Übungsblatt 7

Analysis für Physiker
(Vorlesung apl. Prof. Dr. Thomas Filk WS16/17)
Aufgabenzettel Nr. 7
Aufgabe 1: Konvergenz und Topologie
(6 Pkt.)
Sei M eine Menge, {xn }n∈N eine Folge in M und T (M ) eine Topologie auf M . Wir sagen, dass
die Folge {xn }n∈N gegen x ∈ M konvergiert, wenn folgendes gilt:
∀U (x) ∈ T ∃n0 ∈
N ∀n > n0 :
xn ∈ U (x).
Hierbei bezeichnet U (x) eine offene Umgebung von x (also eine offene Menge, die das Element x
enthält). Jedes x, das die obige Bedingung erfüllt, heißt Grenzwert von {xn }n∈N .
i.) Zeigen Sie, dass in der trivialen Topologie T (M ) = {∅, M } jede Folge {xn }n∈N mit xn ∈ M
konvergiert und jeder Punkt x ∈ M Grenzwert von jeder Folge ist. (2 Pkt.)
ii.) Zeigen Sie, dass eine Folge {xn }n∈N genau dann in der diskreten Topologie T (M ) = P(M )
(die Potenzmenge von M ) konvergiert, wenn es ein n0 gibt, so dass ∀n > n0 : xn = xn0 gilt.
(2 Pkt.)
iii.) Eine Topolgie T (M ) hat die Hausdorff-Eigenschaft, wenn ∀x 6= y ∈ M ∃U (x), V (y) ∈ T (M ) :
U (x) ∩ V (y) = ∅ gilt. Mit anderen Worten: Zu je zwei verschiedenen Punkten x, y ∈ M gibt
es offene Umgebungen U (x) und V (x), die disjunkt sind. Zeigen Sie, dass der Grenzwert
einer konvergenten Folge in einem topologischen Raum mit dieser Eigenschaft eindeutig ist.
(2 Pkt.)
Aufgabe 2: Rechnen mit komplexen Zahlen
(5 Pkt.)
Im Folgenden seien z1 = a1 + ib1 und z2 = a2 + ib2 6= 0 komplexe Zahlen.
∗
z∗
i.) Zeigen Sie (z1 z2 )∗ = z1∗ z2∗ und zz21
= z1∗ . (1 Pkt.)
2
ii.) Zeigen Sie |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. (1 Pkt.)
iii.) Bringen Sie z3 = z2 +
1
z2∗
und z4 = (z2∗ )2 +
1
z22
in die Koordinatenform z = a + ib. (1 Pkt.)
iv.) Finden Sie alle Lösungen der Gleichungen z 4 = 1 und z 4 = i. Es hilft, z jeweils in Polarkoordinaten z = reiϕ auszudrücken. Zeichnen Sie die Lösungen für jede Gleichung separat in der
komplexen Ebene ein. (2 Pkt.)
Aufgabe 3: Trigonometrische Funktionen
(4 Pkt.)
i.) Verwenden Sie die Euler’sche Formel, um die Additionstheoreme der Sinus- und Kosinusfunktionen,
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β),
zu zeigen. (2 Pkt.)
http://www.mathphys.uni-freiburg.de/physik/filk/public html/Aktuelle Vorlesungen/index.html
ii.) Benutzen Sie die Reihendarstellungen von sin, cos, sinh und cosh, um die Relationen
sin(ix) = i sinh(x)
cosh(ix) = cos(x)
zu zeigen. (2 Pkt.)
http://www.mathphys.uni-freiburg.de/physik/filk/public html/Aktuelle Vorlesungen/index.html

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