8. Uebungsblatt - Institut für Funktionelle Materie und

Uni Stuttgart – Institut für Funktionelle Materie und Quantentechnologien
Prof. Dr. M. Daghofer
Fortgeschrittene Vielteilchentheorie (WS 2016/2017) – Blatt 8
Aufgabe 21: Geladener linearer Harmonischer Oszillator ((1+6+1) 8 P.)
Ein geladener linearer Harmonischer Oszillator mit Ladung q, Masse m und Kreisfrequenz ω befinde
sich zur Zeit t0 = −∞ in seinem Grundzustand.
(a) Wie lautet der Hamiltonian? Wie berechnet man in der Störungstheorie Übergangswahrscheinlichkeiten?
(b) Berechne in erster Ordnung zeitabhängiger Störungstheorie die Wahrscheinlichkeit dafür, den
Oszillator zur Zeit t = +∞ in seinem n-ten Energiezustand anzutreffen, wenn er im Zeitintervall (−∞, +∞) der Wirkung des zeitabhängigen homogenen elektrischen Feldes
!
~ = ξ(t)~ex
ξ(t)
A
t2
ξ(t) = √
exp − 2 ,
πτ0
τ0
mit
(1)
(A, τ0 ∈ R+ ) unterworfen ist.
(c) Unter welcher Voraussetzung bzgl. der Größe von A und τ0 ist die Beschränkung auf erste
Ordnung Störungstheorie möglich?
Hinweis: Verwenden Sie die Relation
Z
−c(ξ−d)2
dξe
r
=
R
π
,
c
c ∈ R+ , d ∈ C.
(2)
Aufgabe 22: Scheune-Paradoxon
Ein Landwirt hat einen Trecker mit Anhänger. Zusammen sind beide 15 m lang. Außerdem besitzt der Landwirt eine Scheune, in die er den Trecker mit Anhänger parken möchte. Leider ist die
Scheune nur 10 m lang, was der Landwirt allerdings nicht weiß. Die Frau des Landwirts beobachtet
wie der Landwirt auf die Scheune zurast und erinnert sich an ihre Vorlesung „Spezielle Relativitätstheorie“ und dem darin besprochenem Kapitel über Längen-Kontraktion und fragt sich wie schnell
der Trecker mit Anhänger sein muss, damit er in die Scheune passt. Können Sie ihr weiterhelfen?
Würde der Landwirt auf dem Trecker sitzend selbiges sehen?
Aufgabe 23: Vierervektoren, Klein-Gordon Gleichung und Dirac Gleichung
Der Raum-Zeit Vierervektor ist definiert als xµ , µ = 0, 1, 2, 3, mit
x0 = ct,
x1 = x,
x2 = y,
x3 = z.
(3)
(a) Zeigen Sie, dass ∂φ/∂xµ ein kovarianter Vierervektor ist (φ ist ein skalare Funktion von x, y, z
und t).
Hinweis: Überlegen Sie erst wie Vierervektoren sich transformieren und benutzen Sie dann
0
0
∂φ/∂xµ = (∂φ/∂xν )(∂xν /∂xµ ) um herauszufinden, wie sich ∂φ/∂xµ transformiert.
(b) Leiten Sie die Klein-Gordon Gleichung her. (Wiederholung)
(c) Leiten Sie die Dirac Gleichung her. (Wiederholung)
Aufgabe 24: Gamma-Matrizen (2 P.)
Zeigen Sie, dass die Gamma-Matrizen
!
0
γ =
1 0
,
0 −1
i
γ =
1
0
σi
i
−σ 0
!
(4)
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Fortgeschrittene Vielteilchentheorie (WS 2016/2017) – Blatt 8
mit den Pauli Matrizen σ i (i = 1, 2, 3) folgende Relation für den Antikommutator erfüllen
{γ µ , γ ν } = 2g µν ,
(5)
wobei g µν die sogenannte Minkowski Metrik ist. Bonusaufgabe 25: Arbeiten mit Python und
Numpy (+4 P.)
Dank einer großen Vielfalt von frei verfügbaren numerischen Werkzeugen ist die Diagonalisierung
von „kleineren“ Matrizen heutzutage vergleichsweise leicht. In dieser Bonusaufgabe sollen Sie einen
Einblick in die Programmiersprache Python (https://www.python.org/) und der Bibliothek Numpy
(http://www.numpy.org/) erhalten.
Gegeben sei der Hamiltonian für die Heisenbergsche Spinkette für drei Plätze aus Aufgabe 14 vom
Übungsblatt 05. Multipliziert man die Vektorprodukte aus, erhält man für den Hamiltonian:
H = J(S1x S2x + S1y S2y + S1z S2z + S2x S3x + S2y S3y + S2z S3z ).
(6)
Ein Mathematiker wird sich fragen, was der Herr Physiker mit S1x S2x meint. Was wir damit meinen
ist eigentlich ein Tensorprodukt aus Operatoren, die auf die verschiedenen Plätzen wirken, z.B.
S1x S2x ≡ S x ⊗ S x ⊗ 1.
(7)
In dem Beispiel wirken auf Platz 1 und 2 die Operatoren S x und auf Platz 3 der Identitätsoperator
1. Was wir nun benötigen ist die Matrixrepräsentierung für die Operatoren auf dem lokalen Platz
bezüglich einer Basis. Sinnvollerweise verwenden wir hier die Basis | ↑i für ein Spin-Up-Teilchen
auf dem Platz und | ↓i für ein Spin-Down-Teilchen auf dem Platz. In diesem Modell sind andere
lokale Konfigurationen nicht erlaubt beziehungsweise nicht vorgesehen.
Nun zum „Programmieren“: Für die Ausführung benötigen Sie natürlich Python und Numpy auf Ihrem Computer. Auf den meisten Unix-Distributionen ist dies bereits vorinstalliert. Nutzer anderer
Betriebssysteme müssten kurz eine Suchmaschine befragen.
Ihr könnt nun den interaktiven Interpreter benutzen oder ein Skript mittels eines Texteditors eurer
Wahl erstellen. Um den interaktiven Interpreter aufzurufen müsst ihr unter Linux einfach ein Terminal aufrufen und den Befehl „python“ eingeben. Zum Verlassen gebt einfach „quit()“ ein. Um
auf die Funktionen einer Bibliothek zugreifen zu können müsst ihr sie einbinden. Dies geschieht in
Python via
>>> import numpy a s np
wobei „as“ den Alias füs die Bibliothek Numpy festlegt. In diesem Fall „np“. Das Tensorpordukt ⊗
ist in Numpy für Matrizen als Kroneckerprodukt implementiert und kann dann über
>>> np . kron ( matrix , matrix )
aufgerufen werden. Matrizen erstellt man recht intuitiv beispielsweise wie folgt
>>> matrix=np . a r r a y ( [ [ − 1 j , 1 . 0 ] , [ 1 . 0 , 2 . 0 ] ] )
Die Syntax ist selbsterklärend. „1j“ ist die imaginäre Einheit. Nun müsstet ihr bereits in der Lage
sein eine Matrixdarstellung des Hamiltonian für die 3-site Heisenberg-Spinkette aufzustellen. Für
die Diagonalisierung stehen euch nun verschiedene Algorithmen zur Verfügung, z.B.
>>> np . l i n a l g . e i g h ( matrix )
gibt die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren einer symmetrischen hermetischen Matrix aus.
1. Was ist der Grundzustand und die zugehörige Energie des genannten Hamiltonians für verschiedene J’s?
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2. Welche Entartungen treten auf?
3. Wann findet ein Phasenübergang statt?
Hinweis: Für den Grundzustand müsst ihr euch natürlich überlegen wie die Basis durch das Kroneckerprodukt aufgebaut wurde.
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