Abbildung 1 - TU Chemnitz

Abbildung 1: Fourierreihe abgebrochen bei m = 0, 1, 2
Abbildung 2: Fourierreihe abgebrochen bei m = 5
Aufgabe. Entwickeln Sie im Raum H = L2 (−π, π) die Funktion x (t) = sgn (t) in eine
Fourierreihe nach einem selbstgewählten Orthonormalsystem.
Lösung. Wir wählen das Orthonormalsystem (ek )k∈Z mit
1
ek (t) = √ eikt ,
2π
das sogar eine Orthonormalbasis ist. In der Tat gilt für k, ` ∈ Z mit k 6= `:
Z π
Z π
Z π
1
1
ikt ikt
(ek , ek ) =
ek (t) ek (t) dt =
e e dt =
eikt eikt dt
2π
2π
−π
−π
Z π
Z−ππ
1
1
1
eikt e−ikt dt =
1 dt =
=
2π = 1,
2π −π
2π −π
2π
Z π
Z π
Z π
1
1
ikt −i`t
e e
dt =
ei(k−`)t dt
(ek , e` ) =
ek (t) e` (t) dt =
2π
2π
−π
−π
−π
π
1
1
1
=
ei(k−`)t =
ei(k−`)π − e−i(k−`)π
2π i (k − `)
2πi (k − `)
t=−π
−i(k−`)π
e
=
e2i(k−`)π − 1 = 0.
2πi (k − `)
1
Abbildung 3: Fourierreihe abgebrochen bei m = 15
Wir berechnen zunächst die Koeffizienten (x, ek ) der Fourierreihe.
Z π
Z π
1
x (t) ek (t) dt = √
(x, ek ) =
sgn (t) e−ikt dt
2π
−π
−π
Z 0
Z π
1
1
−ikt
e
dt + √
e−ikt dt.
= −√
2π −π
2π 0
Ist nun k = 0, so sind beide Integrale gleich π, also der Koeffizient gleich null, ansonsten
gilt
0
π
1
1 −ikt 1 −ikt 1
(x, ek ) = − √
e e +√
2π −ik
2π −ik
t=−π
t=0
1
1 1
1 1
1
1 − eikπ − √
e−ikπ − 1 = √
2 − eikπ − e−ikπ
=√
2π ik
2π ik
2π ik
(
√ 4 , falls k ungerade,
2πik
=
0,
falls k gerade.
Die Fourierreihe ist damit gerade
X
k∈Z
(x, ek ) ek (t) =
X
k∈Z
k ungerade
∞
X
4
1
2 X
1 ei(2m+1)t
√
√ eikt =
π m∈Z 2m + 1
i
2πik 2π
∞
4
1 ei(2m+1)t − e−i(2m+1)t
4 X sin ((2m + 1) t)
=
=
π m=0 2m + 1
2i
π m=0
2m + 1
Man beachte, dass es sich dabei um eine formale Reihe handelt. Die Konvergenz der
Funktionen gilt dabei im Raum L2 (−π, π). Daraus folgt nicht, dass die Reihe punktweise
konvergiert (was bei dieser speziellen Reihe aber der Fall ist). Hätten wir nach einer
anderen Orthonormalbasis entwickelt, so hätten wir auch eine andere Reihe erhalten
können. Physikalisch bedeutet das Ergebnis übrigens, dass eine Rechteckschwingung
nur Obertöne enthält, deren Frequenzen ungeradzahlige Vielfache der Grundfrequenz
sind.
2

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