Jürgen Roth Didaktik der Geometrie Modul 5: Fachdidaktische Bereiche Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.1 Inhalt Didaktik der Geometrie 1 Ziele und Inhalte 2 Begriffsbildung 3 Konstruieren 4 Argumentieren und Beweisen 5 Problemlösen 6 Entdeckendes Lernen Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.2 Didaktik der Geometrie Kapitel 5: Problemlösen Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.3 Inhalt Kapitel 5: Problemlösen 5.1 Was ist ein Problem? 5.2 Problemtypen im Geometrieunterricht 5.3 Beispiele für Problemaufgaben 5.4 Beispiel: Problemlösestunde aus Japan Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.4 Kapitel 5: Problemlösen 5.1 Was ist ein Problem? Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.5 Was ist ein Problem? http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_grundlagen/fachdidaktische_grundlagen.pdf (Routine-)Aufgabe Anfangszustand Algorithmus Zielzustand ? Zielzustand Problem Anfangszustand Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Aufgabe, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt. Weiteres zum Problemlösen: Siehe Skript „Fachdidaktische Grundlagen“ Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.6 Kapitel 5: Problemlösen 5.2 Problemtypen im Geometrieunterricht Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.7 2. Zielzustand (das Gesuchte) ist genau definiert. 3. Problemlöser verfügt über Operationen, die eine Lösung des Problems gestatten. Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie objektiv 1. Anfangszustand (das Gegebene) ist genau definiert. subjektiv Interpolationsproblem Im Geometrieunterricht: Nur Interpolationsprobleme 5.8 Interpolationsproblem? Zeige: rot + blau = 45° Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.9 Interpolationsproblemtypen in der Geometrie Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.10 Berechnungsprobleme Themenbereiche der Geometrie Schwierigkeiten Winkelbeziehungen in Figuren Mangelnde Kenntnis von Operatoren Flächeninhalte von Polygonen und Kreisen Erkennen der Anwendbarkeit eines Operators Satzgruppe des Pythagoras Falsche Anwendung eines Operators Strahlensätze Trigonometrie Anwenden heuristischer Strategien Lösungsfindung durch Vorwärtsarbeiten Rückwärtsarbeiten Lösen eines Gleichungssystems Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.11 Konstruktionsprobleme Themenbereiche der Geometrie Kongruenzabbildungen Dreiecke und Vierecke Zentrische Streckung Problemanalyse Fallunterscheidung durchführen Lösbarkeitsbedingungen untersuchen verschiedene Fälle nacheinander Lösen Lösungsfindung (Heuristische Strategien) Weglassen einer Bedingung „(n-1)-Methode“ Konstruktion einer Teilkonfiguration Reduktion auf ein Berechnungsproblem Hilfslinie einzeichnen Überlegungsfigur zeichnen Gegebenes und Gesuchtes mit verschiedenen Farben markieren Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.12 Umgang mit Schwierigkeiten Goldberg (1992).: Beweisen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I. MU 38(6), S. 33-46 Mangelnde Operatorenkenntnis Anwenden in einfachen Übungsaufgaben mit Problemcharakter (vgl. Goldberg) Liste mit benötigten Operationen anfertigen (Bilder, Formeln, …) Erkennen der Anwendbarkeit eines Operators Erkennen von (Teil-)Konfigurationen üben Falsche Anwendung eines Operators Vereinbarung: Eigenschaften von Teilfiguren dürfen nicht der Anschauung entnommen werden Anzahl der Trapeze? Anwenden heuristischer Strategien Zunächst nur Vorwärtsarbeiten einsetzen Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.13 Ein Beweis? Paradoxon Jedes Dreieck ist gleichschenklig. Beweis: Im Dreieck Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 halbiere 𝐶𝐶𝐶𝐶 den Winkel bei 𝐶𝐶 und sei 𝑀𝑀𝑀𝑀 Mittelsenkrechte von [𝐴𝐴𝐴𝐴]. Dann ist Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ≅ Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 nach Kongruenzsatz WSW. Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ Δ𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 nach Kongruenzsatz SWS. Aus 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 und ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∡𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 90° folgt mit SsW: Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ ΔBDF Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie Also ist 𝐴𝐴𝐴𝐴 = |𝐵𝐵𝐵𝐵|. Damit ist 𝐴𝐴𝐶𝐶 = |𝐵𝐵𝐵𝐵|. Δ𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 ist gleichschenklig. 5.14 Kapitel 5: Problemlösen 5.3 Beispiele für Problemaufgaben Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.15 Einem Dreieck ein Quadrat einbeschreiben Aufgabe Konstruieren Sie zum spitzwinkligen Dreieck 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ein Quadrat 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 mit 𝐷𝐷, 𝐸𝐸∈[𝐴𝐴𝐴𝐴], 𝐹𝐹∈[𝐵𝐵𝐵𝐵] und 𝐺𝐺∈[𝐴𝐴𝐴𝐴]. Hinweis Nutzen Sie die (𝑛𝑛 − 1)-Strategie. Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.16 Dreieckskonstruktion http://www.juergen-roth.de/dynageo/konstruktion/index.html Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.17 Kirchenfenster 1. Vorwärtsarbeiten Was ist bekannt? ⇒ Symmetrie! 2. Rückwärtsarbeiten! ⇒ 𝑟𝑟, 4𝑟𝑟 Wie bekommt man den Kreis? ⇐ Mittelpunkt 𝑀𝑀 Wie bekommt man 𝑀𝑀? ⇐ Radius 𝑅𝑅 oder Höhe ℎ Wie bekommt man 𝑅𝑅 bzw. ℎ? ⇐ ??? 𝑅𝑅 r 𝑀𝑀 ℎ 3. Hilfslinien einzeichnen! Wie liegt der neue Kreis zu ⇒ Berühren! den alten? Weitere Hilfslinie? ⇒ Ja Wie bekommt man 𝑅𝑅 bzw. ℎ? 4. Berechnen! Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie (1) ℎ² = (𝑟𝑟 + 𝑅𝑅)²– 𝑟𝑟𝑟 4𝑟𝑟 − 𝑅𝑅 𝑟𝑟 + 𝑅𝑅 (2) (4𝑟𝑟 − 𝑅𝑅)² = ℎ² + (2𝑟𝑟)² 4𝑟𝑟 − 𝑅𝑅 2 = 𝑟𝑟 + 𝑅𝑅 ⇒ … ⇒ 𝑅𝑅 = 65 � 𝑟𝑟 2 Einsetzen von (1) in (2) liefert: − 𝑟𝑟 2 + (2𝑟𝑟)² 5.18 Maximale Anzahl 𝑘𝑘 von Schnittpunkten bei 𝑛𝑛 Geraden Anzahl 𝑛𝑛 der Geraden max. Anzahl 𝑘𝑘 der Schnittpunkte 1 0 2 1 3 3 4 6 5 10 10 = 1 + 2 + 3 + 4 Bei 𝑛𝑛 Geraden (𝑛𝑛 > 1) kann es maximal 𝑘𝑘 = 1 + 2 + ⋯ + (𝑛𝑛 − 1) Schnittpunkte geben. Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.19 Was stimmt hier nicht? http://www.brefeld.homepage.t-online.de/dreieck.html GeoGebra_Dateien\dreieck_oder.ggb Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.20 Was stimmt hier nicht? http://www.brefeld.homepage.t-online.de/dreieck.html GeoGebra_Dateien\dreieck_oder.ggb Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.21 Kapitel 5: Problemlösen 5.4 Beispiel: Problemlösestunde aus Japan Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.22 Einstieg Thema: Ähnlichkeit Die Stunde ist Teil einer Unterrichtssequenz zur Ähnlichkeit geometrischer Figuren. Einstieg Wiederholung der Strahlensätze im Lehrervortrag 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ |𝐴𝐴𝐴𝐴| ∶ |𝐴𝐴𝐴𝐴| = |𝐴𝐴𝐴𝐴| ∶ |𝐴𝐴𝐴𝐴| = |𝑃𝑃𝑃𝑃| ∶ |𝐵𝐵𝐵𝐵| 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝑄𝑄 𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ |𝐴𝐴𝐴𝐴| ∶ |𝑃𝑃𝑃𝑃| = |𝐴𝐴𝐴𝐴| ∶ |𝑄𝑄𝑄𝑄| 𝐴𝐴 (Keine Hausaufgabenbesprechung) Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝑃𝑃 𝑄𝑄 𝐶𝐶 |𝐴𝐴𝐴𝐴| ∶ |𝐴𝐴𝐴𝐴| = |𝐴𝐴𝐴𝐴| ∶ |𝐴𝐴𝐴𝐴| ⇒ 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝑃𝑃 𝑄𝑄 𝐶𝐶 |𝐴𝐴𝐴𝐴| ∶ |𝑃𝑃𝑃𝑃| = |𝐴𝐴𝐴𝐴| ∶ |𝑄𝑄𝑄𝑄| ⇒ 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝑃𝑃 𝑄𝑄 𝐶𝐶 5.23 Erarbeitung und Sicherung Erarbeitung Anschließend wird ein Spezialfall eingeführt und durch zwei Schüler bewiesen. Sicherung Das Theorem wird zur Berechnung von Strecken genutzt, die die Schenkel gegebener Dreiecke und Trapeze halbieren. Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie Mittelpunktverbindungstheorem Wenn im Dreieck Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 der Punkt 𝑀𝑀 der Mittelpunkt der Seite [𝐴𝐴𝐵𝐵] und 𝑁𝑁 der Mittelpunkt der Seite [𝐴𝐴𝐴𝐴] ist, dann gilt: 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 und 𝐴𝐴 1 |𝑀𝑀𝑀𝑀| = · |𝐵𝐵𝐵𝐵| 2 𝐵𝐵 𝑀𝑀 𝑁𝑁 𝐶𝐶 5.24 Vertiefung „open-ended problem solving“ Zur Förderung des logischen Denkens verwenden japanische Lehrer den methodischen Ansatz des „open-ended problem solving“, der sich durch Erarbeitung unterschiedlicher Lösungsansätze in Einzel- und Gruppenarbeit auszeichnet. Aufgabe für die Gruppenarbeit Es soll die Länge der Mittelparallele eines Trapezes mit bekannten Längen der parallelen Seiten bestimmt werden. Der Lehrer klärt die Problemstellung und teilt die Klasse in Vierergruppen ein. A 6 cm F E B D 10 cm C Die Schüler/innen tauschen ihre Ideen aus. Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie 5.25 Vertiefung Während der Gruppenarbeit: Die Lehrperson beantwortet Fragen berät oder hilft, merkt sich die Lösungen der Schüler/innen bereitet die anschließende Besprechung an der Tafel vor. A 6 cm A E B B 10 cm Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie E C P B 𝑎𝑎 C 6 cm D P 𝑏𝑏 2 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 F 2 10 cm A F E F Q 10 cm B D D P E Sicherung Vier der sieben verschiedenen von Schülern gefunden Lösungen, werden an der Tafel dargestellt. 6 cm A 𝑏𝑏 6 cm Q C D R 5 cm P 5 cm F C 5.26
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