Lösung der Aufgabe 1 - Bezirksregierung Düsseldorf

Die Veröffentlichung dieser Lösung geschieht ohne inhaltliche Prüfung durch die
Bezirksregierung Düsseldorf und den Mathe-Treff.
Die Lösung stammt nicht vom Originalautor der Aufgabe, sondern von einem Leser des MatheTreffs. Wir bedanken uns herzlich für die Erstellung der Aufgabenlösung.
Lösung zu Aufgabe Nr. 1 – Brücke großer Belt
a) Wähle das Koordinatensystem so, dass der tiefste Punkt der Brücke die Koordinaten
D(0|3) hat. Eine Pfeilerspitze hat in diesem Koordinatensystem die Koordinaten
P(812|189) (Begründung: 812 = 1624/2 und 189 = 254 – 65)
Mit dem Ansatz f ( x ) = ax 2 + c folgt der Funktionsterm f ( x ) = 0,000282 x 2 + 3
(
)
b) Mit dem Ansatz g ( x) = a ⋅ e bx + e −bx folgt der Funktionsterm
(
g ( x) = 1,5 ⋅ e 0, 00596x + e −0, 00596x
)
Begründung:
Es gilt g ( 0) = a ⋅ 2 = 3 ⇔ a = 1,5 , da das Koordinatensystem gleich gewählt bleib t.
Außerdem: g (812) = 1,5 ⋅ (e 812b + e −812b ) = 189
Substituiere: u = e 812b ⇒
u1, 2 = 63 ± 3968
189
1
= u + ⇔ u 2 − 126u + 1 = 0
1,5
u
; u1 ≈ 125,99 , u 2 ≈ 0,0079
Und mittels Rücksubstitution: b ≈
ln 0,0079
≈ 0,00596
812
c) Die Funktion g(x) modelliert den Verlauf des Kabels genauer, weil der Graph im
Bereich des größten Durchhangs flacher verläuft.
d) Es gilt f ' ( x) = 0,000564 x und somit f ' (812) ≈ 0, 46 und
g ' ( x) = 0,00894 ⋅ ( e 0, 00596x − e −0, 00596x ) und somit g ' (812) ≈ 1,13
Die Skalierung wird in vertikaler und horizontaler Richtung gleich sein, die Steigung
entspricht an den Pfeilerspitzen eher dem Steigungswert 1,13 von g.
e) Nimmt man die Funktion g , so gilt für die Länge des Tragseiles Nr.7.
g (812 − 7 ⋅ 27) = g (623) ≈ 61,51
und für die Funktion f : f (812 − 7 ⋅ 27 ) = f ( 623) ≈ 112,45
Vergleicht man diese Längen mit dem Bild und der Länge des Pfeilers über der
Fahrbahn 189 m, so modelliert jetzt die Funktion f das Seil besser.
f) Gesucht ist das Maximum der Funktion f ( x ) − g ( x) . Dies liefert bei numerischer Berechnung den Wert x = 0, dort befindet sich aber ein Minimum der Differenzfunk tion
Zeichnerisch ermittelt man mittels Zoom ungefähr eine Maximalstelle bei x ≈ 613 , die
größte Ab weichung liegt also zwischen dem 7. und 8. Seil.

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