Einzelaufgabe aus der Aufgabensammlung zur

Rolf Haftmann: Aufgabensammlung zur Höheren Mathematik mit ausführlichen Lösungen
(Hinweise zu den Quellen für die Aufgaben)
Aufgabe 20.20
p
Ein Rotationskörper wird vom Paraboloid z = 24−x2 −y2 und vom Kegel z = 2 x2 +y2 begrenzt.
a) In welcher Höhe gegenüber der x-y-Ebene hat der Körper seinen maximalen Durchmesser,
wie groß ist dieser Durchmesser?
b) Skizzieren Sie den Körper!
c) Berechnen Sie das Volumen des Körpers!
Lösung:
a) Das Paraboloid und
p der Kegel schneiden sich für
2
2
z = 24−x −y = 2 x2 +y2 .
p
Mit r = x2 +y2 erhält man √
24−r2 = 2r und damit
r2 +2r− 24 = 0, r1/2 = −1± 1+24 = −6; 4.
z
b)
24
Als Lösung kommt nur r = 4 in Frage, somit ist der
Durchmesser 8 und die Höhe 24−42 = 2 · 4, also
ebenfalls 8.
Z2πZ4 24−r
Z
y
y
r dr dϕ dz=
dx dy dz=
dz r dr dϕ
c) V =
2
K
K
Z2πZ4
2
24−r
[z]2r
r dr dϕ =
=
0 0
Z2πZ4
0 0
0 0
(24−r2 −2r) r dr dϕ
Z2π
(24r−r −2r ) dr dϕ =
=
3
0 0
Z2π
=
0
= 2π
2
2r
Z2πZ4
0
z=2
4
r4 2 3
12r − − r dϕ
4 3 0
2
p
x2 +y2
8
Z2π
3 · 192−5 · 64
2
192−64− 64 dϕ =
dϕ
3
3
z = 24−x2 −y2
0
256 512
=
π ≈ 536.17
3
3
y
x
4
4

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