Newton-Cotes

3/8-Regel
y
×
×
×
×
×
×
f1 · L1 (t)
×
1
3
2
3
x0
a
t
1
f1 · L1 (x)
×
x1
x2
x3
b
Die Regel hat die Form (4 Stützstellen):
Z b
f (x) dx ≈ (b − a)[ w0 f0 + w1 f1 + w2 f2 + w3 f3 ]
a
Um die Gewichte wi zu ermitteln, approximieren wir f durch eine Summe
von Lagrange-Polynomen.
f (x) ≈ f0 · L0 (x) + f1 · L1 (x) + f2 · L2 (x) + f3 · L3 (x)
mit
L0 =
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )
,
(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 )
L1 ,
L2 ,
L3
Das ergibt:
Z b
Z b
f (x) dx ≈
[f0 · L0 (x) + f1 · L1 (x) + f2 · L2 (x) + f3 · L3 (x) ] dx
a
a
Z 1
= (b − a) [f0 · L0 (t) + f1 · L1 (t) + f2 · L2 (t) + f3 · L3 (t) ] dt
0
wk =
Z
1
Lk (t) dt =
0
L0 =
(Substitution, d. h. Verschiebung, Streckung)
Z
1
0
1
2
3
1
2
3
j=3
Y
3t−j
k−j
dt
es wurde mit 3 erweitert
j=0
j 6= k
(t − 3 )(t − 3 )(t − 3 )
(0 − 3 )(0 − 3 )(0 − 3 )
(3t − 1)(3t − 2)(3t − 3)
=
,
(−1)(−2)(−3)
Z
0
1
L0 (t) dt = . . . = 18
1
3/8-Regel
Zb
f (x) dx ≈ b −8 a [f (a) + 3f (a + b −3 a ) + 3f (a + 2 b −3 a ) + f (b) ]
a
Zb
f (x) dx ≈ b −8 a [f0 + 3f1 + 3f2 + f3 ]
a
w3 =
Z
1
L3 (t) dt =
0
w2 =
Z
Z
1
dt =
3−j
0
1
L2 (t) dt =
0
Z
j=3
Y
3t−j
j=0
j 6= 3
1
j=3
Y
3t−j
dt =
2−j
0
j=0
j 6= 2
Z
Z
1
0
1
0
3t·(3t−1)·(3t−2)
dt
3·2·1
= 18
3t·(3t−1)·(3t−3)
dt
2·1·(−1)
= 38
allgemein für Polynome vom Grad N (N + 1 Stützstellen)
wk =
Z
1
Lk (t) dt =
0
Z
0
1 j=N
Y
N t−j
k−j
dt
j=0
j 6= k
Grad N = 3:
N t
(Nt −
1)(N t − 2)(N t − 3)
− 2)(k − 3)
k
(k
− 1)(k
k = 1,
L1 =
k = 2,
N t(N t − 1)
(Nt −
2)(N t − 3)
L2 =
− 3)
k(k − 1)
(k
−2)(k
Nächste Newton-Cotes-Regel (5 Stützstellen), Milne-Regel
Zb
−a
f (x) dx ≈ b 90
[7f (a) + 32f (a + b −4 a ) + 12f (a + 2 b −4 a ) + 32f (a + 3 b −4 a ) + 7f (b) ]
a
Zb
−a
f (x) dx ≈ b 90
[7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4 ]
a
w1 =
Z
0
1
L1 (t) dt =
Z
0
1
j=4
Y
4t−j
1−j
j=0
j 6= 1
dt =
Z
1
0
2
4t·(4t−2)·(4t−3)·(4t−4)
dt
1·(−1)·(−2)·(−3)
= 32
90
Siehe auch:
Numerische Integration
Lagrange-Interpolation
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