Satz - TU Dresden

Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
für den Studiengang Verkehrsingenieurwesen
Wintersemester 2016/2017
Diese Folien enthalten nicht alle Teile des behandelten Stoffes.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Allgemeine Informationen
Vorlesender: Prof. Dr. Andreas Fischer
www.math.tu-dresden.de/~fischer
Kursassistent: Dr. Klaus Schönefeld
www.math.tu-dresden.de/~schoenefeld
Dort finden sie (zu gegebener Zeit) u.a.
• Zuordnung der Übungsgruppen zu Zeiten und Räumen
• Übungsaufgaben (Nummern in Übungsheften) oder als PDF
• Literaturhinweise
• Angaben zur Prüfungsklausur inklusive Hilfsmittel, Zeit, Räume
• Bedingungen für Tests zur Vorbereitung der Klausur über OPAL
Die Übungen beginnen in der 2. Vorlesungswoche.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Natürliche Zahlen
N := {1, 2, 3, . . .}
Prinzip der vollständigen Induktion
Sei n0 ∈ N. Weiter bezeichne A(n) für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 eine
Aussage. Wenn
• A(n0) wahr ist und
• [A(k) ist wahr ⇒ A(k + 1) ist wahr] für alle k ∈ N mit k ≥ n0 gilt,
dann ist die Aussage A(n) für alle n ∈ N mit n ≥ n0 wahr.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Seien m, n ∈ N gegeben. Die Gleichung
n+x=m
hat nur dann eine Lösung in N, wenn n < m.
⇒ Erweiterung des Zahlbereichs N wünschenswert
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Ganze Zahlen
Z := {0, +1, −1, +2, −2, +3, −3, . . . }
• Addition, Subtraktion und Multiplikation in Z wohldefiniert.
• Seien m, n ∈ Z gegeben. Dann hat die Gleichung
n+x=m
in Z die Lösung x := m − n.
• Die Gleichung
n·x=m
hat nur dann eine Lösung in Z, wenn n Teiler von m ist.
⇒ Erweiterung des Zahlbereichs Z wünschenswert
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Rationale Zahlen
a
Q := {q | q = , a, b ∈ Z, b 6= 0, a, b teilerfremd}
b
• Z ⊂ Q (man betrachte b := 1).
• Addition, Subtraktion, Multiplikation in Q wohldefiniert.
• Seien p, q ∈ Q mit q 6= 0 gegeben. Dann hat die Gleichung
q·x=p
die Lösung x := pq . Also auch Division in Q wohldefiniert.
• Kein Quadrat mit Flächeninhalt 2 hat rationale Seitenlänge,
d.h. die Gleichung
x2 = 2
hat keine Lösung in Q.
⇒ Erweiterung des Zahlbereichs Q wünschenswert
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Reelle Zahlen
R := {x | x ist unendlicher Dezimalbruch}
• Q enthält genau die periodischen Dezimalbrüche.
• Die nichtperiodischen Dezimalbrüche bilden
√ die Menge R \ Q der
irrationalen Zahlen. Beispielsweise sind 2, π, e irrational.
• Beim numerischen Rechnen mit nichtperiodischen Dezimalbrüchen
benutzt man im Allgemeinen Näherungswerte in Form endlicher
Dezimalbrüche. Zum Beispiel sind
1, 41 ;
√
Näherungen für 2.
1, 414 ;
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
1, 4142 ;
1, 41421 ; . . .
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
R ist nicht algebraisch abgeschlossen
Nicht jede algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat eine
Lösung in R.
x2 + 2x − 3 = 0
⇒ x1 = 1, x2 = −3
aber
x2 + 2x + 3 = 0 ⇒ keine Lösung in R
⇒ Erweiterung des Zahlbereichs R wünschenswert
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Komplexe Zahlen
Definition
Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form
z := a + b i,
wobei
a ∈ R Realteil von z,
b ∈ R Imaginärteil von z und
i imaginäre Einheit heißt.
Man schreibt auch Re(z) anstelle von a und Im(z) anstelle von b.
Mit
C := {a + b i | a, b ∈ R}
wird die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Rechenoperationen in C
Definition
Seien z = a + b i ∈ C, w = c + d i ∈ C gegeben. Dann heißt
• z + w := (a + c) + (b + d) i
Summe von z und w,
• z · w := ac − bd + (bc + ad) i
Produkt von z und w.
• z := a − b i heißt konjugiert komplexe Zahl zu z = a + b i.
√
• |z| := a2 + b2 heißt Betrag der komplexen Zahl z = a + b i.
Folgerungen
i2 = −1
z · z = |z|2
αz = αa + (αb) i
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
für α ∈ R
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Das Tripel (C, +, ·) ist ein Körper
• Die Operationen + und · sind kommutativ und assoziativ
• 0 := 0 + 0i ist das neutrale Element der Addition
• 1 := 1 + 0 i ist das neutrale Element der Multiplikation
• z + (−1 · z) = 0 gilt für alle z ∈ C, d.h.
−z := −1 · z ist das inverse Element von z bzgl. der Addition
1
z̄
−1
−1
• z · z = 1 mit z := := 2 gilt für alle z ∈ C \ {0}, d.h.
z
|z|
z −1 ist das inverse Element von z bzgl. der Multiplikation
• Es gelten die Distributivgesetze (z1, z2, z3 ∈ C)
z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3,
(z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3
Analog zu (C, +, ·) sind auch (R, +, ·) und (Q, +, ·) Körper
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Darstellung einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten
(a, b) heißen kartesische Koordinaten der Zahl z = a + b i
Damit kann z als Punkt (a, b) in der Gaußschen Zahlenebene
dargestellt werden.
Schreibweise
• Anstelle von 0 + b i schreibt man kurz bi.
• Anstelle von a + 0 i schreibt man kurz a.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Darstellung einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten
(r, φ) heißen Polarkoordinaten der Zahl z = a + b i, wenn
z = r(cos φ + i sin φ)
(∗)
Dabei gilt r = |z|. Weiter heißt arg z := φ Argument zu z.
Dreht man in der Gaußschen Zahlenebene die positive reelle Achse um
den Winkel φ entgegen dem Uhrzeigersinn, so geht sie durch (a, b).
(∗) heißt auch trigonometrische Darstellung von z
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Das Argument z ist nicht eindeutig.
Zum Beispiel führen Drehungen von z um den Winkel
φ = π/2
(Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn um 90o),
φ = −3π/2
(Drehung im Uhrzeigersinn um 270o),
φ = π/2 + 2kπ (für jedes k ∈ Z)
zum gleichen Ergebnis.
Unter der zusätzlichen Bedingung
−π < φ ≤ π
gibt es genau ein Argument zu z. Das nennt man Hauptwert von z
und bezeichnet es mit Arg z.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Eulersche Formel
eiφ := cos φ + i sin φ
Folgerungen
Seien z ∈ C mit Argument φ und w ∈ C mit Argument ψ gegeben.
Dann gilt
• z = |z|eiφ
(Exponentialdarstellung von z)
• |ei φ| = 1
• z · w = |z||w|ei(φ+ψ)
z = |z| ei(φ−ψ)
•w
|w|
• z n = |z|neinφ
(n-te Potenz von z, n ∈ Z)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
De Moivresche Formeln
Satz
Seien n ∈ N und z = r(cos φ + i sin φ) = rei φ gegeben.
Dann gilt
z n = rn(cos(nφ) + i sin(nφ)) = rnei nφ.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
De Moivresche Formeln
Satz
Seien n und w = rei φ 6= 0 gegeben. Dann hat die Gleichung
zn = w
genau n verschiedene Lösungen (n-te Wurzeln), nämlich
√
φ 2kπ
φ 2kπ
n
+
+ i sin
+
zk = r cos
n
n
n
n
φ
2kπ
√
= n r ei n + n
mit k = 0, 1, . . . , n − 1 und es gilt
√
|zk | = n r,
d.h. jede Lösung liegt √
in der Gaußschen Zahlenebene auf einem Kreis
um 0 mit dem Radius n r.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Polynom n-ten Grades über C
Seien a0, a1, . . . , an ∈ C und n ∈ N ∪ {0} gegeben.
Dann heißt die durch
pn(z) := anz n + an−1z n−1 + · · · + a1z + a0
gegebene Abbildung pn : C → C Polynom n-ten Grades über C und
z ∈ C heißt Nullstelle von pn, wenn pn(z) = 0 gilt.
Fundamentalsatz der Algebra
Seien n ∈ N und pn ein beliebiges Polynom über C. Dann besitzt pn
mindestens eine Nullstelle in C.
⇒
C ist algebraisch abgeschlossen.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Fundamentalsatz der Algebra
(äquivalente Formulierung)
Seien n ∈ N und pn ein beliebiges Polynom über C.
Dann besitzt pn genau n Nullstellen z1, . . . , zn ∈ C von pn und es gilt
die folgende Zerlegung in Linearfaktoren
pn(z) = an
n
Y
(z − zj ).
j=1
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Seien die Nullstellen z1, . . . , zn des Polynoms pn so geordnet, dass die
ersten r Nullstellen paarweise verschieden sind.
Weiter bezeichne mi (i = 1, . . . , r) die Anzahl wie oft die Nullstelle zi
unter den Nullstellen z1, . . . , zn vorkommt. Dann gilt m1 + · · · + mr = n
und
r
Y
pn(z) = an (z − zi)mi .
i=1
Die Zahl mi heißt Vielfachheit der Nullstelle zi (i = 1, . . . , r).
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Polynome mit reellen Koeffizienten
Satz
Sei p ein Polynom mit reellen Koeffizienten.
Weiter sei z∗ := a∗ + b∗ i mit b 6= 0 Nullstelle von p.
Dann ist auch z∗ := a∗ − b∗ i Nullstelle von p.
D.h. “echt” komplexe Nullstellen eines reellen Polynoms treten immer
paarweise auf. Für das Produkt der zugehörigen Linearfaktoren ergibt
sich
(z − z∗)(z − z∗) = z 2 − 2a∗z + (a2∗ + b2∗)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Horner-Schema
Satz
Das Polynom p : C → C sei gegeben durch
p(z) := anz n + · · · + a1z + a0.
Für z0 ∈ C sei das Polynom s : C → C durch
s(z) := bnz n−1 + · · · + b2z + b1
definiert, wobei bn := an und bi := ai + bi+1z0. Dann gilt
p(z) = s(z)(z − z0) + b0,
+
z0 ∗
an
0
bn
p(z0) = b0,
an−1
an−2
bn ∗ z0 bn−1 ∗ z0
bn−1
bn−2
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
...
...
...
p0(z0) = s(z0).
a1
a0
b2 ∗ z0 b1 ∗ z0
b1
b0 = p(z0)
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
FUNKTIONEN
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Definition
Seien A und B beliebige nichtleere Mengen. Dann heißt jede Menge
R ⊆ A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} (binäre) Relation.
Eine Relation R ⊆ A × B heißt
• linksvollständig, wenn es zu jedem a ∈ A mindestens ein b ∈ B
gibt mit (a, b) ∈ R,
• rechtseindeutig, wenn es zu jedem a ∈ A höchstens ein b ∈ B gibt
mit (a, b) ∈ R,
• Funktion, wenn sie linksvollständig und rechtseindeutig ist.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Schreibweise
Sei f ⊆ A × B eine Funktion.
• Anstelle von f schreiben wir meistens f : A → B.
• A heißt Definitionsbereich und B Zielbereich der Funktion f .
• Anstelle des Begriffs Funktion sagt man auch Abbildung.
• In (a, b) ∈ f heißt
– a Argument und
– f (a) := b Funktionswert zum Argument a.
• f (a) wird auch als Bild von a unter der Abbildung f bezeichnet.
• Für C ⊆ A heißt f (C) := {f (a) | a ∈ C} Bild oder Bildmenge.
• f (A) heißt Wertebereich oder Wertevorrat der Funktion f : A → B.
• Für Y ⊆ B heißt f −1(Y ) := {a ∈ A | f (a) ∈ Y } Urbild von Y .
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Definition
Eine Funktion f : A → B heißt
• injektiv (eineindeutig), falls
a 6= b
⇒
f (a) 6= f (b)
für beliebige a, b ∈ A gilt,
• surjektiv (Abbildung auf), falls
f (A) = B,
• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
Eine Funktion
f :A→B
heißt reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen, falls
A und B Teilmengen von R sind.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Umkehrfunktion
Definition
Sei f : A → B bijektiv. Zu jedem b ∈ B bezeichne f −1(b) das a ∈ A mit
b = f (a). Die so definierte Abbildung
f −1 : B → A
heißt Umkehrfunktion, Umkehrabbildung oder inverse Funktion
von f .
Folgerungen
• Die Umkehrfunktion f −1 von f ist bijektiv.
• Die Umkehrfunktion von f −1 ist identisch zu f .
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Verkettung von Funktionen
Definition
Seien die Funktionen f : A → B und g : C → D mit B ⊆ C gegeben.
Die durch
h(a) := g(f (a))
für alle a ∈ A
definierte Abbildung h : A → D wird als Verkettung oder Nacheinanderausführung oder Zusammensetzung der Funktionen f und g bezeichnet. Kurz schreibt man
h := g ◦ f.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Einige elementare Eigenschaften von Funktionen
• Beschränktheit
• Monotonie
• Konvexität und Konkavität
• Gerade und ungerade Funktionen
• Periodizität
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Beschränktheit
Definition
Sei f : D → R gegeben. Dann heißt f auf der Menge M ⊆ D
beschränkt, wenn es eine reelle Zahl b ≥ 0 (Schranke) gibt, so dass
|f (x)| ≤ b
für alle x ∈ M.
f heißt auf M nach oben beschränkt, wenn bo ∈ R (obere Schranke)
existiert, so dass
f (x) ≤ bo für alle x ∈ M.
f heißt auf M nach unten beschränkt, wenn bu ∈ R (untere Schranke)
existiert, so dass
f (x) ≥ bu für alle x ∈ M.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Monotonie
Definition
Sei D ⊆ R. Dann heißt f : D → R
• monoton wachsende Funktion, falls
x<y
⇒
f (x) ≤ f (y),
• streng monoton wachsende Funktion, falls
x<y
⇒
f (x) < f (y),
• monoton fallende Funktion, falls
x<y
⇒
f (x) ≥ f (y),
• streng monoton fallende Funktion, falls
x<y
⇒
f (x) > f (y)
jeweils für alle x, y ∈ D gilt.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Konvexe und konkave Funktionen
Definition
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R. Dann heißt f konvex, wenn
f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y)
für alle x, y ∈ I und alle α ∈ (0, 1) gilt
Die Funktion f heißt konkav, wenn −f konvex ist.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Gerade und ungerade Funktionen
Definition
Sei D ⊆ R symmetrisch bezüglich 0, d.h. x ∈ D impliziert −x ∈ D für
alle x ∈ D.
• gerade Funktion, falls
f (x) = f (−x)
für alle x ∈ D,
• ungerade Funktion, falls
f (x) = −f (−x)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
für alle x ∈ D.
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Folgerung
Sei D ⊆ R symmetrisch um 0. Jede Funktion f : D → R kann als
Summe einer geraden Funktion g : D → R und einer ungeraden Funktion u : D → R geschrieben werden.
Setzt man nämlich
1
g(x) := (f (x) + f (−x)),
2
so ist g gerade, u ungerade und
f (x) = g(x) + u(x)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
1
u(x) := (f (x) − f (−x)),
2
für alle x ∈ D.
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Periodische Funktionen
Definition
Eine Funktion f : R → R heißt periodisch, falls p > 0 existiert, so dass
f (x + p) = f (x)
für alle x ∈ D.
Die Zahl p heißt Periode der Funktion f .
Die Periode einer Funktion f nennt man primitive Periode, falls es
keine kleinere Periode gibt.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Elementare Funktionen
• Rationale Funktionen
• Exponential- und Logarithmusfunktion
• Potenzfunktionen
• Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
• Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Rationale Funktionen
Definition
Seien p, q Polynome mit p 6≡ 0 und grad(q) ≥ 1.
Dann heißt f : D → R mit
p(x)
f (x) :=
q(x)
für alle x ∈ D
gebrochen rationale Funktion, wobei D := {x ∈ R | q(x) 6= 0}.
Falls
• grad(q) > grad(p), so heißt f echt gebrochen,
• grad(p) ≥ grad(q), so heißt f unecht gebrochen.
Polynome werden als ganzrationale Funktionen bezeichnet.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Exponentialfunktion
Sei a > 0 gegeben.
f (x) := ax
für alle x ∈ R
Die e-Funktion
e := 2.71828 . . . Eulersche Zahl
f (x) := ex
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
für alle x ∈ R
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Logarithmusfunktion
als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Sei 0 < a 6= 1 gegeben.
loga x := y,
wobei ay = x
für alle x ∈ (0, ∞)
Der natürliche Logarithmus
ln x := loge x
für alle x ∈ (0, ∞)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Potenzgesetze
ax · ay = ax+y
ax
ay
(ax)y
= ax−y
= ax·y
(a · b)x = ax · bx
für a > 0, b > 0, x ∈ R, y ∈ R
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Logarithmengesetze
loga(u · v) = loga u + loga v
= loga u − loga v
loga( u
v)
loga(uα) = α · loga u
loga u
= loga b · logb u
für 0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1, u > 0, v > 0, α ∈ R
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Winkelfunktionen
und ihre Umkehrfunktionen (Arcusfunktionen)
Funktion umkehrbar in Umkehrfunktion
Definitionsbereich
der Umkehrfunktion
sin
[− π2 , π2 ]
arcsin
[−1, 1]
cos
[0, π]
arccos
[−1, 1]
tan
(− π2 , π2 )
arctan
R
cot
(0, π)
arccot
R
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus
Cosinus hyperbolicus
ex − e−x
sinh x :=
2
ex + e−x
cosh x :=
2
für x ∈ R
Tangens hyperbolicus
sinh x
tanh x := cosh
x
für x ∈ R
Cotangens hyperbolicus
x
coth x := cosh
sinh x
für x ∈ R \ {0}
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Hyperbel und hyperbolische Funktionen
Eine Hyperbel besteht aus allen Punkten (x, y) ∈ R × R, die
x2 y 2
− 2 =1
(Hyperbelgleichung)
2
a
b
genügen, wobei a > 0 und b > 0 gegeben sind.
Die Hyperbeläste lassen sich durch die Parameterdarstellungen
(x(t), y(t)) := (−a cosh t, b sinh t)
−∞<t<∞
bzw.
(x(t), y(t)) := (a cosh t, b sinh t)
beschreiben.
cosh2 t − sinh2 t = 1
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
−∞<t<∞
für alle t ∈ R
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Areafunktionen
sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
Funktion Darstellung der
Umkehrfunktion
√
sinh
arsinh x = ln x + x2 + 1
√
arcosh x = ln(x + x2 − 1)
cosh
x≥0
tanh
coth
x 6= 0
artanh x = ln
q
arcoth x = ln
q
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Definitionsbereich
der Umkehrfunktion
R
[1, ∞)
1+x
1−x
(−1, 1)
x+1
x−1
R \ [−1, 1]
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Grenzwerte und Stetigkeit
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
δ–Umgebung
Sei x ∈ R und δ > 0. Dann heißt die Menge
Uδ (x) := {z ∈ R | |z − x| < δ} = (x − δ, x + δ)
δ–Umgebung von x.
Innerer Punkt
x ∈ D heißt innerer Punkt der Menge D ⊆ R, wenn es ein δ > 0 gibt,
so dass
Uδ (x) ⊆ D.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Häufungspunkt
x ∈ R heißt Häufungspunkt der Menge D ⊆ R, falls in jeder
δ–Umgebung von x mindestens ein y ∈ D mit y 6= x enthalten ist.
Randpunkt
x ∈ R heißt Randpunkt der Menge D ⊆ R, falls in jeder δ–Umgebung
von x mindestens ein y ∈ R mit y ∈
/ D und mindestens ein z ∈ D
enthalten ist.
Isolierter Punkt
x ∈ D heißt isolierter Punkt von D, falls es eine δ–Umgebung von x
gibt, so dass
D ∩ Uδ (x) = {x}.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Offene und abgeschlossene Mengen
D ⊆ R heißt
• offene Menge, wenn sie nur innere Punkte enthält.
• abgeschlossene Menge, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Zahlenfolgen
Definition
Sei N ⊆ N ∪ {0} mit unendlich vielen Elementen.
Jede Abbildung f : N → R heißt Zahlenfolge bzw. kurz Folge.
Man schreibt dafür (a1, a2, . . . , an, . . .) oder kurz
(an) oder
(an)N ,
wobei an := f (n) für n ∈ N .
Enthält N nur endlich viele Elemente, so heißt (an)N endliche Folge.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Teilfolgen
Definition
Die Folge (an)N sei durch f : N → R gegeben.
Die Menge K ⊂ N enthalte unendlich viele Elemente.
Jede Abbildung f : K → R mit f (k) := ak für alle k ∈ K heißt Teilfolge
der Folge (an)N und wird durch
oder (an` )`∈N := (an1 , an2 , . . . , an` , . . .)
bezeichnet, wobei n1, n2, . . . , n` . . . die Zahlen in K durchläuft.
(ak )K
Ist K endlich, so spricht man von einer endlichen Teilfolge.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Grenzwert einer Zahlenfolge
Definition
Eine Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge (an)N, wenn
es zu jedem > 0 ein n0 ∈ N gibt, so dass
|a − an| < für alle n ≥ n0 gilt. Man sagt die Folge (an)N konvergiert gegen a und
schreibt
a = lim an
n→∞
oder
an → a für n → ∞.
Nullfolge
Definition
Eine Zahlenfolge (an)N heißt Nullfolge, wenn lim an = 0.
n→∞
Analog definiert man diese und andere Begriffe für (an)N anstelle von (an)N.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Divergente Folgen
Wenn eine Folge (an)N nicht konvergiert, dann heißt sie divergent.
Falls (an)N
• nicht nach oben beschränkt ist (es gibt also kein M ∈ R mit an ≤ M
für alle n ∈ N), so heißt die Folge bestimmt divergent gegen ∞ und
man schreibt
lim an = ∞,
n→∞
• nicht nach unten beschränkt ist (es gibt also kein M ∈ R mit an ≥ M
für alle n ∈ N), so heißt die Folge bestimmt divergent gegen −∞
und man schreibt
lim an = −∞.
n→∞
In diesem Zusammenhang bezeichnet man ∞ bzw. −∞ auch als
uneigentlichen Grenzwert der Folge.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Cauchy-Folge
Definition
Eine Zahlenfolge (an)N heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem > 0
ein n0 ∈ N gibt, so dass
|an − am| < für alle m, n ≥ n0
gilt.
Cauchysches Konvergenzkriterium
Satz
Eine Zahlenfolge (an) ist genau dann konvergent, wenn (an) eine
Cauchy-Folge ist.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Infimum und Supremum
Definition
Sei (an)N eine Zahlenfolge. Wenn es Zahlen a, b gibt, so dass
a ≤ an ≤ b
für alle n ∈ N,
so heißt (an)N beschränkt, wobei man a eine untere Schranke und
b eine obere Schranke nennt.
Die größte mögliche untere Schranke heißt Infimum der Folge (an)N
und wird mit
inf an
n∈N
bezeichnet.
Die kleinste mögliche obere Schranke heißt Supremum der Folge
(an)N und wird mit
sup an
n∈N
bezeichnet.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Der Satz von Bolzano-Weierstrass
Satz
Jede beschränkte Zahlenfolge besitzt eine konvergente Teilfolge.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Monotonieeigenschaften von Zahlenfolgen
Definition
Eine Zahlenfolge (an)N heißt
• monoton wachsend, wenn an ≤ an+1 für alle n ∈ N,
• streng monoton wachend, wenn an < an+1 für alle n ∈ N,
• monoton fallend, wenn an ≥ an+1 für alle n ∈ N,
• streng monoton fallend, wenn an > an+1 für alle n ∈ N.
Satz zur Konvergenz monotoner Folgen
Satz
Eine beschränkte Zahlenfolge ist konvergent, wenn sie monoton
wachsend oder monoton fallend ist.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Gesetze zum Rechnen mit Grenzwerten
Seien (an)N, (bn)N Zahlenfolgen und α ∈ R.
Wenn lim an und lim bn in R existieren, dann gilt
n→∞
n→∞
• lim (an + bn) = lim an + lim bn,
n→∞
n→∞
n→∞
• lim (an · bn) = lim an · lim bn,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an
a
n→∞
• lim n =
,
lim bn
n→∞ bn
n→∞
falls lim bn 6= 0,
n→∞
• lim (αan) = α lim an,
n→∞
n→∞
• an ≤ bn für alle n ∈ N
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
⇒
lim an ≤ lim bn.
n→∞
n→∞
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Die Rechengesetze gelten auch für bestimmte Kombinationen
uneigentlicher Grenzwerte (mit c ∈ R):
c
∞ + ∞ = ∞, ∞ · ±∞ = ±∞,
=0
±∞
Die Rechengesetze gelten jedoch insbesondere in folgenden Fällen
nicht:
00∞ − ∞00, 000 · ∞00, 00 ∞ 00 , 00 0 00
∞
0
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Grenzwerte von Funktionswerten
Definition
Seien D, V ⊆ R, f : D → V , x̂ ∈ D und ŷ ∈ R.
Für jede Folge {xn} ⊂ D \ {x̂} mit lim xn = x̂ gelte
n→∞
lim f (xn) = ŷ.
n→∞
Dann hei"st ŷ Grenzwert der Funktionswerte von f für x gegen x̂
oder kurz Grenzwert von f in x̂.
Wenn ŷ Grenzwert von f in x̂ ist, so schreibt man an Stelle von ŷ auch
lim f (x)
x→x̂
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Definition
Seien D, V ⊆ R, f : D → V , x̂ ∈ D und ŷ ∈ R.
Für jede Folge {xn} ⊂ D ∩ (−∞, x̂) mit lim xn = x̂ gelte
n→∞
lim f (xn) = ŷ.
n→∞
Dann hei"st ŷ linksseitiger Grenzwert von f in x̂.
Gilt das für jede Folge {xn} ⊂ D ∩ (x̂, ∞) mit lim xn = x̂, so hei"st ŷ
n→∞
rechtsseitiger Grenzwert von f in x̂.
Wenn ŷ linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert von f in x̂ ist, so
schreibt man an Stelle von ŷ auch
lim f (x)
x→x̂−0
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
bzw.
lim f (x)
x→x̂+0
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Falls eine der vorangegangenen Definitionen für ŷ := −∞ bzw. ŷ := ∞
anwendbar ist, so hei"st ŷ
• uneigentlicher Grenzwert von f in x̂ bzw.
• uneigentlicher linksseitiger Grenzwert von f in x̂ bzw.
• uneigentlicher rechtsseitiger Grenzwert von f in x̂.
Für das Rechnen mit Grenzwerten lim f (x) und lim g(x) gelten analoge
Rechengesetze wie für Zahlenfolgen.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Stetigkeit
Definition
Seien D ⊆ R und a ∈ D. Eine Funktion f : D → R heißt stetig in a,
wenn
lim f (x) = f (a)
x→a
oder wenn a isolierter Punkt von D ist. Andernfalls heißt f unstetig
in a oder nicht stetig in a.
f heißt stetig auf D, falls f in allen Punkten aus D stetig ist.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Links- und rechtsseitige Stetigkeit
Definition
Seien D ⊆ R und a ∈ D. Eine Funktion f : D → R heißt
• linksseitig stetig in a, wenn
lim f (x) = f (a),
x→a−0
• rechtsseitig stetig in a, wenn
lim f (x) = f (a).
x→a+0
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Satz
Seien D ⊆ R und a ein innerer Punkt von D.
Dann ist f : D → R genau dann stetig in a, wenn f in a links- und
rechtsseitig stetig ist.
Satz
Seien D ⊆ R. Die Funktion f : D → R ist genau dann stetig in a ∈ D,
wenn zu jedem > 0 ein δ > 0 existiert, so dass
x ∈ D und |x − a| < δ
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
⇒
|f (x) − f (a)| < Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Klassifikation von Unstetigkeitsstellen
Seien D ⊆ R und f : D → R.
Falls f in a ∈ D unstetig ist, so heißt a
• hebbare Unstetigkeit, falls
lim f (x) = lim f (x) ∈ R,
x→a−0
x→a+0
• Unstetigkeitsstelle 1. Art oder Sprungstelle, falls der links- und
rechtsseitige Grenzwert von f in a existieren und
lim f (x) 6= lim f (x),
x→a−0
x→a+0
• Unstetigkeitsstelle 2. Art, falls der links- oder rechtsseitige Grenzwert von f in a nicht existiert.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Unstetigkeitsstellen 2. Art
• a ist eine Polstelle, d.h.
der links- oder rechtsseitige Grenzwert von f in a ist uneigentlich.
• a ist eine oszillatorische Unstetigkeit, d.h.
der links- oder rechtsseitige Grenzwerte von f in a existiert nicht
und es gibt b ∈ R gibt, so dass
|f (x)| ≤ b < ∞ für alle x in einer Umgebung von a
Auch wenn a nicht zum Definitionsbereich D gehört, verwendet man meist obige
Sprechweise zur Chrakteriserung des Verhaltens von f in oder in der Nähe von a.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Eigenschaften stetiger Funktionen
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Zwischenwertsatz
Satz
Sei f : [a, b] → R stetig. Weiter sei ȳ eine beliebige Zahl zwischen f (a)
und f (b). Dann gibt es mindestens ein x̄ ∈ [a, b] mit
f (x̄) = ȳ.
Eine stetige Funktion f : [a, b] → R nimmt also alle Werte
zwischen f (a) und f (b) an.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Existenz von Nullstellen
Satz
Ist f : [a, b] → R stetig und gilt f (a) · f (b) < 0, so besitzt f mindestens
eine Nullstelle in (a, b).
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Intervallhalbierungsverfahren
Sei f : [a, b] → R stetig mit f (a) · f (b) < 0.
1. Wähle tol ≥ 0.
Setze a0 := a, b0 := b, i := 0.
2. Wenn |ai − bi| ≤ tol, dann STOPP (Nullstelle liegt in (ai, bi)).
3. Setze x := 12 (ai + bi).
4. Wenn
dann
f (x) · f (ai) < 0
ai+1 := ai, bi+1 := x
f (x) · f (ai) > 0
ai+1 := x, bi+1 := bi
f (x) = 0
STOPP
(x ist Nullstelle)
5. Setze i := i + 1 und gehe zu 2.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Stetigkeit elementarer Funktionen
Die Funktionen
sin, cos, tan, cot
sinh, cosh, tanh, coth
ax
xa
sowie Polynome
arcsin, arccos, arctan, arccot
arsinh, arcosh, artanh, arcoth
loga x
√
ax
und gebrochen rationle Funktionen
sind stetig auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich (für jeweils zulässige Parameter a).
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
“Vererbung” der Stetigkeit
Sind f : D → R und g : D → R stetig im Punkt a ∈ D, so sind
f
f + g, f − g, f · g und
(falls g(a) 6= 0)
g
auch stetig in a.
Seien f : A → B und g : B → C gegeben.
Wenn f in a ∈ A und g in f (a) ∈ B stetig sind, dann ist die verkettete
Funktion
g◦f :A→C
stetig in a.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Extremalstellen
Sei D ⊆ R und f : D → R.
x0 ∈ D heißt Maximalstelle von f , wenn
f (x0) ≥ f (x)
für alle x ∈ D.
Falls eine Maximalstelle existiert, so heißt f (x0) das Maximum von f
auf D, kurz schreibt man dafür
max f (x).
x∈D
x0 ∈ D heißt Minimalstelle von f , wenn
f (x0) ≤ f (x)
für alle x ∈ D.
Falls eine Minimalstelle existiert, so heißt f (x0) das Minimum von f
auf D, kurz schreibt man dafür
min f (x).
x∈D
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Satz von Weierstraß
Satz
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann ist f beschränkt und besitzt Maximum
und Minimum, d.h. es existieren x0 ∈ [a, b] und x1 ∈ [a, b] mit
f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1) für alle x ∈ [a, b].
Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetige
Funktion nimmt dort Maximum und Minimum an.
Allgemeiner gilt:
Sei D ⊂ R abgeschlossenen und beschränkt. Dann nimmt jede stetige
Funktion f : D → R auf D Maximum und Minimum an.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Differenzierbarkeit
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Differenzenquotient
Definition
Seien f : D → R mit D ⊆ R und x, x0 ∈ D mit x 6= x0.
Dann heißt
f (x) − f (x0)
x − x0
Differenzenquotient von f bezüglich der Punkte x und x0.
Kurz schreibt man dafür auch
∆y
,
∆x
wobei
∆y := f (x) − f (x0)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
und ∆x := x − x0.
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Differenzierbarkeit und Differenzialquotient
Definition
Sei f : D → R mit D ⊆ R und x0 sei innerer Punkt von D.
f heißt differenzierbar im Punkt x0, wenn der Grenzwert
f (x) − f (x0)
lim
x→x0
x − x0
existiert. Der Grenzwert wird dann mit
df
df
oder
(x0) oder
|x=x0
dx
dx
bezeichnet und Ableitung oder Differenzialquotient von f in x0
genannt.
f 0(x0)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Satz
Sei f : D → R mit D ⊆ R in x0 ∈ D differenzierbar.
Dann ist f stetig in x0.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Definition
Sei D ⊆ R offen und f : D → R sei in jedem Punkt von D differenzierbar. Dann heißt f differenzierbar.
Die durch x 7→ f 0(x) definierte Abbildung f 0 : D → R heißt dann
Ableitung von f .
Falls f 0 in x0 ∈ D stetig ist, heißt f stetig differenzierbar in x0.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Rechts- und linksseitige Differenzierbarkeit
Definition
Seien f : D → R mit D ⊆ R und x0 ∈ D.
Falls [x0, x0 + δ) ⊆ D für ein δ > 0 und der Grenzwert
f (x) − f (x0)
lim
x − x0
x→x0+0
existiert, so heißt f rechtsseitig differenzierbar in x0.
Falls (x0 − δ, x0] ⊆ D für ein δ > 0 und der Grenzwert
f (x) − f (x0)
lim
x − x0
x→x0−0
existiert, so heißt f linksseitig differenzierbar in x0.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Satz
Eine Funktion f : D → R mit D ⊆ R ist in einem inneren Punkt x0
von D genau dann differenzierbar, wenn rechts- und linksseitiger
Grenzwert des Differenzenquotienten in x0 existieren und gleich sind.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Regeln zum Differenzieren
Seien D ⊆ R offen und α ∈ R.
Weiter seien f, g : D → R differenzierbar.
• (f + g)0 = f 0 + g 0
Summenregel
• (α · f )0 = α · f 0
• (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0
•
0
f 0 · g − f · g0
f
=
,
g
2
g
• (f ◦ g)0 = (f 0 ◦ g) · g 0
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Produktregel
g(x) 6= 0
Quotientenregel
Kettenregel
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Ableitung mittels Umkehrfunktion
Satz
Sei D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → R bijektiv und differenzierbar.
Dann gilt für alle x ∈ D
(f −1)0(f (x)) · f 0(x) = 1.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Logarithmisches Differenzieren
Satz
Sei D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → (0, ∞) differenzierbar.
Dann gilt für alle x ∈ D
0(x)
f
(ln f (x))0 =
.
f (x)
(ln f )0 heißt auch logarithmische Ableitung von f .
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Ableitung von Grundfunktionen
(xa)0 = a · xa−1
(a ∈ R, a 6= 0)
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
(sinh x)0 = cosh x
(cosh x)0 = sinh x
(ex)0 = ex
(ax)0 = ax · ln a
(ln x)0 = x1
1
(loga x)0 = x·ln
a
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
(a > 0)
(x > 0)
(x > 0, 1 6= a > 0)
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Höhere Ableitungen
Definition
Sei D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → R differenzierbar.
Ist f 0 differenzierbar so heißt f zweimal differenzierbar und
f 00 := (f 0)0
zweite Ableitung von f .
Ist die n-te Ableitung f (n) von f differenzierbar, dann heißt f
(n + 1)-mal differenzierbar und
f (n+1) := (f (n))0
(n+1)-te Ableitung von f .
dnf
(n)
(3) schreibt man f 000.
Für f schreibt man auch
.
Anstelle
f
d xn
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Definition
Eine n-mal differenzierbare Funktion f : D → R heißt n-mal stetig
differenzierbar, falls f (n) : D → R stetig ist.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Lineare Approximation und Ableitung
Satz
Seien D ⊆ R, x0 innerer Punkt von D und f : D → R.
Dann ist f in x0 genau dann differenzierbar, wenn es g ∈ R gibt, so
dass
f (x) − f (x0) − g · (x − x0)
lim
= 0.
x→x0
x − x0
Im Falle der Differenzierbarkeit gilt
g = f 0(x0).
Die Funktion L : R → R mit
L(x) := f (x0) + f 0(x0) · (x − x0)
heißt Linearisierung oder lineare Approximation von f in x0.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Fehlerrechnung und -fortpflanzung
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Wie wirken sich Fehler in Eingangsdaten auf Ergebnis aus?
x̃
Näherungswert für
x
f (x̃) Näherungswert für f (x)
Absoluter Fehler
f (x) − f (x̃) ≈ f 0(x̃)(x − x̃)
Relativer Fehler
f (x) − f (x̃)
f 0(x̃)(x − x̃)
≈
f (x)
f (x̃)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Der Mittelwertsatz
Satz
Sei f : [a, b] → R stetig und in (a, b) differenzierbar.
Dann gibt es mindestens ein x0 ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
0
.
f (x0) =
b−a
Folgerung (Satz von Rolle)
Zusätzlich zu den Voraussetzungen den Mittelwertsatzes sei f (a) =
f (b) = 0. Dann gibt es mindestens ein x0 ∈ (a, b) mit
f 0(x0) = 0.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Verallgemeinerter Mittelwertsatz
Seien f, h : [a, b] → R stetig und in (a, b) differenzierbar und es gelte
h0(x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b).
Dann existiert ein x0 ∈ (a, b) mit
f 0(x0) f (b) − f (a)
=
.
0
h (x0) h(b) − h(a)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Die Regel von Bernoulli-l’Hospital
Satz
Seien f, g : (a, b) → R differenzierbar und x0 ∈ [a, b].
Weiter sei g 0(x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b) und es gelte
lim f (x) = lim g(x) ∈ {0, ∞, −∞}.
x→x0
Aus
x→x0
f 0(x)
∈ R ∪ {−∞, ∞},
lim 0
x→x0 g (x)
folgt dann
f 0(x)
f (x)
= lim 0 .
lim
x→x0 g (x)
x→x0 g(x)
Die Aussage gilt analog, falls x → x0 ersetzt wird durch
x → ∞,
x → −∞,
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
x → x0 + 0 oder x → x0 − 0.
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Der Taylorsche Satz
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Vorbereitung
Satz
Seien pn : R → R ein Polynom und x0 ∈ R.
Dann gilt
pn(x) = a0 + a1(x − x0) + · · · + an(x − x0)n =
n
X
ak (x − x0)k
k=0
mit
(k)
pn (x0)
ak :=
k!
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
(k = 0, 1, . . . , n).
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Das Taylorsche Polynom
Definition
Seien D ⊆ R offen. Weiter sei f : D → R n-mal differenzierbar in
x0 ∈ D. Dann heißt das Polynom Tn : R → R mit
Tn(x) :=
n
X
f (k)(x0)
k=0
k!
(x − x0)k
Taylorsches Polynom n−ten Grades zur Funktion f für die Entwicklungsstelle x0.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Der Taylorsche Satz
Sei D ⊆ R ein offenes Intervall. Die Funktion f : D → R sei (n + 1)-mal
stetig differenzierbar. Weiter sei x0 ∈ D. Dann gibt es zu jedem x ∈ D
eine Zahl θ ∈ (0, 1), so dass
f (x) = Tn(x) + Rn(x) =
n
X
f (k)(x0)
k=0
k!
(x − x0)k + Rn(x),
wobei
f (n+1)(x0 + θ(x − x0))
(x − x0)n+1
Rn(x) :=
(n + 1)!
Restglied (in der L AGRANGE-Form) heißt.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Charakterisierung von Konvexität und Monotonie
bei differenzierbaren Funktionen
Sei D ⊆ R ein offenes Intervall und f : D → R zweimal differenzierbar. Dann gilt:
f ist konvex ⇔ f 0 ist monoton wachsend ⇔ f 00(x) ≥ 0 auf D
f ist konkav ⇔
f 0 ist monoton fallend
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
⇔ f 00(x) ≤ 0 auf D
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Lokale Extremalstellen
Definition
Seien D ⊆ R und f : D → R. Dann heißt x0 ∈ D lokale Maximalstelle
von f , wenn es δ > 0 gibt, so dass
f (x0) ≥ f (x)
für alle x ∈ D ∩ Uδ (x0).
x0 heißt lokale Minimalstelle von f , wenn es δ > 0 gibt, so dass
f (x0) ≤ f (x)
für alle x ∈ D ∩ Uδ (x0).
Der Funktionswert f (x0) heißt dann entsprechend lokales Maximum
bzw. lokales Minimum.
Statt ”lokal” sagt man auch ”relativ”.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung
Satz
Seien D ⊆ R und f : D → R. Weiter sei x0 ∈ D eine lokale Extremalstelle von f .
Falls x0 kein Randpunkt von D ist und f 0(x0) existiert, so gilt
f 0(x0) = 0.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung
Satz
Seien D ⊆ R und f : D → R. Weiter sei x0 ∈ D eine lokale Extremalstelle von f .
Falls x0 kein Randpunkt von D ist und f in einer δ-Umgebung von x0
zweimal stetig differenzierbar ist, so gilt

 ≥ 0, falls x0 lokale Minimalstelle,
f 00(x0)
 ≤ 0, falls x lokale Maximalstelle.
0
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Hinreichende Optimalitätsbedingungen
für lokale Extremalstellen
Satz
Seien D ⊆ R, f : D → R und x0 innerer Punkt von D. Weiter
seien f zweimal stetig differenzierbar in einer δ-Umgebung von x0 und
f 0(x0) = 0. Dann gilt:
und
f 00(x0) > 0
⇒
x0 ist lokale Minimumstelle von f
f 00(x0) < 0
⇒
x0 ist lokale Maximalstelle von f.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Hinreichende Optimalitätsbedingungen
für globale Extremalstellen
Satz
Seien D ⊆ R ein Intervall, f : D → R konvex und x0 ∈ D. Dann gilt:
a) Wenn x0 lokale Minimalstelle von f ist, dann ist x0 auch globale
Minimalstelle von f .
b) Wenn f stetig differenzierbar und f 0(x0) = 0, dann ist x0 auch globale Minimalstelle von f .
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Fixpunkte
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Fixpunkt einer Funktion
Definition
Seien D ⊆ R und f : D → R. Wenn x∗ ∈ D die Gleichung
x = f (x)
löst, dann heißt x∗ Fixpunkt der Funktion f .
Die vorstehende Gleichung wird Fixpunktgleichung genannt.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Banachscher Fixpunktsatz
Seien D ⊆ R und f : D → R und es gelte:
• f bildet D in sich ab, d.h. f (D) ⊆ D,
• D ist abgeschlossen,
• f ist kontraktiv, d.h. es gibt q < 1, so dass
|f (x) − f (y)| ≤ q|x − y|
für alle x, y ∈ D.
Dann besitz f genau einen Fixpunkt x∗ ∈ D und die durch
xk+1 := f (xk )
definierte Folge (xk ) konvergiert für jeden Startwert x0 ∈ D gegen den
Fixpunkt x∗ und es gilt
qk
∗
|xk − x | ≤ 1 − q |x1 − x0|
q
|xk − x∗| ≤ 1 − q |xk+1 − xk |
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
a-priori Abschätzung,
a-posteriori Abschätzung.
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Das Newton-Verfahren
zur Lösung von Gleichungen (Nullstellenbestimmung)
f (x) = 0
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Newton-Verfahren
Seien D ⊆ R offen und f : D → R stetig differenzierbar.
1. Wähle x0 ∈ D. Setze k := 0.
2. Bestimme (falls möglich) xk+1 als Lösung der Gleichung
f (xk ) + f 0(xk )(x − xk ) = 0.
3. Setze k := k + 1 und gehe zu Schritt 2.
In einer Implementierung wird zu Beginn von Schritt 2 ein Abbruchtest verwendet.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens
Satz
Seien D ⊆ R offen und f : D → R stetig differenzierbar.
Weiter sei x∗ ∈ D eine Nullstelle von f mit f 0(x∗) 6= 0.
Dann gibt es δ > 0, so dass das Newton-Verfahren für jeden Startpunkt
x0 ∈ Uδ (x∗) wohldefiniert ist und eine gegen x∗ konvergente Folge (xk )
erzeugt.
Ist f 0 auch Lipschitz-stetig auf Uδ (x∗), d.h. es gibt L > 0, so dass
|f 0(x) − f 0(y)| ≤ L|x − y|
für alle x, y ∈ Uδ (x∗),
dann konvergiert die Folge (xk ) sogar Q-quadratisch gegen x∗, d.h. es
gibt C > 0 so dass
|xk+1 − x∗| ≤ C|xk − x∗|2
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
für k = 0, 1, 2, . . .
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Unbestimmtes Integral
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Definition
Seien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R, F : I → R Funktionen, so
dass F differenzierbar ist und
F 0 = f.
Dann heißt F Stammfunktion von f .
Die Menge aller Stammfunktionen von f wird mit
Z
f (x) dx
bezeichnet und heißt unbestimmtes Integral des Integranden f .
Man schreibt auch
Z
f (x) dx = F (x) + C
mit einer unbestimmten Konstanten C ∈ R.
Jede stetige Funktion f : I → R besitzt eine Stammfunktion.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Einige unbestimmte Integrale
Funktion
f (x) =
Stammfunktion
F (x) =
xn
1 xn+1
n+1
1 xa+1
1+a
(n ∈ Z, n 6= −1)
ln |x|
(x 6= 0)
xa
1
x
ex
ln x
sin x
cos x
sinh x
cosh x
1
1+x2
ex
−x + x ln x
− cos x
sin x
cosh x
sinh x
arctan x
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
(a ∈ R, a 6= −1, x > 0)
(x > 0)
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Integrationregeln und -techniken
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Linearität des unbestimmten Integrals
Satz
Seien α, β ∈ R und f, g : I → R Funktionen, die Stammfunktionen
besitzen. Dann gilt
Z
Z
Z
(αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Substitutionsregel
Satz
Seien I, J Intervalle, f : J → R stetig mit Stammfunktion F : J → R
und ϕ : I → Wϕ ⊆ J stetig differenzierbar.
Falls die Umkehrfunktion ϕ−1 : Wϕ → I existiert, gilt
Z
f (ϕ(x))ϕ0(x) dx = F (ϕ(x)) + C.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Partielle Integration
Seien u, v : I → R stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt
Z
Z
u0(x) · v(x) dx = u(x) · v(x) − u(x)v 0(x) dx.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Partialbruchzerlegung und
Integration gebrochen rationaler Funktionen
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Polynome mit reellen Koeffizienten
Sei z∗ := a∗ + b∗ i mit b 6= 0 Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koeffizienten.
Dann ist auch z∗ := a∗ − b∗ i Nullstelle dieses Polynoms.
Echt komplexe Nullstellen eines reellen Polynoms treten also immer
paarweise auf.
Für das Produkt der zugehörigen Linearfaktoren ergibt sich der
quadratische Faktor
(z − z∗)(z − z∗) = z 2 − 2a∗z + (a2∗ + b2∗)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Zerlegung eines reellen Polynoms
in Linearfaktoren und quadratische Faktoren
Das Polynom q : C → C mit q(z) :=
m
P
aj z j
j=1
besitze nur reelle Koeffizienten a0, . . . , am mit am 6= 0.
Weiter seien x1, . . . , xr ∈ R Nullstellen von q mit den Vielfachheiten
µ1, . . . , µr und (z1, z̄1), . . . , (zs, z̄s) ∈ C komplexe Nullstellenpaare von
q mit den Vielfachheiten ν1, . . . , νs.
Dann gilt µ1 + · · · + µr + 2(ν1 + · · · + νs) = m und
q(z) = am
r
Y
(z − xk )µk
k=1
s
Y
(z 2 + αk z + βk )νk
k=1
mit αk := −2Re(zk ) und βk := |zk |2.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Partialbruchzerlegung
Sei q ein reelles Polynom vom Grad m. Weiter sei p ein reelles Polynom
vom Grad n mit n < m. Dann gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten akj , bkj , ckj , so dass
µk
νk
r P
s P
P
P
akj
bkj z + ckj
p(z)
=
+
j
2 + α z + β )j
q(z)
(z
−
x
)
(z
k
k
k
k=1 j=1
k=1 j=1
a1µ1
arµr
a11
ar1
= z − x +···+
+ · · · +z − x + · · · +
r
(z − x1)µ1
(z − xr )µr
1
b1ν1 z + c1ν1
b11z + c11
+ ··· + 2
+ ···+
+ 2
ν
1
z + α1z + β1
(z + α1z + β1)
bsνs z + csνs
bs1z + cs1
+ 2
+ ··· + 2
.
ν
s
z + αsz + βs
(z + αsz + βs)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Schritte zur Partialbruchzerlegung
Gegeben seien reelles Zählerpolynom p vom Grad n und ein reelles
Nennerpolynom q vom Grad m.
• Falls n ≥ m, dann liefert Polynomdivision
p(z)
p̃(z)
= g(z) +
q(z)
q(z)
Dabei ist der Grad des Polynoms g gleich n − m und der Grad des
Polynoms p̃ kleiner als m.
• Zerlegen des Nennerpolynoms q in Linearfaktoren und/oder
quadratische Faktoren
p̃(z)
• Aufstellen des Ansatzes für die Partialbruchzerlegung für q(z)
• Bestimmung der Koeffizienten der Partialbrüche
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Integration von Partialbrüchen

Z
a ln |z − ξ|
falls µ = 1

a
dz =
µ
 a (z − ξ)−µ+1 falls µ 6= 1
(z − ξ)
1−µ
Z
Z
αβ
α
c
−
z
+
bz + c
b
2 + αz + β) + q
2 arctan q
2
dz
=
ln(z
2
2
2
z 2 + αz + β
α
α
β− 4
β− 4
bz + c
dz
2
ν
(z + αz + β)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
→ Formelsammlungen u. Lehrbücher
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Das bestimmte Integral
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Sei f : [a, b] → R beschränkt.
Teilung T des Intervalls [a, b] in Teilintervalle
∆1 := [x0, x1], ∆2 := [x1, x2], . . . , ∆n := [xn−1, xn]
Schranken für Höhe der Streifenflächen
Mi := sup f (x)
x∈∆i
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
bzw. mi := inf f (x)
x∈∆i
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Obere und untere Schranken für Inhalte der Streifenflächen
Mi(xi+1 − xi)
bzw.
mi(xi+1 − xi)
Obersumme bzw. Untersumme
O(T ) :=
n
X
Mi(xi+1 − xi)
bzw. U (T ) :=
i=1
n
X
mi(xi+1 − xi)
i=1
Oberintegral bzw. Unterintegral
O := inf O(T )
T
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
bzw. U := sup U (T )
T
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Das Riemannsche Integral
Definition
Sei f : [a, b] → R eine beschränkte Funktion.
Dann heißt f auf [a, b] Riemann-integrierbar, falls das Unter- und das
Oberintegral von f in R existieren und übereinstimmen (U = O).
Der gemeinsame Wert wird bestimmtes Riemannsches Integral von
f über [a, b] genannt und mit
Z b
f (x) dx
a
bezeichnet.
Dabei heißen a bzw. b untere bzw. obere Integrationsgrenze,
[a, b] Integrationsintervall, x Integrationsvariable und f Integrand.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Integrierbarkeit stetiger Funktionen
Satz
Falls f : [a, b] → R stetig oder stückweise stetig ist, dann ist f auf [a, b]
integrierbar.
Definition
Eine Funktion f : [a, b] → R heißt stückweise stetig, wenn f für alle
x ∈ [a, b] mit Ausnahme endlich vieler hebbarer Unstetigkeitsstellen
oder Unstetigkeitsstellen 1. Art (Sprungstellen) stetig ist.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Satz
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann existiert ein ξ ∈ (a, b) mit
Z b
f (x) dx = f (ξ)(b − a).
a
Verallgemeinerter Mittelwertsatz
Seien f : [a, b] → R und g : [a, b] → R stetig.
Falls g(x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b), so existiert ein ξ ∈ (a, b) mit
Z b
Z b
f (x)g(x) dx = f (ξ)
g(x) dx.
a
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
a
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Rechenregeln für bestimmte Integrale
Seien f, g : [a, b] → R integrierbar sowie c ∈ (a, b) und α, β ∈ R. Dann
gilt:
Z b
Z b
Z b
•
(αf (x) + βg(x)) dx = α
f (x) dx + β
g(x) dx,
a
a
a
Z
Z
b
b
•
f (x) dx ≤
|f (x)| dx,
a
a
Z b
•
Z c
f (x) dx =
a
Z b
f (x) dx +
a
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
f (x) dx.
c
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Seien f : [a, b] → R integrierbar und f (x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b).
Dann gilt
Z b
f (x) dx ≥ 0.
a
Ist f außerdem stetig, dann gilt
Z b
f (x) dx = 0
⇔
f = 0.
a
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Erster Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann ist die Funktion F : [a, b] → R mit
Z x
F (x) :=
f (t) dt
für alle x ∈ [a, b]
a
eine Stammfunktion von f .
Für jede andere Stammfunktion F1 von f gilt
F1(x) = F (x) + C
mit einem passenden C > 0.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
für alle x ∈ [a, b]
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Zweiter Hauptsatz der Differenzial-und Integralrechnung
Sei f : [a, b] → R stetig und F : [a, b] → R Stammfunktion von f .
Dann gilt
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Man schreibt dafür auch
F (x)|ba
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
oder
[F (x)]ba .
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Volumen und Mantelflächeninhalt von Rotationskörpern
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Rotationskörper
Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion.
Rotiert der Funktionsgraph
{(x, f (x)) | x ∈ [a, b]}
um die x−Achse, so entsteht der durch die Funktion f erzeugte
Rotationskörper
 

 x 
 y  x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ≤ f (x)2 .


z
Entsprechend modifizierte Definition bei Rotation um andere Achsen.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Volumen und Mantelflächeninhalt von Rotationskörpern
Satz
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann besitzt der von f (bei Rotation um die
x-Achse) erzeugte Rotationskörper das Volumen
Z b
V := π
f 2(x) dx.
a
Falls f stetig differenzierbar und f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], dann hat
der Rotationskörper den Mantelflächeninhalt
Z b
q
AM := 2π
f (x) 1 + f 0(x)2 dx.
a
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Parameterintegrale und ihre Differenziation
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Parameterintegral
Definition
Seien f : [a, b] × R → R sowie g, h : [a, b] → R.
Weiter sei f (x, ·) : R → R für alle x ∈ [a, b] integrierbar.
Dann heißt die Funktion F : [a, b] → R mit
Z h(x)
F (x) :=
f (x, y) dy
für x ∈ [a, b]
g(x)
Parameterintegral mit dem Parameter x.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Differenziation des Parameterintegrals
Leibnizsche Regel
Satz
Seien f : [a, b] × R → R und g, h : [a, b] → R. Weiter seien
– f (x, ·) : R → R integrierbar für alle x ∈ [a, b],
– f (·, y) stetig differenzierbar für alle y ∈ R und
– g, h stetig differenzierbar.
Dann ist F stetig differenzierbar mit
F 0(x) = d
dx
=
h(x)
R
f (x, y) dy
g(x)
h(x)
R
g(x)
∂ f (x,y)
0(x) − f (x, g(x))g 0(x).
dy
+
f
(x,
h(x))h
∂x
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Uneigentliche Integrale erster Art
Jeder der Grenzwerte
R∞
• f (x) dx
:= lim
a
•
•
Rb
Rv
v→∞ a
f (x) dx,
lim
Rb
−∞
u→−∞ u
R∞
lim
Rc
f (x) dx :=
f (x) dx :=
−∞
u→−∞ u
f (x) dx,
f (x) dx + lim
Rv
v→∞ c
f (x) dx
heißt (falls er in R existiert) uneigentliches Integral erster Art.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Uneigentliche Integrale zweiter Art
Jeder der Grenzwerte
•
•
•
Rb
lim
Rb
a
u→a+0 u
Rb
lim
Rv
a
v→b−0 a
Rb
lim
Rc
a
f (x) dx :=
f (x) dx :=
f (x) dx :=
u→a+0 u
f (x) dx
(mit a Polstelle von f )
f (x) dx
(mit b Polstelle von f )
f (x) dx + lim
Rv
v→b−0 c
f (x) dx
(mit a, b Polstellen von f und c ∈ (a, b))
heißt (falls er in R existiert) uneigentliches Integral zweiter Art.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Kriterien für Konvergenz bei uneigentlichen Integralen
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Notwendige Bedingung
Satz
Sei f : I → R mit I := [a, ∞) bzw. I := (−∞, b].
Weiter sei f nichtnegativ und monoton fallend auf I.
Falls der Grenzwert
Z ∞
f (x) dx
a
in R existiert, dann gilt
lim f (x) = 0.
x→∞
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Majoranten- und Minoranten-Kriterium
Seien f, g : [a, ∞) → R stetig mit g(x) ≥ f (x) ≥ 0 auf [a, ∞).
Dann gilt:
Z∞
Z∞
• g(x) dx konvergiert
⇒
f (x) dx konvergiert
a
a
(g ist konvergente Majorante von f )
Z∞
•
Z∞
f (x) dx
divergent
⇒
a
g(x) dx
divergent.
a
(f ist divergente Minorante von g)
Analoge Aussagen gelten für die anderen uneigentlichen Integrale.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Potenzfunktionen als Majoranten
Seien f : [a, ∞) → R, g : (0, b] → R stetig und M > 0.
M
• Falls α > 1 und |f (x)| ≤ α für alle x ≥ a,
x
Z∞
dann konvergiert f (x) dx.
a
M
• Falls 0 < α < 1 und |g(x)| ≤ α
x
Zb
dann konvergiert g(x) dx.
für alle x ∈ (0, b],
0
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Potenzfunktionen als Minoranten
Seien f : [a, ∞) → R, g : (0, b] → R stetig und M > 0.
M
• Falls α ≤ 1 und f (x) ≥ α für alle x ≥ a,
x
Z∞
dann divergiert f (x) dx.
a
M
• Falls α ≥ 1 und g(x) ≥ α für alle x ∈ (0, b],
x
Zb
dann divergiert g(x) dx.
0
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Absolute Konvergenz
Z∞
Z∞
|f (x)| dx
konvergiert
a
⇒
f (x) dx
konvergiert.
a
Analoge Aussagen gelten für die anderen uneigentlichen Integrale.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Interpolation
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Stützstellen und Stützwerte
Gegegben seien Paare
(x0, f0), (x1, f1), . . . , (xn, fn)
von paarweise verschiedenen Stützstellen xi und Stützwerten fi
Interpolationsaufgabe
Gesucht ist eine Funktion f : [x0, xn] → R, die die
Interpolationsbedingungen
f (x0) = f0,
f (x1) = f1,
··· ,
f (xn) = fn
erfüllt.
Eine solche Funktion heißt Interpolierende oder Interpolationsfunktion.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Es gibt unendlich viele Interpolierende
⇒ Einschränkung erforderlich!
Polynominterpolation
Satz
Für (x0, f0), . . . , (xn, fn) mit paarweise verschiedenen Stützstellen gibt
es genau ein Polynom p (höchstens n-ten Grades), so dass
p(xi) = fi
für i = 0, . . . , n.
Dieses Polynom heißt Interpolationspolynom zu den gegebenen n + 1
Paaren aus Stützstellen und Stützwerten.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Form des Interpolationspolynoms nach Lagrange
p(x) :=
n
X
fj Lj (x)
j=0
Lagrange Basispolynome
n
Y
Lj (x) :=
k=0,k6=j
Damit gilt
Lj (xi) =
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
x − xk
xj − xk
1 falls i = j,
0 sonst.
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Newtonsche Form des Interpolationspolynoms
pn(x) := b0 + b1(x−x0) + b2(x−x0)(x−x1) + · · · + bn(x−x0) · · · (x−xn−1)
Bestimmung der Koeffizienten b0, . . . , bn
mit Hilfe der Interpolationsbedingungen:
f0 = pn(x0) = b0
f1 = pn(x1) = b0 + b1(x1 −x0)
f2 = pn(x2) = b0 + b1(x2 −x0) + b2(x2 −x0)(x2 −x1)
..
fn = pn(xn) = b0 + b1(xn −x0) + b2(xn −x0)(xn −x1) + · · · +
+bn(xn −x0) · · · (xn −xn−1)
Gestaffeltes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung
b0 , . . . , b n
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
von
Version vom 08.12.2016
Fehler bei Polynominterpolation
Satz
Seien x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn und f : [x0, xn] → R (n + 1)-mal stetig
differenzierbar. Weiter seien die Stützwerte durch
f0 := f (x0), . . . , fn := f (xn)
gegeben und pn bezeichne das zugehörige Interpolationspolynom.
Dann gilt
f (n+1)(ξx)
f (x) − pn(x) =
(x − x0) · · · (x − xn)
(n + 1)!
für alle x ∈ [x0, xn] mit einem von x abhängigen ξx ∈ (x0, xn).
Eine Erhöhung der Stützstellenzahl führt aber nicht unbedingt zu
einer Verbesserung der Approximationsgüte
max{|f (x) − pn(x)| | x ∈ [x0, xn]}.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Runge-Funktion zur Interpolation
1
f (x) :=
1 + (5x)2
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
für x ∈ [−5, 5]
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Interpolation mit Splines
Polynom-Splines
Definition
Seien x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn gegebene Stützstellen.
Eine Funktion s : [x0, xn] → R heißt Polynom-Spline vom Grad m,
wenn s
• auf jedem Intervall [xi, xi+1] für i = 0, . . . , n − 1 ein Polynom höchstens m-ten Grades ist und
• (m − 1)-mal stetig differenzierbar ist.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Interpolation mit kubischen Polynom-Splines
Satz
Seien (x0, f0), . . . , (xn, fn) mit x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn gegeben.
Dann gibt es dazu mindestens einen Polynom-Spline s : [x0, xn] → R
vom Grad 3, der die Interpolationsbedingungen
s(xi) = fi,
(i = 0, . . . , n)
erfüllt.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Eindeutigkeit des kubischen Interpolationssplines
Unter geeigneten zusätzlichen Bedingungen ist der kubische Interpolationsspline eindeutig, so genügt z.B. eine der folgenden Randbedingungen:
• s0(x0) = α, s0(xn) = β mit beliebig gegebenen α, β ∈ R
(vollständige Spline-Interpolation)
• s00(x0) = s00(xn) = 0 (natürliche Spline-Interpolation)
• s0(x0) = s0(xn), s00(x0) = s00(xn)
(periodische Spline-Interpolation)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Minimale Krümmung kubischer Interpolationssplines
Satz
Seien (x0, f0), . . . , (xn, fn) mit x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn gegeben.
Es bezeichne s einen zugehörigen kubischen Interpolationsspline und
y : [x0, xn] → R eine zweimal stetig differenzierbare Interpolierende.
Sowohl Interpolationsspline als auch Interpolierende mögen dieselbe
der Randbedingungen erfüllen. Dann gilt
Z xn
Z xn
s00(x)2 dx ≤
y 00(x)2 dx.
x0
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
x0
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Fehler bei Interpolation mit kubischen Polynom-Splines
Satz
Seien x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn und f : [x0, xn] → R viermal stetig
differenzierbar und es liege einer der frei Fälle
• f 0(x0) = α, f 0(xn) = β
(vollständige Spline-Interpolation),
• f 00(x0) = f 00(xn) = 0
(natürliche Spline-Interpolation) oder
• f (k)(x0) = f (k)(xn), k = 0, 1, 2 (periodische Spline-Interpolation).
vor. Mit s werde der zugehörige kubische Polynom-Spline bezeichnet.
Dann gilt für k = 0, 1, 2
Z xn
xn − x0 (4)
(k)
(k)
2
(f (x) − s (x)) dx ≤
|f (ξk )| h4−k
120
x0
mit einem ξk ∈ [a, b], wobei h := max{xi+1 − xi | i = 0, . . . , n − 1}.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Numerische Integration
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Idee zur Gewinnung von Quadraturformeln
Das bestimmte Integral
Z b
f (x) dx
I(f ) :=
a
wird ersetzt durch die Näherung
Z b
Q(f ) :=
p(x) dx.
a
Dabei ist p : [a, b] → R eine geeignete Näherung von f ,
zum Beispiel ein Interpolationspolynom
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Beispiele für Quadraturformeln
Trapezregel
f (a) + f (b)
Q(f ) :=
(b − a)
2
zugehöriges Interpolationspolynom
x−a
x−b
+ f (b)
p(x) := f (a)
a−b
b−a
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Zusammengesetzte Trapezregel
Stützstellen
a =: x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn := b
1
1
Q(f ) := h f (x0) + f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn−1) + f (xn)
2
2
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Äquidistante Stützstellen
a =: x0 < x1 < · · · < xn := b,
xj := a + jh
für j = 0, 1, . . . , n
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
b−a
mit h :=
n
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Simpson-Formel
b−a
a+b
Q(f ) :=
f (a) + 4f
+ f (b)
6
2
zugehöriges Interpolationspolynom hat Höchstgrad 2
Zusammengesetzte Simpson-Formel
äquidistante Stützstellen
h
Q(f ) := f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + · · · + 4f (xn−1) + f (xn)
3
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Fehler der zusammengesetzten Trapezregel
Sei f : [a, b] zweimal stetig differenzierbar. Die Stützstellen seien
äquidistant. Dann gibt es ξ ∈ (a, b), so dass
2
(b
−
a)h
.
|I(f ) − Q(f )| = |f 00(ξ)|
12
Fehler der zusammengesetzten Simpson-Formel
Sei f : [a, b] → R viermal stetig differenzierbar. Die Stützstellen seien
äquidistant. Dann gibt es ξ ∈ (a, b), so dass
4
(b
−
a)h
|I(f ) − Q(f )| = |f (4)(ξ)|
.
180
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Vektorräume
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Beispiele zur Motivation
Menge
R2 :=
x=
x1
x2
| x1, x2 ∈ R
Addition von Elementen x, y ∈ R2
x1 + y 1
y1
x1
:=
+
x2 + y 2
y2
x2
Multiplikation eines Elements x ∈ R2 mit einem Skalar λ ∈ R
x1
λx1
λ·
:=
x2
λx2
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Menge
Πn := {p : C → C | p ist Polynom vom Höchstgrad n}
Addition von Elementen p, q ∈ Πn
(p + q)(z) := p(z) + q(z)
Multiplikation eines Elements p ∈ Πn mit einem Skalar λ ∈ C
(λp)(z) := λp(z)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Menge
C[a, b] := {f : [a, b] → R | f ist stetig}
Addition von Elementen f, g ∈ C[a, b]
(f + g)(x) := f (x) + g(x)
Multiplikation eines Elements f ∈ C[a, b] mit einem Skalar λ ∈ R
(λf )(x) := λf (x)
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Definition eines Vektorraumes über R oder C
Sei V eine nichtleere Menge und K der Körper C oder R.
Für beliebige x, y ∈ V und λ ∈ K seien folgende Verknüpfungen
definiert:
x+y ∈V
die Addition (Summe) und
λ·x∈V
die Multiplikation mit einem Skalar aus K.
Dann heißt das Tripel (V, +, ·) Vektorraum oder linearer Raum über
K und die Elemente von V heißen Vektoren, wenn nachfolgende
Vektorraumaxiome gelten:
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Vektorraumaxiome (Teil 1)
1) Kommutativgesetz der Addition
x+y =y+x
für alle x, y ∈ V
2) Assoziativgesetz der Addition
x + (y + z) = (x + y) + z
für alle x, y, z ∈ V
3) Neutrales Element der Addition
Es gibt o ∈ V (Nullvektor), so dass
x+o=x
für alle x ∈ V
4) Inverse Elemente bzgl. der Addition
Zu jedem x ∈ V gibt es ein −x ∈ V , so dass
x + (−x) = o
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Vektorraumaxiome (Teil 2)
5) 1 ∈ K ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation, d.h.
1·x=x
für alle x ∈ V
6) Assoziativgesetz der skalaren Multiplikation
λ(µ · x) = λµ · x
für alle x ∈ V und alle λ, µ ∈ K
7) Erstes Distributivgesetz
λ(x + y) = λx + λy
für alle x, y ∈ V und alle λ ∈ K
8) Zweites Distributivgesetz
(λ + µ)x = λx + µx
für alle x ∈ V und alle λ, µ ∈ K
Es kann u.a. gezeigt werden, dass
• es genau ein neutrales Element der Addition gibt,
• es zu jedem x ∈ V genau ein inverses Element −x gibt und
• −x = (−1) · x.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Linearkombination
Definition
Seien v1, . . . , vk Vektoren aus dem Vektorraum V über K und λ1, . . . , λk
Zahlen aus dem Körper K. Dann wird der Vektor
λ1v1 + λ2v2 + · · · + λk vk
als eine Linearkombination der Vektoren v1, . . . , vk bezeichnet.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Lineare Abhängigkeit – Lineare Unabhängigkeit
Definition
Vektoren v1, . . . , vk ∈ V heißen linear abhängig, wenn wenigstens
einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann.
Andernfalls heißen die Vektoren v1, . . . , vk linear unabhängig.
Satz
Vektoren v1, . . . , vk ∈ V sind genau dann linear unabhängig, wenn aus
λ1v1 + λ2v2 + · · · + λk vk = o
folgt, dass
λ1 = λ2 = · · · = λk = 0.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Dimension eines Vektorraumes
Definition
Falls es in einem Vektorraum V höchstens n < ∞ linear unabhängige
Vektoren gibt, dann heißt V endlichdimensional und n wird Dimension von V genannt (in Zeichen dimV = n).
Andernfalls heißt V unendlichdimensional.
Dimension des Rn
Satz
Der Vektorraum Rn hat die Dimension n.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Basis
Definition
Es sei V ein Vektorraum der Dimension n. Dann wird jedes n-Tupel
(v1, . . . , vn)
von linear unabhängigen Vektoren v1, . . . vn aus V Basis des
Vektorraums V genannt.
Satz
Es sei V ein Vektorraum der Dimension n. Dann sind mehr als n Vektoren aus V immer linear abhängig.
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Koordinatendarstellung eines Vektors
Sei V ein Vektorraum über K. Weiter sei
(a1, . . . , an)
eine Basis von V . Dann existieren für jeden Vektor a ∈ V eindeutig
bestimmte Zahlen α1, . . . , αn ∈ K, so dass
n
X
a=
αiai.
i=1
Die Zahlen α1, . . . , αn heißen Koordinaten des Vektors a bezüglich
der Basis (a1,. . . , an).
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016
Unterraum
Definition
Seien V ein Vektorraum und U ⊆ V . Ist U selbst wieder ein
Vektorraum, so heißt U Unterraum oder Teilraum von V .
Andreas Fischer Beamerfolien für WS 2016/2017
Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen
Version vom 08.12.2016

Download Report