Platten14

14. Metamorphismus und Geothermen
Wir kehren ein letztes Mal zur thermischen Diffusion zurück: Mit zwei Erweiterungen der
Diffusionsgleichung erhalten wir Gleichungen für den Temperaturverlauf in einer ‚realistischen’
Kruste, in der tektonische Prozesse ablaufen und die selbst in Form von Radioaktivität Energie
produziert.
Die Diffusionsgleichung (3.13)
T
  divgradT   2T
t
(13.3, 14.1)
beschreibt den zeitlichen Verlauf der Temperatur unter der Annahme, dass sich das Volumen wegen
einer äusseren Quelle aufheizt oder abkühlt. Wenn sich zusätzlich in dem betrachteten Volumen eine
Energiequelle befindet, wird die Diffusionsgleichung durch
T
k
A

2 T 
t
 cp
 cp
(14.2)
ersetzt. Hierin ist A die pro Zeiteinheit und Volumen erzeugte Einergiemenge (Beispiel: Granit enthält
etwas Uran, so dass 1km3 Granit eine Leistung von ca 1.5 KW erzeugt). Warum haben wir die
k  m2 
  in 14.2 wieder ausgeschrieben? Wir können
c  s 
die Formel auch so erklären, dass die zeitliche Temperaturänderung jetzt durch die pro Volumen
zuströmende Leistung und durch die im Volumen selbst erzeugte Leistung erklärt wird
Temperaturleitfähigkeit (thermal diffusity)  
cp 
T
 k 2T  A
t
(14.3)
Als letzten für Temperaturänderungen verantwortlichen Prozess führen wir die Advektion ein: Wenn
das Material sich bewegt (zB in vertikaler Richtung, bei einer Intrusion), wird die
Temperaturänderung in diesem Material durch
T
k
A

2 T 
 vgradT
t
 cp
 cp
(14.4)
beschrieben, wenn v die Geschwindigkeit ist. Für den Fall dass sowohl der Wärmestrom als auch die
Geschwindigkeit nur eine z-Komponente haben, wird (14.4) etwas anschaulicher
T
k  2T
A
T


 vz
2
t
 c p z
 cp
z
(14.5)
Eine andere Art der Bewegung ist die Erosion. Hier wird das gesamte Volumen einfach näher an die
Oberfläche gebracht. v ist dann die Geschwindigkeit der Erosion. Die Lösung von (14.4) wird richtig
schwierig, wenn der Grund für das Geschwindigkeitsfeld v Konvektion ist: Dann ist die
Geschwindigkeit selbst temperaturabhängig, und (14.4) wird nichtlinear.
Metamorphismus und Intrusionen
Wenn die Geschwindigkeit bekannt ist, lässt sich (14.5) numerisch lösen. Beispiele: 1. Entstehung
eines Sedimenttrogs im ‚heissen’ Granit, mit Metamorphismus and den Kontaktstellen zwischen
beiden Gesteinen. 2. Intrusion eines Basalts. Wenn v bekannt ist, kann (14.5) numerisch gelöst werden.
Die Gleichgewichtsgeotherme equilibriu m geotherm 
Jetzt haben wir auch die notwendigen Formeln, um den Temperaturverlauf in der Lithosphäre zu
T
bestimmen. Wir gehen vom einem stationären Wärmefluss aus, d.h.
 0 . (14.1) würde jetzt
t
vorhersagen, dass der Temperaturgradient in allen Tiefen der gleiche wie unter der Oberfläche ist (die
2. Ableitung ist Null). Der Temperaturgradient in der Nähe der Oberfläche, 30 °C/km (die
‚geothermische Tiefenstufe’), würde uns dazu verleiten, für die Unterkante der Kruste in Mitteleuropa
(z=33km) die Temperatur 1000°C vorherzusagen. Stattdessen erhalten wir, bei Abwesenheit von
Erosion oder anderen ‚Materialtransporten’ aus (14.2)
A
k
(14.6)
 2T
A

2
k
z
(14.7)
2 T  
oder lieber
Zur Bestimmung des Temperaturverlaufs mit der Tiefe brauchen wir Randbedingungen, z.B.
T  0 bei z  0 und
(i)
Q  Qd bei z  d
(ii)
wenn d die Mächtigkeit der Lithosphäre und  Qd der Wärmestrom vom sublithosphärischen Mantel
in die Lithosphäre ist (negativ, weil er nach oben strömt!). Die Integration von (14.7)
T
A
  z  c1
z
k
(14.8)
enthält eine Integrationskonstante c1 , die wegen T / z  Qd / k bei z  d durch
c1 
Qd A d

k
k
gegeben ist. Damit ergibt die Integration von (14.8)
(14.9)
T 
A 2  Qd  A d 
z 
 z  c2
2k
k


(14.10)
wobei die Integrationskonstante wegen der Randbedingung (i) c2  0 ist. Diese Temperatur nimmt
nach unten (z positiv) weniger schnell zu als bei konstantem Temperaturgradienten.

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