v||,
gilt
0 < p < 1.
Beweis:
Sei
i e i n e b e l i e b i g e Komponente d e s V e k t o r s v ( d . h . w i r g r e i f e n e i n e n
N
b e l i e b i g e n Z u s t a n d h e r a u s ) . E s g e l t e für u,v, € ER : (Uu).. = (Uv).. + k.
Sei
in
o.B.d.A. k > 0 u n d s e i d d i e m a x i m i e r e n d e E n t s c h e i d u n g
bezüglich u
i , d.h.
( U u ) . = l ( d . i . u ) > ( U v ) . = ( U u ) . - k.
Nach D e f i n i t i o n v o n U i s t ( U v ) ^ > l ( d , i , v ) . A l s o g i l t
woraus
insgesamt
(Uu)
= l ( d . i . u ) > (Uv)
> l(d.i.v) ,
(Uu)
- (Uv). < l ( d . i . u ) - l ( d . i . v )
folgt
< p|| u - v II .
da L k o n t r a h i e r e n d
i s t . Dies g i l t
für a l l e
i , also i s t
II Uu - Uv II < p|| u - v II .
q.e.d.
Damit s i n d d i e V o r a u s s e t z u n g e n d e s BANACHschen F i x p u n k t s a t z e s erfüllt.
Aus ihm f o l g t , daß e s z u j e d e r E n t s c h e i d u n g s r e g e l
Ö einen Fixpunkt
w^
g i b t . D i e s e r erfüllt d i e F i x p u n k t g l e i c h u n g
w
ß
= L(ß.w ) .
ß
(48.3)
216
Ebenso g i b t es genau e i n e n F i x p u n k t v
*
v
a l s Lösung d e r
Fixpunktgleichung
TT *
= Uv
(48.4)
D i e W e r t i t e r a t i o n i s t e i n e v o n m e h r e r e n Möglichkeiten, v
z u bestimmen.
Welche Mögichkeit man v e r w e n d e t , hängt hauptsächlich vom R e c h e n a u f w a n d
ab.
U n t e r s u c h e n w i r d a s K o n v e r g e n z v e r h a l t e n d e r W e r t i t e r a t i o n . H a t man b e r e i t s n I t e r a t i o n e n durchgeführt, so v e r k l e i n e r t s i c h d u r c h zusätzlich
R I t e r a t i o n e n d i e Norm d e s Residuums um d e n F a k t o r
v*|| < P | v
R
n+R
Wieviele
n
p , denn es i s t
(48.5)
- v
I t e r a t i o n e n R s i n d e r f o r d e r l i c h , um d i e a u g e n b l i c k l i c h e
nnau
a u iiggkkeei t
d e r Näherung v ^ um e i n e D e z i m a l s t e l l e
Ge-
z u v e r b e s s e r n ? Dazu muß
gelten
V r
Mit
"
i _
10
v
( 4 8 . 5 ) erhält man
R
p
=
R =
1
Tö
-1
log p
R i s t e i n e K o n s t a n t e . Man s a g t ,
das V e r f a h r e n k o n v e r g i e r t
linear.
Vom
numerischen Standpunkt aus gesehen s i n d d e r a r t i g e V e r f a h r e n aufwendig.
Das
eins
trifft
liegt.
h i e r i n s b e s o n d e r e dann z u , wenn d e r D i s k o n t f a k t o r
B e i einem J a h r e s z i n s
Periode
v o n 10% i s t z.B.
P
R
Jahr
0 91
24
Monat
0 99
277
Woche
0 998
1198
p nahe b e i
217
Konvergenzbeschleunigung
im d i s k o n t i e r t e n F a l l , u n e n d l i c h e r
Planungshorizont
Zur B e s c h l e u n i g u n g d e r Konvergenz
b i e t e n s i c h v e r s c h i e d e n e Möglich-
keiten.
1) E i n z e l s c h r i t t - I t e r a t i o n .
Angenommen, w i r b e r e c h n e n
v
n
+
j(^)-
B e i d e r dazu notwendigen
b i l d u n g können w i r für k < i a n s t e l l e d e r
" b e s s e r e n " Werte v
v
n
Summen-
( k ) gleich die
, ( k ) v e r w e n d e n . D i e s führt z u r s o g . E i n z e l n+l
schritt-Iteration.
v
J
D i e Rekursionsforme1
lautet
2) E i n e w e i t e r e V e r b e s s e r u n g b r i n g t d i e f o l g e n d e V a r i a n t e :
B e i der Maximierung
bezüglich d w i r d d i e r e c h t e S e i t e
nacheinander
für v e r s c h i e d e n e d a u s g e w e r t e t . Führt d a b e i e i n e A u s w e r t u n g
V e r b e s s e r u n g , so v e r w e n d e t
man b e i d e r nächsten A u s w e r t u n g
von v ( i ) g l e i c h d i e Verbesserung w ^ ( i ) .
3) D u r c h d i v i d i e r t e Form.
H e r l e i t u n g : W i r i t e r i e r e n n u r i n d e r i - t e n Komponente:
zu einer
anstelle
218
:
4
=
+
l
p
4j n( )
W
J
+
P
P
W
i i n , l
(
i
)
k-1
: =
V k ^
[
a
i
+
1 ij
P
P
W
n
(
j
)
1 4i
{p
]
)T
+
(
p
P
H
)
k
w
(
n
i
)
Wegen pp*?. < 1 i s t
11
y
lim w . ( l ) =
-T— [ a . + p
p. .w ( j j l .
, _ n,k
d
l
^ Z, * i j n '
knoo
1 - pp..
.I .
™ii
j+i
v
Dies
J
L
V J
führt z u r I t e r a t i o n s v o r s c h r i f t
wobei d i e M a t r i x P
o
c
i n eine untere Dreiecksmatrix P
D r e i e c k s m a t r i x P^ ^ u n d e i n e D i a g o n a l m a t r i x
P
I
J
ö
= P
ö,L
+ P
ö\D
r
+ P
<5,U
, eine obere
o, L
x
T
P^ ^ z e r l e g t ii s t
'
i s tdie Einheitsmatrix.
Die
I t e r a t i o n ( 4 8 . 6 ) k o n v e r g i e r t e b e n f a l l s zum F i x p u n k t w^, w i e man
s i c h d u r c h E i n s e t z e n l e i c h t überzeugt. S o m i t k o n v e r g i e r t a u c h d i e
W e r t i t e r a t i o n i n d u r c h d i v i d i e r t e r Form
v (l)
n
= max
d
[af
+
U - P
P i i
g e g e n d i e Lösung v
p
}
j + i
j)]l
(48.7)
J
des Optimierungsproblems. D i e W e r t i t e r a t i o n i n
d u r c h d i v i d i e r t e r Form k a n n a u c h i n d e n o b i g e n V a r i a n t e n 1) und 2 )
durchgeführt werden, was z u e i n e r zusätzlichen K o n v e r g e n z b e schleunigung
führt.
219
Wert i t e r a t i o n im u n d i s k o n t i e r t e n F a l l , u n e n d l i c h e r
Bei
W
Q
fester P o l i t i k
Ö e r z e u g t d i e I t e r a t i o n w^ = L ( ö , w _ ^ ) ,
n
= 0, e i n e n i c h t k o n v e r g i e r e n d e
w
Die
Planungshorizont
n
= a
Folge
+ P a
ö
ö Ö
c
startend mit
r
r
^n— 1
+ . . . + P.. a ~ .
Ö
Ö
Zuwächse A = w - w - s t r e b e n j e d o c h gegen e i n e n
n
n
n-1
konstanten
V e k t o r . E s i s t nämlich
1
48
An = VTo**
o
und
8
( -)
es e x i s t i e r t b e i s t o c h a s t i s c h e n M a t r i z e n d e r G r e n z w e r t 17 ^ für j e d e s
lim
P* = IT- ,
o
o
so daß a u c h d i e Zuwächse A e i n e n L i m e s b e s i t z e n
n
lim A
n-^o
n
= l i m P^ a. .
n^>
1
6
s
.
(48.9)
6
= A
A i s t d e r stationäre P e r i o d e n e r t r a g , a u c h DURCHSCHNITTSERTRAG g e n a n n t .
Die numerische Aufgabe b e s t e h t d a r i n , d i e j e n i g e E n t s c h e i d u n g s r e g e l Ö
z u f i n d e n , d i e d e n höchsten D u r c h s c h n i t t s e r t r a g A
alle
Ö,
komponentenweise)
A
= max A
ö
Dies
c
8
leistet die
W e r t i t e r a t i o n im u n d i s k o n t i e r t e n F a l l
1. S c h r i t t :
Starte mit v
2. S c h r i t t :
B e r e c h n e v := Uv ;
o
o
= 0, r > 0.
b e r e c h n e A , := v - v .
al t
o
l i e f e r t (A
> A^ für
220
3. S c h r i t t :
B e r e c h n e Uv;
berechne A
4. S c h r i t t :
Uv - v.
neu
II"
Ist
ja:
setze A
alt
v
und
A
II
neu"
:= A
1
| > r ?
neu
: = Uv
gehe n a c h s;
n e i n : gehe n a c h 5.
5. S c h r i t t :
Stop.
Grundsätzlich e r r e i c h t man b e i u n e n d l i c h e m P l a n u n g s h o r i z o n t
W e r t i t e r a t i o n n i e d e n o p t i m a l e n Wert v
mit der
s o n d e r n n u r e i n e Näherung.
Deswegen k a n n man a u c h n i e s i c h e r s e i n , d i e o p t i m a l e P o l i t i k Ö
gefun-
den z u haben. V i e l l e i c h t wäre man b e i e i n e r n o c h b e s s e r e n Näherung a u c h
auf e i n e noch bessere
Es g i b t
P o l i t i k gestoßen.
j e d o c h Möglichkeiten, s u b o p t i m a l e
EntscheidungsregeIn
teilweise
v o n v o r n e h e r e i n und t e i l w e i s e während d e r I t e r a t i o n z u e r k e n n e n u n d
a u s z u s o n d e r n ( v g l . McQUEEN ( 1 9 6 7 ) , BARTMANN ( 1 9 7 6 ) ) . B l e i b t dann n u r
n o c h e i n e e i n z i g e P o l i t i k übrig, dann k a n n man s i c h e r s e i n , daß d i e s
auch d i e optimale i s t .
§49 ENTSQIEIDUNGSITERATION
K e h r e n w i r zurück zum d i s k o n t i e r t e n F a l l
p < 1 b e i unendlichem
P l a n u n g s h o r i z o n t . Das V e r f a h r e n d e r E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n läuft n a c h
f o l g e n d e m Schema a b :
Wähle e i n e E n t s c h e i d u n g s r e g e l <5^;
b e r e c h n e w_ ;
6
1
suche e i n e E n t s c h e i d u n g s r e g e l
Verbesserung
bringt;
berechne h i e r z u w
;
c
6
2
<5 , d i e a u c h im P u n k t
noch e i n e
0
1
221
suche e i n e E n t s c h e i d u n g s r e g e l
Verbesserung
Ö^, ^ i e
a
u
c
n
1™ P u n k t
noch e i n e
2
b r i n g t ; usw.
Es w i r d a u f d i e s e W e i s e e i n e F o l g e v o n F i x p u n k t e n w^
berechnet, d i e
i
monoton wächst. Da e s im d i s k r e t e n F a l l n u r e n d l i c h v i e l e
E n t s c h e i d u n g s r e g e l n g i b t , b r i c h t d i e s e K e t t e m i t dem m a x i m a l e n F i x p u n k t
w
n a c h e n d l i c h v i e l e n S c h r i t t e n ab.
o
m
c
w
< w
c
1
c
< ... < w
= max w
c
c
.
o
m
2
I s t d i e W e r t i t e r a t i o n v o r t e i l h a f t , wenn man a l s S t a r t v e k t o r e i n e g u t e
Näherung für v a n g e b e n k a n n (daß man m i t b e l i e b i g e n S t a r t v e k t o r e n
N
V
€ IR b e g i n n e n k a n n , z e i g t d e r BANACHsche F i x p u n k t s a t z ) , s o e m p f i e h l t
q
s i c h d i e E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n , wenn man a l s S t a r t r e g e l e i n e g u t e Näherung für <5
Entscheidungs-
findet.
E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n im d i s k o n t i e r t e n F a l l
1. S c h r i t t :
S t a r t e m i t ö.
2. S c h r i t t :
B e r e c h n e w^ a l s Lösung des G l e i c h u n g s s y s t e m s
3. S c h r i t t :
T e s t a u f O p t i m a l i t a t v o n Ö '•
w^ =
L(6,w^).
a: B e r e c h n e Uw^. D i e m a x i m i e r e n d e E n t s c h e i d u n g s r e g e l s e i
6' .
b:
4. S c h r i t t :
Das
I s t ö + ö' ?
ja:
s e t z e ö := Ö' und gehe n a c h 2;
nnee i n :
setze Ö
:= ö; v
:= w^, und gehe n a c h 4.
Stop.
Abbruchkriterium
l i e f e r t d i e optimale Entscheidungsregel
Ö .
(Bei
der W e r t i t e r a t i o n i s t d i e s n i c h t g a r a n t i e r t ! ) Es b l e i b t jedoch noch z u
b e w e i s e n , daß a u f d i e s e W e i s e tatsächlich d e r o p t i m a l e Wert v
D y n a m i s c h e n Programms g e f u n d e n w i r d .
des
222
Lemma 49.1:
Unter den o p t i m a l e n S t r a t e g i e n e i n e s Markovschen E n t s c h e i d u n g s p r o b l e m s vom o b i g e n T y p b e i e i n e r e n d l i c h e n Menge v o n
Entscheidungen
seheidungsregel
b e f i n d e t s i c h a u c h e i n e stationäre E n t Ö .
Beweis:
E i n e o p t i m a l e S t r a t e g i e d e s o b i g e n P r o b l e m s i s t e i n e (wegen d e s u n e n d l i c h e n P l a n u n g s h o r i z o n t s ) u n e n d l i c h e S e q u e n z ... ^ ^
Entscheidungsregeln
^ •••
v
o
n
(für j e d e P e r i o d e genau e i n e ) . E n t w e d e r e i n e
... öö
stationäre S t r a t e g i e
... i s t b e r e i t s o p t i m a l , o d e r es e x i s t i e r t
wegen d e r M o n o t o n i e v o n L e i n e stationäre V e r b e s s e r u n g
...
5 ö ö ö
ö
...
Da d i e Menge d e r E n t s c h e i d u n g s r e g e l n e n d l i c h i s t , e x i s t i e r t
stationäre S t r a t e g i e , z u w e l c h e r
eine
es k e i n e stationäre V e r b e s s e r u n g
gibt.
q.e.d.
Nichtdiskontierter
Fall
H i e r w i r d d i e E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n i . a . etwas s c h w i e r i g e r . W i r b e schränken u n s d e s h a l b a u f d e n s o g . vollständig e r g o d i s c h e n F a l l . E r
besagt,
daß d i e Z u s t a n d s w a h r s e h e i n l i c h k e i t e n
^n 6 ^ * )
:
W a h r s c h e i n l i c h k e i t , daß s i c h d a s S y s t e m n a c h n P e r i o d e n im
Zustand
0 0
für n -»
Sei
i b e f i n d e t b e i Verwendung v o n P o l i t i k Ö
unabhängig vom An f a n g s z u s t and
TT
= (TT ( 1 ) , TT (2),...,TT ( N ) )
n,6
n
'
n
n
Ö
C
v
K
K
v
J
JJ
e
sind.
d i e V e r t e i l u n g der Zustands-
Wahrscheinlichkeiten des Systems nach n P e r i o d e n , s t a r t e n d m i t d e r
A n f a n g s v e r t e i l u n g TT ^. E s i s t
q
TT ^ = TT y i .
n,Ö
o,Ö Ö
(49.1)
v
223
Im vollständig e r g o d i s e h e n F a l l
TT
c
i s t der Grenzwert
= lim
TT
~
l i m TT
nnoo
unabhängig v o n ir . Da l i m P
o.o
n-*°
r
TT
c
^
(49.2)
= I7 , w i r d a u s ( 4 9 . 2 )
C
J L . = TT- .
(49.3)
Da d i e s e B e z i e h u n g a u c h für d i e u n e i g e n t l i c h e n
(1,0,... ,0), (0,1,0,...,0),...,(0,
Anfangsverteilungen
0,1) g e l t e n muß, f o l g t
daß d i e M a t r i x 17- i d e n t i s c h e Z e i l e n b e s i t z t .
ö
daraus,
Dann w i r d a b e r d e r
D u r c h s c h n i t t s e r t r a g A z u e i n e m V e k t o r m i t l a u t e r i d e n t i s c h e n Komponenten
(48.9)
A- = U.a. = ä~e ,
O
0 0
(49.4)
o
T
e
= ( 1 , . . . , 1 ) . Der D u r c h s c h n i t t s e r t r a g
fangszustand
a^:
i s t dann unabhängig vom A n -
e i n e s k a l a r e Größe a ^ .
Durchschnittsertrag
(stationärer P e r i o d e n e r t r a g )
t i e r t e n vollständig e r g o d i s c h e n
Der
Gesamtertrag
n
( i ) genügt a s y m p t o t i s c h
v
nichtdiskon-
Markovschen EntScheidungsprozesses.
Im F o l g e n d e n unterdrücken w i r den S u b s k r i p t
v
eines
( i ) = na + V ( i ) ,
6.
der l i n e a r e n Beziehung
n s e h r groß.
(49.5)
Nun v e r g l e i c h e n w i r d i e D i f f e r e n z V^ z w i s c h e n e r w a r t e t e m G e s a m t e r t r a g
nach n Perioden
und dem n - m a l i g e n D u r c h s c h n i t t s e r t r a g n a . Der
Ertrag i n einer Periode,
Perioden
ist
erwartete
s t a r t e n d im Z u s t a n d i i s t a ^ , d e r j e n i g e
inn
224
a. + ) p. .a. + .
a ..
J
J
D i e D i f f e r e n z s c h r e i b e n w i r i n d e r Form
y p. .a.
/ ( i ) = a. +
+ ... + \ p (
j
=
a
a
=
i
i
+
+
P
^ a . - (n - l ) a - a
J
Y P i A
k
Y
n
V
ik n-l
Y
+
p
k j
a
j
+
•• •
+
Y
p
k j "
2
)
a
j
}
"
(
n
"
1
)
1
j
(
k
)
" ( n - l)ä - ä
k
=
a
i
+
I
P
i k ^ V l
(
k
)
- ( n - l)ä] - ä
k
= Vi( )
woraus s i c h schließlich d i e f o l g e n d e R e k u r s i o n
f o r m u l i e r e n läßt:
(49.6)
V ( i ) + a = a . + ) p..V . ( j )
n
l
L i j n-l
v
00
Für n -»
}
V J y
w i r d daraus
V(i)
+ a = a. +
Y
(49.7)
p V(j)
D i e so e r h a l t e n e W e r t f u n k t i o n V mißt a l s o d i e t o t a l e A b w e i c h u n g
zwischen
V(i)
Gesamtertrag
und k u m u l i e r t e m
D u r c h s c h n i t t s e r t r a g . D i e Werte
i n ( 4 9 . 7 ) s i n d b i s a u f e i n e n gemeinsamen F a k t o r f e s t g e l e g t . Z u r
N o r m i e r u n g s e t z e n w i r e i n e b e l i e b i g e Komponente N u l l , z.B. V ( N ) = 0.
Dann l a s s e n s i c h d i e r e s t l i c h e n Werte V ( j ) , j 4= *
indem man d a s G l e i c h u n g s s y s t e m
u n c
*
a
berechnen,
( 4 9 . 7 ) löst.
Wie
läßt s i c h d i e b e s t e E n t s c h e i d u n g s r e g e l
finden?
Sie
muß d e n stationären E i n p e r i o d e n z u w a c h s
maximieren. B e i Planungsho-
225
r i z o n t n l a u t e t d i e Forderung
[4
"7
Dafür läßt s i c h a u c h
+
1
p
(
i j V i
j
)
}
schreiben
4 1
p
+
^
ii
[ n ä
+
Vi
( d ) ]
( 4 9
•
-
8 )
J
Das m a x i m i e r e n d e d b l e i b t
d a s s e l b e , wenn man d e n v o n d unabhängigen
Wert n a s u b t r a h i e r t . D i e Testgröße i s t dann
und b e i u n e n d l i c h e m P l a n u n g s h o r i z o n t
| i 1
a
+
p
i j
v
(
j
)
}
E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n b e i p = 1, vollständig e r g o d i s c h e r
unendlicher
(
•
4
Fall,
Planungshorizont
1. S c h r i t t :
S t a r t e m i t E n t s e h e i d u n g r e g e 1 Ö.
2. S c h r i t t :
S e t z e V ( N ) = 0;
b e r e c h n e V und a a l s Lösung d e s G l e i c h u n g s s y s t e m s
V + äe = a
3. S c h r i t t :
c
o
+ P V
o
r
T e s t a u f O p t i m a l i t a t v o n Ö'
a: B e r e c h n e max { a + P V } . D i e m a x i m i e r e n d e E n t s c h e i c
o
o
c
C
o
J
d u n g s r e g e l s e i <5' .
b: I s t ö 4= 6' ?
4. S c h r i t t :
ja:
s e t z e Ö := Ö' und gehe n a c h 2;
nein:
setze Ö
Stop.
:= ö; ä~ := ä~ und gehe n a c h 4.
9
9
)
226
§50
B I S E m O N S M E T H O D E UND DYNAMISCHE OPTIMIERUNG
D i e E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n b e s i t z t den N a c h t e i l , daß s i c h d e r R e c h e n aufwand a p r i o r i n u r s c h l e c h t abschätzen läßt. Der N a c h t e i l d e r W e r t iteration liegt
i n d e r s e h r langsamen K o n v e r g e n z ,
sobald der Diskont-
f a k t o r nahe b e i e i n s l i e g t . E s w i r d d e s h a l b e i n d r i t t e s V e r f a h r e n
angegeben: D i e B i s e k t i o n s m e t h o d e i n V e r b i n d u n g m i t d e r D y n a m i s c h e n
Optimierung
(BARTMANN ( 1 9 7 9 ) ) .
Die Bisektionsmethode
läßt s i c h z u r Bestimmung e i n e r N u l l s t e l l e
einer
r e e l l w e r t i g e n F u n k t i o n anwenden. E i n d i e N u l l s t e l l e e n t h a l t e n d e s
v a l l w i r d d u r c h H a l b i e r u n g fortwährend v e r k l e i n e r t , b i s d e s s e n
unter e i n e vorgegebene Abbruchschranke
v a l l auf e i n Z e h n t e l s e i n e r Weite
Inter-
Weite
g e f a l l e n i s t . Damit das I n t e r -
s c h r u m p f t , b e d a r f es c a . 3.32
H a l b i e r u n g e n . F a l l s es g e l i n g t , d i e B i s e k t i o n s m e t h o d e a u f e i n e n
M a r k o v s c h e n Entscheidungsprozeß m i t u n e n d l i c h e m
P i a u n g s h o r i z o n t und
D i s k o n t f a k t o r p < 1 anzuwenden, w i r d d e r R e c h e n a u f w a n d unabhängig v o n p
und g e r i n g e r a l s b e i d e r W e r t i t e r a t i o n , s o b a l d p > 0.5 i s t .
Nun s t e l l t
Problem
s i c h aber d i e Aufgabe d e r Fixpunktberechnung
N
im IR d a r . E i n e Einschließung
V
läßt s i c h zwar l e i c h t
N
< V
v
< V
finden, jedoch f u n k t i o n i e r t d i e Bisektionsmethode
n i c h t , d a d e r IR n u r h a l b g e o r d n e t
i s t . Das b e d e u t e t , n a c h dem B i s e k -
tionsschri t t
+
•_ v
v
'~
2
+
V
B
^
i s t n i c h t nur v
€ [ v ;Vg] ( S i t u a t i o n 1)
x
oder
als ein
( e x k l u s i v e s oder) v
+
€ [ v ; v ] möglich ( S i t u a t i o n 2 ) ,
R
227
Vg
/
i
Situation
V
1
/
/
1
V*
—
r
~
/
(
S i t u a t i o n 2'
1: v l i e g t im l i n k e n
Tei1 i n t e r v a l 1
v l i e g t im r e c h t e n
Teilintervall
s o n d e r n a u c h S i t u a t i o n 3:
S i t u a t i o n 3: v l i e g t weder g a n z
im l i n k e n n o c h g a n z
im r e c h t e n T e i l i n t e r v a l 1.
Erläuterung z u d e n o b i g e n A b b i l d u n g e n :
Jede waagerechte
L i n i e b e d e u t e t d i e r e e l l e Z a h l e n g e r a d e . J e d e Kompo-
nente v ( i ) von v i s t auf einer
eigenen Zahlengeraden abgetragen. Diese
e i n z e l n e n Werte m i t e i n a n d e r v e r b u n d e n
Darstellung
ergeben d i e g e z a c k t e L i n i e a l s
d e s V e k t o r s v.
Um d i e B i S e k t i o n
d e n n o c h anwenden z u können, muß s i e g e e i g n e t
z i e r t werden. Das g e s a m t e V e r f a h r e n b e s t e h t a u s fünf
modifi-
Teilen.
Teil
1
Berechnung
Teil
2
B i s e k t i o n s s e h r i 11.
Teil
3
Test, welche der d r e i S i t u a t i o n e n
4
F a l l s Situation 3 v o r l i e g t : einige Maximierungsschritte
Teil
v
n
:= Uv
e i n e s g e e i g n e t e n S t a r t i n t e r v a l l e s , das v
enthält.
vorliegt.
^ durchführen, b i s M o n o t o n i e
n-1
erreicht
i s t , d.h.
228
v
> v
oder
n "
n-1
v
< v
n ~ n-1
gilt
Dann w i r d v
der
n
i n t e r v a l 1 t e i l e n d e V e k t o r , denn es
entweder
x
a)
v
ß
n
>v
,=^v
n-1
<v
,
n-1
x>v
4> v
n
+
€ [ v ;v 1
n
L
J
oder
x
b)
J
T e i l 5'-
v
n
x
<v
=>v
n
—
€ [ v ;v 1 .
n
L
J
Abbruchkriterium.
Diese T e i l e
werden g e e i g n e t
f o r m u l i e r e n i h n für
a. . < 0"
v
zu einem A l g o r i t h m u s
zusammengebunden.
d i e S t a n d a r d s i t u a t i o n "Maximierungsproblem,
Wir
alle
.
B i s e k t i o n s v e r f a h r e n und D y n a m i s c h e
1. S c h r i t t :
S t a r t e mit v
2.
Berechne v
Schritt:
o
Optimierung
= 0, a , , a
, > 0.
abs
rel
:= U V . D i e m a x i m i e r e n d e E n t s c h e i d u n g s r e g e l
sei
q
6.
+
x
3. S c h r i t t :
Setze v
:= v ( o b e r e G r e n z e v o n v
4. S c h r i t t :
B e r e c h n e w^
, d a Uv
< v).
2 d u r c h Lösung
z u Ö aus S c h r i t t
des
G1e i c h u n g s s y s tems
w
5. S c h r i t t :
6
= L(ö.w ).
6
Abbruchkriterium:
a ) prüfen, ob 5 b e r e i t s o p t i m a l i s t - ' b e r e c h n e v
f a l l s ö auch h i e r
v
:= v; Ö
b) f a l l s
:=
Maximierer,
Ö und gehe n a c h
I v - Wg||/|| v I <
und gehe n a c h
&
r e
|'
Uw^;
:= v; Ö*
ö
setze
14.
setze v*
14.
6. S c h r i t t :
Setze v
7.
Schritt:
Bisektionsschritt:
v^
8. S c h r i t t :
Abbruchkriterium:
II v
"
ja:
wieder
:=
:= v ( u n t e r e G r e n z e v o n v * ) .
b e r e c h n e Uv,
setze v
:=
+
(v
- v
+
+ v
)/2
II < a ,
?
"
abs
um
5
z u bekommen,
:= Uv;
Ö
:= Ö ( M a x i m i e r e r
von Uv)
und
gehe
229
n a c h 14;
n e i n : gehe n a c h 9.
9. S c h r i t t :
Test, welche S i t u a t i o n
vorliegt:
B e r e c h n e Tv ( e n t s p r i c h t Uv m i t e v t l .
Recheneinsparungen)
a ) f a l l s Tv > v , s e t z e v
= v und gehe n a c h 7;
b ) f a l l s Tv < v , s e t z e v"*
= v und gehe n a c h 7;
c ) f a l l s Tv = v, s e t z e v
= Tv und gehe n a c h 14;
d) a n d e r n f a l l s gehe n a c h 10.
10. S c h r i t t :
Es l i e g t S i t u a t i o n 3 v o r :
B e r e c h n e v := Uv. D e r M a x i m i e r e r
11.
Schritt:
s e i <5.
A b b r u c h k r i t e r ium:
Falls
II v - v||/|| v
< e
rel'
8*
setze v
:= 6
und gehe n a c h 14.
12.
Schritt:
T e s t , ob M o n o t o n i e v o r l i e g t :
a) f a l l s v > v, s e t z e v
b) f a l l s v < v , s e t z e v
+
:= v ;
Ö und gehe n a c h 7;
•*= v ;
Ö und gehe n a c h 7;
c ) a n d e r n f a l l s gehe n a c h 13.
13.
Schritt:
14. S c h r i t t :
S e t z e v := v und gehe n a c h 10.
Stop.
Erläuterung z u r I t e r a t i o n Tv im 9. S c h r i t t : Um a u f d i e d r e i o.a.
S i t u a t i o n e n z u t e s t e n , k a n n man e i n e n v o l l e n M a x i m i e r u n g s s c h r i t t Uv
durchführen und v m i t Uv v e r g l e i c h e n . Um e i n e d e r A u s s a g e n a ) v
b) v
> v; c ) v
> v zu treffen,
< v;
i s t a b e r n i c h t i n jedem F a l l e i n
v o l l e r M a x i m i e r u n g s s c h r i t t n o t w e n d i g . Um z.B. a u f v
genügt e s , wenn man e i n e E n t s c h e i d u n g s r e g e l
> v zu testen,
Ö findet, d i e eine
V e r b e s s e r u n g L(Ö,v) > v b r i n g t ( b e a c h t e : M a x i m i e r u n g s p r o b l e m , d e s h a l b
die
Verwendung v o n ">"), man muß n i c h t n a c h d e r b e s t e n
suchen.
Ebenso genügt e s z u r F e s t s t e l l u n g d e r S i t u a t i o n 3, wenn man n u r z w e i
Komponenten i , j f i n d e t , b e i denen
< (Uv).. und v^. > (Uv)^. i s t . D i e
r e s t l i c h e n Komponenten b r a u c h e n dann n i c h t mehr u n t e r s u c h t z u werden.
Man k a n n d e s h a l b Tv a u f f o l g e n d e W e i s e
definieren.
230
I t e r a t i o n Ty:
E r s t e Komponente:
b e r e c h n e für d i e zulässigen E n t s c h e i d u n g e n im
Z u s t a n d 1 d i e Größe l ( d , l , v ) .
zur Berechnung
S o b a l d für e i n d l ( d , l , v ) > v ( l ) ,
gehe
d e r r e s t l i c h e n Komponenten.
R e s t l i c h e Komponenten:
a ) E s s e i e i n d g e f u n d e n worden,
für w e l c h e s l ( d , l , v ) > v ( l ) .
Man k a n n
dann i n d e n übrigen Komponenten i d i e B e r e c h n u n g a b b r e c h e n ,
sobald
man j e w e i l s e i n d g e f u n d e n h a t , so daß l ( d , i , v ) > v ( i ) .
E x i s t i e r t a b e r i n einem Z u s t a n d j > 1 k e i n e d e r a r t i g e E n t s c h e i d u n g ,
d.h. m a x ^ l ( d , j , v ) < v ( j ) ,
so f o l g t d a r a u s s o f o r t Uv $ v
(nicht
v e r g l e i c h b a r ) u n d man k a n n d e n T e s t a b b r e c h e n .
b) E s s e i k e i n d g e f u n d e n worden,
für w e l c h e s l ( d , l , v ) > v ( l ) .
Führe i n
den r e s t l i c h e n Komponenten d e n v o l l e n M a x i m i e r u n g s s c h r i t t d u r c h .
|
Falls
|
j e d o c h i n e i n e m Z u s t a n d i > 1 e i n d g e f u n d e n w i r d , s o daß
l(d,i,v) > v(i),
dann f o l g t d a r a u s s o f o r t Uv $ v und man k a n n d e n
Test abbrechen.
i
Das o b i g e B i s e k t i o n s v e r f a h r e n i n K o m b i n a t i o n m i t d e r D y n a m i s c h e n
Opti-
j
mierung i s t e i n B a s i s a l g o r i t h m u s , der z a h l r e i c h e V e r f e i n e r u n g e n e r l a u b t . D i e n u m e r i s c h e n E r f a h r u n g e n z e i g e n , daß d i e s e Methode d e r W e r t und d e r E n t s c h e i d u n g s i t e r a t i o n w e i t überlegen
ist.
L i e g t j e d o c h e i n e g a n z s p e z i e l l e P r o b l e m s t e l l u n g v o r , so können V e r fahren, d i e h i e r a u f z u g e s c h n i t t e n s i n d , durchaus e f f e k t i v s e i n . E i n
d e r a r t i g e s V e r f a h r e n w i r d im nächsten P a r a g r a p h e n
vorgestellt.
j
231
§51
BERECHNUNG OPTIMALER ( s , S ) - POLITIKEN NACH FEDEBGRUEN/ZIPKIN
D i e Methode v o n FEDERGRUEN/ZIPKIN (1984) z u r B e r e c h n u n g o p t i m a l e r
(s,S)
- P o l i t i k e n i s t a u f das n i c h t d i s k o n t i e r t e S t a n d a r d
im
BACKORDER - F a l l
P
o
, P
l
, p
P
2' 3'*''
- AHM
- Modell
z u g e s c h n i t t e n . D i e V e r t e i l u n g v o n u l i e g e i n d e r Form
v o r
D
*
e
t
r
a
c
n
t
:
e
n
das M o d e l l m i t b e r e i t s e l i m i n i e r t e n
proportionalen Bestellkosten. Sei
f(y):
E r w a r t u n g s w e r t d e r L a g e r u n g s - und
Fehlmengenkosten e i n e r
Periode b e i Anfangsbestand y
y:
Anfangsbestand (vor e i n e r e v t l .
x:
Anfangsbestand nach der B e s t e l l u n g
x - y-
Ö'
Bestellung)
Bestellmenge
B e s t e i l r e g e 1 vom
ß(y)
(s,S) s+1
Typ
f y,
falls
< y < S ;
[ S,
f a l l s y < s;
=
Ö :
c^:
optimale B e s t e l l r e g e l
Durchschnittskosten bei Bestellregel Ö
c
minimale
:
TT :
y
stationäre Z u s t a n d s w a h r s e h e i n 1 i c h k e i t
Politik
F(x,y):
k:
Durchschnittskosten
ö
Einperiodenkosten
fixe Bestellkosten
des B e s t a n d e s y b e i
232
[ f(y).
f a l l s x = y;
F(x.y) = \
[ k + f ( y ) . f a l l s x > y;
F (y)
= F(ö(y).y) .
s
Das
P r i n z i p d e r Optimalität l a u t e t i n d i e s e r
Schreibweise
CO
v(y) + c* = F (y)
ß
+
J v[ö(y) - u ] p
u
.
(51.1)
u=o
für a l l e y < S. P e r d e f i n i t i o n e m i s t
v(S) = 0
(51.2)
a l s N o r m i e r u n g . W i l l man d i e F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n
( 5 1 . 1 ) lösen, muß
man d e n Z u s t a n d s r a u m a u f e i n e e n d l i c h e Größe b e s c h n e i d e n ,
kleinstes y = y .
J
absorbierende
m\n
J
d.h. e i n
z u l a s s e n , so daß y . < y < S i s t . y .
mm
"
"
mm
J
J
wirkt a l s
B a r r i e r e . E n t s p r e c h e n d i s t ( 5 1 . 1 ) abzuändern. D i e Sum-
mation darf nur soweit
l a u f e n , b i s Ö(y) - u = y .
y
j
J
i s t . Durch diese
min
J
B e s c h n e i d u n g d e s Zustandsräumes w i r d e i n e U n g e n a u i g k e i t
i n s Modell
hineingetragen.
Das
V e r f a h r e n v o n FEDERGRUEN/ZIPKIN v e r m e i d e t
s i e . Es b a s i e r t n i c h t a u f
der r e k u r s i v e n Auswertung der F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n ,
sondern v e r f o l g t
den B e s t a n d s v e r l a u f , nachdem d a s L a g e r a u f S aufgefüllt w u r d e . W i r d e f inieren
t(w):
e r w a r t e t e Z e i t b i s z u r nächsten B e s t e l l u n g , wenn d e r a u g e n b l i c k l i c h e B e s t a n d w E i n h e i t e n über dem B e s t e l l p u n k t s l i e g t ,
w = y - s, w > 0.
u
s
(y)
:
e r w a r t e t e K o s t e n b i s z u r nächsten B e s t e l l u n g , wenn d a s L a g e r
im A u g e n b l i c k
d e n B e s t a n d y a u f w e i s t , y > s.
233
D i e b e i d e n F u n k t i o n e n t und v erfüllen d i e b e i d e n
Gleichungen
w-1
t(w) = 1 +
]} P t ( w - u ) ,
w > 0 ,
(51.3)
y > s.
(51.4)
u=o
y-s-1
v (y)
s
= f(y) +
l
P u ( y - u).
u
s
t i s t unabhängig v o n d e r ( s , S ) - P o l i t i k und v hängt bezüglich 6 n u r v o n
s a b . Das G l e i c h u n g s s y s t e m
t(l) - 1
K
Dasselbe
J
(51.3) b e s i t z t e i n e D r e i e c k s g e s t a l t :
p t(l).
o
'
w-1
t(l)
v
t(2) - 1
=
p t(2) +
t(w) - 1
=
P t(w) + • • •
Q
P
l
Q
t r i f f t a u f das G l e i c h u n g s s y s t e m
+ P _ t(l) .
w
x
(51.4) z u . S t a r t e n d m i t w = 1
k a n n d e s h a l b t , u n d s t a r t e n d m i t y = s +1 k a n n a u c h v
J
berechnet
sehr
schnell
s
werden. D e r w e s e n t l i c h e V o r t e i l d e s V e r f a h r e n s
l i e g t nun
d a r i n , daß man m i t t u n d v d i e W e r t e c ^ und v ^ ( y ) b e r e c h n e n k a n n :
i) ( S ) + k
ö
= t ( S - s)
C
f v (y)
v (y) =
ß
«
+ k - c^t(y - s),
für
5
- )
y > 0
ö
L
5 1
(51.6)
k
,
für
y < s
(51.5) s i n d genau d i e Z y k l u s k o s t e n u ( S ) + k p r o Z y k l u s z e i t . D i e
g
Gültigkeit v o n ( 5 1 . 5 ) , ( 5 1 . 6 ) z e i g t s i c h d a r i n , daß d i e s e Ausdrücke,
e i n g e s e t z t i n ( 5 1 . 1 ) , ( 5 1 . 2 ) , d a s P r i n z i p d e r Optimalität erfüllen. M i t
( 5 1 . 3 ) b i s ( 5 1 . 6 ) läßt s i c h e i n s c h n e l l e s V e r f a h r e n d e r P o l i t i k i t e r a tion konstruieren.
234
1. S e h r i 11:
Initialisierung
Lege S c h r a n k e n s, S, S für d i e Werte s, S f e s t .
s: k l e i n s t e g a n z e Z a h l , für d i e g i l t :
f ( s ) < f ( S ) + k;
S: k l e i n s t e g a n z e Z a h l , d i e f ( y ) m i n i m i e r t ;
S: k l e i n s t e g a n z e Z a h l , für d i e g i l t :
(vgl.
f ( S ) > f ( S ) + k;
§42).
Setze s ,
alt
:= S . := -1 .
alt
Wähle e i n e A n f a n g s p o l i t i k 6 = ( s , S ) und s e t z e s
^
neu
&
v
J
Berechne d i e F u n k t i o n t(w), w = l , 2 . . . , S - s
:= s; S
neu
:= S
aus (51.3).
2. S c h r i t t : B e r e c h n u n g d e r W e r t f u n k t i o n
s
F a l l s s i c h s b e i d e r l e t z t e n I t e r a t i o n geändert h a t ( s , =p
)
alt
neu
B e r e c h n e i> ( y ) , y = s + 1
U aus G l e i c h u n g ( 5 1 . 4 ) .
B e r e c h n e c ^ u n d v ^ ( y ) , y = s,...,S a u s G l e i c h u n g
(51.5),
(51.6)
3. S c h r i t t : P o l i t i k v e r b e s s e r u n g
a) Abspeicherung
*
J
der a l t e n P o l i t i k :
&
b) B e r e c h n e m i n i m i e r e n d e s
v (S') =
s , := s
; S , := S
alt
neu
alt
neu
S'; S < S' < S:
min_ v^(y) .
S<y<S
S
neu
c ) Suche n a c h e i n e m b e s s e r e n s:
cl)
i n aufsteigender Richtung:
falls
s i c h im Z u s t a n d
s+l,s+2,...,s;
s + l d a s B e s t e l l e n l o h n t , d.h. f a l l s
k + v . ( S ' ) < v . ( s + 1) ,
:
235
s u c h e s o l a n g e i n a u f s t e i g e n d e r R i c h t u n g w e i t e r , b i s s i c h zum
erstenmal eine B e s t e l l u n g nicht
der F a l l .
E s muß a l s o g e l t e n
k + v (S')
ö
Setze s
neu
< v (y)
für a l l e y,
ö
: = ri -
Gehe zum S c h r i t t
f(s
1 .
4.
s i c h im Z u s t a n d
- 1) < c
s < y < T? -
1.
c2) i n absteigender Richtung:
falls
l o h n t . S e i d i e s b e i m B e s t a n d r\
s-l,s-2,...,s;
s - l d a s B e s t e l l e n n i c h t l o h n t , d.h.
falls
.
5
s u c h e s o l a n g e i n a b s t e i g e n d e r R i c h t u n g w e i t e r , b i s s i c h zum
e r s t e n m a l e i n e B e s t e l l u n g l o h n t . S e i d i e s beim B e s t a n d f d e r
Fall.
E s muß a l s o g e l t e n
f(y)
< c^
Setze s
neu
für a l l e y,
f + 1 < y < s.
:= F + 1.
*
Gehe zum S c h r i t t 4.
4. S c h r i t t : T e s t a u f A b b r u c h
F a l l s 6 , = ( s ,^,S . ) i 6
alt
alt alt
' neu
v
7
1. F a l l s Ö ,
alt
Politik.
und gehe z u S c h r i t t
die
optimale
5. S c h r i t t :
= (s
,S
), s e t z e 6
neu neu'
neu
v
:= <5
alt
= Ö
, dann gehe n a c h 5. Ö
ist
neu
neu
to
Stop.
Die R e c h e n z e i t e n b e i a l l e n i n diesem K a p i t e l v o r g e s t e l l t e n V e r f a h r e n
(ausgenommen d i e W e r t i t e r a t i o n ) für L a g e r h a 1 t u n g s p r o b l e r n e
Größe l i e g e n a u f s c h n e l l e n P e r s o n a l Computern im
realistischer
Sekundenbereich.
SCHLUßBEMERKUNG
Die Lagerhaitungstheorie
i s t noch keineswegs abgeschlossen.
e i n Buch n i e a u f Vollständigkeit h i n z i e l e n . E s b r i n g t
Auch k a n n
immer n u r e i n e
Auswahl, und d i e s e i s t notwendig s u b j e k t i v . W i r h o f f e n a b e r , d i e
w i c h t i g s t e n und t y p i s c h e n Ansätze vorgeführt z u h a b e n , um d e n L e s e r d a d u r c h z u eigenem Nachdenken a n z u r e g e n .
L I T E R A T U R V E R Z E I C H N I S
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